Mutlak ve Koşullu Yakınsaklık
Sadece pozitif terimlerden oluşan serilere uygulanabilecek daha çok sayıda test bulunduğu için, bu tip serilerin yakınsak olup olmadığı daha kolay belirlenebilir. Bu yüzden negatif terim içeren bir serinin yakınsak olup olmadığına öncelikle bu serinin (sadece pozitif terimlerden oluşan) mutlak değerinin yakınsaklığı incelenerek karar verilebilir.
Mutlak yakınsaklık testine göre, bir serinin terimlerinin mutlak değerlerinden oluşan seri yakınsak ise serinin kendisi de yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum {\abs{a_n}} \) serisi yakınsak ise \( \displaystyle\sum {a_n} \) serisi yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum {\abs{a_n}} \) serisi ıraksak ise \( \displaystyle\sum {a_n} \) serisi yakınsak ya da ıraksak olabilir.
İSPATI GÖSTER
\( \sum {\abs{a_n}} \) serisinin yakınsak olduğunu kabul edelim.
Mutlak değer tanımı gereği, \( a_n \) dizisinin her terimi için aşağıdaki eşitsizliği yazabiliriz.
\( -\abs{a_n} \le a_n \le \abs{a_n} \)
Eşitsizliğin taraflarını \( \abs{a_n} \) ile toplayalım.
\( 0 \le \abs{a_n} + a_n \le 2\abs{a_n} \)
Bu şekilde terimleri sıfırdan büyük olan, dolayısıyla direkt karşılaştırma testi ile karşılaştırabileceğimiz iki seri genel terimi elde etmiş oluruz.
Bir seri yakınsak ise serinin sıfırdan farklı bir skaler ile çarpımı da yakınsaktır.
Buna göre \( \sum {\abs{a_n}} \) serisi yakınsak olduğu için \( \sum {2\abs{a_n}} \) serisi de yakınsaktır.
Direkt karşılaştırma testine göre, \( \abs{a_n} + a_n \le 2\abs{a_n} \) olduğu için \( \sum (\abs{a_n} + a_n) \) serisi de yakınsaktır.
\( a_n \) terimini aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.
\( a_n = (\abs{a_n} + a_n) - \abs{a_n} \)
Bu eşitliği \( \sum {a_n} \) serisinde yerine koyalım.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} ((\abs{a_n} + a_n) - \abs{a_n}) \)
Toplama sembolü toplama ve çıkarma işlemlerinin terimlerine dağıtılabilir.
\( = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} (\abs{a_n} + a_n) - \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\abs{a_n}} \)
\( \sum (\abs{a_n} + a_n) \) ve \( \sum {\abs{a_n}} \) serileri yakınsak olduğu için, bu serilerin farkı olan \( \sum {a_n} \) serisi de yakınsak olur.
Bu testin mantığı şu şekilde açıklanabilir: \( \sum {a_n} \) pozitif ve negatif terimlerden oluşan bir seri olsun. Bu durumda serinin pozitif ve negatif terimlerinin bir düzeyde birbirini götüreceği söylenebilir. \( \sum {\abs{a_n}} \) serisi ise sadece sıfır ve pozitif terimlerden oluşur, dolayısıyla toplamı \( \sum {a_n} \) toplamından küçük olamaz. Bunun bir sonucu olarak, \( \sum {\abs{a_n}} \) serisi yakınsak ise \( \sum {a_n} \) serisi de yakınsak olur.
Mutlak yakınsaklık testi bir serinin yakınsak olup olmadığını bulmak için kullanılır, ıraksak olup olmadığını göstermek için farklı bir test kullanılmalıdır.
Negatif terim içeren bir serinin yakınsak olup olmadığını göstermek için öncelikle mutlak yakınsaklık testi kullanılmalıdır. Eğer mutlak değer serisi ıraksak çıkıyorsa alterne seri testi denenmelidir.
Mutlak Yakınsak Seri
Mutlak yakınsaklık testi ile yakınsak olduğu gösterilebilen, yani kendisi ile birlikte mutlak değeri de yakınsak olan serilere mutlak yakınsak seri denir. Bir \( \sum {a_n} \) serisi mutlak yakınsak ise aynı zamanda yakınsaktır.
\( \sum {\abs{a_n}} \) serisi yakınsak ise \( \sum {a_n} \) serisi mutlak yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{(-1)^{n-1}}{n^2}} \) serisinin yakınsak ve mutlak yakınsak olup olmadığını inceleyelim.
Verilen serinin yakınsaklığını mutlak değeri olan seri üzerinden inceleyelim.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\abs{\dfrac{(-1)^{n-1}}{n^2}}} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{1}{n^2}} \)
\( \sum {\frac{1}{n^2}} \) serisi \( p = 2 \gt 1 \) olan bir \( p \)-serisi olduğu için yakınsaktır.
Mutlak yakınsaklık testine göre, verilen serinin mutlak değeri olan \( \sum {\frac{1}{n^2}} \) serisi yakınsak olduğu için \( \sum {\frac{(-1)^{n-1}}{n^2}} \) serisi de yakınsak olur.
Serinin mutlak değeri yakınsak olduğu için \( \sum {\frac{(-1)^{n-1}}{n^2}} \) serisi aynı zamanda mutlak yakınsaktır.
Koşullu Yakınsak Seri
Mutlak yakınsak olmayan yakınsak serilere koşullu yakınsak seri denir. Bu tanıma göre bir koşullu yakınsak seri yakınsaktır, ancak mutlak değeri olan seri yakınsak değildir.
\( \sum {a_n} \) serisi yakınsak ve \( \sum {\abs{a_n}} \) serisi ıraksak ise \( \sum {a_n} \) serisi koşullu yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{(-1)^{n-1}}{n}} \) serisinin yakınsak olup olmadığını, yakınsak ise mutlak yakınsak mı koşullu yakınsak mı olduğunu inceleyelim.
\( \sum {\frac{(-1)^{n-1}}{n}} \) serisinin yakınsak olduğunu önceki bölümde alterne seri testi ile göstermiştik.
Verilen serinin mutlak değerinin yakınsaklığını inceleyelim.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\abs{\dfrac{(-1)^{n-1}}{n}}} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{1}{n}} \)
\( \sum {\frac{1}{n}} \) serisi bir harmonik seridir ve ıraksaktır.
Serinin kendisi yakınsak, mutlak değeri ıraksak olduğu için \( \sum {\frac{(-1)^{n-1}}{n}} \) serisi koşullu yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{\cos(n\pi)}{n\sqrt[3]{n}}} \) serisinin yakınsak olup olmadığını, yakınsak ise mutlak yakınsak mı koşullu yakınsak mı olduğunu inceleyelim.
Verilen serinin yakınsaklığını mutlak değeri olan seri üzerinden inceleyelim.
Aşağıdaki iki dizi birbirine eşittir.
\( (\cos(n\pi)) = ((-1)^n) \)
\( = (-1, 1, -1, 1, \ldots) \)
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\abs{\dfrac{\cos(n\pi)}{n\sqrt[3]{n}}}} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{1}{n\sqrt[3]{n}}} \)
\( = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{1}{n^{\frac{4}{3}}}} \)
\( \sum {\frac{1}{n^{\frac{4}{3}}}} \) serisi \( p = \frac{4}{3} \gt 1 \) olan bir \( p \)-serisi olduğu için yakınsaktır.
Mutlak yakınsaklık testine göre, verilen serinin mutlak değerine eşit olan \( \sum {\frac{1}{n\sqrt[3]{n}}} \) serisi yakınsak olduğu için \( \sum {\frac{\cos(n\pi)}{n\sqrt[3]{n}}} \) serisi de yakınsak olur.
Serinin mutlak değeri yakınsak olduğu için \( \sum {\frac{\cos(n\pi)}{n\sqrt[3]{n}}} \) serisi aynı zamanda mutlak yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1} {\left( -\dfrac{1}{2} \right)^n} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz, yakınsak ise mutlak yakınsak mı koşullu yakınsak mı olduğunu belirleyiniz.
Çözümü GösterVerilen serinin yakınsaklığını mutlak değeri olan seri üzerinden inceleyelim.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\abs{\left( -\dfrac{1}{2} \right)^n}} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\left( \dfrac{1}{2} \right)^n} \)
\( \sum {(\frac{1}{2})^n} \) serisi \( r = \frac{1}{2} \) olan bir geometrik seridir ve \( \abs{r} \lt 1 \) olduğu için yakınsaktır.
Mutlak yakınsaklık testine göre, verilen serinin mutlak değeri olan \( \sum {(\frac{1}{2})^n} \) serisi yakınsak olduğu için \( \sum {(-\frac{1}{2})^n} \) serisi de yakınsak olur.
Serinin mutlak değeri yakınsak olduğu için \( \sum {(-\frac{1}{2})^n} \) serisi aynı zamanda mutlak yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1} {(-1)^n\dfrac{5^n}{n!}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz, yakınsak ise mutlak yakınsak mı koşullu yakınsak mı olduğunu belirleyiniz.
Çözümü GösterVerilen serinin yakınsaklığını mutlak değeri olan seri üzerinden inceleyelim.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\abs{(-1)^n\dfrac{5^n}{n!}}} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{5^n}{n!}} \)
\( \sum {\frac{5^n}{n!}} \) serisinin yakınsak olduğunu oran testi sayfasında bir soru üzerinde göstermiştik.
Mutlak yakınsaklık testine göre, verilen serinin mutlak değeri olan \( \sum {\frac{5^n}{n!}} \) serisi yakınsak olduğu için \( \sum {(-1)^n\frac{5^n}{n!}} \) serisi de yakınsak olur.
Serinin mutlak değeri yakınsak olduğu için \( \sum {(-1)^n\frac{5^n}{n!}} \) serisi aynı zamanda mutlak yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1} {(-1)^n\dfrac{n^4}{4^n}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz, yakınsak ise mutlak yakınsak mı koşullu yakınsak mı olduğunu belirleyiniz.
Çözümü GösterVerilen serinin yakınsaklığını mutlak değeri olan seri üzerinden inceleyelim.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\abs{(-1)^n\dfrac{n^4}{4^n}}} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{n^4}{4^n}} \)
\( \sum {\frac{n^4}{4^n}} \) serisinin yakınsak olduğunu oran testi sayfasında bir soru üzerinde göstermiştik.
Mutlak yakınsaklık testine göre, verilen serinin mutlak değeri olan \( \sum {\frac{n^4}{4^n}} \) serisi yakınsak olduğu için \( \sum {(-1)^n\frac{n^4}{4^n}} \) serisi de yakınsak olur.
Serinin mutlak değeri yakınsak olduğu için \( \sum {(-1)^n\frac{n^4}{4^n}} \) serisi aynı zamanda mutlak yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {(-1)^n\dfrac{1}{\sqrt{n}}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz, yakınsak ise mutlak yakınsak mı koşullu yakınsak mı olduğunu belirleyiniz.
Çözümü GösterAdım 1: Serinin yakınsaklık/ıraksaklık durumu
\( \sum {(-1)^n\frac{1}{\sqrt{n}}} \) serisinin yakınsak olduğunu alterne seri testi sayfasında bir soru üzerinde göstermiştik.
Adım 2: Serinin mutlak değerinin yakınsaklık/ıraksaklık durumu
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\abs{(-1)^n\dfrac{1}{\sqrt{n}}}} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{1}{\sqrt{n}}} \)
\( = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{1}{n^{\frac{1}{2}}}} \)
\( \sum {\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}} \) serisi \( p = \frac{1}{2} \) olan bir \( p \)-serisidir ve \( p \le 1 \) olduğu için ıraksaktır.
Sonuç olarak, serinin kendisi yakınsak, mutlak değeri ıraksak olduğu için \( \sum {(-1)^n\frac{1}{\sqrt{n}}} \) serisi koşullu yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{\sin((2n + 1)\frac{\pi}{2})}{n}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz, yakınsak ise mutlak yakınsak mı koşullu yakınsak mı olduğunu belirleyiniz.
Çözümü GösterAşağıdaki iki dizi birbirine eşittir.
\( \sin((2n + 1)\frac{\pi}{2}) = (-1)^n \)
\( = (-1, 1, -1, 1, \ldots) \)
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{\sin((2n + 1)\frac{\pi}{2})}{n}} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {(-1)^n\dfrac{1}{n}} \)
Adım 1: Serinin yakınsaklık/ıraksaklık durumu
\( \sum {(-1)^n\frac{1}{n}} \) serisinin yakınsak olduğunu alterne seri testi sayfasında bir örnek üzerinde göstermiştik.
Adım 2: Serinin mutlak değerinin yakınsaklık/ıraksaklık durumu
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\abs{(-1)^n\dfrac{1}{n}}} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{1}{n}} \)
\( \sum {\frac{1}{n}} \) serisi bir harmonik seridir ve ıraksaktır.
Sonuç olarak, serinin kendisi yakınsak, mutlak değeri ıraksak olduğu için \( \sum {(-1)^n\frac{1}{n}} \) serisi koşullu yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {(-1)^{n + 1}\dfrac{n}{n^4 + 5}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz, yakınsak ise mutlak yakınsak mı koşullu yakınsak mı olduğunu belirleyiniz.
Çözümü GösterVerilen serinin yakınsaklığını mutlak değeri olan seri üzerinden inceleyelim.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\abs{(-1)^{n + 1}\dfrac{n}{n^4 + 5}}} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{n}{n^4 + 5}} \)
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{n}{n^4 + 5}} \)
Bu seri ile aşağıdaki seri arasında direkt karşılaştırma testi uygulayalım.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {b_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{1}{n^3}} \)
İki serinin de terimleri her \( n \ge 1 \) için pozitiftir.
Payları eşit iki ifadeden paydası büyük olan daha küçüktür (\( n^4 + 5 \gt n^4 \)).
\( a_n = \dfrac{n}{n^4 + 5} \lt \dfrac{n}{n^4} \)
\( = \dfrac{1}{n^3} = b_n \)
\( \sum {b_n} \) serisi \( p = 3 \) olan bir \( p \)-serisidir ve \( p \gt 1 \) olduğu için yakınsaktır.
\( \sum {b_n} \) serisi yakınsak ve her \( n \ge 1 \) için \( a_n \lt b_n \) olduğu için \( \sum {a_n} \) serisi de yakınsaktır.
Mutlak yakınsaklık testine göre, verilen serinin mutlak değeri olan \( \sum {\frac{n}{n^4 + 5}} \) serisi yakınsak olduğu için \( \sum {(-1)^{n+1}\frac{n}{n^4 + 5}} \) serisi de yakınsak olur.
Serinin mutlak değeri yakınsak olduğu için \( \sum {(-1)^{n+1}\frac{n}{n^4 + 5}} \) serisi aynı zamanda mutlak yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty} {(-1)^{n+1}\dfrac{n}{1 + n^2}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz, yakınsak ise mutlak yakınsak mı koşullu yakınsak mı olduğunu belirleyiniz.
Çözümü GösterAdım 1: Serinin yakınsaklık/ıraksaklık durumu
Verilen serinin yakınsak olup olmadığını alterne seri testi ile inceleyelim.
\( \displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty} {(-1)^{n+1}a_n} = \displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty} {(-1)^{n+1}\dfrac{n}{1 + n^2}} \)
\( (a_n) = \dfrac{n}{1 + n^2} \)
Serinin alterne seri testi koşullarını sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim.
Koşul 1: Her \( n \) için \( a_n \gt 0 \)
\( \dfrac{n}{1 + n^2} \gt 0 \)
\( a_n \) dizisinin terimleri her \( n \ge 2 \) için pozitiftir.
Koşul 2: Her \( n \) için \( a_n \ge a_{n+1} \)
\( a_n \) dizisinin monotonluk durumunu türev testi ile kontrol edelim.
\( f : [2, \infty) \to \mathbb{R} \)
\( f(x) = \dfrac{x}{1 + x^2} \)
\( f'(x) = \dfrac{-x^2 + 1}{(1 + x^2)^2} \lt 0 \)
\( f \) fonksiyonunun \( [2, \infty) \) aralığında birinci türevi negatif olduğu için fonksiyon bu aralıkta monoton azalandır.
\( a_n \) dizisi \( n \ge 2 \) için azalandır.
Koşul 3: \( \lim\limits_{n \to \infty} {a_n} = 0 \)
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{n}{1 + n^2}} \)
Bu rasyonel fonksiyonda paydanın derecesi payınkinden büyük olduğu için paydanın büyüme hızı daha büyüktür, dolayısıyla ifadenin limiti sıfırdır.
\( = 0 \)
\( a_n \) dizisinin sonsuzdaki limiti sıfırdır.
Alterne seri testine göre, üç koşul da sağlandığı için verilen seri yakınsaktır.
Adım 2: Serinin mutlak değerinin yakınsaklık/ıraksaklık durumu
\( \displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty} {\abs{(-1)^{n+1}\dfrac{n}{1 + n^2}}} = \displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty} {\dfrac{n}{1 + n^2}} \)
\( \sum {\frac{n}{1 + n^2}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu integral testini kullanarak inceleyelim.
\( \displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty} {\dfrac{n}{1 + n^2}} \)
Tam sayı \( x = n \) değerlerinde \( a_n \) dizisi ile aynı değerlere sahip olan bir \( f(x) \) fonksiyonu tanımlayalım.
\( f: [2, \infty) \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = \dfrac{x}{1 + x^2} \)
\( f \) fonksiyonunun integral testi koşullarını sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim.
Koşul 1: Sürekli fonksiyon
\( f \) fonksiyonunu \( [2, \infty) \) aralığında tanımsız yapan bir \( x \) değeri olmadığı için fonksiyon bu aralıkta süreklidir.
Koşul 2: Pozitif değerli fonksiyon
\( f \) fonksiyonu \( [2, \infty) \) aralığında pozitiftir.
Koşul 3: Azalan fonksiyon
\( f \) fonksiyonunun \( [2, \infty) \) aralığında monoton azalan olduğunu yukarıda birinci adımda göstermiştik.
\( f \) fonksiyonu \( [2, \infty) \) aralığında sürekli, pozitif değerli ve azalan olduğu için integral testini kullanabiliriz.
\( \sum {a_n} \) serisinin yakınsaklığı/ıraksaklığını göstermek için \( \int {f(x)\ dx} \) integralinin yakınsaklığını/ıraksaklığını inceleyelim.
İntegralin üst sınırı pozitif sonsuz olduğu için I. tipte genelleştirilmiş integral formülünü kullanalım.
\( \displaystyle\int_{2}^{\infty} {\dfrac{x}{1 + x^2}\ dx} = \lim\limits_{t \to \infty} {\displaystyle\int_{2}^{t} {\dfrac{x}{1 + x^2}\ dx}} \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \lim\limits_{t \to \infty} {\dfrac{1}{2}\ln(1 + x^2)|_{2}^{t}} \)
\( = \lim\limits_{t \to \infty} \left( \dfrac{\ln(1 + t^2)}{2} - \dfrac{\ln{2}}{2} \right) \)
\( = \dfrac{1}{2}\lim\limits_{t \to \infty} {\ln(1 + t^2)} - \dfrac{\ln{2}}{2} \)
\( t \to \infty \) iken \( \ln(1 + t^2) \to \infty \) olur.
\( = \infty - \dfrac{\ln{2}}{2} = \infty \)
Genelleştirilmiş integral ifadesi bir reel sayı olarak tanımlı olmadığı için ıraksaktır.
İntegral testine göre, bu integral ifadesi ıraksak olduğu için verilen seri de ıraksaktır.
Sonuç olarak, serinin kendisi yakınsak, mutlak değeri ıraksak olduğu için \( \sum {(-1)^{n-1}\frac{n}{1 + n^2}} \) serisi koşullu yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 2} {(-1)^n\dfrac{1}{n\ln{n}}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz, yakınsak ise mutlak yakınsak mı koşullu yakınsak mı olduğunu belirleyiniz.
Çözümü GösterAdım 1: Serinin yakınsaklık/ıraksaklık durumu
Verilen serinin yakınsak olup olmadığını alterne seri testi ile inceleyelim.
\( \displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty} {(-1)^{n+1}a_n} = \displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty} {(-1)^{n+1}\dfrac{1}{n\ln{n}}} \)
\( (a_n) = \dfrac{1}{n\ln{n}} \)
Serinin alterne seri testi koşullarını sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim.
Koşul 1: Her \( n \) için \( a_n \gt 0 \)
\( \dfrac{1}{n\ln{n}} \gt 0 \)
\( a_n \) dizisinin terimleri her \( n \ge 2 \) için pozitiftir.
Koşul 2: Her \( n \) için \( a_n \ge a_{n+1} \)
\( a_n \) dizisinin monotonluk durumunu türev testi ile kontrol edelim.
\( f : [2, \infty) \to \mathbb{R} \)
\( f(x) = \dfrac{1}{x\ln{x}} \)
\( f'(x) = \dfrac{-\ln{x} - 1}{(x\ln{x})^2} \lt 0 \)
\( f \) fonksiyonunun \( [2, \infty) \) aralığında birinci türevi negatif olduğu için fonksiyon bu aralıkta monoton azalandır.
\( a_n \) dizisi \( n \ge 2 \) için azalandır.
Koşul 3: \( \lim\limits_{n \to \infty} {a_n} = 0 \)
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{1}{n\ln{n}}} = 0 \)
\( a_n \) dizisinin sonsuzdaki limiti sıfırdır.
Alterne seri testine göre, üç koşul da sağlandığı için verilen seri yakınsaktır.
Adım 2: Serinin mutlak değerinin yakınsaklık/ıraksaklık durumu
\( \displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty} {\abs{(-1)^n\dfrac{1}{n\ln{n}}}} = \displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty} {\dfrac{1}{n\ln{n}}} \)
\( \sum {\frac{1}{n\ln{n}}} \) serisinin ıraksak olduğunu integral testi sayfasında bir soru üzerinde göstermiştik.
Sonuç olarak, serinin kendisi yakınsak, mutlak değeri ıraksak olduğu için \( \sum {(-1)^n\frac{1}{n\ln{n}}} \) serisi koşullu yakınsaktır.