Önceki bölümde bir serinin toplamını,
Bu limit değeri bir reel sayı olarak tanımlı ise seri yakınsaktır, değilse seri ıraksaktır. Bir serinin yakınsak olması
Bir seri yakınsak ise
İki kısmi toplam ifadesinin farkının limitini alalım.
İki eşitliğin farkını alalım.
Bu ifadeyi yukarıdaki limit ifadesinde yerine koyalım.
Bu önermenin karşıtı doğru olmayabilir, yani
Bir seri yakınsak ise serinin bir skaler ile çarpımı da yakınsaktır.
Yakınsak serinin toplamının limit tanımını yazalım.
Serinin terimlerinin
Limit kurallarına göre, bir ifadenin bir skaler ile çarpımının limiti ifadenin limitinin skaler ile çarpımına eşittir.
Buna göre skaler ile çarpım serisinin toplamı bir reel sayı olarak tanımlıdır, dolayısıyla seri yakınsaktır ve yakınsadığı değer
Bu skaler çarpım özelliğinin karşıtı da doğrudur, yani bir serinin bir skaler ile çarpımı yakınsak ise serinin kendisi de yakınsaktır.
İki yakınsak serinin toplamı/farkı da yakınsaktır.
Yakınsak serilerin toplamının limit tanımını yazalım.
Serilerin terimlerinin toplamından oluşan yeni bir seri tanımlayalım.
Limit kurallarına göre, iki ifadenin toplamının limiti ifadelerin limitinin toplamına eşittir.
Buna göre toplam serisinin toplamı bir reel sayı olarak tanımlıdır, dolayısıyla seri yakınsaktır ve yakınsadığı değer
Bu toplama/çıkarma özelliğinin karşıtı her zaman doğru olmayabilir, yani toplamları/farkları yakınsak olan serilerin ikisi de yakınsak olmayabilir. Aşağıda bu duruma bir örnek verilmiştir.
Iraksak bir serinin sıfırdan farklı bir skaler ile çarpımı da ıraksaktır.
Yakınsak bir seri ile ıraksak bir serinin toplamı ve farkı ıraksaktır.
Bir seriye sonlu sayıda terim eklenmesi ya da çıkarılması serinin yakınsaklığını ya da ıraksaklığını değiştirmez, ancak seri yakınsak ise serinin toplamını değiştirebilir.
Bir seri tanımlayalım.
Bu seriyi iki farklı aralıktaki terimlerin toplamı şeklinde yazalım.
Sonlu sayıda terimden oluşan bir serinin toplamı sonlu bir sayıdır, dolayısıyla bu seri yakınsaktır.
Durum 1:
Bu durumda
Durum 2:
Bu durumda
Durum 3:
Bu durumda
Durum 4:
Bu durumda
Buna göre,
Bir serinin indis değerleri aşağıdaki şekilde değiştirildiğinde serinin yakınsaklığı/ıraksaklığı ve yakınsak ise toplamı değişmez.
Aşağıdaki ifadelerin tümü yukarıdaki seriye karşılık gelir.
İndis değerine 2 ekleyelim.
İndis değerinden 1 çıkaralım.