Belirli bir forma getirildiğinde sonsuza giden terimleri kendi aralarında sadeleşen ve geriye sonlu sayıda terimi kalan serilere teleskopik seri denir.
Teleskopik serilerin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu belirlemek için aşağıdaki yöntem kullanılır.
\( \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{20} + \ldots \)
serisinin yakınsak mı ıraksak mı olduğunu, yakınsak ise toplamını bulalım.
Serinin terimlerini oluşturan örüntüyü bulalım.
\( \dfrac{1}{1 \cdot 2} + \dfrac{1}{2 \cdot 3} + \dfrac{1}{3 \cdot 4} + \dfrac{1}{4 \cdot 5} + \ldots \)
Serinin \( n \). kısmi toplam formülünü yazalım.
\( s_n = \displaystyle\sum_{k = 1}^{n} {\dfrac{1}{k(k + 1)}} \)
Basit kesirlere ayırma yöntemi ile ifadeyi iki kesrin farkı şeklinde yazalım.
\( = \displaystyle\sum_{k = 1}^{n} \left( \dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k + 1} \right) \)
\( = \left( \dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{2} \right) + \left( \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} \right) \) \( + \left( \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4} \right) \) \( + \left( \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{5} \right) \) \( + \ldots + \left(\dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n + 1} \right) \)
Her parantez içindeki ikinci terim bir sonraki parantez içindeki birinci terimle sadeleşir. Bu sadeleştirme işleminde "/" bir terimin kendisinden sonraki bir terimle sadeleştiğini, "\" bir terimin kendisinden önceki bir terimle sadeleştiğini göstermektedir.
\( = \left( \dfrac{1}{1} - \cancel{\dfrac{1}{2}} \right) + \left( \bcancel{\dfrac{1}{2}} - \cancel{\dfrac{1}{3}} \right) + \left( \bcancel{\dfrac{1}{3}} - \cancel{\dfrac{1}{4}} \right) \) \( + \left( \bcancel{\dfrac{1}{4}} - \cancel{\dfrac{1}{5}} \right) \) \( + \ldots + \left( \bcancel{\dfrac{1}{n}} - \dfrac{1}{n + 1} \right) \)
\( = \dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{n + 1} \)
Serinin toplamını bulmak için \( n \). kısmi toplamının \( n \) sonsuza giderken limitini bulalım.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {s_n} = \lim\limits_{n \to \infty} \left( 1 - \dfrac{1}{n + 1} \right) \)
\( n \to \infty \) iken \( \frac{1}{n + 1} \to 0 \) olur.
\( = 1 - 0 = 1 \)
Buna göre verilen seri yakınsaktır ve toplamı 1'e eşittir.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{2}{n^2 + 2n}} \)
serisinin yakınsak mı ıraksak mı olduğunu, yakınsak ise toplamını bulalım.
Serinin \( n \). kısmi toplam formülünü yazalım.
\( s_n = \displaystyle\sum_{k = 1}^{n} {\dfrac{2}{k^2 + 2k}} \)
Basit kesirlere ayırma yöntemi ile ifadeyi iki kesrin farkı şeklinde yazalım.
\( = \displaystyle\sum_{k = 1}^{n} {\dfrac{2}{k(k + 2)}} \)
\( = \displaystyle\sum_{k = 1}^{n} \left( \dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k + 2} \right) \)
\( = \left( \dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{3} \right) + \left( \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4} \right) \) \( + \left( \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{5} \right) \) \( + \left( \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{6} \right) \) \( + \ldots + \left( \dfrac{1}{n - 1} - \dfrac{1}{n + 1} \right) \) \( + \left( \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n + 2} \right) \)
Her parantez içindeki ikinci terim iki sonraki parantez içindeki birinci terimle sadeleşir.
\( = \left( \dfrac{1}{1} - \cancel{\dfrac{1}{3}} \right) + \left( \dfrac{1}{2} - \cancel{\dfrac{1}{4}} \right) \) \( + \left( \bcancel{\dfrac{1}{3}} - \cancel{\dfrac{1}{5}} \right) \) \( + \left( \bcancel{\dfrac{1}{4}} - \cancel{\dfrac{1}{6}} \right) \) \( + \ldots + \left( \bcancel{\dfrac{1}{n - 1}} - \dfrac{1}{n + 1} \right) \) \( + \left( \bcancel{\dfrac{1}{n}} - \dfrac{1}{n + 2} \right) \)
\( = \dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{n + 1} - \dfrac{1}{n + 2} \)
\( = \dfrac{3}{2} - \dfrac{2n + 3}{n^2 + 3n + 2} \)
Serinin toplamını bulmak için \( n \). kısmi toplamının \( n \) sonsuza giderken limitini bulalım.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {s_n} = \lim\limits_{n \to \infty} \left( \dfrac{3}{2} - \dfrac{2n + 3}{n^2 + 3n + 2} \right) \)
\( n \to \infty \) iken \( \frac{2n + 3}{n^2 + 3n + 2} \to 0 \) olur.
\( = \dfrac{3}{2} - 0 = \dfrac{3}{2} \)
Buna göre verilen seri yakınsaktır ve toplamı \( \frac{3}{2} \)'ye eşittir.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} \left( \dfrac{1}{3^{\frac{1}{n}}} - \dfrac{1}{3^{\frac{1}{n + 1}}} \right) \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz, seri yakınsak ise toplamını bulunuz.
Serinin \( n \). kısmi toplam formülünü yazalım.
\( s_n = \displaystyle\sum_{k = 1}^{n} \left( \dfrac{1}{3^{\frac{1}{k}}} - \dfrac{1}{3^{\frac{1}{k + 1}}} \right) \)
\( = \left( \dfrac{1}{3^{\frac{1}{1}}} - \dfrac{1}{3^{\frac{1}{2}}} \right) + \left( \dfrac{1}{3^{\frac{1}{2}}} - \dfrac{1}{3^{\frac{1}{3}}} \right) \) \( + \left( \dfrac{1}{3^{\frac{1}{3}}} - \dfrac{1}{3^{\frac{1}{4}}} \right) \) \( + \left( \dfrac{1}{3^{\frac{1}{4}}} - \dfrac{1}{3^{\frac{1}{5}}} \right) \) \( + \ldots + \left( \dfrac{1}{3^{\frac{1}{n - 1}}} - \dfrac{1}{3^{\frac{1}{n}}} \right) \) \( + \left( \dfrac{1}{3^{\frac{1}{n}}} - \dfrac{1}{3^{\frac{1}{n + 1}}} \right) \)
Her parantez içindeki ikinci terim, bir sonraki parantez içindeki birinci terimle sadeleşir.
\( = \left( \dfrac{1}{3^{\frac{1}{1}}} - \cancel{\dfrac{1}{3^{\frac{1}{2}}}} \right) + \left( \bcancel{\dfrac{1}{3^{\frac{1}{2}}}} - \cancel{\dfrac{1}{3^{\frac{1}{3}}}} \right) \) \( + \left( \bcancel{\dfrac{1}{3^{\frac{1}{3}}}} - \cancel{\dfrac{1}{3^{\frac{1}{4}}}} \right) \) \( + \left( \bcancel{\dfrac{1}{3^{\frac{1}{4}}}} - \cancel{\dfrac{1}{3^{\frac{1}{5}}}} \right) \) \( + \ldots + \left( \bcancel{\dfrac{1}{3^{\frac{1}{n - 1}}}} - \cancel{\dfrac{1}{3^{\frac{1}{n}}}} \right) \) \( + \left( \bcancel{\dfrac{1}{3^{\frac{1}{n}}}} - \dfrac{1}{3^{\frac{1}{n + 1}}} \right) \)
\( = \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{3^{\frac{1}{n + 1}}} \)
Serinin toplamını bulmak için \( n \). kısmi toplamının \( n \) sonsuza giderken limitini bulalım.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {s_n} = \lim\limits_{n \to \infty} \left( \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{3^{\frac{1}{n + 1}}} \right) \)
\( = \dfrac{1}{3} - \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{1}{3^{\frac{1}{n + 1}}}} \)
\( = \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{\lim\limits_{n \to \infty} {3^{\frac{1}{n + 1}}}} \)
\( = \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{3^{\lim\limits_{n \to \infty} {\frac{1}{n + 1}}}} \)
\( n \to \infty \) iken \( \frac{1}{n + 1} \to 0 \) olur.
\( = \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{3^{0}} \)
\( = \dfrac{1}{3} - 1 = -\dfrac{2}{3} \)
Buna göre verilen seri yakınsaktır ve toplamı \( -\frac{2}{3} \)'e eşittir.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\ln{\sqrt{\dfrac{n + 1}{n}}}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz, seri yakınsak ise toplamını bulunuz.
Serinin \( n \). kısmi toplam formülünü yazalım.
\( s_n = \displaystyle\sum_{k = 1}^{n} {\ln{\sqrt{\dfrac{k + 1}{k}}}} \)
Doğal logaritmanın özelliklerini kullanarak ifadeyi iki doğal logaritmanın farkı şeklinde yazalım.
\( = \displaystyle\sum_{k = 1}^{n} {\ln{\dfrac{\sqrt{k + 1}}{\sqrt{k}}}} \)
\( = \displaystyle\sum_{k = 1}^{n} (\ln{\sqrt{k + 1}} - \ln{\sqrt{k}}) \)
\( = (\ln{\sqrt{2}} - \ln{\sqrt{1}}) + (\ln{\sqrt{3}} - \ln{\sqrt{2}}) \) \( + (\ln{\sqrt{4}} - \ln{\sqrt{3}}) \) \( + (\ln{\sqrt{5}} - \ln{\sqrt{4}}) \) \( + \ldots + (\ln{\sqrt{n}} - \ln{\sqrt{n - 1}}) \) \( + (\ln{\sqrt{n + 1}} - \ln{\sqrt{n}}) \)
Her parantez içindeki birinci terim, bir sonraki parantez içindeki ikinci terimle sadeleşir.
\( = (\cancel{\ln{\sqrt{2}}} - \ln{\sqrt{1}}) + (\cancel{\ln{\sqrt{3}}} - \bcancel{\ln{\sqrt{2}})} \) \( + (\cancel{\ln{\sqrt{4}}} - \bcancel{\ln{\sqrt{3}}}) \) \( + (\cancel{\ln{\sqrt{5}}} - \bcancel{\ln{\sqrt{4}}}) \) \( + \ldots + (\cancel{\ln{\sqrt{n}}} - \bcancel{\ln{\sqrt{n - 1}}}) \) \( + (\ln{\sqrt{n + 1}} - \bcancel{\ln{\sqrt{n}}}) \)
\( = -\ln{\sqrt{1}} + \ln{\sqrt{n + 1}} \)
\( = \ln{\sqrt{n + 1}} \)
Serinin toplamını bulmak için \( n \). kısmi toplamının \( n \) sonsuza giderken limitini bulalım.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {s_n} = \lim\limits_{n \to \infty} {\ln{\sqrt{n + 1}}} \)
\( n \to \infty \) iken \( \ln{\sqrt{n + 1}} \to \infty \) olur.
\( = \infty \)
Buna göre verilen seri ıraksaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 0}^{\infty} \left( \dfrac{5}{(n + 1)^2} - \dfrac{5}{(n + 2)^2} \right) \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz, seri yakınsak ise toplamını bulunuz.
Serinin \( n \). kısmi toplam formülünü yazalım.
\( s_n = \displaystyle\sum_{k = 0}^{n} \left( \dfrac{5}{(k + 1)^2} - \dfrac{5}{(k + 2)^2} \right) \)
\( = \left( \dfrac{5}{1^2} - \dfrac{5}{2^2} \right) + \left( \dfrac{5}{2^2} - \dfrac{5}{3^2} \right) \) \( + \left( \dfrac{5}{3^2} - \dfrac{5}{4^2} \right) \) \( + \left( \dfrac{5}{4^2} - \dfrac{5}{5^2} \right) \) \( + \ldots + \left( \dfrac{5}{n^2} - \dfrac{5}{(n + 1)^2} \right) \) \( + \left( \dfrac{5}{(n + 1)^2} - \dfrac{5}{(n + 2)^2} \right) \)
Her parantez içindeki ikinci terim, bir sonraki parantez içindeki birinci terimle sadeleşir.
\( = \left( \dfrac{5}{1^2} - \cancel{\dfrac{5}{2^2}} \right) + \left( \bcancel{\dfrac{5}{2^2}} - \cancel{\dfrac{5}{3^2}} \right) \) \( + \left( \bcancel{\dfrac{5}{3^2}} - \cancel{\dfrac{5}{4^2}} \right) \) \( + \left( \bcancel{\dfrac{5}{4^2}} - \cancel{\dfrac{5}{5^2}} \right) \) \( + \ldots + \left( \bcancel{\dfrac{5}{n^2}} - \cancel{\dfrac{5}{(n + 1)^2}} \right) \) \( + \left( \bcancel{\dfrac{5}{(n + 1)^2}} - \dfrac{5}{(n + 2)^2} \right) \)
\( = \dfrac{5}{1^2} - \dfrac{5}{(n + 2)^2} \)
Serinin toplamını bulmak için \( n \). kısmi toplamının \( n \) sonsuza giderken limitini bulalım.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {s_n} = \lim\limits_{n \to \infty} \left( 5 - \dfrac{5}{(n + 2)^2} \right) \)
\( = 5 - \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{5}{(n + 2)^2}} \)
\( n \to \infty \) iken \( \frac{5}{(n + 2)^2} \to 0 \) olur.
\( = 5 - 0 = 5 \)
Buna göre verilen seri yakınsaktır ve toplamı \( 5 \)'e eşittir.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} (\tan{n} - \tan(n - 1)) \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz, seri yakınsak ise toplamını bulunuz.
Serinin \( n \). kısmi toplam formülünü yazalım.
\( s_n = \displaystyle\sum_{k = 1}^{n} (\tan{k} - \tan(k - 1)) \)
\( = (\tan{1} - \tan{0}) + (\tan{2} - \tan{1}) \) \( + (\tan{3} - \tan{2}) \) \( + (\tan{4} - \tan{3}) \) \( + \ldots + (\tan(n - 1) - \tan(n - 2)) \) \( + (\tan{n} - \tan(n - 1)) \)
Her parantez içindeki birinci terim, bir sonraki parantez içindeki ikinci terimle sadeleşir.
\( = (\cancel{\tan{1}} - \tan{0}) + (\cancel{\tan{2}} - \bcancel{\tan{1}}) \) \( + (\cancel{\tan{3}} - \bcancel{\tan{2}}) \) \( + (\cancel{\tan{4}} - \bcancel{\tan{3}}) \) \( + \ldots + (\cancel{\tan(n - 1)} - \bcancel{\tan(n - 2)}) \) \( + (\tan{n} - \bcancel{\tan(n - 1)}) \)
\( = -\tan{0} + \tan{n} \)
\( = \tan{n} \)
Serinin toplamını bulmak için \( n \). kısmi toplamının \( n \) sonsuza giderken limitini bulalım.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {s_n} = \lim\limits_{n \to \infty} {\tan{n}} \)
\( n \to \infty \) iken \( \tan{n} \) tek bir değere yaklaşmaz, periyodik bir şekilde \( (-\infty, \infty) \) aralığında salınım hareketi yapar, dolayısıyla sonsuzdaki limiti tanımlı değildir.
Buna göre verilen seri ıraksaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{6}{(3n - 2)(3n + 4)}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz, seri yakınsak ise toplamını bulunuz.
Serinin \( n \). kısmi toplam formülünü yazalım.
\( s_n = \displaystyle\sum_{k = 1}^{n} {\dfrac{6}{(3k - 2)(3k + 4)}} \)
Basit kesirlere ayırma yöntemi ile ifadeyi iki kesrin farkı şeklinde yazalım.
\( = \displaystyle\sum_{k = 1}^{n} \left( \dfrac{1}{3k - 2} - \dfrac{1}{3k + 4} \right) \)
\( = \left( \dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{7} \right) + \left( \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{10} \right) \) \( + \left( \dfrac{1}{7} - \dfrac{1}{13} \right) \) \( + \left( \dfrac{1}{10} - \dfrac{1}{16} \right) \) \( + \ldots + \left( \dfrac{1}{3n - 8} - \dfrac{1}{3n - 2} \right) \) \( + \left( \dfrac{1}{3n - 5} - \dfrac{1}{3n + 1} \right) \) \( + \left( \dfrac{1}{3n - 2} - \dfrac{1}{3n + 4} \right) \)
Her parantez içindeki ikinci terim, iki sonraki parantez içindeki birinci terimle sadeleşir.
\( = \left( \dfrac{1}{1} - \cancel{\dfrac{1}{7}} \right) + \left( \dfrac{1}{4} - \cancel{\dfrac{1}{10}} \right) \) \( + \left( \bcancel{\dfrac{1}{7}} - \cancel{\dfrac{1}{13}} \right) \) \( + \left( \bcancel{\dfrac{1}{10}} - \cancel{\dfrac{1}{16}} \right) \) \( + \ldots + \left( \bcancel{\dfrac{1}{3n - 8}} - \cancel{\dfrac{1}{3n - 2}} \right) \) \( + \left( \bcancel{\dfrac{1}{3n - 5}} - \dfrac{1}{3n + 1} \right) \) \( + \left( \bcancel{\dfrac{1}{3n - 2}} - \dfrac{1}{3n + 4} \right) \)
\( = \dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{3n + 1} - \dfrac{1}{3n + 4} \)
Serinin toplamını bulmak için \( n \). kısmi toplamının \( n \) sonsuza giderken limitini bulalım.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {s_n} = \lim\limits_{n \to \infty} \left( 1 + \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{3n + 1} - \dfrac{1}{3n + 4} \right) \)
\( = \dfrac{5}{4} - \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{1}{3n + 1}} - \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{1}{3n + 4}} \)
\( n \to \infty \) iken \( \frac{1}{3n + 1} \to 0 \) ve \( \frac{1}{3n + 4} \to 0 \) olur.
\( = \dfrac{5}{4} - 0 - 0 = \dfrac{5}{4} \)
Buna göre verilen seri yakınsaktır ve toplamı \( \frac{5}{4} \)'e eşittir.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} (\sqrt{n + 7} - \sqrt{n + 6}) \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz, seri yakınsak ise toplamını bulunuz.
Serinin \( n \). kısmi toplam formülünü yazalım.
\( s_n = \displaystyle\sum_{k = 1}^{n} (\sqrt{k + 7} - \sqrt{k + 6}) \)
\( = (\sqrt{8} - \sqrt{7}) + (\sqrt{9} - \sqrt{8}) \) \( + (\sqrt{10} - \sqrt{9}) \) \( + (\sqrt{11} - \sqrt{10}) \) \( + \ldots + (\sqrt{n + 6} - \sqrt{n + 5}) \) \( + (\sqrt{n + 7} - \sqrt{n + 6}) \)
Her parantez içindeki birinci terim, bir sonraki parantez içindeki ikinci terimle sadeleşir.
\( = (\cancel{\sqrt{8}} - \sqrt{7}) + (\cancel{\sqrt{9}} - \bcancel{\sqrt{8}}) \) \( + (\cancel{\sqrt{10}} - \bcancel{\sqrt{9}}) \) \( + (\cancel{\sqrt{11}} - \bcancel{\sqrt{10}}) \) \( + \ldots + (\cancel{\sqrt{n + 6}} - \bcancel{\sqrt{n + 5}}) \) \( + (\sqrt{n + 7} - \bcancel{\sqrt{n + 6}}) \)
\( = -\sqrt{7} + \sqrt{n + 7} \)
Serinin toplamını bulmak için \( n \). kısmi toplamının \( n \) sonsuza giderken limitini bulalım.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {s_n} = \lim\limits_{n \to \infty} (-\sqrt{7} + \sqrt{n + 7}) \)
\( = -\sqrt{7} + \lim\limits_{n \to \infty} {\sqrt{n + 7}} \)
\( n \to \infty \) iken \( \sqrt{n + 7} \to \infty \) olur.
\( = -\sqrt{7} + \infty = \infty \)
Buna göre verilen seri ıraksaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{56n}{(2n - 1)^2(2n + 1)^2}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz, seri yakınsak ise toplamını bulunuz.
Serinin \( n \). kısmi toplam formülünü yazalım.
\( s_n = \displaystyle\sum_{k = 1}^{n} {\dfrac{56k}{(2k - 1)^2(2k + 1)^2}} \)
Basit kesirlere ayırma yöntemi ile ifadeyi iki kesrin farkı şeklinde yazalım.
\( = \displaystyle\sum_{k = 1}^{n} \left( \dfrac{7}{(2k - 1)^2} - \dfrac{7}{(2k + 1)^2} \right) \)
\( = \left( \dfrac{7}{1^2} - \dfrac{7}{3^2} \right) + \left( \dfrac{7}{3^2} - \dfrac{7}{5^2} \right) \) \( + \left( \dfrac{7}{5^2} - \dfrac{7}{7^2} \right) \) \( + \left( \dfrac{7}{7^2} - \dfrac{7}{9^2} \right) \) \( + \ldots + \left( \dfrac{7}{(2n - 3)^2} - \dfrac{7}{(2n - 1)^2} \right) \) \( + \left( \dfrac{7}{(2n - 1)^2} - \dfrac{7}{(2n + 1)^2} \right) \)
Her parantez içindeki ikinci terim, bir sonraki parantez içindeki birinci terimle sadeleşir.
\( = \left( \dfrac{7}{1^2} - \cancel{\dfrac{7}{3^2}} \right) + \left( \bcancel{\dfrac{7}{3^2}} - \cancel{\dfrac{7}{5^2}} \right) \) \( + \left( \bcancel{\dfrac{7}{5^2}} - \cancel{\dfrac{7}{7^2}} \right) \) \( + \left( \bcancel{\dfrac{7}{7^2}} - \cancel{\dfrac{7}{9^2}} \right) \) \( + \ldots + \left( \bcancel{\dfrac{7}{(2n - 3)^2}} - \cancel{\dfrac{7}{(2n - 1)^2}} \right) \) \( + \left( \bcancel{\dfrac{7}{(2n - 1)^2}} - \dfrac{7}{(2n + 1)^2} \right) \)
\( = \dfrac{7}{1^2} - \dfrac{7}{(2n + 1)^2} \)
Serinin toplamını bulmak için \( n \). kısmi toplamının \( n \) sonsuza giderken limitini bulalım.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {s_n} = \lim\limits_{n \to \infty} \left( 7 - \dfrac{7}{(2n + 1)^2} \right) \)
\( = 7 - \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{7}{(2n + 1)^2}} \)
\( n \to \infty \) iken \( \frac{7}{(2n + 1)^2} \to 0 \) olur.
\( = 7 - 0 = 7 \)
Buna göre verilen seri yakınsaktır ve toplamı \( 7 \)'ye eşittir.
\( \displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty} {\dfrac{1 - 4n}{n^2(n - 1)^2}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz, seri yakınsak ise toplamını bulunuz.
Serinin \( n \). kısmi toplam formülünü yazalım.
\( s_n = \displaystyle\sum_{k = 2}^{n} {\dfrac{1 - 4k}{k^2(k - 1)^2}} \)
Basit kesirlere ayırma yöntemi ile ifadeyi iki kesrin farkı şeklinde yazalım.
\( = \displaystyle\sum_{k = 2}^{n} \left( \dfrac{2}{k^2} - \dfrac{2}{(k - 1)^2} \right) \)
\( = \left( \dfrac{2}{2^2} - \dfrac{2}{1^2} \right) + \left( \dfrac{2}{3^2} - \dfrac{2}{2^2} \right) \) \( + \left( \dfrac{2}{4^2} - \dfrac{2}{3^2} \right) \) \( + \left( \dfrac{2}{5^2} - \dfrac{2}{4^2} \right) \) \( + \ldots + \left( \dfrac{2}{(n - 1)^2} - \dfrac{2}{(n - 2)^2} \right) \) \( + \left( \dfrac{2}{n^2} - \dfrac{2}{(n - 1)^2} \right) \)
Her parantez içindeki birinci terim, bir sonraki parantez içindeki ikinci terimle sadeleşir.
\( = \left( \cancel{\dfrac{2}{2^2}} - \dfrac{2}{1^2} \right) + \left( \cancel{\dfrac{2}{3^2}} - \bcancel{\dfrac{2}{2^2}} \right) \) \( + \left( \cancel{\dfrac{2}{4^2}} - \bcancel{\dfrac{2}{3^2}} \right) \) \( + \left( \cancel{\dfrac{2}{5^2}} - \bcancel{\dfrac{2}{4^2}} \right) \) \( + \ldots + \left( \cancel{\dfrac{2}{(n - 1)^2}} - \bcancel{\dfrac{2}{(n - 2)^2}} \right) \) \( + \left( \dfrac{2}{n^2} - \bcancel{\dfrac{2}{(n - 1)^2}} \right) \)
\( = -\dfrac{2}{1^2} + \dfrac{2}{n^2} \)
Serinin toplamını bulmak için \( n \). kısmi toplamının \( n \) sonsuza giderken limitini bulalım.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {s_n} = \lim\limits_{n \to \infty} \left( -2 + \dfrac{2}{n^2} \right) \)
\( = -2 + \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{2}{n^2}} \)
\( n \to \infty \) iken \( \frac{2}{n^2} \to 0 \) olur.
\( = -2 + 0 = -2 \)
Buna göre verilen seri yakınsaktır ve toplamı \( -2 \)'ye eşittir.
\( \displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty} \left( \dfrac{6}{\sqrt{n - 1}} - \dfrac{6}{\sqrt{n}} \right) \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz, seri yakınsak ise toplamını bulunuz.
Serinin \( n \). kısmi toplam formülünü yazalım.
\( s_n = \displaystyle\sum_{k = 2}^{n} \left( \dfrac{6}{\sqrt{k - 1}} - \dfrac{6}{\sqrt{k}} \right) \)
\( = \left( \dfrac{6}{\sqrt{1}} - \dfrac{6}{\sqrt{2}} \right) + \left( \dfrac{6}{\sqrt{2}} - \dfrac{6}{\sqrt{3}} \right) \) \( + \left( \dfrac{6}{\sqrt{3}} - \dfrac{6}{\sqrt{4}} \right) \) \( + \left( \dfrac{6}{\sqrt{4}} - \dfrac{6}{\sqrt{5}} \right) \) \( + \ldots + \left( \dfrac{6}{\sqrt{n - 2}} - \dfrac{6}{\sqrt{n - 1}} \right) \) \( + \left( \dfrac{6}{\sqrt{n - 1}} - \dfrac{6}{\sqrt{n}} \right) \)
Her parantez içindeki ikinci terim, bir sonraki parantez içindeki birinci terimle sadeleşir.
\( = \left( \dfrac{6}{\sqrt{1}} - \cancel{\dfrac{6}{\sqrt{2}}} \right) + \left( \bcancel{\dfrac{6}{\sqrt{2}}} - \cancel{\dfrac{6}{\sqrt{3}}} \right) \) \( + \left( \bcancel{\dfrac{6}{\sqrt{3}}} - \cancel{\dfrac{6}{\sqrt{4}}} \right) \) \( + \left( \bcancel{\dfrac{6}{\sqrt{4}}} - \cancel{\dfrac{6}{\sqrt{5}}} \right) \) \( + \ldots + \left( \bcancel{\dfrac{6}{\sqrt{n - 2}}} - \cancel{\dfrac{6}{\sqrt{n - 1}}} \right) \) \( + \left( \bcancel{\dfrac{6}{\sqrt{n - 1}}} - \dfrac{6}{\sqrt{n}} \right) \)
\( = \dfrac{6}{\sqrt{1}} - \dfrac{6}{\sqrt{n}} \)
Serinin toplamını bulmak için \( n \). kısmi toplamının \( n \) sonsuza giderken limitini bulalım.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {s_n} = \lim\limits_{n \to \infty} \left( 6 - \dfrac{6}{\sqrt{n}} \right) \)
\( = 6 - \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{6}{\sqrt{n}}} \)
\( n \to \infty \) iken \( \frac{6}{\sqrt{n}} \to 0 \) olur.
\( = 6 - 0 = 6 \)
Buna göre verilen seri yakınsaktır ve toplamı \( 6 \)'ya eşittir.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{6}{n^2 + 4n + 3}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz, seri yakınsak ise toplamını bulunuz.
Serinin \( n \). kısmi toplam formülünü yazalım.
\( s_n = \displaystyle\sum_{k = 1}^{n} {\dfrac{6}{k^2 + 4k + 3}} \)
Basit kesirlere ayırma yöntemi ile ifadeyi iki kesrin farkı şeklinde yazalım.
\( = \displaystyle\sum_{k = 1}^{n} \left( \dfrac{3}{k + 1} - \dfrac{3}{k + 3} \right) \)
\( = \left( \dfrac{3}{2} - \dfrac{3}{4} \right) + \left( \dfrac{3}{3} - \dfrac{3}{5} \right) \) \( + \left( \dfrac{3}{4} - \dfrac{3}{6} \right) \) \( + \left( \dfrac{3}{5} - \dfrac{3}{7} \right) \) \( + \left( \dfrac{3}{6} - \dfrac{3}{8} \right) \) \( + \ldots + \left( \dfrac{3}{n - 1} - \dfrac{3}{n + 1} \right) \) \( + \left( \dfrac{3}{n} - \dfrac{3}{n + 2} \right) \) \( + \left( \dfrac{3}{n + 1} - \dfrac{3}{n + 3} \right) \)
Her parantez içindeki ikinci terim, iki sonraki parantez içindeki birinci terimle sadeleşir.
\( = \left( \dfrac{3}{2} - \cancel{\dfrac{3}{4}} \right) + \left( \dfrac{3}{3} - \cancel{\dfrac{3}{5}} \right) \) \( + \left( \bcancel{\dfrac{3}{4}} - \cancel{\dfrac{3}{6}} \right) \) \( + \left( \bcancel{\dfrac{3}{5}} - \cancel{\dfrac{3}{7}} \right) \) \( + \left( \bcancel{\dfrac{3}{6}} - \cancel{\dfrac{3}{8}} \right) \) \( + \ldots + \left( \bcancel{\dfrac{3}{n - 1}} - \cancel{\dfrac{3}{n + 1}} \right) \) \( + \left( \bcancel{\dfrac{3}{n}} - \dfrac{3}{n + 2} \right) \) \( + \left( \bcancel{\dfrac{3}{n + 1}} - \dfrac{3}{n + 3} \right) \)
\( = \dfrac{3}{2} + \dfrac{3}{3} - \dfrac{3}{n + 2} - \dfrac{3}{n + 3} \)
Serinin toplamını bulmak için \( n \). kısmi toplamının \( n \) sonsuza giderken limitini bulalım.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {s_n} = \lim\limits_{n \to \infty} \left( \dfrac{3}{2} + \dfrac{3}{3} - \dfrac{3}{n + 2} - \dfrac{3}{n + 3} \right) \)
\( = \dfrac{5}{2} - \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{3}{n + 2}} - \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{3}{n + 3}} \)
\( n \to \infty \) iken \( \frac{3}{n + 2} \to 0 \) ve \( \frac{3}{n + 3} \to 0 \) olur.
\( = \dfrac{5}{2} - 0 - 0 = \dfrac{5}{2} \)
Buna göre verilen seri yakınsaktır ve toplamı \( \frac{5}{2} \)'ye eşittir.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} (\cos{\frac{2\pi}{n + 1}} - \cos{\frac{2\pi}{n + 2}}) \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz, seri yakınsak ise toplamını bulunuz.
Serinin \( n \). kısmi toplam formülünü yazalım.
\( s_n = \displaystyle\sum_{k = 1}^{n} (\cos{\frac{2\pi}{k + 1}} - \cos{\frac{2\pi}{k + 2}}) \)
\( = (\cos{\frac{2\pi}{2}} - \cos{\frac{2\pi}{3}}) + (\cos{\frac{2\pi}{3}} - \cos{\frac{2\pi}{4}}) \) \( + (\cos{\frac{2\pi}{4}} - \cos{\frac{2\pi}{5}}) \) \( + (\cos{\frac{2\pi}{5}} - \cos{\frac{2\pi}{6}}) \) \( + \ldots + (\cos{\frac{2\pi}{n}} - \cos{\frac{2\pi}{n + 1}}) \) \( + (\cos{\frac{2\pi}{n + 1}} - \cos{\frac{2\pi}{n + 2}}) \)
Her parantez içindeki ikinci terim, bir sonraki parantez içindeki birinci terimle sadeleşir.
\( = (\cos{\frac{2\pi}{2}} - \cancel{\cos{\frac{2\pi}{3}}}) + (\bcancel{\cos{\frac{2\pi}{3}}} - \cancel{\cos{\frac{2\pi}{4}}}) \) \( + (\bcancel{\cos{\frac{2\pi}{4}}} - \cancel{\cos{\frac{2\pi}{5}}}) \) \( + (\bcancel{\cos{\frac{2\pi}{5}}} - \cancel{\cos{\frac{2\pi}{6}}}) \) \( + \ldots + (\bcancel{\cos{\frac{2\pi}{n}}} - \cancel{\cos{\frac{2\pi}{n + 1}}}) \) \( + (\bcancel{\cos{\frac{2\pi}{n + 1}}} - \cos{\frac{2\pi}{n + 2}}) \)
\( = \cos{\frac{2\pi}{2}} - \cos{\frac{2\pi}{n + 2}} \)
Serinin toplamını bulmak için \( n \). kısmi toplamının \( n \) sonsuza giderken limitini bulalım.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {s_n} = \lim\limits_{n \to \infty} (\cos{\pi} - \cos{\frac{2\pi}{n + 2}}) \)
\( = \cos{\pi} - \lim\limits_{n \to \infty} {\cos{\frac{2\pi}{n + 2}}} \)
\( = \cos{\pi} - \cos{\lim\limits_{n \to \infty} {\frac{2\pi}{n + 2}}} \)
\( n \to \infty \) iken \( \frac{2\pi}{n + 2} \to 0 \) olur.
\( = \cos{\pi} - \cos{0} \)
\( = -1 - 1 = -2 \)
Buna göre verilen seri yakınsaktır ve toplamı \( -2 \)'ye eşittir.
\( \displaystyle\sum_{n = 0}^{\infty} {e^{\frac{1}{n + 1}}(1 - \dfrac{1}{e^{\frac{1}{(n + 1)(n + 2)}}})} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz, seri yakınsak ise toplamını bulunuz.
Serinin \( n \). kısmi toplam formülünü yazalım.
\( s_n = \displaystyle\sum_{k = 0}^{n} {e^{\frac{1}{k + 1}}(1 - \dfrac{1}{e^{\frac{1}{(k + 1)(k + 2)}}})} \)
Basit kesirlere ayırma yöntemi ile üsteki ifadeyi iki kesrin farkı şeklinde yazalım.
\( = \displaystyle\sum_{k = 0}^{n} {e^{\frac{1}{k + 1}}(1 - \dfrac{1}{e^{\frac{1}{k + 1} - \frac{1}{k + 2}}})} \)
\( = \displaystyle\sum_{k = 0}^{n} {e^{\frac{1}{k + 1}}(1 - e^{\frac{1}{k + 2} - \frac{1}{k + 1}})} \)
\( = \displaystyle\sum_{k = 0}^{n} (e^{\frac{1}{k + 1}} - e^{\frac{1}{k + 2}}) \)
\( = (e^{\frac{1}{1}} - e^{\frac{1}{2}}) + (e^{\frac{1}{2}} - e^{\frac{1}{3}}) \) \( + (e^{\frac{1}{3}} - e^{\frac{1}{4}}) \) \( + (e^{\frac{1}{4}} - e^{\frac{1}{5}}) \) \( + \ldots + (e^{\frac{1}{n}} - e^{\frac{1}{n + 1}}) \) \( + (e^{\frac{1}{n + 1}} - e^{\frac{1}{n + 2}}) \)
Her parantez içindeki ikinci terim, bir sonraki parantez içindeki birinci terimle sadeleşir.
\( = (e^{\frac{1}{1}} - \cancel{e^{\frac{1}{2}}}) + (\bcancel{e^{\frac{1}{2}}} - \cancel{e^{\frac{1}{3}}}) \) \( + (\bcancel{e^{\frac{1}{3}}} - \cancel{e^{\frac{1}{4}}}) \) \( + (\bcancel{e^{\frac{1}{4}}} - \cancel{e^{\frac{1}{5}}}) \) \( + \ldots + (\bcancel{e^{\frac{1}{n}}} - \cancel{e^{\frac{1}{n + 1}}}) \) \( + (\bcancel{e^{\frac{1}{n + 1}}} - e^{\frac{1}{n + 2}}) \)
\( = e^{\frac{1}{1}} - e^{\frac{1}{n + 2}} \)
Serinin toplamını bulmak için \( n \). kısmi toplamının \( n \) sonsuza giderken limitini bulalım.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {s_n} = \lim\limits_{n \to \infty} (e - e^{\frac{1}{n + 2}}) \)
\( = e - \lim\limits_{n \to \infty} {e^{\frac{1}{n + 2}}} \)
\( = e - e^{\lim\limits_{n \to \infty} {\frac{1}{n + 2}}} \)
\( n \to \infty \) iken \( \frac{1}{n + 2} \to 0 \) olur.
\( = e - e^0 \)
\( = e - 1 \)
Buna göre verilen seri yakınsaktır ve toplamı \( (e - 1) \)'e eşittir.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} (\sqrt{n + 1} - 2\sqrt{n} + \sqrt{n - 1}) \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz, seri yakınsak ise toplamını bulunuz.
Serinin \( n \). kısmi toplam formülünü yazalım.
\( s_n = \displaystyle\sum_{k = 1}^{n} (\sqrt{k + 1} - 2\sqrt{k} + \sqrt{k - 1}) \)
Verilen ifadeyi aşağıdaki gibi düzenleyelim.
\( = \displaystyle\sum_{k = 1}^{n} (\sqrt{k + 1} - \sqrt{k} - \sqrt{k} + \sqrt{k - 1}) \)
\( = \displaystyle\sum_{k = 1}^{n} \left( (\sqrt{k + 1} - \sqrt{k}) + (\sqrt{k - 1} - \sqrt{k}) \right) \)
\( = ( \quad \underbrace{(\sqrt{2} - \sqrt{1})}_\text{birinci parantez} + \underbrace{(\sqrt{0} - \sqrt{1})}_\text{ikinci parantez} ) + \left( (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + (\sqrt{1} - \sqrt{2}) \right) \) \( + \left( (\sqrt{4} - \sqrt{3}) + (\sqrt{2} - \sqrt{3}) \right) \) \( + \left( (\sqrt{5} - \sqrt{4}) + (\sqrt{3} - \sqrt{4}) \right) \) \( + \ldots + \left( (\sqrt{n} - \sqrt{n - 1}) + (\sqrt{n - 2} - \sqrt{n - 1}) \right) \) \( + \left( (\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}) + (\sqrt{n - 1} - \sqrt{n}) \right) \)
Her parantez içindeki birinci terim, bir sonraki parantez içindeki ikinci terimle sadeleşir.
\( = \left( \cancel{(\sqrt{2} - \sqrt{1})} + (\sqrt{0} - \sqrt{1}) \right) + \left( \cancel{(\sqrt{3} - \sqrt{2})} + \bcancel{(\sqrt{1} - \sqrt{2})} \right) \) \( + \left( \cancel{(\sqrt{4} - \sqrt{3})} + \bcancel{(\sqrt{2} - \sqrt{3})} \right) \) \( + \left( \cancel{(\sqrt{5} - \sqrt{4})} + \bcancel{(\sqrt{3} - \sqrt{4})} \right) \) \( + \ldots + \left( \cancel{(\sqrt{n} - \sqrt{n - 1})} + \bcancel{(\sqrt{n - 2} - \sqrt{n - 1})} \right) \) \( + \left( (\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}) + \bcancel{(\sqrt{n - 1} - \sqrt{n})} \right) \)
\( = \sqrt{0} - \sqrt{1} + \sqrt{n + 1} - \sqrt{n} \)
Serinin toplamını bulmak için \( n \). kısmi toplamının \( n \) sonsuza giderken limitini bulalım.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {s_n} = \lim\limits_{n \to \infty} (-1 + \sqrt{n + 1} - \sqrt{n}) \)
\( = -1 + \lim\limits_{n \to \infty} (\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}) \)
Bu limit ifadesinde \( \infty - \infty \) belirsizliği vardır.
Limit içerisindeki ifadeyi eşleniği ile çarpıp bölelim.
\( = -1 + \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{(\sqrt{n + 1} - \sqrt{n})(\sqrt{n + 1} + \sqrt{n})}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}} \)
\( = -1 + \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{(\sqrt{n + 1})^2 - (\sqrt{n})^2}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}} \)
\( = -1 + \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}} \)
\( n \to \infty \) iken \( \dfrac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} \to 0 \) olur.
\( = -1 + 0 = -1 \)
Buna göre verilen seri yakınsaktır ve toplamı \( -1 \)'e eşittir.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} \left( \cos{\dfrac{n\pi}{4}} - \cos{\dfrac{(n + 1)\pi}{4}} \right) \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz, seri yakınsak ise toplamını bulunuz.
Serinin \( n \). kısmi toplam formülünü yazalım.
\( s_n = \displaystyle\sum_{k = 1}^{n} \left( \cos{\frac{n\pi}{4}} - \cos{\frac{(n + 1)\pi}{4}} \right) \)
\( = (\cos{\frac{\pi}{4}} - \cos{\frac{2\pi}{4}}) + (\cos{\frac{2\pi}{4}} - \cos{\frac{3\pi}{4}}) \) \( + (\cos{\frac{3\pi}{4}} - \cos{\frac{4\pi}{4}}) \) \( + (\cos{\frac{4\pi}{4}} - \cos{\frac{5\pi}{4}}) \) \( + \ldots + (\cos{\frac{(n - 1)\pi}{4}} - \cos{\frac{n\pi}{4}}) \) \( + (\cos{\frac{n\pi}{4}} - \cos{\frac{(n + 1)\pi}{4}}) \)
Her parantez içindeki ikinci terim, bir sonraki parantez içindeki birinci terimle sadeleşir.
\( = (\cos{\frac{\pi}{4}} - \cancel{\cos{\frac{2\pi}{4}}}) + (\bcancel{\cos{\frac{2\pi}{4}}} - \cancel{\cos{\frac{3\pi}{4}}}) \) \( + (\bcancel{\cos{\frac{3\pi}{4}}} - \cancel{\cos{\frac{4\pi}{4}}}) \) \( + (\bcancel{\cos{\frac{4\pi}{4}}} - \cancel{\cos{\frac{5\pi}{4}}}) \) \( + \ldots + (\bcancel{\cos{\frac{(n - 1)\pi}{4}}} - \cancel{\cos{\frac{n\pi}{4}}}) \) \( + (\bcancel{\cos{\frac{n\pi}{4}}} - \cos{\frac{(n + 1)\pi}{4}}) \)
\( = \cos{\frac{\pi}{4}} - \cos{\frac{(n + 1)\pi}{4}} \)
Serinin toplamını bulmak için \( n \). kısmi toplamının \( n \) sonsuza giderken limitini bulalım.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {s_n} = \lim\limits_{n \to \infty} (\cos{\frac{\pi}{4}} - \cos{\frac{(n + 1)\pi}{4}}) \)
\( = \cos{\frac{\pi}{4}} - \lim\limits_{n \to \infty} {\cos{\frac{(n + 1)\pi}{4}}} \)
\( n \to \infty \) iken \( \cos{\frac{(n + 1)\pi}{4}} \) fonksiyonu \( \{ -1, -\frac{\sqrt{2}}{2}, 0, \frac{\sqrt{2}}{2}, 1 \} \) değerleri arasında salınım hareketi yapar ve belirli bir değere yaklaşmaz, dolayısıyla sonsuzda limiti tanımlı değildir.
Buna göre verilen seri ıraksaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} \left( \dfrac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n + 2}} - \dfrac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n + 3}} \right) \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz, seri yakınsak ise toplamını bulunuz.
Serinin \( n \). kısmi toplam formülünü yazalım.
\( s_n = \displaystyle\sum_{k = 1}^{n} \left( \dfrac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k + 2}} - \dfrac{1}{\sqrt{k + 1} + \sqrt{k + 3}} \right) \)
\( = \left( \dfrac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{3}} - \dfrac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{4}} \right) + \left( \dfrac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{4}} - \dfrac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{5}} \right) \) \( + \left( \dfrac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{5}} - \dfrac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{6}} \right) \) \( + \left( \dfrac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{6}} - \dfrac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{7}} \right) \) \( + \ldots + \left( \dfrac{1}{\sqrt{n - 1} + \sqrt{n + 1}} - \dfrac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n + 2}} \right) \) \( + \left( \dfrac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n + 2}} - \dfrac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n + 3}} \right) \)
Her parantez içindeki ikinci terim, bir sonraki parantez içindeki birinci terimle sadeleşir.
\( = \left( \dfrac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{3}} - \cancel{\dfrac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{4}}} \right) + \left( \bcancel{\dfrac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{4}}} - \cancel{\dfrac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{5}}} \right) \) \( + \left( \bcancel{\dfrac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{5}}} - \cancel{\dfrac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{6}}} \right) \) \( + \left( \bcancel{\dfrac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{6}}} - \cancel{\dfrac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{7}}} \right) \) \( + \ldots + \left( \bcancel{\dfrac{1}{\sqrt{n - 1} + \sqrt{n + 1}}} - \cancel{\dfrac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n + 2}}} \right) \) \( + \left( \bcancel{\dfrac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n + 2}}} - \dfrac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n + 3}} \right) \)
\( = \dfrac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{3}} - \dfrac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n + 3}} \)
Serinin toplamını bulmak için \( n \). kısmi toplamının \( n \) sonsuza giderken limitini bulalım.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {s_n} = \lim\limits_{n \to \infty} \left( \dfrac{1}{1 + \sqrt{3}} - \dfrac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n + 3}} \right) \)
\( = \dfrac{1}{1 + \sqrt{3}} - \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n + 3}}} \)
\( n \to \infty \) iken \( \dfrac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n + 3}} \to 0 \) olur.
\( = \dfrac{1}{1 + \sqrt{3}} - 0 = \dfrac{1}{1 + \sqrt{3}} \)
Buna göre verilen seri yakınsaktır ve toplamı \( \frac{1}{1 + \sqrt{3}} \)'e eşittir.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} \left( \dfrac{n!}{(n + 2)!} - \dfrac{(n + 1)!}{(n + 3)!} \right) \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz, seri yakınsak ise toplamını bulunuz.
Serinin \( n \). kısmi toplam formülünü yazalım.
\( s_n = \displaystyle\sum_{k = 1}^{n} \left( \dfrac{k!}{(k + 2)!} - \dfrac{(k + 1)!}{(k + 3)!} \right) \)
Verilen seride sadeleştirme yapalım.
\( = \displaystyle\sum_{k = 1}^{n} \left( \dfrac{k!}{(k + 2)(k + 1)k!} - \dfrac{(k + 1)!}{(k + 3)(k + 2)(k + 1)!} \right) \)
\( = \displaystyle\sum_{k = 1}^{n} \left( \dfrac{1}{(k + 2)(k + 1)} - \dfrac{1}{(k + 3)(k + 2)} \right) \)
\( = \left( \dfrac{1}{3 \cdot 2} - \dfrac{1}{4 \cdot 3} \right) + \left( \dfrac{1}{4 \cdot 3} - \dfrac{1}{5 \cdot 4} \right) \) \( + \left( \dfrac{1}{5 \cdot 4} - \dfrac{1}{6 \cdot 5} \right) \) \( + \left( \dfrac{1}{6 \cdot 5} - \dfrac{1}{7 \cdot 6} \right) \) \( + \ldots + \left( \dfrac{1}{(n + 1)n} - \dfrac{1}{(n + 2)(n + 1)} \right) \) \( + \left( \dfrac{1}{(n + 2)(n + 1)} - \dfrac{1}{(n + 3)(n + 2)} \right) \)
Her parantez içindeki ikinci terim, bir sonraki parantez içindeki birinci terimle sadeleşir.
\( = \left( \dfrac{1}{3 \cdot 2} - \cancel{\dfrac{1}{4 \cdot 3}} \right) + \left( \bcancel{\dfrac{1}{4 \cdot 3}} - \cancel{\dfrac{1}{5 \cdot 4}} \right) \) \( + \left( \bcancel{\dfrac{1}{5 \cdot 4}} - \cancel{\dfrac{1}{6 \cdot 5}} \right) \) \( + \left( \bcancel{\dfrac{1}{6 \cdot 5}} - \cancel{\dfrac{1}{7 \cdot 6}} \right) \) \( + \ldots + \left( \bcancel{\dfrac{1}{(n + 1)n}} - \cancel{\dfrac{1}{(n + 2)(n + 1)}} \right) \) \( + \left( \bcancel{\dfrac{1}{(n + 2)(n + 1)}} - \dfrac{1}{(n + 3)(n + 2)} \right) \)
\( = \dfrac{1}{3 \cdot 2} - \dfrac{1}{(n + 3)(n + 2)} \)
Serinin toplamını bulmak için \( n \). kısmi toplamının \( n \) sonsuza giderken limitini bulalım.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {s_n} = \lim\limits_{n \to \infty} \left( \dfrac{1}{6} - \dfrac{1}{(n + 3)(n + 2)} \right) \)
\( = \dfrac{1}{6} - \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{1}{n^2 + 5n + 6}} \)
\( n \to \infty \) iken \( \frac{1}{n^2 + 5n + 6} \to 0 \) olur.
\( = \dfrac{1}{6} - 0 = \dfrac{1}{6} \)
Buna göre verilen seri yakınsaktır ve toplamı \( \frac{1}{6} \)'ya eşittir.