Alterne Seri Testi
Ardışık terimlerinin işaretleri birbirinden farklı olan (pozitif ve negatif arasında değişerek ilerleyen) serilere alterne seri denir. Alterne seriler aşağıdaki iki formdan birinde olurlar.
Her \( n \) için \( a_n \gt 0 \) olmak üzere,
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {(-1)^{n-1}a_n} \) \( = a_1 - a_2 + a_3 - a_4 + \ldots \)
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {(-1)^{n}a_n} \) \( = -a_1 + a_2 - a_3 + a_4 - \ldots \)
Alterne harmonik seri:
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{(-1)^{n-1}}{n}} \) \( = 1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4} + \ldots \)
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {(-1)^n\dfrac{n}{3n - 1}} \) \( = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{5} - \dfrac{3}{8} + \dfrac{4}{11} + \ldots \)
Yukarıdaki örneklerde görebileceğimiz gibi, alterne serilerdeki işaret değişimleri ilk terim pozitif olacak şekilde \( (-1)^{n-1} \) ifadesi ile ya da ilk terim negatif olacak şekilde \( (-1)^n \) ifadesi ile elde edilebilir. Alternatif olarak işaret değişimleri kosinüs ve sinüs fonksiyonları ile de elde edilebilir.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\cos(n\pi)} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {(-1)^n} \)
\( = -1 + 1 - 1 + 1 - \ldots \)
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{\cos(n\pi)}{n}} = -1 + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} - \ldots \)
Belirli koşulları sağlayan alterne serilerin yakınsak olup olmadığını bulmak için kullanılabilecek yöntemlerden biri alterne seri testidir.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {(-1)^{n}a_n} \) alterne serisi aşağıdaki üç koşul sağlanıyorsa yakınsaktır.
(1) Her \( n \) için \( a_n \gt 0 \)
(2) Her \( n \) için \( a_n \ge a_{n+1} \)
(3) \( \lim\limits_{n \to \infty} {a_n} = 0 \)
Aşağıdaki şekilde bir alterne seri tanımlayalım.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {(-1)^{n-1}a_n} = a_1 - a_2 + a_3 - a_4 + \ldots \)
Çift sayı kısmi toplamlar:
\( n = 2m \) bir çift sayı olmak üzere, serinin çift sayı kısmi toplamını yazalım.
\( s_{2m} = a_1 - a_2 + a_3 - a_4 + a_5 - \ldots + a_{2m-1} - a_{2m} \)
Terimleri ikişerli gruplayalım.
\( = (a_1 - a_2) + (a_3 - a_4) + \ldots + (a_{2m-1} - a_{2m}) \)
\( a_n \) monoton azalan bir dizi olduğu için parantez içindeki terim ikililerinin farkları sıfır ya da pozitiftir.
\( a_{k} - a_{k+1} \ge 0 \)
Dolayısıyla serinin çift sayı kısmi toplamlar dizisi monoton artan bir dizidir.
\( s_2 \le s_4 \le s_6 \le \ldots \le s_{2m} \)
Şimdi kısmi toplamın terimlerini farklı şekilde gruplayalım.
\( = a_1 - (a_2 - a_3) - (a_4 - a_5) - \ldots - (a_{2m-2} - a_{2m-1}) - a_{2m} \)
Parantez içindeki terim ikililerinin farkları sıfır ya da pozitif ve \( a_{2m} \) pozitif olduğu için bu ifadenin üst sınır değeri \( a_1 \) olur.
\( \lt a_1 \)
Bu yüzden serinin çift sayı kısmi toplamlar dizisi monoton artan ve üstten sınırlıdır, dolayısıyla monoton yakınsaklık teoremine göre yakınsaktır.
Tek sayı kısmi toplamlar:
\( n = 2m + 1 \) bir tek sayı olmak üzere, serinin tek sayı kısmi toplamını yazalım.
\( s_{2m+1} = a_1 - a_2 + a_3 - a_4 + a_5 - \ldots - a_{2m} + a_{2m+1} \)
Terimleri ikişerli gruplayalım.
\( = a_1 - (a_2 - a_3) - (a_4 - a_5) - \ldots - (a_{2m} - a_{2m+1}) \)
\( a_n \) monoton azalan bir dizi olduğu için parantez içindeki terim ikililerinin farkları sıfır ya da pozitiftir.
\( a_{k} - a_{k+1} \ge 0 \)
Dolayısıyla serinin tek sayı kısmi toplamlar dizisi monoton azalan bir dizidir.
\( s_1 \ge s_3 \ge s_5 \ge \ldots \ge s_{2m+1} \)
Şimdi kısmi toplamın terimlerini farklı şekilde gruplayalım.
\( = (a_1 - a_2) + (a_3 - a_4) + \ldots + (a_{2m-1} - a_{2m}) + a_{2m+1} \)
Parantez içindeki terim ikililerinin farkları sıfır ya da pozitif ve \( a_{2m+1} \) pozitif olduğu için bu ifadenin alt sınır değeri sıfır olur.
\( \gt 0 \)
Bu yüzden serinin tek sayı kısmi toplamlar dizisi monoton azalan ve alttan sınırlıdır, dolayısıyla monoton yakınsaklık teoremine göre yakınsaktır.
Şimdi yukarıda yakınsak olarak bulduğumuz iki dizinin yakınsadığı değerlerin birbirine eşit olduğunu gösterelim.
Serinin \( (2m + 1) \). ve \( (2m) \). kısmi toplamlarının farkı, serinin \( (2m + 1) \). terimine eşittir.
\( s_{2m+1} - s_{2m} = a_{2m+1} \)
Eşitliğin iki tarafının limitini alalım.
\( \lim\limits_{n \to \infty} (s_{2m+1} - s_{2m}) = \lim\limits_{n \to \infty} {a_{2m+1}} \)
\( \lim\limits_{n \to \infty} {s_{2m+1}} - \lim\limits_{n \to \infty} {s_{2m}} = \lim\limits_{n \to \infty} {a_{2m+1}} \)
Alterne seri testinin üçüncü koşuluna göre \( n \to \infty \) iken \( a_n \to 0 \) olur.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {s_{2m+1}} - \lim\limits_{n \to \infty} {s_{2m}} = 0 \)
\( \lim\limits_{n \to \infty} {s_{2m+1}} = \lim\limits_{n \to \infty} {s_{2m}} \)
Buna göre yukarıda yakınsak olarak bulduğumuz iki dizinin yakınsadığı değerler birbirine eşittir, dolayısıyla bu iki dizinin birleşiminden oluşan \( \sum {(-1)^{n-1}a_n} \) serisi de yakınsaktır.
Bu testi kullanabilmek için testin tanımındaki koşulların (\( a_n \gt 0 \), \( a_n \ge a_{n+1} \)) her \( n \) yerine herhangi bir \( n \ge k \) için sağlanması yeterlidir.
Testin ikinci (monoton azalan dizi) koşulu, sonsuz diziler sayfasında gördüğümüz monotonluk testlerinden herhangi biri kullanılarak test edilebilir.
Alterne seri testi bir serinin yakınsak olup olmadığını bulmak için kullanılır, ıraksak olup olmadığını göstermek için farklı bir test kullanılmalıdır.
Alterne seri testinin tersi doğru olmayabilir, yani bir yakınsak alterne seri bu testin tüm koşullarını sağlamıyor olabilir.
Aşağıdaki grafikte görülebileceği gibi, terimleri monoton azalarak sıfıra yaklaşan pozitif terimli bir alterne serinin \( n \). kısmi toplamları belirli bir \( L \) değerine yaklaşır, dolayısıyla yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{(-1)^{n-1}}{n}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyelim.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {(-1)^{n-1}a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{(-1)^{n-1}}{n}} \)
\( (a_n) = \dfrac{1}{n} \)
Serinin alterne seri testi koşullarını sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim.
Koşul 1: Her \( n \) için \( a_n \gt 0 \)
\( \dfrac{1}{n} \gt 0 \)
\( a_n \) dizisinin terimleri her \( n \ge 1 \) için pozitiftir.
Koşul 2: Her \( n \) için \( a_n \ge a_{n+1} \)
\( a_n = \dfrac{1}{n} \)
\( a_{n+1} = \dfrac{1}{n + 1} \)
Payları eşit iki ifadeden paydası büyük olan daha küçüktür (\( n \lt n + 1 \)).
\( a_n = \dfrac{1}{n} \gt \dfrac{1}{n + 1} = a_{n+1} \)
\( a_n \) dizisi \( n \ge 1 \) için azalandır.
Koşul 3: \( \lim\limits_{n \to \infty} {a_n} = 0 \)
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{1}{n}} = 0 \)
\( a_n \) dizisinin sonsuzdaki limiti sıfırdır.
Alterne seri testine göre, üç koşul da sağlandığı için verilen seri yakınsaktır.
Dikkat edilirse \( \sum {\frac{1}{n}} \) harmonik serisi ıraksak iken \( \sum {\frac{(-1)^{n-1}}{n}} \) serisi yakınsak olmaktadır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {(-1)^{n-1}\dfrac{n}{n^2 + 1}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyelim.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {(-1)^{n}a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {(-1)^{n}\dfrac{n}{n^2 + 1}} \)
\( (a_n) = \dfrac{n}{n^2 + 1} \)
Serinin alterne seri testi koşullarını sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim.
Koşul 1: Her \( n \) için \( a_n \gt 0 \)
\( \dfrac{n}{n^2 + 1} \gt 0 \)
\( a_n \) dizisinin terimleri her \( n \ge 1 \) için pozitiftir.
Koşul 2: Her \( n \) için \( a_n \ge a_{n+1} \)
\( a_n \) dizisinin monotonluk durumunu türev testi ile kontrol edelim.
\( f : [1, \infty) \to \mathbb{R} \)
\( f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1} \)
\( f'(x) = \dfrac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2} \)
\( f \) fonksiyonunun \( [2, \infty) \) aralığında birinci türevi negatif olduğu için fonksiyon bu aralıkta monoton azalandır.
\( a_n \) dizisi \( n \ge 2 \) için azalandır.
Koşul 3: \( \lim\limits_{n \to \infty} {a_n} = 0 \)
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{n}{n^2 + 1}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{n^2 \cdot \frac{1}{n}}{n^2(1 + \frac{1}{n^2})}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{\frac{1}{n}}{1 + \frac{1}{n^2}}} \)
\( = \dfrac{\lim\limits_{n \to \infty} {\frac{1}{n}}}{1 + \lim\limits_{n \to \infty} {\frac{1}{n^2}}} \)
\( = \dfrac{0}{1 + 0} = 0 \)
\( a_n \) dizisinin sonsuzdaki limiti sıfırdır.
Alterne seri testine göre, üç koşul da sağlandığı için verilen seri yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty} {(-1)^{n}\dfrac{2^n}{n!}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
\( \displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty} {(-1)^{n}a_n} = \displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty} {(-1)^{n}\dfrac{2^n}{n!}} \)
\( (a_n) = \dfrac{2^n}{n!} \)
Serinin alterne seri testi koşullarını sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim.
Koşul 1: Her \( n \) için \( a_n \gt 0 \)
\( \dfrac{2^n}{n!} \gt 0 \)
\( a_n \) dizisinin terimleri her \( n \ge 2 \) için pozitiftir.
Koşul 2: Her \( n \) için \( a_n \ge a_{n+1} \)
\( a_n \) dizisinin monotonluk durumunu oran testi ile kontrol edelim.
\( \dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \dfrac{\frac{2^{n+1}}{(n + 1)!}}{\frac{2^n}{n!}} \)
\( = \dfrac{2}{n + 1} \lt 1 \)
\( a_n \) dizisi \( n \ge 2 \) için azalandır.
Koşul 3: \( \lim\limits_{n \to \infty} {a_n} = 0 \)
\( n! \) ifadesinin büyüme hızı \( 2^n \) ifadesinin büyüme hızından büyüktür.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{2^n}{n!}} = 0 \)
\( a_n \) dizisinin sonsuzdaki limiti sıfırdır.
Alterne seri testine göre, üç koşul da sağlandığı için verilen seri yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {(-1)^{n+1}\dfrac{1}{n^{\frac{5}{3}}}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {(-1)^{n+1}a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {(-1)^{n+1}\dfrac{1}{n^{\frac{5}{3}}}} \)
\( (a_n) = \dfrac{1}{n^{\frac{5}{3}}} \)
Serinin alterne seri testi koşullarını sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim.
Koşul 1: Her \( n \) için \( a_n \gt 0 \)
\( \dfrac{1}{n^{\frac{5}{3}}} \gt 0 \)
\( a_n \) dizisinin terimleri her \( n \ge 1 \) için pozitiftir.
Koşul 2: Her \( n \) için \( a_n \ge a_{n+1} \)
\( a_n \) dizisinin monotonluk durumunu oran testi ile kontrol edelim.
\( \dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \dfrac{\frac{1}{(n + 1)^{\frac{5}{3}}}}{\frac{1}{n^{\frac{5}{3}}}} \)
\( = \left( \dfrac{n}{n + 1} \right)^{\frac{5}{3}} \lt 1 \)
\( a_n \) dizisi \( n \ge 1 \) için azalandır.
Koşul 3: \( \lim\limits_{n \to \infty} {a_n} = 0 \)
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{1}{n^{\frac{5}{3}}}} = 0 \)
\( a_n \) dizisinin sonsuzdaki limiti sıfırdır.
Alterne seri testine göre, üç koşul da sağlandığı için verilen seri yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {(-1)^{n}\dfrac{1}{7n + 3}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {(-1)^{n}a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {(-1)^{n}\dfrac{1}{7n + 3}} \)
\( (a_n) = \dfrac{1}{7n + 3} \)
Serinin alterne seri testi koşullarını sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim.
Koşul 1: Her \( n \) için \( a_n \gt 0 \)
\( \dfrac{1}{7n + 3} \gt 0 \)
\( a_n \) dizisinin terimleri her \( n \ge 1 \) için pozitiftir.
Koşul 2: Her \( n \) için \( a_n \ge a_{n+1} \)
\( a_n = \dfrac{1}{7n + 3} \)
\( a_{n+1} = \dfrac{1}{7(n + 1) + 3} \)
\( = \dfrac{1}{7n + 10} \)
Payları eşit iki ifadeden paydası büyük olan daha küçüktür (\( 7n + 3 \lt 7n + 10 \)).
\( a_n = \dfrac{1}{7n + 3} \gt \dfrac{1}{7n + 10} = a_{n+1} \)
\( a_n \) dizisi \( n \ge 1 \) için azalandır.
Koşul 3: \( \lim\limits_{n \to \infty} {a_n} = 0 \)
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{1}{7n + 3}} = 0 \)
\( a_n \) dizisinin sonsuzdaki limiti sıfırdır.
Alterne seri testine göre, üç koşul da sağlandığı için verilen seri yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty} {(-1)^{n+1}\dfrac{1}{\ln{n}}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
\( \displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty} {(-1)^{n+1}a_n} = \displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty} {(-1)^{n+1}\dfrac{1}{\ln{n}}} \)
\( (a_n) = \dfrac{1}{\ln{n}} \)
Serinin alterne seri testi koşullarını sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim.
Koşul 1: Her \( n \) için \( a_n \gt 0 \)
\( \dfrac{1}{\ln{n}} \gt 0 \)
\( a_n \) dizisinin terimleri her \( n \ge 2 \) için pozitiftir.
Koşul 2: Her \( n \) için \( a_n \ge a_{n+1} \)
\( f: [2, \infty) \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = \ln{x} \) artan fonksiyon olduğu için \( \frac{1}{\ln{x}} \) azalan fonksiyondur.
\( a_n \) dizisi \( n \ge 2 \) için azalandır.
Koşul 3: \( \lim\limits_{n \to \infty} {a_n} = 0 \)
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{1}{\ln{n}}} = 0 \)
\( a_n \) dizisinin sonsuzdaki limiti sıfırdır.
Alterne seri testine göre, üç koşul da sağlandığı için verilen seri yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty} {(-1)^{n+1}\dfrac{\ln{n}}{n}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
\( \displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty} {(-1)^{n+1}a_n} = \displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty} {(-1)^{n+1}\dfrac{\ln{n}}{n}} \)
\( (a_n) = \dfrac{\ln{n}}{n} \)
Serinin alterne seri testi koşullarını sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim.
Koşul 1: Her \( n \) için \( a_n \gt 0 \)
\( \dfrac{\ln{n}}{n} \gt 0 \)
\( a_n \) dizisinin terimleri her \( n \ge 2 \) için pozitiftir.
Koşul 2: Her \( n \) için \( a_n \ge a_{n+1} \)
\( a_n \) dizisinin monotonluk durumunu türev testi ile kontrol edelim.
\( f : [2, \infty) \to \mathbb{R} \)
\( f(x) = \dfrac{\ln{x}}{x} \)
\( f'(x) = \dfrac{1 - \ln{x}}{x^2} \)
\( f \) fonksiyonunun \( [3, \infty) \) aralığında birinci türevi negatif olduğu için fonksiyon bu aralıkta monoton azalandır.
Buna göre \( a_n \) dizisi \( n \ge 3 \) için azalandır.
Koşul 3: \( \lim\limits_{n \to \infty} {a_n} = 0 \)
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{\ln{n}}{n}} \)
Bu limitte \( \frac{\infty}{\infty} \) belirsizliği vardır. Dolayısıyla L'Hospital kuralını uygulayabiliriz.
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{(\ln{n})'}{(n)'}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{1}{n}} = 0 \)
\( a_n \) dizisinin sonsuzdaki limiti sıfırdır.
Alterne seri testine göre, üç koşul da sağlandığı için verilen seri yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {(-1)^{n+1}\dfrac{1}{\sqrt{n + 5}}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {(-1)^{n+1}a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {(-1)^{n+1}\dfrac{1}{\sqrt{n + 5}}} \)
\( (a_n) = \dfrac{1}{\sqrt{n + 5}} \)
Serinin alterne seri testi koşullarını sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim.
Koşul 1: Her \( n \) için \( a_n \gt 0 \)
\( \dfrac{1}{\sqrt{n + 5}} \gt 0 \)
\( a_n \) dizisinin terimleri her \( n \ge 1 \) için pozitiftir.
Koşul 2: Her \( n \) için \( a_n \ge a_{n+1} \)
\( a_n \) dizisinin monotonluk durumunu türev testi ile kontrol edelim.
\( f : [1, \infty) \to \mathbb{R} \)
\( f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x + 5}} \)
\( f'(x) = -\dfrac{1}{2\sqrt{(x + 5)^3}} \lt 0 \)
\( a_n \) dizisi \( n \ge 1 \) için azalandır.
Koşul 3: \( \lim\limits_{n \to \infty} {a_n} = 0 \)
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{1}{\sqrt{n + 5}}} = 0 \)
\( a_n \) dizisinin sonsuzdaki limiti sıfırdır.
Alterne seri testine göre, üç koşul da sağlandığı için verilen seri yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {(-1)^{n}\dfrac{1}{\sqrt{n}}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {(-1)^{n}a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {(-1)^{n}\dfrac{1}{\sqrt{n}}} \)
\( (a_n) = \dfrac{1}{\sqrt{n}} \)
Serinin alterne seri testi koşullarını sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim.
Koşul 1: Her \( n \) için \( a_n \gt 0 \)
\( \dfrac{1}{\sqrt{n}} \gt 0 \)
\( a_n \) dizisinin terimleri her \( n \ge 1 \) için pozitiftir.
Koşul 2: Her \( n \) için \( a_n \ge a_{n+1} \)
\( a_n \) dizisinin monotonluk durumunu türev testi ile kontrol edelim.
\( f : [1, \infty) \to \mathbb{R} \)
\( f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x}} \)
\( f'(x) = -\dfrac{1}{2\sqrt{x^3}} \lt 0 \)
\( a_n \) dizisi \( n \ge 1 \) için azalandır.
Koşul 3: \( \lim\limits_{n \to \infty} {a_n} = 0 \)
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{1}{\sqrt{n}}} = 0 \)
\( a_n \) dizisinin sonsuzdaki limiti sıfırdır.
Alterne seri testine göre, üç koşul da sağlandığı için verilen seri yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {(-1)^{n}\dfrac{1}{n\ 5^n}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {(-1)^{n}a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {(-1)^{n}\dfrac{1}{n\ 5^n}} \)
\( (a_n) = \dfrac{1}{n\ 5^n} \)
Serinin alterne seri testi koşullarını sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim.
Koşul 1: Her \( n \) için \( a_n \gt 0 \)
\( \dfrac{1}{n\ 5^n} \gt 0 \)
\( a_n \) dizisinin terimleri her \( n \ge 1 \) için pozitiftir.
Koşul 2: Her \( n \) için \( a_n \ge a_{n+1} \)
\( a_n \) dizisinin monotonluk durumunu oran testi ile kontrol edelim.
\( \dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \dfrac{\frac{1}{(n + 1)\ 5^{n+1}}}{\frac{1}{n\ 5^n}} \)
\( = \dfrac{n}{5(n + 1)} \lt 1 \)
\( a_n \) dizisi \( n \ge 1 \) için azalandır.
Koşul 3: \( \lim\limits_{n \to \infty} {a_n} = 0 \)
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{1}{n\ 5^n}} = 0 \)
\( a_n \) dizisinin sonsuzdaki limiti sıfırdır.
Alterne seri testine göre, üç koşul da sağlandığı için verilen seri yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 3}^{\infty} {(-1)^{n}\dfrac{1 - 2n}{2n - n^2}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
\( \displaystyle\sum_{n = 3}^{\infty} {(-1)^{n}a_n} = \displaystyle\sum_{n = 3}^{\infty} {(-1)^{n}\dfrac{1 - 2n}{2n - n^2}} \)
\( (a_n) = \dfrac{1 - 2n}{2n - n^2} \)
Serinin alterne seri testi koşullarını sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim.
Koşul 1: Her \( n \) için \( a_n \gt 0 \)
\( \dfrac{1 - 2n}{2n - n^2} = \dfrac{1 - 2n}{n(2 - n)} \gt 0 \)
\( 1 - 2n \) ve \( 2 - n \) ifadeleri her \( n \ge 3 \) için negatiftir, dolayısıyla \( a_n \) dizisinin terimleri her \( n \ge 3 \) için pozitiftir.
Koşul 2: Her \( n \) için \( a_n \ge a_{n+1} \)
\( a_n \) dizisinin monotonluk durumunu türev testi ile kontrol edelim.
\( f : [3, \infty) \to \mathbb{R} \)
\( f(x) = \dfrac{1 - 2x}{2x - x^2} = \dfrac{1 - 2x}{x(2 - x)} \)
\( f'(x) = \dfrac{-2(x^2 - x + 1)}{x^2(2 - x)^2} \)
\( x^2 - x + 1 \) ifadesinin deltası negatiftir, dolayısıyla bu ifade her \( x \) için pozitiftir.
\( f'(x) = \dfrac{-2(x^2 - x + 1)}{x^2(2 - x)^2} \lt 0 \)
\( a_n \) dizisi \( n \ge 3 \) için azalandır.
Koşul 3: \( \lim\limits_{n \to \infty} {a_n} = 0 \)
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{1 - 2n}{2n - n^2}} \)
Bu rasyonel fonksiyonda paydanın derecesi payınkinden büyük olduğu için paydanın büyüme hızı daha büyüktür, dolayısıyla ifadenin limiti sıfırdır.
\( = 0 \)
\( a_n \) dizisinin sonsuzdaki limiti sıfırdır.
Alterne seri testine göre, üç koşul da sağlandığı için verilen seri yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 3}^{\infty} {(-1)^{n+1}\dfrac{1}{n^3 + 8n + 12}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {(-1)^{n+1}a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {(-1)^{n+1}\dfrac{1}{n^3 + 8n + 12}} \)
\( (a_n) = \dfrac{1}{n^3 + 8n + 12} \)
Serinin alterne seri testi koşullarını sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim.
Koşul 1: Her \( n \) için \( a_n \gt 0 \)
\( \dfrac{1}{n^3 + 8n + 12} \gt 0 \)
\( a_n \) dizisinin terimleri her \( n \ge 3 \) için pozitiftir.
Koşul 2: Her \( n \) için \( a_n \ge a_{n+1} \)
\( a_n = \dfrac{1}{n^3 + 8n + 12} \)
\( a_{n+1} = \dfrac{1}{(n + 1)^3 + 8(n + 1) + 12} \)
\( = \dfrac{1}{n^3 + 3n^2 + 3n + 1 + 8n + 8 + 12} \)
\( = \dfrac{1}{n^3 + 3n^2 + 11n + 21} \)
Payları eşit iki ifadeden paydası büyük olan daha küçüktür (\( n^3 + 8n + 12 \lt n^3 + 3n^2 + 11n + 21 \)).
\( a_n \gt a_{n+1} \)
\( a_n \) dizisi \( n \ge 3 \) için azalandır.
Koşul 3: \( \lim\limits_{n \to \infty} {a_n} = 0 \)
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{1}{n^3 + 8n + 12}} \)
Bu rasyonel fonksiyonda paydanın derecesi payınkinden büyük olduğu için paydanın büyüme hızı daha büyüktür, dolayısıyla ifadenin limiti sıfırdır.
\( = 0 \)
\( a_n \) dizisinin sonsuzdaki limiti sıfırdır.
Alterne seri testine göre, üç koşul da sağlandığı için verilen seri yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {(-1)^{n}\dfrac{1}{7^n + 6^n}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {(-1)^{n}a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {(-1)^{n}\dfrac{1}{7^n + 6^n}} \)
\( (a_n) = \dfrac{1}{7^n + 6^n} \)
Serinin alterne seri testi koşullarını sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim.
Koşul 1: Her \( n \) için \( a_n \gt 0 \)
\( \dfrac{1}{7^n + 6^n} \gt 0 \)
\( a_n \) dizisinin terimleri her \( n \ge 1 \) için pozitiftir.
Koşul 2: Her \( n \) için \( a_n \ge a_{n+1} \)
\( a_n = \dfrac{1}{7^n + 6^n} \)
\( a_{n+1} = \dfrac{1}{7^{n+1} + 6^{n+1}} \)
Payları eşit iki ifadeden paydası büyük olan daha küçüktür (\( 7^n + 6^n \lt 7^{n+1} + 6^{n+1} \)).
\( a_n \gt a_{n+1} \)
\( a_n \) dizisi \( n \ge 1 \) için azalandır.
Koşul 3: \( \lim\limits_{n \to \infty} {a_n} = 0 \)
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{1}{7^n + 6^n}} = 0 \)
\( a_n \) dizisinin sonsuzdaki limiti sıfırdır.
Alterne seri testine göre, üç koşul da sağlandığı için verilen seri yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} \left( -\dfrac{1}{3} \right)^n \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
1. yöntem:
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {(-1)^{n}a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {(-1)^{n}\dfrac{1}{3^n}} \)
\( (a_n) = \dfrac{1}{3^n} \)
Serinin alterne seri testi koşullarını sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim.
Koşul 1: Her \( n \) için \( a_n \gt 0 \)
\( \dfrac{1}{3^n} \gt 0 \)
\( a_n \) dizisinin terimleri her \( n \ge 1 \) için pozitiftir.
Koşul 2: Her \( n \) için \( a_n \ge a_{n+1} \)
\( a_n = \dfrac{1}{3^n} \)
\( a_{n+1} = \dfrac{1}{3 \cdot 3^n} \)
\( a_n \gt a_{n+1} \)
\( a_n \) dizisi \( n \ge 1 \) için azalandır.
Koşul 3: \( \lim\limits_{n \to \infty} {a_n} = 0 \)
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{1}{3^n}} = 0 \)
\( a_n \) dizisinin sonsuzdaki limiti sıfırdır.
Alterne seri testine göre, üç koşul da sağlandığı için verilen seri yakınsaktır.
2. yöntem:
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} \left( -\dfrac{1}{3} \right)^n \)
Verilen seri \( r = -\frac{1}{3} \) olan bir geometrik seridir ve \( \abs{r} \lt 1 \) olduğu için yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {(-1)^{n+1}\dfrac{n}{2^n}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {(-1)^{n+1}a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {(-1)^{n}\dfrac{n}{2^n}} \)
\( (a_n) = \dfrac{n}{2^n} \)
Serinin alterne seri testi koşullarını sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim.
Koşul 1: Her \( n \) için \( a_n \gt 0 \)
\( \dfrac{n}{2^n} \gt 0 \)
\( a_n \) dizisinin terimleri her \( n \ge 1 \) için pozitiftir.
Koşul 2: Her \( n \) için \( a_n \ge a_{n+1} \)
\( a_n \) dizisinin monotonluk durumunu türev testi ile kontrol edelim.
\( f : [1, \infty) \to \mathbb{R} \)
\( f(x) = \dfrac{x}{2^x} \)
\( f'(x) = \dfrac{1 - x\ln{x}}{2^x} \)
\( f \) fonksiyonunun \( [2, \infty) \) aralığında birinci türevi negatif olduğu için fonksiyon bu aralıkta monoton azalandır.
\( a_n \) dizisi \( n \ge 2 \) için azalandır.
Koşul 3: \( \lim\limits_{n \to \infty} {a_n} = 0 \)
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{n}{2^n}} \)
Elde ettiğimiz limit ifadesinde \( \frac{\infty}{\infty} \) belirsizliği vardır. Dolayısıyla L'Hospital kuralını uygulayabiliriz.
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{1}{\ln{2} \cdot 2^{n}}} \)
\( 2^{n} \) ifadesinin büyüme hızı \( n \) ifadesinin büyüme hızından büyüktür.
\( = 0 \)
\( a_n \) dizisinin sonsuzdaki limiti sıfırdır.
Alterne seri testine göre, üç koşul da sağlandığı için verilen seri yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {(-1)^{n}\dfrac{\sqrt{n}}{n + 2}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {(-1)^{n}a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {(-1)^{n}\dfrac{\sqrt{n}}{n + 2}} \)
\( (a_n) = \dfrac{\sqrt{n}}{n + 2} \)
Serinin alterne seri testi koşullarını sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim.
Koşul 1: Her \( n \) için \( a_n \gt 0 \)
\( \dfrac{\sqrt{n}}{n + 2} \gt 0 \)
\( a_n \) dizisinin terimleri her \( n \ge 1 \) için pozitiftir.
Koşul 2: Her \( n \) için \( a_n \ge a_{n+1} \)
\( a_n \) dizisinin monotonluk durumunu türev testi ile kontrol edelim.
\( f : [1, \infty) \to \mathbb{R} \)
\( f(x) = \dfrac{\sqrt{x}}{x + 2} \)
\( f'(x) = \dfrac{2 - x}{2\sqrt{x}(x + 2)^2} \lt 0 \)
\( f \) fonksiyonunun \( [3, \infty) \) aralığında birinci türevi negatif olduğu için fonksiyon bu aralıkta monoton azalandır.
\( a_n \) dizisi \( n \ge 3 \) için azalandır.
Koşul 3: \( \lim\limits_{n \to \infty} {a_n} = 0 \)
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{\sqrt{n}}{n + 2}} \)
Bu limit ifadesinde \( \frac{\infty}{\infty} \) belirsizliği vardır. Dolayısıyla L'Hospital kuralını uygulayabiliriz.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{1}{2\sqrt{n}}} = 0 \)
\( a_n \) dizisinin sonsuzdaki limiti sıfırdır.
Üç koşul da sağlandığı için \( \displaystyle\sum_{n = 3}^{\infty} {a_n} \) serisi yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {(-1)^{n}\dfrac{\sqrt{n}}{n + 2}} = -\dfrac{1}{3} + \dfrac{\sqrt{2}}{4} + \underbrace{\displaystyle\sum_{n = 3}^{\infty} {(-1)^{n}\dfrac{\sqrt{n}}{n + 2}}}_\text{yakınsak} \)
Bir seriye sonlu sayıda terim eklenmesi ya da çıkarılması serinin yakınsaklığını ya da ıraksaklığını değiştirmez.
Buna göre \( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} \) serisi de yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {(-1)^{n+1}\dfrac{1}{n!}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {(-1)^{n+1}a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {(-1)^{n+1}\dfrac{1}{n!}} \)
\( (a_n) = \dfrac{1}{n!} \)
Serinin alterne seri testi koşullarını sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim.
Koşul 1: Her \( n \) için \( a_n \gt 0 \)
\( \dfrac{1}{n!} \gt 0 \)
\( a_n \) dizisinin terimleri her \( n \ge 1 \) için pozitiftir.
Koşul 2: Her \( n \) için \( a_n \ge a_{n+1} \)
\( a_n \) dizisinin monotonluk durumunu oran testi ile kontrol edelim.
\( \dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \dfrac{\frac{1}{(n + 1)!}}{\frac{1}{n!}} \)
\( = \dfrac{1}{n + 1} \le 1 \)
\( a_n \) dizisi \( n \ge 1 \) için azalandır.
Koşul 3: \( \lim\limits_{n \to \infty} {a_n} = 0 \)
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{1}{n!}} = 0 \)
\( a_n \) dizisinin sonsuzdaki limiti sıfırdır.
Alterne seri testine göre, üç koşul da sağlandığı için verilen seri yakınsaktır.