Sadece pozitif terimlerden oluşan serilere uygulanabilecek daha çok sayıda test bulunduğu için, bu tip serilerin yakınsak olup olmadığı daha kolay belirlenebilir. Bu yüzden negatif terim içeren bir serinin yakınsak olup olmadığına öncelikle bu serinin (sadece pozitif terimlerden oluşan) mutlak değerinin yakınsaklığı incelenerek karar verilebilir.
Mutlak yakınsaklık testine göre, bir serinin terimlerinin mutlak değerlerinden oluşan seri yakınsak ise serinin kendisi de yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum {\abs{a_n}} \) serisi yakınsak ise \( \displaystyle\sum {a_n} \) serisi yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum {\abs{a_n}} \) serisi ıraksak ise \( \displaystyle\sum {a_n} \) serisi yakınsak ya da ıraksak olabilir.
\( \sum {\abs{a_n}} \) serisinin yakınsak olduğunu kabul edelim.
Mutlak değer tanımı gereği, \( a_n \) dizisinin her terimi için aşağıdaki eşitsizliği yazabiliriz.
\( -\abs{a_n} \le a_n \le \abs{a_n} \)
Eşitsizliğin taraflarını \( \abs{a_n} \) ile toplayalım.
\( 0 \le \abs{a_n} + a_n \le 2\abs{a_n} \)
Bu şekilde terimleri sıfırdan büyük olan, dolayısıyla direkt karşılaştırma testi ile karşılaştırabileceğimiz iki seri genel terimi elde etmiş oluruz.
Bir seri yakınsak ise serinin sıfırdan farklı bir skaler ile çarpımı da yakınsaktır.
Buna göre \( \sum {\abs{a_n}} \) serisi yakınsak olduğu için \( \sum {2\abs{a_n}} \) serisi de yakınsaktır.
Direkt karşılaştırma testine göre, \( \abs{a_n} + a_n \le 2\abs{a_n} \) olduğu için \( \sum (\abs{a_n} + a_n) \) serisi de yakınsaktır.
\( a_n \) terimini aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.
\( a_n = (\abs{a_n} + a_n) - \abs{a_n} \)
Bu eşitliği \( \sum {a_n} \) serisinde yerine koyalım.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} ((\abs{a_n} + a_n) - \abs{a_n}) \)
Toplama sembolü toplama ve çıkarma işlemlerinin terimlerine dağıtılabilir.
\( = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} (\abs{a_n} + a_n) - \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\abs{a_n}} \)
\( \sum (\abs{a_n} + a_n) \) ve \( \sum {\abs{a_n}} \) serileri yakınsak olduğu için, bu serilerin farkı olan \( \sum {a_n} \) serisi de yakınsak olur.
Bu testin mantığı şu şekilde açıklanabilir: \( \sum {a_n} \) pozitif ve negatif terimlerden oluşan bir seri olsun. Bu durumda serinin pozitif ve negatif terimlerinin bir düzeyde birbirini götüreceği söylenebilir. \( \sum {\abs{a_n}} \) serisi ise sadece sıfır ve pozitif terimlerden oluşur, dolayısıyla toplamı \( \sum {a_n} \) toplamından küçük olamaz. Bunun bir sonucu olarak, \( \sum {\abs{a_n}} \) serisi yakınsak ise \( \sum {a_n} \) serisi de yakınsak olur.
Mutlak yakınsaklık testi bir serinin yakınsak olup olmadığını bulmak için kullanılır, ıraksak olup olmadığını göstermek için farklı bir test kullanılmalıdır.
Negatif terim içeren bir serinin yakınsak olup olmadığını göstermek için öncelikle mutlak yakınsaklık testi kullanılmalıdır. Eğer mutlak değer serisi ıraksak çıkıyorsa alterne seri testi denenmelidir.
Mutlak yakınsaklık testi ile yakınsak olduğu gösterilebilen, yani kendisi ile birlikte mutlak değeri de yakınsak olan serilere mutlak yakınsak seri denir. Bir \( \sum {a_n} \) serisi mutlak yakınsak ise aynı zamanda yakınsaktır.
\( \sum {\abs{a_n}} \) serisi yakınsak ise \( \sum {a_n} \) serisi mutlak yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{(-1)^{n-1}}{n^2}} \) serisinin yakınsak ve mutlak yakınsak olup olmadığını inceleyelim.
Verilen serinin yakınsaklığını mutlak değeri olan seri üzerinden inceleyelim.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\abs{\dfrac{(-1)^{n-1}}{n^2}}} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{1}{n^2}} \)
\( \sum {\frac{1}{n^2}} \) serisi \( p = 2 \gt 1 \) olan bir \( p \)-serisi olduğu için yakınsaktır.
Mutlak yakınsaklık testine göre, verilen serinin mutlak değeri olan \( \sum {\frac{1}{n^2}} \) serisi yakınsak olduğu için \( \sum {\frac{(-1)^{n-1}}{n^2}} \) serisi de yakınsak olur.
Serinin mutlak değeri yakınsak olduğu için \( \sum {\frac{(-1)^{n-1}}{n^2}} \) serisi aynı zamanda mutlak yakınsaktır.
Mutlak yakınsak olmayan yakınsak serilere koşullu yakınsak seri denir. Bu tanıma göre bir koşullu yakınsak seri yakınsaktır, ancak mutlak değeri olan seri yakınsak değildir.
\( \sum {a_n} \) serisi yakınsak ve \( \sum {\abs{a_n}} \) serisi ıraksak ise \( \sum {a_n} \) serisi koşullu yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{(-1)^{n-1}}{n}} \) serisinin yakınsak olup olmadığını, yakınsak ise mutlak yakınsak mı koşullu yakınsak mı olduğunu inceleyelim.
\( \sum {\frac{(-1)^{n-1}}{n}} \) serisinin yakınsak olduğunu önceki bölümde alterne seri testi ile göstermiştik.
Verilen serinin mutlak değerinin yakınsaklığını inceleyelim.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\abs{\dfrac{(-1)^{n-1}}{n}}} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{1}{n}} \)
\( \sum {\frac{1}{n}} \) serisi bir harmonik seridir ve ıraksaktır.
Serinin kendisi yakınsak, mutlak değeri ıraksak olduğu için \( \sum {\frac{(-1)^{n-1}}{n}} \) serisi koşullu yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{\cos(n\pi)}{n\sqrt[3]{n}}} \) serisinin yakınsak olup olmadığını, yakınsak ise mutlak yakınsak mı koşullu yakınsak mı olduğunu inceleyelim.
Verilen serinin yakınsaklığını mutlak değeri olan seri üzerinden inceleyelim.
Aşağıdaki iki dizi birbirine eşittir.
\( (\cos(n\pi)) = ((-1)^n) \)
\( = (-1, 1, -1, 1, \ldots) \)
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\abs{\dfrac{\cos(n\pi)}{n\sqrt[3]{n}}}} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{1}{n\sqrt[3]{n}}} \)
\( = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{1}{n^{\frac{4}{3}}}} \)
\( \sum {\frac{1}{n^{\frac{4}{3}}}} \) serisi \( p = \frac{4}{3} \gt 1 \) olan bir \( p \)-serisi olduğu için yakınsaktır.
Mutlak yakınsaklık testine göre, verilen serinin mutlak değerine eşit olan \( \sum {\frac{1}{n\sqrt[3]{n}}} \) serisi yakınsak olduğu için \( \sum {\frac{\cos(n\pi)}{n\sqrt[3]{n}}} \) serisi de yakınsak olur.
Serinin mutlak değeri yakınsak olduğu için \( \sum {\frac{\cos(n\pi)}{n\sqrt[3]{n}}} \) serisi aynı zamanda mutlak yakınsaktır.