Serilerde Yakınsaklık/Iraksaklık
Önceki bölümde bir serinin toplamını, \( n \) sonsuza giderken kısmi toplamlar dizisinin yaklaştığı değer olarak tanımlamıştık.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} = \lim\limits_{n \to \infty} {s_n} = L \)
Bu limit değeri bir reel sayı olarak tanımlı ise seri yakınsaktır, değilse seri ıraksaktır. Bir serinin yakınsak olması \( n \) sonsuza giderken \( s_n \) dizisinin bir reel sayı değere yaklaşması anlamına gelir.
Bir seri yakınsak ise \( n \). teriminin sonsuzdaki limiti sıfırdır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} \) yakınsak ise \( \lim\limits_{n \to \infty} {a_n} = 0 \) olur.
İSPATI GÖSTER
\( \sum {a_n} \) yakınsak bir seri olsun ve serinin \( n \). kısmi toplamlar dizisine \( s_n \), yakınsadığı değere de \( L \) diyelim.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} = \lim\limits_{n \to \infty} {s_n} = L \)
\( n \to \infty \) iken \( n - 1 \to \infty \) olur ve \( s_{n-1} \) de \( L \) değerine yaklaşır.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {s_{n-1}} = L \)
İki kısmi toplam ifadesinin farkının limitini alalım.
\( \lim\limits_{n \to \infty} (s_n - s_{n-1}) = \lim\limits_{n \to \infty} {s_n} - \lim\limits_{n \to \infty} {s_{n-1}} \)
\( = L - L = 0 \)
\( s_n \) ve \( s_{n-1} \) ifadelerinin açılımını yazalım.
\( s_n = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n \)
\( s_{n-1} = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_{n-1} \)
İki eşitliğin farkını alalım.
\( s_n - s_{n-1} = a_n \)
Bu ifadeyi yukarıdaki limit ifadesinde yerine koyalım.
\( \lim\limits_{n \to \infty} (s_n - s_{n-1}) = 0 \)
\( \lim\limits_{n \to \infty} {a_n} = 0 \)
Bu önermenin karşıtı doğru olmayabilir, yani \( \lim\limits_{n \to \infty} {a_n} = 0 \) ise seri yakınsak olmayabilir. Örnek olarak, sonsuzdaki limiti sıfır olan aşağıdaki iki seriden birincisi yakınsak iken ikincisi ıraksaktır (bu serilerin yakınsaklık/ıraksaklık durumlarını önümüzdeki bölümlerde inceleyeceğiz).
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{1}{n^2}} = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{1}{n}} = 0 \)
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{1}{n^2}} \) serisi yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{1}{n}} \) serisi ıraksaktır.
Seriler Arası İşlemler
Bir seri yakınsak ise serinin bir skaler ile çarpımı da yakınsaktır.
\( k \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( \displaystyle\sum {a_n} = L \) serisi yakınsak ise,
\( \displaystyle\sum {ka_n} \) serisi de yakınsaktır ve yakınsadığı değer \( kL \) olur.
İSPATI GÖSTER
Yakınsak serinin toplamının limit tanımını yazalım.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} = \lim\limits_{n \to \infty} {s_n} = L \)
Serinin terimlerinin \( k \) reel sayısı ile çarpımından oluşan yeni bir seri tanımlayalım.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {ka_n} = (ka_1, ka_2, ka_3, \ldots) \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {ks_n} \)
Limit kurallarına göre, bir ifadenin bir skaler ile çarpımının limiti ifadenin limitinin skaler ile çarpımına eşittir.
\( = k\lim\limits_{n \to \infty} {s_n} \)
\( = kL \)
Buna göre skaler ile çarpım serisinin toplamı bir reel sayı olarak tanımlıdır, dolayısıyla seri yakınsaktır ve yakınsadığı değer \( kL \) olur.
Bu skaler çarpım özelliğinin karşıtı da doğrudur, yani bir serinin bir skaler ile çarpımı yakınsak ise serinin kendisi de yakınsaktır.
İki yakınsak serinin toplamı/farkı da yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum {a_n} = L \) ve \( \displaystyle\sum {b_n} = M \) serileri yakınsak ise,
\( \displaystyle\sum (a_n + b_n) \) serisi de yakınsaktır ve yakınsadığı değer \( L + M \) olur.
İSPATI GÖSTER
Yakınsak serilerin toplamının limit tanımını yazalım.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} = \lim\limits_{n \to \infty} {s_n} = L \)
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {b_n} = \lim\limits_{n \to \infty} {t_n} = M \)
Serilerin terimlerinin toplamından oluşan yeni bir seri tanımlayalım.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} (a_n + b_n) = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3, \ldots) \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} (s_n + t_n) \)
Limit kurallarına göre, iki ifadenin toplamının limiti ifadelerin limitinin toplamına eşittir.
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {s_n} + \lim\limits_{n \to \infty} {t_n} \)
\( = L + M \)
Buna göre toplam serisinin toplamı bir reel sayı olarak tanımlıdır, dolayısıyla seri yakınsaktır ve yakınsadığı değer \( L + M \) olur.
Bu toplama/çıkarma özelliğinin karşıtı her zaman doğru olmayabilir, yani toplamları/farkları yakınsak olan serilerin ikisi de yakınsak olmayabilir. Aşağıda bu duruma bir örnek verilmiştir.
\( (a_n) = 1 = (1, 1, 1, \ldots) \)
\( (b_n) = -1 = (-1, -1, -1, \ldots) \)
\( (a_n + b_n) = 0 = (0, 0, 0, \ldots) \)
\( \sum (a_n + b_n) = \sum {0} \) serisi yakınsaktır, ancak bu seriyi oluşturan \( \sum {a_n} \) ve \( \sum {b_n} \) serileri ıraksaktır.
Iraksak bir serinin sıfırdan farklı bir skaler ile çarpımı da ıraksaktır.
Yakınsak bir seri ile ıraksak bir serinin toplamı ve farkı ıraksaktır.
Terim Ekleme/Çıkarma
Bir seriye sonlu sayıda terim eklenmesi ya da çıkarılması serinin yakınsaklığını ya da ıraksaklığını değiştirmez, ancak seri yakınsak ise serinin toplamını değiştirebilir.
\( k \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} \) ve \( \displaystyle\sum_{n = k}^{\infty} {a_n} \) serilerinin ya ikisi de yakınsaktır ya da ikisi de ıraksaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{1}{2^n}} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \ldots \) serisi yakınsak olduğu için,
\( \displaystyle\sum_{n = 5}^{\infty} {\dfrac{1}{2^n}} = \dfrac{1}{32} + \dfrac{1}{64} + \dfrac{1}{128} + \ldots \) serisi de yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{1}{n}} = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \ldots \) serisi ıraksak olduğu için,
\( \displaystyle\sum_{n = 10}^{\infty} {\dfrac{1}{n}} = \dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{11} + \dfrac{1}{12} + \ldots \) serisi de ıraksaktır.
İSPATI GÖSTER
Bir seri tanımlayalım.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots \)
Bu seriyi iki farklı aralıktaki terimlerin toplamı şeklinde yazalım.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{k-1} {a_n} = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_{k-1} \)
\( \displaystyle\sum_{n = k}^{\infty} {a_n} = a_k + a_{k+1} + a_{k+2} + \ldots \)
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{k-1} {a_n} + \displaystyle\sum_{n = k}^{\infty} {a_n} \)
Sonlu sayıda terimden oluşan bir serinin toplamı sonlu bir sayıdır, dolayısıyla bu seri yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} = \underbrace{\displaystyle\sum_{n = 1}^{k-1} {a_n}}_\text{yakınsak} + \displaystyle\sum_{n = k}^{\infty} {a_n} \)
\( \sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} \) ve \( \sum_{n = k}^{\infty} {a_n} \) serilerinin yakınsaklık/ıraksaklık durumlarını dört durum altında inceleyelim.
Durum 1: \( \sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} \) serisinin yakınsak olduğunu varsayalım.
Bu durumda \( \sum_{n = k}^{\infty} {a_n} \) serisi de yakınsak olmak zorundadır, çünkü yakınsak bir seri ile ıraksak bir serinin toplamı ıraksak olur.
Durum 2: \( \sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} \) serisinin ıraksak olduğunu varsayalım.
Bu durumda \( \sum_{n = k}^{\infty} {a_n} \) serisi de ıraksak olmak zorundadır, çünkü yakınsak iki serinin toplamı yakınsak olur.
Durum 3: \( \sum_{n = k}^{\infty} {a_n} \) serisinin yakınsak olduğunu varsayalım.
Bu durumda \( \sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} \) serisi de yakınsak olmak zorundadır, çünkü yakınsak iki serinin toplamı yakınsak olur.
Durum 4: \( \sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} \) serisinin ıraksak olduğunu varsayalım.
Bu durumda \( \sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} \) serisi ıraksak olmak zorundadır, çünkü yakınsak bir seri ile ıraksak bir serinin toplamı ıraksak olur.
Buna göre, \( \sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} \) ve \( \sum_{n = k}^{\infty} {a_n} \) serilerinin ya ikisi de yakınsaktır ya da ikisi de ıraksaktır.
İndis Değerlerinin Değiştirilmesi
Bir serinin indis değerleri aşağıdaki şekilde değiştirildiğinde serinin yakınsaklığı/ıraksaklığı ve yakınsak ise toplamı değişmez.
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1 + k}^{\infty} {a_{n - k}} \)
\( \dfrac{2^2}{2!} + \dfrac{2^3}{5!} + \dfrac{2^4}{8!} + \dfrac{2^5}{11!} + \ldots \)
Aşağıdaki ifadelerin tümü yukarıdaki seriye karşılık gelir.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{2^{n + 1}}{(3n - 1)!}} \)
İndis değerine 2 ekleyelim.
\( = \displaystyle\sum_{n = 3}^{\infty} {\dfrac{2^{(n - 2) + 1}}{(3(n - 2) - 1)!}} = \displaystyle\sum_{n = 3}^{\infty} {\dfrac{2^{n - 1}}{(3n - 7)!}} \)
İndis değerinden 1 çıkaralım.
\( = \displaystyle\sum_{n = 0}^{\infty} {\dfrac{2^{(n + 1) + 1}}{(3(n + 1) - 1)!}} = \displaystyle\sum_{n = 3}^{\infty} {\dfrac{2^{n + 2}}{(3n + 2)!}} \)