Mutlak ve Koşullu Yakınsaklık

Verilen serinin yakınsaklığını mutlak değeri olan seri üzerinden inceleyelim.

$$ serisi $$ olan bir geometrik seridir ve $$ olduğu için yakınsaktır.

Mutlak yakınsaklık testine göre, verilen serinin mutlak değeri olan $$ serisi yakınsak olduğu için $$ serisi de yakınsak olur.

Serinin mutlak değeri yakınsak olduğu için $$ serisi aynı zamanda mutlak yakınsaktır.

Verilen serinin yakınsaklığını mutlak değeri olan seri üzerinden inceleyelim.

$$ serisinin yakınsak olduğunu oran testi sayfasında bir soru üzerinde göstermiştik.

Mutlak yakınsaklık testine göre, verilen serinin mutlak değeri olan $$ serisi yakınsak olduğu için $$ serisi de yakınsak olur.

Serinin mutlak değeri yakınsak olduğu için $$ serisi aynı zamanda mutlak yakınsaktır.

Verilen serinin yakınsaklığını mutlak değeri olan seri üzerinden inceleyelim.

$$ serisinin yakınsak olduğunu oran testi sayfasında bir soru üzerinde göstermiştik.

Mutlak yakınsaklık testine göre, verilen serinin mutlak değeri olan $$ serisi yakınsak olduğu için $$ serisi de yakınsak olur.

Serinin mutlak değeri yakınsak olduğu için $$ serisi aynı zamanda mutlak yakınsaktır.

Adım 1: Serinin yakınsaklık/ıraksaklık durumu

$$ serisinin yakınsak olduğunu alterne seri testi sayfasında bir soru üzerinde göstermiştik.

Adım 2: Serinin mutlak değerinin yakınsaklık/ıraksaklık durumu

$$ serisi $$ olan bir $$-serisidir ve $$ olduğu için ıraksaktır.

Sonuç olarak, serinin kendisi yakınsak, mutlak değeri ıraksak olduğu için $$ serisi koşullu yakınsaktır.

Aşağıdaki iki dizi birbirine eşittir.

Adım 1: Serinin yakınsaklık/ıraksaklık durumu

$$ serisinin yakınsak olduğunu alterne seri testi sayfasında bir örnek üzerinde göstermiştik.

Adım 2: Serinin mutlak değerinin yakınsaklık/ıraksaklık durumu

$$ serisi bir harmonik seridir ve ıraksaktır.

Sonuç olarak, serinin kendisi yakınsak, mutlak değeri ıraksak olduğu için $$ serisi koşullu yakınsaktır.

Verilen serinin yakınsaklığını mutlak değeri olan seri üzerinden inceleyelim.

Bu seri ile aşağıdaki seri arasında direkt karşılaştırma testi uygulayalım.

İki serinin de terimleri her $$ için pozitiftir.

Payları eşit iki ifadeden paydası büyük olan daha küçüktür ($$).

$$ serisi $$ olan bir $$-serisidir ve $$ olduğu için yakınsaktır.

$$ serisi yakınsak ve her $$ için $$ olduğu için $$ serisi de yakınsaktır.

Mutlak yakınsaklık testine göre, verilen serinin mutlak değeri olan $$ serisi yakınsak olduğu için $$ serisi de yakınsak olur.

Serinin mutlak değeri yakınsak olduğu için $$ serisi aynı zamanda mutlak yakınsaktır.

Adım 1: Serinin yakınsaklık/ıraksaklık durumu

Verilen serinin yakınsak olup olmadığını alterne seri testi ile inceleyelim.

Serinin alterne seri testi koşullarını sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim.

Koşul 1: Her $$ için $$

$$ dizisinin terimleri her $$ için pozitiftir.

Koşul 2: Her $$ için $$

$$ dizisinin monotonluk durumunu türev testi ile kontrol edelim.

$$ fonksiyonunun $$ aralığında birinci türevi negatif olduğu için fonksiyon bu aralıkta monoton azalandır.

$$ dizisi $$ için azalandır.

Koşul 3: $$

Bu rasyonel fonksiyonda paydanın derecesi payınkinden büyük olduğu için paydanın büyüme hızı daha büyüktür, dolayısıyla ifadenin limiti sıfırdır.

$$ dizisinin sonsuzdaki limiti sıfırdır.

Alterne seri testine göre, üç koşul da sağlandığı için verilen seri yakınsaktır.

Adım 2: Serinin mutlak değerinin yakınsaklık/ıraksaklık durumu

$$ serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu integral testini kullanarak inceleyelim.

Tam sayı $$ değerlerinde $$ dizisi ile aynı değerlere sahip olan bir $$ fonksiyonu tanımlayalım.

$$ olmak üzere,

$$ fonksiyonunun integral testi koşullarını sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim.

Koşul 1: Sürekli fonksiyon

$$ fonksiyonunu $$ aralığında tanımsız yapan bir $$ değeri olmadığı için fonksiyon bu aralıkta süreklidir.

Koşul 2: Pozitif değerli fonksiyon

$$ fonksiyonu $$ aralığında pozitiftir.

Koşul 3: Azalan fonksiyon

$$ fonksiyonunun $$ aralığında monoton azalan olduğunu yukarıda birinci adımda göstermiştik.

$$ fonksiyonu $$ aralığında sürekli, pozitif değerli ve azalan olduğu için integral testini kullanabiliriz.

$$ serisinin yakınsaklığı/ıraksaklığını göstermek için $$ integralinin yakınsaklığını/ıraksaklığını inceleyelim.

İntegralin üst sınırı pozitif sonsuz olduğu için I. tipte genelleştirilmiş integral formülünü kullanalım.

İfadenin integralini alalım.

$$ iken $$ olur.

Genelleştirilmiş integral ifadesi bir reel sayı olarak tanımlı olmadığı için ıraksaktır.

İntegral testine göre, bu integral ifadesi ıraksak olduğu için verilen seri de ıraksaktır.

Sonuç olarak, serinin kendisi yakınsak, mutlak değeri ıraksak olduğu için $$ serisi koşullu yakınsaktır.

Adım 1: Serinin yakınsaklık/ıraksaklık durumu

Verilen serinin yakınsak olup olmadığını alterne seri testi ile inceleyelim.

Serinin alterne seri testi koşullarını sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim.

Koşul 1: Her $$ için $$

$$ dizisinin terimleri her $$ için pozitiftir.

Koşul 2: Her $$ için $$

$$ dizisinin monotonluk durumunu türev testi ile kontrol edelim.

$$ fonksiyonunun $$ aralığında birinci türevi negatif olduğu için fonksiyon bu aralıkta monoton azalandır.

$$ dizisi $$ için azalandır.

Koşul 3: $$

$$ dizisinin sonsuzdaki limiti sıfırdır.

Alterne seri testine göre, üç koşul da sağlandığı için verilen seri yakınsaktır.

Adım 2: Serinin mutlak değerinin yakınsaklık/ıraksaklık durumu

$$ serisinin ıraksak olduğunu integral testi sayfasında bir soru üzerinde göstermiştik.

Sonuç olarak, serinin kendisi yakınsak, mutlak değeri ıraksak olduğu için $$ serisi koşullu yakınsaktır.