Karşılaştırma Testleri
Karşılaştırma testleri, bir serinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu seriyi yakınsaklık/ıraksaklık durumu bilinen diğer bir seri ile karşılaştırarak bulmamıza imkan sağlar.
Bu amaçla kullanılabilecek iki test, direkt karşılaştırma ve limit karşılaştırma testleridir. Bu iki testte de seriler genellikle geometrik ya da \( p \)-serileri ile karşılaştırılır.
Direkt Karşılaştırma Testi
Direkt karşılaştırma testine göre, pozitif terimli iki seriden her \( n \) için terimlerinin daha büyük olduğunu gösterebildiğimiz seri yakınsak ise diğer seri de yakınsaktır. Benzer şekilde, her \( n \) için terimlerinin daha küçük olduğunu gösterebildiğimiz seri ıraksak ise diğer seri de ıraksaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} \) ve \( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {b_n} \) iki seri ve,
her \( n \) için \( a_n \ge 0, b_n \ge 0 \) olsun.
- \( \sum {b_n} \) yakınsak ve her \( n \) için \( a_n \le b_n \) ise \( \sum {a_n} \) de yakınsaktır.
- \( \sum {b_n} \) ıraksak ve her \( n \) için \( a_n \ge b_n \) ise \( \sum {a_n} \) de ıraksaktır.
İSPATI GÖSTER
İki serinin \( n \). kısmi toplamını yazalım.
\( s_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n = \displaystyle\sum_{i = 1}^{n} {a_i} \)
\( t_n = b_1 + b_2 + \ldots + b_n = \displaystyle\sum_{i = 1}^{n} {b_i} \)
İki seriye ait \( n \). kısmi toplamlar dizilerine \( (s_n) \) ve \( (t_n) \) diyelim.
\( (s_n) = (s_1, s_2, s_3, \ldots) \)
\( (t_n) = (t_1, t_2, t_3, \ldots) \)
İspat 1: \( \sum {b_n} \) yakınsak ve her \( n \) için \( a_n \le b_n \) ise \( \sum {a_n} \) de yakınsaktır.
\( 0 \le a_n \le b_n \) olduğu için her \( n \) için \( \sum {a_n} \) serisinin \( n \). kısmi toplamı \( \sum {b_n} \) serisinin \( n \). kısmi toplamından küçük ya da ona eşit olur.
\( a_1 + a_2 + \ldots + a_n \le b_1 + b_2 + \ldots + b_n \)
\( \displaystyle\sum_{i = 1}^{n} {a_i} \le \displaystyle\sum_{i = 1}^{n} {b_i} \)
\( s_n \le t_n \)
\( \sum {b_n} \) serisi yakınsak olduğu için toplamı bir reel sayıdır.
\( t \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {b_n} = t \) olsun.
\( a_n \) ve \( b_n \) dizilerinin tüm terimleri sıfır ya da pozitif olduğu için \( s_n \) ve \( t_n \) dizileri artandır.
\( n \to \infty \) iken \( t_n \to t \) olduğu için her \( n \) için \( t_n \le t \) olur.
\( s_n \le t_n \le t \)
Dolayısıyla \( t \) değeri \( s_n \) dizisinin de bir üstten sınırıdır.
Monoton yakınsaklık teoremine göre, bir dizi artan ve üstten sınırlı ise yakınsaktır.
Buna göre \( s_n \) dizisi yakınsaktır, dolayısıyla \( \sum {a_n} \) serisi yakınsaktır.
İspat 2: \( \sum {b_n} \) ıraksak ve her \( n \) için \( a_n \ge b_n \) ise \( \sum {a_n} \) de ıraksaktır.
\( 0 \le b_n \le a_n \) olduğu için her \( n \) için \( \sum {b_n} \) serisinin \( n \). kısmi toplamı \( \sum {a_n} \) serisinin \( n \). kısmi toplamından küçük ya da ona eşit olur.
\( a_1 + a_2 + \ldots + a_n \ge b_1 + b_2 + \ldots + b_n \)
\( \displaystyle\sum_{i = 1}^{n} {a_i} \ge \displaystyle\sum_{i = 1}^{n} {b_i} \)
\( s_n \ge t_n \)
\( \sum {b_n} \) serisi ıraksak olduğu için toplamı sonsuza gider.
\( n \to \infty \) iken \( t_n \to \infty \) olur.
\( s_n \ge t_n \) olduğu için \( s_n \) de sonsuza gider.
Buna göre \( s_n \) dizisi ıraksaktır, dolayısıyla \( \sum {a_n} \) serisi ıraksaktır.
Terimleri daha büyük olan seri ıraksak ise ya da terimleri daha küçük olan seri yakınsak ise bu test kullanılamaz.
Bu testi kullanabilmek için testin tanımındaki koşulların (\( a_n \ge 0, b_n \ge 0 \), \( a_n \le b_n \) ya da \( a_n \ge b_n \)) her \( n \) yerine herhangi bir \( n \ge k \) için sağlanması yeterlidir.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{3^n}{5^n + 2}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyelim.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{3^n}{5^n + 2}} \)
Bu seri ile aşağıdaki seri arasında direkt karşılaştırma testi uygulayalım.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {b_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\left( \dfrac{3}{5} \right)^n} \)
İki serinin de terimleri her \( n \ge 1 \) için pozitiftir.
Payları eşit iki ifadeden paydası büyük olan daha küçüktür (\( 5^n + 2 \gt 5^n \)).
\( a_n = \dfrac{3^n}{5^n + 2} \lt \dfrac{3^n}{5^n} \)
\( = \left( \dfrac{3}{5} \right)^n = b_n \)
\( \sum {b_n} \) serisi \( r = \frac{3}{5} \) olan bir geometrik seridir ve \( \abs{r} \lt 1 \) olduğu için yakınsaktır.
\( \sum {b_n} \) serisi yakınsak ve her \( n \) için \( a_n \le b_n \) olduğu için \( \sum {a_n} \) serisi de yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{\sqrt[4]{n^3}}{\sqrt[5]{n^4} - 3}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyelim.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{\sqrt[4]{n^3}}{\sqrt[5]{n^4} - 3}} \)
Bu seri ile aşağıdaki seri arasında direkt karşılaştırma testi uygulayalım.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {b_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{1}{n^{\frac{1}{16}}}} \)
İki serinin de terimleri her \( n \ge 4 \) için pozitiftir.
Payları eşit iki ifadeden paydası büyük olan daha küçüktür (\( \sqrt[5]{n^4} - 3 \lt \sqrt[5]{n^4} \)).
\( a_n = \dfrac{\sqrt[4]{n^3}}{\sqrt[5]{n^4} - 3} \gt \dfrac{\sqrt[4]{n^3}}{\sqrt[5]{n^4}} \)
\( = \dfrac{n^{\frac{3}{4}}}{n^{\frac{4}{5}}} \)
\( = \dfrac{1}{n^{\frac{1}{16}}} = b_n \)
\( \sum {b_n} \) serisi \( p = \frac{1}{16} \) olan bir \( p \)-serisidir ve \( p \le 1 \) olduğu için ıraksaktır.
\( \sum {b_n} \) serisi ıraksak ve her \( n \ge 4 \) için \( a_n \ge b_n \) olduğu için \( \sum {a_n} \) serisi de ıraksaktır.
Limit Karşılaştırma Testi
Limit karşılaştırma testinde pozitif terimli iki serinin oranının sonsuzdaki limitine bakılır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} \) ve \( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {b_n} \) iki seri ve,
her \( n \) için \( a_n \ge 0, b_n \ge 0 \) olsun.
- \( 0 \lt \lim\limits_{n \to \infty} {\frac{a_n}{b_n}} \lt \infty \) ise iki seri ya birlikte yakınsaktır ya da birlikte ıraksaktır.
- \( \lim\limits_{n \to \infty} {\frac{a_n}{b_n}} = 0 \) ve \( \sum {b_n} \) yakınsak ise \( \sum {a_n} \) de yakınsaktır.
- \( \lim\limits_{n \to \infty} {\frac{a_n}{b_n}} \) sonsuz ve \( \sum {b_n} \) ıraksak ise \( \sum {a_n} \) de ıraksaktır.
İSPATI GÖSTER
İspat 1: \( 0 \lt \lim\limits_{n \to \infty} {\frac{a_n}{b_n}} \lt \infty \) ise iki seri ya birlikte yakınsaktır ya da birlikte ıraksaktır.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{a_n}{b_n}} = L \) diyelim.
Limitin epsilon - delta tanımına göre, limit \( 0 \lt L \lt \infty \) olarak tanımlı olduğu için her \( \varepsilon \gt 0 \) değeri için aşağıdaki koşulu sağlayan bir \( N \gt 0 \) değeri bulunabilir.
Her \( n \gt N \) değeri için, \( \abs{\dfrac{a_n}{b_n} - L} \lt \varepsilon \)
\( \varepsilon = \frac{L}{2} \) seçelim. Buna göre aşağıdaki koşulu sağlayan bir \( N \gt 0 \) değeri bulunabilir.
Her \( n \gt N \) değeri için, \( \abs{\dfrac{a_n}{b_n} - L} \lt \dfrac{L}{2} \)
\( -\dfrac{L}{2} \lt \dfrac{a_n}{b_n} - L \lt \dfrac{L}{2} \)
\( \dfrac{L}{2} \lt \dfrac{a_n}{b_n} \lt \dfrac{3L}{2} \)
\( \dfrac{L}{2}b_n \lt a_n \lt \dfrac{3L}{2}b_n \)
\( \sum {b_n} \) serisi yakınsak ise bu serinin pozitif bir skaler ile çarpımı olan \( \sum (\frac{3L}{2}b_n) \) serisi de yakınsak olur. Direkt karşılaştırma testine göre, her \( n \gt N \) için terimleri bu seriden küçük olan \( \sum {a_n} \) serisi de yakınsak olur.
\( \sum {b_n} \) serisi ıraksak ise bu serinin pozitif bir skaler ile çarpımı olan \( \sum (\frac{L}{2}b_n) \) serisi de ıraksak olur. Direkt karşılaştırma testine göre, her \( n \gt N \) için terimleri bu seriden büyük olan \( \sum {a_n} \) serisi de ıraksak olur.
İspat 2: \( \lim\limits_{n \to \infty} {\frac{a_n}{b_n}} = 0 \) ve \( \sum {b_n} \) yakınsak ise \( \sum {a_n} \) de yakınsaktır.
Limitin epsilon - delta tanımına göre, limit sıfır olarak tanımlı olduğu için her \( \varepsilon \gt 0 \) değeri için aşağıdaki koşulu sağlayan bir \( N \gt 0 \) değeri bulunabilir.
Her \( n \gt N \) değeri için, \( \abs{\dfrac{a_n}{b_n} - 0} \lt \varepsilon \)
\( \varepsilon = 1 \) seçelim. Buna göre aşağıdaki koşulu sağlayan bir \( N \gt 0 \) değeri bulunabilir.
Her \( n \gt N \) değeri için, \( \abs{\dfrac{a_n}{b_n} - 0} \lt 1 \)
\( -1 \lt \dfrac{a_n}{b_n} \lt 1 \)
\( -b_n \lt a_n \lt b_n \)
Direkt karşılaştırma testine göre, \( \sum {b_n} \) serisi yakınsak ise her \( n \gt N \) için terimleri bu seriden küçük olan \( \sum {a_n} \) serisi de yakınsak olur.
İspat 3: \( \lim\limits_{n \to \infty} {\frac{a_n}{b_n}} \) sonsuz ve \( \sum {b_n} \) ıraksak ise \( \sum {a_n} \) de ıraksaktır.
Limitin epsilon - delta tanımına göre, limit sonsuz olduğu için her \( M \gt 0 \) değeri için aşağıdaki koşulu sağlayan bir \( N \gt 0 \) değeri bulunabilir.
Her \( n \gt N \) değeri için, \( \dfrac{a_n}{b_n} \gt M \)
\( M = 1 \) seçelim. Buna göre aşağıdaki koşulu sağlayan bir \( N \gt 0 \) değeri bulunabilir.
\( \dfrac{a_n}{b_n} \gt 1 \)
\( a_n \gt b_n \)
Direkt karşılaştırma testine göre, \( \sum {b_n} \) serisi ıraksak ise her \( n \gt N \) için terimleri bu seriden büyük olan \( \sum {a_n} \) serisi de ıraksak olur.
Bu tanımdaki üç koşul aşağıdaki şekilde yorumlanabilir.
- Limit pozitif bir reel sayı olarak tanımlı ise pay ve paydadaki seriler aynı hızda büyüyordur, dolayısıyla seriler birlikte yakınsak ya da birlikte ıraksak olur.
- Limit sıfır ise paydadaki seri daha hızlı büyüyordur, dolayısıyla paydadaki seri yakınsak ise paydaki seri de yakınsak olur.
- Limit sonsuz ise paydaki seri daha hızlı büyüyordur, dolayısıyla paydadaki seri ıraksak ise paydaki seri de ıraksak olur.
Limit sıfır ve paydadaki seri ıraksak ise ya da limit sonsuz ve paydadaki seri yakınsak ise bu test kullanılamaz.
Bu testi kullanabilmek için testin tanımındaki koşulların (\( a_n \ge 0, b_n \ge 0 \)) her \( n \) yerine herhangi bir \( n \ge k \) için sağlanması yeterlidir.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{2n + 1}{n^3 - n + 3}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyelim.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{2n + 1}{n^3 - n + 3}} \)
Bu seri ile aşağıdaki seri arasında limit karşılaştırma testi uygulayalım.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {b_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{1}{n^2}} \)
İki serinin de terimleri her \( n \ge 1 \) için pozitiftir.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{a_n}{b_n}} = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{\frac{2n + 1}{n^3 - n + 3}}{\frac{1}{n^2}}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{n^2(2n + 1)}{n^3 - n + 3}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{n^3(2 + \frac{1}{n})}{n^3(1 - \frac{1}{n^2} + \frac{3}{n^3})}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{2 + \frac{1}{n}}{1 - \frac{1}{n^2} + \frac{3}{n^3}}} \)
\( = \dfrac{2 + \lim\limits_{n \to \infty} {\frac{1}{n}}}{1 - \lim\limits_{n \to \infty} {\frac{1}{n^2}} + \lim\limits_{n \to \infty} \frac{3}{n^3}} \)
\( = \dfrac{2 + 0}{1 - 0 + 0} = 2 \)
\( \sum {b_n} \) serisi \( p = 2 \) olan bir \( p \)-serisidir ve \( p \gt 1 \) olduğu için yakınsaktır.
\( \sum {b_n} \) serisi yakınsak ve \( \lim\limits_{n \to \infty} {\frac{a_n}{b_n}} \) limiti pozitif bir sayı olarak tanımlı olduğu için \( \sum {a_n} \) serisi de yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty} {\dfrac{1}{\ln{n}}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyelim.
\( \displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty} {\dfrac{1}{\ln{n}}} \)
Bu seri ile aşağıdaki seri arasında limit karşılaştırma testi uygulayalım.
\( \displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty} {b_n} = \displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty} {\dfrac{1}{n}} \)
İki serinin de terimleri her \( n \ge 2 \) için pozitiftir.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{a_n}{b_n}} = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{\frac{1}{\ln{n}}}{\frac{1}{n}}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{n}{\ln{n}}} \)
Limit ifadesinde \( \frac{\infty}{\infty} \) belirsizliği vardır. Belirsizliği gidermek için ifadeye L'Hospital kuralını uygulayalım.
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{(n)'}{(\ln{n})'}} = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{1}{\frac{1}{n}}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {n} = \infty \)
\( \sum {b_n} \) serisi \( p = 1 \) olan bir \( p \)-serisidir (harmonik seri) ve \( p \le 1 \) olduğu için ıraksaktır.
\( \sum {b_n} \) serisi ıraksak ve \( \lim\limits_{n \to \infty} {\frac{a_n}{b_n}} \) limiti sonsuz olduğu için \( \sum {a_n} \) serisi de ıraksaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{1}{n^2 + 7n}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü Göster1. yöntem:
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{1}{n^2 + 7n}} \)
Bu seri ile aşağıdaki seri arasında direkt karşılaştırma testi uygulayalım.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {b_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{1}{n^2}} \)
İki serinin de terimleri her \( n \ge 1 \) için pozitiftir.
Payları eşit iki ifadeden paydası büyük olan daha küçüktür (\( n^2 + 7n \gt n^2 \)).
\( a_n = \dfrac{1}{n^2 + 7n} \lt \dfrac{1}{n^2} = b_n \)
\( \sum {b_n} \) serisi \( p = 2 \) olan bir \( p \)-serisidir ve \( p \gt 1 \) olduğu için yakınsaktır.
\( \sum {b_n} \) serisi yakınsak ve her \( n \ge 1 \) için \( a_n \le b_n \) olduğu için \( \sum {a_n} \) serisi de yakınsaktır.
2. yöntem:
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{1}{n^2 + 7n}} \)
Bu seri ile aşağıdaki seri arasında limit karşılaştırma testi uygulayalım.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {b_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{1}{n^2}} \)
İki serinin de terimleri her \( n \ge 1 \) için pozitiftir.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{a_n}{b_n}} = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{\frac{1}{n^2 + 7n}}{\frac{1}{n^2}}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{n^2}{n^2 + 7n}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{n^2}{n^2(1 + \frac{7}{n})}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{1}{1 + \frac{7}{n}}} \)
\( = \dfrac{1}{1 + \lim\limits_{n \to \infty} {\frac{7}{n}}} \)
\( = \dfrac{1}{1 + 0} = 1 \)
\( \sum {b_n} \) serisi \( p = 2 \) olan bir p-serisidir ve \( p \gt 1 \) olduğu için yakınsaktır.
\( \sum {b_n} \) serisi yakınsak ve \( \lim\limits_{n \to \infty} {\frac{a_n}{b_n}} \) limiti pozitif bir sayı olarak tanımlı olduğu için \( \sum {a_n} \) serisi de yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{3n}{5n^2 - 4}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü Göster\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{3n}{5n^2 - 4}} \)
Bu seri ile aşağıdaki seri arasında direkt karşılaştırma testi uygulayalım.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {b_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{3}{5n}} \)
İki serinin de terimleri her \( n \ge 1 \) için pozitiftir.
Payları eşit iki ifadeden paydası büyük olan daha küçüktür (\( 5n^2 - 4 \lt 5n^2 \)).
\( a_n = \dfrac{3n}{5n^2 - 4} \gt \dfrac{3n}{5n^2} \)
\( = \dfrac{3}{5n} = b_n \)
\( \sum {\frac{1}{n}} \) serisi \( p = 1 \) olan bir \( p \)-serisidir (harmonik seri) ve \( p \le 1 \) olduğu için ıraksaktır.
Iraksak bir serinin bir skaler ile çarpımı da ıraksaktır, dolayısıyla \( \sum {b_n} = \sum {\frac{3}{5n}} \) serisi de ıraksaktır.
\( \sum {b_n} \) serisi ıraksak ve her \( n \ge 1 \) için \( a_n \ge b_n \) olduğu için \( \sum {a_n} \) serisi de ıraksaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{5n^2}{n^6 + 4}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü Göster1. yöntem:
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{5n^2}{n^6 + 4}} \)
Bu seri ile aşağıdaki seri arasında direkt karşılaştırma testi uygulayalım.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {b_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{5}{n^4}} \)
İki serinin de terimleri her \( n \ge 1 \) için pozitiftir.
Payları eşit iki ifadeden paydası büyük olan daha küçüktür (\( n^6 + 4 \gt n^6 \)).
\( a_n = \dfrac{5n^2}{n^6 + 4} \lt \dfrac{5n^2}{n^6} \)
\( = \dfrac{5}{n^4} = b_n \)
\( \sum {\frac{1}{n^4}} \) serisi \( p = 4 \) olan bir \( p \)-serisidir ve \( p \gt 1 \) olduğu için yakınsaktır.
Yakınsak bir serinin bir skaler ile çarpımı da yakınsaktır, dolayısıyla \( \sum {b_n} = \sum {\frac{5}{n^4}} \) serisi de yakınsaktır.
\( \sum {b_n} \) serisi yakınsak ve her \( n \ge 1 \) için \( a_n \le b_n \) olduğu için \( \sum {a_n} \) serisi de yakınsaktır.
2. yöntem:
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{5n^2}{n^6 + 4}} \)
Bu seri ile aşağıdaki seri arasında limit karşılaştırma testi uygulayalım.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {b_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{1}{n^4}} \)
İki serinin de terimleri her \( n \ge 1 \) için pozitiftir.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{a_n}{b_n}} = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{\frac{5n^2}{n^6 + 4}}{\frac{1}{n^4}}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{5n^6}{n^6 + 4}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{5n^6}{n^6(1 + \frac{4}{n^6})}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{5}{1 + \frac{4}{n^6}}} \)
\( = \dfrac{5}{1 + \lim\limits_{n \to \infty} {\frac{4}{n^6}}} \)
\( = \dfrac{5}{1 + 0} = 5 \)
\( \sum {b_n} \) serisi \( p = 4 \) olan bir p-serisidir ve \( p \gt 1 \) olduğu için yakınsaktır.
\( \sum {b_n} \) serisi yakınsak ve \( \lim\limits_{n \to \infty} {\frac{a_n}{b_n}} \) limiti pozitif bir sayı olarak tanımlı olduğu için \( \sum {a_n} \) serisi de yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{n^5}{(n + 5)^8}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü Göster\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{n^5}{(n + 5)^8}} \)
Bu seri ile aşağıdaki seri arasında direkt karşılaştırma testi uygulayalım.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {b_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{1}{n^3}} \)
İki serinin de terimleri her \( n \ge 1 \) için pozitiftir.
Payları eşit iki ifadeden paydası büyük olan daha küçüktür (\( (n + 5)^8 \gt n^8 \)).
\( a_n = \dfrac{n^5}{(n + 5)^8} \lt \dfrac{n^5}{n^8} \)
\( = \dfrac{1}{n^3} = b_n \)
\( \sum {b_n} \) serisi \( p = 3 \) olan bir \( p \)-serisidir ve \( p \gt 1 \) olduğu için yakınsaktır.
\( \sum {b_n} \) serisi yakınsak ve her \( n \ge 1 \) için \( a_n \le b_n \) olduğu için \( \sum {a_n} \) serisi de yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 5}^{\infty} {\dfrac{1}{\sqrt{n} - 2}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü Göster\( \displaystyle\sum_{n = 5}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 5}^{\infty} {\dfrac{1}{\sqrt{n} - 2}} \)
Bu seri ile aşağıdaki seri arasında direkt karşılaştırma testi uygulayalım.
\( \displaystyle\sum_{n = 5}^{\infty} {b_n} = \displaystyle\sum_{n = 5}^{\infty} {\dfrac{1}{n^{\frac{1}{2}}}} \)
\( = \displaystyle\sum_{n = 5}^{\infty} {\dfrac{1}{\sqrt{n}}} \)
İki serinin de terimleri her \( n \ge 5 \) için pozitiftir.
Payları eşit iki ifadeden paydası büyük olan daha küçüktür (\( \sqrt{n} - 2 \lt \sqrt{n} \)).
\( a_n = \dfrac{1}{\sqrt{n} - 2} \gt \dfrac{1}{\sqrt{n}} = b_n \)
\( \sum {\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}} \) serisi \( p = \frac{1}{2} \) olan bir \( p \)-serisidir ve \( p \le 1 \) olduğu için ıraksaktır.
\( \sum {b_n} \) serisi ıraksak ve her \( n \ge 5 \) için \( a_n \ge b_n \) olduğu için \( \sum {a_n} \) serisi de ıraksaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 6}^{\infty} {\dfrac{\sqrt{n}}{n - 5}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü Göster\( \displaystyle\sum_{n = 6}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 6}^{\infty} {\dfrac{\sqrt{n}}{n - 5}} \)
Bu seri ile aşağıdaki seri arasında direkt karşılaştırma testi uygulayalım.
\( \displaystyle\sum_{n = 6}^{\infty} {b_n} = \displaystyle\sum_{n = 6}^{\infty} {\dfrac{1}{n^{\frac{1}{2}}}} \)
İki serinin de terimleri her \( n \ge 6 \) için pozitiftir.
Payları eşit iki ifadeden paydası büyük olan daha küçüktür (\( n - 5 \lt n \)).
\( a_n = \dfrac{\sqrt{n}}{n - 5} \gt \dfrac{\sqrt{n}}{n} \)
\( = \dfrac{1}{\sqrt{n}} \)
\( = \dfrac{1}{n^{\frac{1}{2}}} = b_n \)
\( \sum {b_n} \) serisi \( p = \frac{1}{2} \) olan bir \( p \)-serisidir ve \( p \le 1 \) olduğu için ıraksaktır.
\( \sum {b_n} \) serisi ıraksak ve her \( n \ge 6 \) için \( a_n \ge b_n \) olduğu için \( \sum {a_n} \) serisi de ıraksaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{1}{\sqrt{n}(n^5 + 3)}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü Göster1. yöntem:
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{1}{\sqrt{n}(n^5 + 3)}} \)
Bu seri ile aşağıdaki seri arasında direkt karşılaştırma testi uygulayalım.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {b_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{1}{n^{\frac{11}{2}}}} \)
İki serinin de terimleri her \( n \ge 1 \) için pozitiftir.
Payları eşit iki ifadeden paydası büyük olan daha küçüktür (\( n^5 + 3 \gt n^5 \)).
\( a_n = \dfrac{1}{\sqrt{n}(n^5 + 3)} \lt \dfrac{1}{\sqrt{n}\ n^5} \)
\( = \dfrac{1}{n^{\frac{11}{2}}} = b_n \)
\( \sum {b_n} \) serisi \( p = \frac{11}{2} \) olan bir \( p \)-serisidir ve \( p \gt 1 \) olduğu için yakınsaktır.
\( \sum {b_n} \) serisi yakınsak ve her \( n \ge 1 \) için \( a_n \le b_n \) olduğu için \( \sum {a_n} \) serisi de yakınsaktır.
2. yöntem:
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{1}{\sqrt{n}(n^5 + 3)}} \)
Bu seri ile aşağıdaki seri arasında limit karşılaştırma testi uygulayalım.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {b_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{1}{n^{\frac{11}{2}}}} \)
İki serinin de terimleri her \( n \ge 1 \) için pozitiftir.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{a_n}{b_n}} = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{\frac{1}{\sqrt{n}(n^5 + 3)}}{\frac{1}{n^{\frac{11}{2}}}}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{n^{\frac{11}{2}}}{n^{\frac{1}{2}}(n^5 + 3)}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{n^5}{n^5 + 3}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{n^5}{n^5(1 + \frac{3}{n^5})}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{1}{1 + \frac{3}{n^5}}} \)
\( = \dfrac{1}{1 + \lim\limits_{n \to \infty} {\frac{3}{n^5}}} \)
\( = \dfrac{1}{1 + 0} = 1 \)
\( \sum {b_n} \) serisi \( p = \frac{11}{2} \) olan bir p-serisidir ve \( p \gt 1 \) olduğu için yakınsaktır.
\( \sum {b_n} \) serisi yakınsak ve \( \lim\limits_{n \to \infty} {\frac{a_n}{b_n}} \) limiti pozitif bir sayı olarak tanımlı olduğu için \( \sum {a_n} \) serisi de yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {(\dfrac{2n}{5n + 2})^n} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü Göster\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {(\dfrac{2n}{5n + 2})^n} \)
Bu seri ile aşağıdaki seri arasında direkt karşılaştırma testi uygulayalım.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {b_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {(\dfrac{2}{5})^n} \)
İki serinin de terimleri her \( n \ge 1 \) için pozitiftir.
Payları eşit iki ifadeden paydası büyük olan daha küçüktür (\( 5n + 2 \gt 5n \)).
\( a_n = (\dfrac{2n}{5n + 2})^n \lt (\dfrac{2n}{5n})^n \)
\( = (\dfrac{2}{5})^n = b_n \)
\( \sum {b_n} \) serisi \( r = \frac{2}{5} \) olan bir geometrik seridir ve \( \abs{r} \lt 1 \) olduğu için yakınsaktır.
\( \sum {b_n} \) serisi yakınsak ve her \( n \ge 1 \) için \( a_n \lt b_n \) olduğu için \( \sum {a_n} \) serisi de yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 5}^{\infty} {\dfrac{n - 4}{n^3 + n - 5}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü Göster\( \displaystyle\sum_{n = 5}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 5}^{\infty} {\dfrac{n - 4}{n^3 + n - 5}} \)
Bu seri ile aşağıdaki seri arasında limit karşılaştırma testi uygulayalım.
\( \displaystyle\sum_{n = 5}^{\infty} {b_n} = \displaystyle\sum_{n = 5}^{\infty} {\dfrac{1}{n^2}} \)
İki serinin de terimleri her \( n \ge 5 \) için pozitiftir.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{a_n}{b_n}} = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{\frac{n - 4}{n^3 + n - 5}}{\frac{1}{n^2}}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{n^2(n - 4)}{n^3 + n - 5}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{n^3(1 - \frac{4}{n})}{n^3(1 + \frac{1}{n^2} - \frac{5}{n^3})}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{1 - \frac{4}{n}}{1 + \frac{1}{n^2} - \frac{5}{n^3}}} \)
\( = \dfrac{1 - \lim\limits_{n \to \infty} {\frac{4}{n}}}{1 + \lim\limits_{n \to \infty} {\frac{1}{n^2}} - \lim\limits_{n \to \infty} \frac{5}{n^3}} \)
\( = \dfrac{1 - 0}{1 + 0 - 0} = 1 \)
\( \sum {b_n} \) serisi \( p = 2 \) olan bir \( p \)-serisidir ve \( p \gt 1 \) olduğu için yakınsaktır.
\( \sum {b_n} \) serisi yakınsak ve \( \lim\limits_{n \to \infty} {\frac{a_n}{b_n}} \) limiti pozitif bir sayı olarak tanımlı olduğu için \( \sum {a_n} \) serisi de yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{1}{n^2\ 5^n}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü Göster1. yöntem:
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{1}{n^2\ 5^n}} \)
Bu seri ile aşağıdaki seri arasında direkt karşılaştırma testi uygulayalım.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {b_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{1}{5^n}} \)
İki serinin de terimleri her \( n \ge 1 \) için pozitiftir.
Payları eşit iki ifadeden paydası büyük olan daha küçüktür (\( n^2\ 5^n \ge 5^n \)).
\( a_n = \dfrac{1}{n^2\ 5^n} \le \dfrac{1}{5^n} = b_n \)
\( \sum {b_n} \) serisi \( r = \frac{1}{5} \) olan bir geometrik seridir ve \( \abs{r} \lt 1 \) olduğu için yakınsaktır.
\( \sum {b_n} \) serisi yakınsak ve her \( n \ge 1 \) için \( a_n \le b_n \) olduğu için \( \sum {a_n} \) serisi de yakınsaktır.
2. yöntem:
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{1}{n^2\ 5^n}} \)
Bu seri ile aşağıdaki seri arasında limit karşılaştırma testi uygulayalım.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {b_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{1}{5^n}} \)
İki serinin de terimleri her \( n \ge 1 \) için pozitiftir.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{a_n}{b_n}} = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{\frac{1}{n^2\ 5^n}}{\frac{1}{5^n}}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{5^n}{n^2\ 5^n}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{1}{n^2}} \)
\( = \dfrac{1}{\infty} = 0 \)
\( \sum {b_n} \) serisi \( r = \frac{1}{5} \) olan bir geometrik seridir ve \( \abs{r} \lt 1 \) olduğu için yakınsaktır.
\( \sum {b_n} \) serisi yakınsak ve \( \lim\limits_{n \to \infty} {\frac{a_n}{b_n}} \) limiti sıfır olduğu için \( \sum {a_n} \) serisi de yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 3}^{\infty} {\dfrac{\ln{n}}{n}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü Göster\( \displaystyle\sum_{n = 3}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 3}^{\infty} {\dfrac{\ln{n}}{n}} \)
Bu seri ile aşağıdaki seri arasında limit karşılaştırma testi uygulayalım.
\( \displaystyle\sum_{n = 3}^{\infty} {b_n} = \displaystyle\sum_{n = 3}^{\infty} {\dfrac{1}{n}} \)
İki serinin de terimleri her \( n \ge 3 \) için pozitiftir.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{a_n}{b_n}} = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{\frac{\ln{n}}{n}}{\frac{1}{n}}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{n\ln{n}}{n}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\ln{n}} \)
\( = \infty \)
\( \sum {b_n} \) serisi \( p = 1 \) olan bir \( p \)-serisidir (harmonik seri) ve \( p \le 1 \) olduğu için ıraksaktır.
\( \sum {b_n} \) serisi ıraksak ve \( \lim\limits_{n \to \infty} {\frac{a_n}{b_n}} \) limiti sonsuz olduğu için \( \sum {a_n} \) serisi de ıraksaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty} {\dfrac{2n - 3}{n^4 + 7}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü Göster1. yöntem:
\( \displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty} {\dfrac{2n - 3}{n^4 + 7}} \)
Bu seri ile aşağıdaki seri arasında direkt karşılaştırma testi uygulayalım.
\( \displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty} {b_n} = \displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty} {\dfrac{2}{n^3}} \)
İki serinin de terimleri her \( n \ge 2 \) için pozitiftir.
Paydaları eşit iki ifadeden payı büyük olan daha büyüktür (\( 2n - 3 \lt 2n \)).
\( a_n = \dfrac{2n - 3}{n^4 + 7} \lt \dfrac{2n}{n^4 + 7} \)
Payları eşit iki ifadeden paydası büyük olan daha küçüktür (\( n^4 + 7 \gt n^4 \)).
\( \lt \dfrac{2n}{n^4} \)
\( = \dfrac{2}{n^3} = b_n \)
\( \sum {\frac{1}{n^3}} \) serisi \( p = 3 \) olan bir \( p \)-serisidir ve \( p \gt 1 \) olduğu için yakınsaktır.
Yakınsak bir serinin bir skaler ile çarpımı da yakınsaktır, dolayısıyla \( \sum {b_n} = \sum {\frac{2}{n^3}} \) serisi de yakınsaktır.
\( \sum {b_n} \) serisi yakınsak ve her \( n \ge 2 \) için \( a_n \le b_n \) olduğu için \( \sum {a_n} \) serisi de yakınsaktır.
2. yöntem:
\( \displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty} {\dfrac{2n - 3}{n^4 + 7}} \)
Bu seri ile aşağıdaki seri arasında limit karşılaştırma testi uygulayalım.
\( \displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty} {b_n} = \displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty} {\dfrac{1}{n^3}} \)
İki serinin de terimleri her \( n \ge 2 \) için pozitiftir.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{a_n}{b_n}} = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{\frac{2n - 3}{n^4 + 7}}{\frac{1}{n^3}}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{2n^4 - 3n^3}{n^4 + 7}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{n^4(2 - \frac{3}{n})}{n^4(1 + \frac{7}{n^4})}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{2 - \frac{3}{n}}{1 + \frac{7}{n^4}}} \)
\( = \dfrac{2 - \lim\limits_{n \to \infty} {\frac{3}{n}}}{1 + \lim\limits_{n \to \infty} {\frac{7}{n}}} \)
\( = \dfrac{2 - 0}{1 + 0} = 2 \)
\( \sum {b_n} \) serisi \( p = 3 \) olan bir \( p \)-serisidir ve \( p \gt 1 \) olduğu için yakınsaktır.
\( \sum {b_n} \) serisi yakınsak ve \( \lim\limits_{n \to \infty} {\frac{a_n}{b_n}} \) limiti pozitif bir sayı olarak tanımlı olduğu için \( \sum {a_n} \) serisi de yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{\sqrt{n}}{n^3 + 5n + 1}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü Göster1. yöntem:
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{\sqrt{n}}{n^3 + 5n + 1}} \)
Bu seri ile aşağıdaki seri arasında direkt karşılaştırma testi uygulayalım.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {b_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{1}{n^{\frac{5}{2}}}} \)
İki serinin de terimleri her \( n \ge 1 \) için pozitiftir.
Payları eşit iki ifadeden paydası büyük olan daha küçüktür (\( n^3 + 5n + 1 \gt n^3 \)).
\( a_n = \dfrac{\sqrt{n}}{n^3 + 5n + 1} \lt \dfrac{\sqrt{n}}{n^3} \)
\( = \dfrac{1}{n^{\frac{5}{2}}} = b_n \)
\( \sum {b_n} \) serisi \( p = \frac{5}{2} \) olan bir \( p \)-serisidir ve \( p \gt 1 \) olduğu için yakınsaktır.
\( \sum {b_n} \) serisi yakınsak ve her \( n \ge 1 \) için \( a_n \le b_n \) olduğu için \( \sum {a_n} \) serisi de yakınsaktır.
2. yöntem:
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{\sqrt{n}}{n^3 + 5n + 1}} \)
Bu seri ile aşağıdaki seri arasında limit karşılaştırma testi uygulayalım.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {b_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{1}{n^{\frac{5}{2}}}} \)
İki serinin de terimleri her \( n \ge 1 \) için pozitiftir.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{a_n}{b_n}} = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{\frac{\sqrt{n}}{n^3 + 5n + 1}}{\frac{1}{n^{\frac{5}{2}}}}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{n^{\frac{5}{2}}\sqrt{n}}{n^3 + 5n + 1}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{n^3}{n^3 + 5n + 1}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{n^3}{n^3(1 + \frac{5}{n^2} + \frac{1}{n^3})}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{1}{1 + \frac{5}{n^2} + \frac{1}{n^3}}} \)
\( = \dfrac{1}{1 + \lim\limits_{n \to \infty} {\frac{5}{n^2}} + \lim\limits_{n \to \infty} {\frac{1}{n^3}}} \)
\( = \dfrac{1}{1 + 0 + 0} = 1 \)
\( \sum {b_n} \) serisi \( p = \frac{5}{2} \) olan bir \( p \)-serisidir ve \( p \gt 1 \) olduğu için yakınsaktır.
\( \sum {b_n} \) serisi yakınsak ve \( \lim\limits_{n \to \infty} {\frac{a_n}{b_n}} \) limiti pozitif bir sayı olarak tanımlı olduğu için \( \sum {a_n} \) serisi de yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{(2n^2 + 4)(3n + 7)(5n + 3)}{10n^5}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü Göster\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{(2n^2 + 4)(3n + 7)(5n + 3)}{10n^5}} \)
Bu seri ile aşağıdaki seri arasında direkt karşılaştırma testi uygulayalım.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {b_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{3}{n}} \)
İki serinin de terimleri her \( n \ge 1 \) için pozitiftir.
Paydaları eşit iki ifadeden payı büyük olan daha büyüktür (\( (2n^2 + 4)(3n + 7)(5n + 3) \gt (2n^2)(3n)(5n) \)).
\( a_n = \dfrac{(2n^2 + 4)(3n + 7)(5n + 3)}{10n^5} \gt \dfrac{(2n^2)(3n)(5n)}{10n^5} \)
\( = \dfrac{30n^4}{10n^5} \)
\( = \dfrac{3}{n} = b_n \)
\( \sum {\frac{1}{n}} \) serisi \( p = 1 \) olan bir \( p \)-serisidir (harmonik seri) ve \( p \le 1 \) olduğu için ıraksaktır.
Iraksak bir serinin bir skaler ile çarpımı da ıraksaktır, dolayısıyla \( \sum {b_n} = \sum {\frac{3}{n}} \) serisi de ıraksaktır.
\( \sum {b_n} \) serisi ıraksak ve her \( n \ge 1 \) için \( a_n \ge b_n \) olduğu için \( \sum {a_n} \) serisi de ıraksaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{(n + 3)^{n + 1}}{n^{n + 2}}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü Göster\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{(n + 3)^{n + 1}}{n^{n + 2}}} \)
Bu seri ile aşağıdaki seri arasında direkt karşılaştırma testi uygulayalım.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {b_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{1}{n}} \)
İki serinin de terimleri her \( n \ge 1 \) için pozitiftir.
Paydaları eşit iki ifadeden payı büyük olan daha büyüktür (\( (n + 3)^{n + 1} \gt n^{n + 1} \)).
\( a_n = \dfrac{(n + 3)^{n + 1}}{n^{n + 2}} \gt \dfrac{n^{n + 1}}{n^{n + 2}} \)
\( = \dfrac{1}{n} = b_n \)
\( \sum {b_n} \) serisi \( p = 1 \) olan bir \( p \)-serisidir (harmonik seri) ve \( p \le 1 \) olduğu için ıraksaktır.
\( \sum {b_n} \) serisi ıraksak ve her \( n \ge 1 \) için \( a_n \ge b_n \) olduğu için \( \sum {a_n} \) serisi de ıraksaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{2^{n + 1}}{3^n(n + 4)^3}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü Göster\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{2^{n + 1}}{3^n(n + 4)^3}} \)
Bu seri ile aşağıdaki seri arasında direkt karşılaştırma testi uygulayalım.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {b_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{3}{n^3}} \)
İki serinin de terimleri her \( n \ge 1 \) için pozitiftir.
Paydaları eşit iki ifadeden payı büyük olan daha büyüktür (\( 2^{n + 1} \lt 3^{n + 1} \)).
\( a_n = \dfrac{2^{n + 1}}{3^n(n + 4)^3} \lt \dfrac{3^{n + 1}}{3^n(n + 4)^3} \)
\( = \dfrac{3}{(n + 4)^3} \)
Payları eşit iki ifadeden paydası büyük olan daha küçüktür (\( (n + 4)^3 \gt n^3 \)).
\( \lt \dfrac{3}{n^3} = b_n \)
\( \sum {\frac{1}{n^3}} \) serisi \( p = 3 \) olan bir \( p \)-serisidir ve \( p \gt 1 \) olduğu için yakınsaktır.
Yakınsak bir serinin bir skaler ile çarpımı da yakınsaktır, dolayısıyla \( \sum {b_n} = \sum {\frac{3}{n^3}} \) serisi de yakınsaktır.
\( \sum {b_n} \) serisi yakınsak ve her \( n \ge 1 \) için \( a_n \le b_n \) olduğu için \( \sum {a_n} \) serisi de yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{n + 1}{n^3\sqrt{n}}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü Göster\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{n + 1}{n^3\sqrt{n}}} \)
Bu seri ile aşağıdaki seri arasında limit karşılaştırma testi uygulayalım.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {b_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{1}{\sqrt{n^5}}} \)
\( = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{1}{n^\frac{5}{2}}} \)
İki serinin de terimleri her \( n \ge 1 \) için pozitiftir.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{a_n}{b_n}} = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{\frac{n + 1}{n^3\sqrt{n}}}{\frac{1}{\sqrt{n^5}}}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{(n + 1)\sqrt{n^5}}{n^3\sqrt{n}}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{(n + 1)n^{\frac{5}{2}}}{n^{\frac{7}{2}}}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{n + 1}{n}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{n(1 + \frac{1}{n})}{n}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} (1 + \dfrac{1}{n}) \)
\( = 1 + \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{1}{n}} \)
\( = 1 + 0 = 1 \)
\( \sum {b_n} \) serisi \( p = \frac{5}{2} \) olan bir p-serisidir ve \( p \gt 1 \) olduğu için yakınsaktır.
\( \sum {b_n} \) serisi yakınsak ve \( \lim\limits_{n \to \infty} {\frac{a_n}{b_n}} \) limiti pozitif bir sayı olarak tanımlı olduğu için \( \sum {a_n} \) serisi de yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{1}{5\sqrt[3]{n} + \sqrt[5]{n}}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü Göster\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{1}{5\sqrt[3]{n} + \sqrt[5]{n}}} \)
Bu seri ile aşağıdaki seri arasında limit karşılaştırma testi uygulayalım.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {b_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{1}{\sqrt[3]{n}}} \)
İki serinin de terimleri her \( n \ge 1 \) için pozitiftir.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{a_n}{b_n}} = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{\frac{1}{5\sqrt[3]{n} + \sqrt[5]{n}}}{\frac{1}{\sqrt[3]{n}}}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{\sqrt[3]{n}}{5\sqrt[3]{n} + \sqrt[5]{n}}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{n^{\frac{1}{3}}}{5n^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{1}{5}}}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{n^{\frac{1}{3}}}{n^{\frac{1}{3}}(5 + n^{-\frac{2}{15}})}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{1}{5 + n^{-\frac{2}{15}}}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{1}{5 + \frac{1}{n^{\frac{2}{15}}}}} \)
\( = \dfrac{1}{5 + \lim\limits_{n \to \infty} {\frac{1}{n^{\frac{2}{15}}}}} \)
\( = \dfrac{1}{5 + 0} = \dfrac{1}{5} \)
\( \sum {b_n} \) serisi \( p = \frac{1}{3} \) olan bir p-serisidir ve \( p \le 1 \) olduğu için ıraksaktır.
\( \sum {b_n} \) serisi ıraksak ve \( \lim\limits_{n \to \infty} {\frac{a_n}{b_n}} \) limiti pozitif bir sayı olarak tanımlı olduğu için \( \sum {a_n} \) serisi de ıraksaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{3^n}{4 + 9^n}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü Göster\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{3^n}{4 + 9^n}} \)
Bu seri ile aşağıdaki seri arasında limit karşılaştırma testi uygulayalım.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {b_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{1}{3^n}} \)
İki serinin de terimleri her \( n \ge 1 \) için pozitiftir.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{a_n}{b_n}} = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{\frac{3^n}{4 + 9^n}}{\frac{1}{3^n}}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{9^n}{4 + 9^n}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{9^n}{9^n(\frac{4}{9^n} + 1)}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{1}{\frac{4}{9^n} + 1}} \)
\( = \dfrac{1}{\lim\limits_{n \to \infty} {\frac{4}{9^n}} + 1} \)
\( = \dfrac{1}{0 + 1} = 1 \)
\( \sum {b_n} \) serisi \( r = \frac{1}{3} \) olan bir geometrik seridir ve \( \abs{r} \lt 1 \) olduğu için yakınsaktır.
\( \sum {b_n} \) serisi yakınsak ve \( \lim\limits_{n \to \infty} {\frac{a_n}{b_n}} \) limiti pozitif bir sayı olarak tanımlı olduğu için \( \sum {a_n} \) serisi de yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{4n^2 - n}{n^5 + 7}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü Göster\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{4n^2 - n}{n^5 + 7}} \)
Bu seri ile aşağıdaki seri arasında limit karşılaştırma testi uygulayalım.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {b_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{1}{n^3}} \)
İki serinin de terimleri her \( n \ge 1 \) için pozitiftir.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{a_n}{b_n}} = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{\frac{4n^2 - n}{n^5 + 7}}{\frac{1}{n^3}}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{n^3(4n^2 - n)}{n^5 + 7}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{4n^5 - n^4}{n^5 + 7}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{n^5(4 - \frac{1}{n})}{n^5(1 + \frac{7}{n^5})}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{4 - \frac{1}{n}}{1 + \frac{7}{n^5}}} \)
\( = \dfrac{4 - \lim\limits_{n \to \infty} {\frac{1}{n}}}{1 + \lim\limits_{n \to \infty} {\frac{7}{n^5}}} \)
\( = \dfrac{4 - 0}{1 + 0} = 4 \)
\( \sum {b_n} \) serisi \( p = 3 \) olan bir p-serisidir ve \( p \gt 1 \) olduğu için yakınsaktır.
\( \sum {b_n} \) serisi yakınsak ve \( \lim\limits_{n \to \infty} {\frac{a_n}{b_n}} \) limiti pozitif bir sayı olarak tanımlı olduğu için \( \sum {a_n} \) serisi de yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{ne^{-n}}{3n^2 + 4}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü Göster\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{ne^{-n}}{3n^2 + 4}} \)
Bu seri ile aşağıdaki seri arasında limit karşılaştırma testi uygulayalım.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {b_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{1}{e^n}} \)
İki serinin de terimleri her \( n \ge 1 \) için pozitiftir.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{a_n}{b_n}} = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{\frac{ne^{-n}}{3n^2 + 4}}{\frac{1}{e^n}}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{ne^{-n}e^n}{3n^2 + 4}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{n}{3n^2 + 4}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{n}{n(3n + \frac{4}{n})}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{1}{3n + \frac{4}{n}}} \)
\( = \dfrac{1}{\lim\limits_{n \to \infty} (3n) + \lim\limits_{n \to \infty} {\frac{4}{n}}} \)
\( = \dfrac{1}{\infty + 0} \)
\( = \dfrac{1}{\infty} = 0 \)
\( \sum {b_n} \) serisi \( r = \frac{1}{e} \) olan bir geometrik seridir ve \( \abs{r} \lt 1 \) olduğu için yakınsaktır.
\( \sum {b_n} \) serisi yakınsak ve \( \lim\limits_{n \to \infty} {\frac{a_n}{b_n}} \) limiti sıfır olduğu için \( \sum {a_n} \) serisi de yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{n^4 + 6}{n(n + 2)(n + 4)}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü Göster\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{n^4 + 6}{n(n + 2)(n + 4)}} \)
Bu seri ile aşağıdaki seri arasında limit karşılaştırma testi uygulayalım.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {b_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{1}{n}} \)
İki serinin de terimleri her \( n \ge 1 \) için pozitiftir.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{a_n}{b_n}} = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{\frac{n^4 + 6}{n(n + 2)(n + 4)}}{\frac{1}{n}}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{n^4 + 6}{(n + 2)(n + 4)}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{n^4 + 6}{n^2 + 6n + 8}} \)
Bu rasyonel fonksiyonda payın derecesi paydanınkinden büyük olduğu için payın büyüme hızı daha büyüktür, dolayısıyla ifadenin limiti sonsuzdur.
\( = \infty \)
\( \sum {b_n} \) serisi \( p = 1 \) olan bir \( p \)-serisidir (harmonik seri) ve \( p \le 1 \) olduğu için ıraksaktır.
\( \sum {b_n} \) serisi ıraksak ve \( \lim\limits_{n \to \infty} {\frac{a_n}{b_n}} \) limiti sonsuz olduğu için \( \sum {a_n} \) serisi de ıraksaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{\cos^4{\frac{\pi}{n}}}{2^{2n}}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü Göster\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{\cos^4{\frac{\pi}{n}}}{2^{2n}}} \)
\( = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{\cos^4{\frac{\pi}{n}}}{4^n}} \)
Bu seri ile aşağıdaki seri arasında direkt karşılaştırma testi uygulayalım.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {b_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{1}{4^n}} \)
İki serinin de terimleri her \( n \ge 1 \) için pozitiftir.
Kosinüs fonksiyonunun değer aralığı \( [-1, 1] \) olduğu için \( \cos^4{x} \) ifadesinin değer aralığı \( [0, 1] \) olur, dolayısıyla her \( n \) için \( \cos^4{\frac{\pi}{n}} \le 1 \) olur.
Paydaları eşit iki ifadeden payı büyük olan daha büyüktür (\( \cos^4{\frac{\pi}{n}} \le 1 \)).
\( a_n = \dfrac{\cos^4{\frac{\pi}{n}}}{4^n} \le \dfrac{1}{4^n} = b_n \)
\( \sum {b_n} \) serisi \( r = \frac{1}{4} \) olan bir geometrik seridir ve \( \abs{r} \lt 1 \) olduğu için yakınsaktır.
\( \sum {b_n} \) serisi yakınsak ve her \( n \ge 1 \) için \( a_n \le b_n \) olduğu için \( \sum {a_n} \) serisi de yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{\sin^2{n}}{n(n^2 + 1)}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü Göster\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{\sin^2{n}}{n(n^2 + 1)}} \)
Bu seri ile aşağıdaki seri arasında direkt karşılaştırma testi uygulayalım.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {b_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{1}{n^3}} \)
İki serinin de terimleri her \( n \ge 1 \) için pozitiftir.
Sinüs fonksiyonunun değer aralığı \( [-1, 1] \) olduğu için \( \sin^2{x} \) ifadesinin değer aralığı \( [0, 1] \) olur, dolayısıyla her \( n \) için \( \sin^2{n} \le 1 \) olur.
Paydaları eşit iki ifadeden payı büyük olan daha büyüktür (\( \sin^2{n} \le 1 \)).
\( a_n = \dfrac{\sin^2{n}}{n(n^2 + 1)} \le \dfrac{1}{n(n^2 + 1)} \)
\( = \dfrac{1}{n^3 + n} \)
Payları eşit iki ifadeden paydası büyük olan daha küçüktür (\( n^3 + n \gt n^3 \)).
\( \lt \dfrac{1}{n^3} = b_n \)
\( \sum {b_n} \) serisi \( p = 3 \) olan bir \( p \)-serisidir ve \( p \gt 1 \) olduğu için yakınsaktır.
\( \sum {b_n} \) serisi yakınsak ve her \( n \ge 1 \) için \( a_n \le b_n \) olduğu için \( \sum {a_n} \) serisi de yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{3 + \cos{n}}{n^4}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü Göster\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{3 + \cos{n}}{n^4}} \)
Bu seri ile aşağıdaki seri arasında direkt karşılaştırma testi uygulayalım.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {b_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{4}{n^4}} \)
İki serinin de terimleri her \( n \ge 1 \) için pozitiftir.
Kosinüs fonksiyonunun değer aralığı \( [-1, 1] \) olduğu için \( 3 + \cos{x} \) ifadesinin değer aralığı \( [2, 4] \) olur, dolayısıyla her \( n \) için \( 3 + \cos{x} \le 4 \) olur.
Paydaları eşit iki ifadeden payı büyük olan daha büyüktür (\( 3 + \cos{x} \le 4 \)).
\( a_n = \dfrac{3 + \cos{n}}{n^4} \le \dfrac{4}{n^4} = b_n \)
\( \sum {\frac{1}{n^4}} \) serisi \( p = 4 \) olan bir \( p \)-serisidir ve \( p \gt 1 \) olduğu için yakınsaktır.
Yakınsak bir serinin bir skaler ile çarpımı da yakınsaktır, dolayısıyla \( \sum {b_n} = \sum {\frac{4}{n^4}} \) serisi de yakınsaktır.
\( \sum {b_n} \) serisi yakınsak ve her \( n \ge 1 \) için \( a_n \le b_n \) olduğu için \( \sum {a_n} \) serisi de yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{2^n + 5}{5^n + 7}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü Göster\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{2^n + 5}{5^n + 7}} \)
Bu seri ile aşağıdaki seri arasında direkt karşılaştırma testi uygulayalım.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {b_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{2^n + 5}{5^n}} \)
\( = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{2^n}{5^n}} + \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{5}{5^n}} \)
\( = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {(\dfrac{2}{5})^n} + 5\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {(\dfrac{1}{5})^n} \)
İki serinin de terimleri her \( n \ge 1 \) için pozitiftir.
Payları eşit iki ifadeden paydası büyük olan daha küçüktür (\( 5^n + 7 \gt 5^n \)).
\( a_n = \dfrac{2^n + 5}{5^n + 7} \lt \dfrac{2^n + 5}{5^n} = b_n \)
\( \sum {(\frac{2}{5})^n} \) serisi \( r = \frac{2}{5} \) olan bir geometrik seridir ve \( \abs{r} \lt 1 \) olduğu için yakınsaktır.
\( \sum {(\frac{1}{5})^n} \) serisi \( r = \frac{1}{5} \) olan bir geometrik seridir ve \( \abs{r} \lt 1 \) olduğu için yakınsaktır.
Yakınsak bir serinin bir skaler ile çarpımı da yakınsaktır, dolayısıyla \( 5\sum {(\frac{1}{5})^n} \) serisi de yakınsaktır.
İki yakınsak serinin toplamı/farkı da yakınsaktır. Buna göre \( \sum {b_n} = \sum {(\frac{2}{5})^n} + 5\sum {(\frac{1}{5})^n} \) serisi de yakınsaktır.
\( \sum {b_n} \) serisi yakınsak ve her \( n \ge 1 \) için \( a_n \le b_n \) olduğu için \( \sum {a_n} \) serisi de yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {(\dfrac{5n + 10}{7n + 6})^n} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü Göster\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {(\dfrac{5n + 10}{7n + 6})^n} \)
Bu seri ile aşağıdaki seri arasında limit karşılaştırma testi uygulayalım.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {b_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {(\dfrac{5}{7})^n} \)
İki serinin de terimleri her \( n \ge 1 \) için pozitiftir.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{a_n}{b_n}} = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{(\frac{5n + 10}{7n + 6})^n}{(\frac{5}{7})^n}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {(\dfrac{35n + 70}{35n + 30})^n} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {(\dfrac{7n + 14}{7n + 6})^n} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {(1 + \dfrac{8}{7n + 6})^n} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {(1 + \dfrac{\frac{8}{7}}{n + \frac{6}{7}})^n} \)
\( n \to \infty \) iken \( (n + \frac{6}{7}) \to \infty \) olur, dolayısıyla aşağıdaki limit kuralını kullanabiliriz.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {(1 + \dfrac{a}{n})^n} = e^a \)
\( = e^{\frac{8}{7}} \)
\( \sum {b_n} \) serisi \( r = \frac{5}{7} \) olan bir geometrik seridir ve \( \abs{r} \lt 1 \) olduğu için yakınsaktır.
\( \sum {b_n} \) serisi yakınsak ve \( \lim\limits_{n \to \infty} {\frac{a_n}{b_n}} \) limiti pozitif bir sayı olarak tanımlı olduğu için \( \sum {a_n} \) serisi de yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{5n^4 + n}{\sqrt[3]{n^{13} + n^3}}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü Göster\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{5n^4 + n}{\sqrt[3]{n^{13} + n^3}}} \)
Bu seri ile aşağıdaki seri arasında limit karşılaştırma testi uygulayalım.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {b_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{1}{\sqrt[3]{n}}} \)
\( = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{1}{n^\frac{1}{3}}} \)
İki serinin de terimleri her \( n \ge 1 \) için pozitiftir.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{a_n}{b_n}} = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{\frac{5n^4 + n}{\sqrt[3]{n^{13} + n^3}}}{\frac{1}{n^{\frac{1}{3}}}}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{(5n^4 + n)n^{\frac{1}{3}}}{\sqrt[3]{n^{13} + n^3}}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{5n^{\frac{13}{3}} + n^{\frac{4}{3}}}{\sqrt[3]{n^{13}(1 + \frac{1}{n^{10}})}}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{5n^{\frac{13}{3}} + n^{\frac{4}{3}}}{n^{\frac{13}{3}}\sqrt[3]{1 + \frac{1}{n^{10}}}}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{n^{\frac{13}{3}}(5 + \frac{1}{n^3})}{n^{\frac{13}{3}}\sqrt[3]{1 + \frac{1}{n^{10}}}}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{5 + \frac{1}{n^3}}{\sqrt[3]{1 + \frac{1}{n^{10}}}}} \)
\( = \dfrac{5 + \lim\limits_{n \to \infty} {\frac{1}{n^3}}}{\lim\limits_{n \to \infty} {\sqrt[3]{1 + \frac{1}{n^{10}}}}} \)
\( = \dfrac{5 + \lim\limits_{n \to \infty} {\frac{1}{n^3}}}{\sqrt[3]{1 + \lim\limits_{n \to \infty} {\frac{1}{n^{10}}}}} \)
\( = \dfrac{5 + 0}{\sqrt[3]{1 + 0}} \)
\( = \dfrac{5}{1} = 5 \)
\( \sum {b_n} \) serisi \( p = \frac{1}{3} \) olan bir p-serisidir ve \( p \lt 1 \) olduğu için ıraksaktır.
\( \sum {b_n} \) serisi ıraksak ve \( \lim\limits_{n \to \infty} {\frac{a_n}{b_n}} \) limiti pozitif bir sayı olarak tanımlı olduğu için \( \sum {a_n} \) serisi de ıraksaktır.