Geometrik Seri
Konu tekrarı için: Geometrik Dizi
Ardışık terimleri arasındaki oran sabit olan serilere geometrik seri denir.
Bir geometrik serinin terimlerini belirleyen iki parametreden birincisi serinin ilk terimidir ve \( a \) ile gösterilir, diğeri ise ardışık terimler arasındaki orandır (ortak oran ya da ortak çarpan) ve \( r \) ile gösterilir.
\( a, r \in \mathbb{R}, a \ne 0 \) olmak üzere,
\( a + ar + ar^2 + ar^3 + \ldots = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {ar^{n-1}} \)
\( a \): serinin ilk terimi; \( r \): ortak oran
\( a = 1 \) ve \( r = \frac{1}{2} \) için:
\( 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \ldots \) \( = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{1}{2})^{n-1}} \)
\( a = 2 \) ve \( r = -\frac{1}{5} \) için:
\( 2 - \dfrac{2}{5} + \dfrac{2}{25} - \dfrac{2}{125} + \ldots \) \( = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {2(-\frac{1}{5})^{n-1}} \)
Bir geometrik serinin yakınsak ya da ıraksak olma durumu aşağıda şekilde belirlenir.
\( r \) geometrik serinin ortak oranı olmak üzere,
- \( \abs{r} \lt 1 \) ise seri yakınsaktır.
- \( \abs{r} \ge 1 \) ise seri ıraksaktır.
İSPATI GÖSTER
Geometrik diziler bölümünde ilk terimi \( a \) ve ortak oranı \( r \) olan sonlu geometrik dizilerin terimler toplam formülünü ispatıyla birlikte vermiştik.
\( r \ne 1 \) olmak üzere,
\( s_n = a + ar + ar^2 + \ldots + ar^{n-1} \)
\( s_n = a \cdot \dfrac{1 - r^n}{1 - r} \)
Bu formülü kullanarak geometrik serilerin terimler toplamını bulalım.
\( s_n = a + ar + ar^2 + ar^3 + \ldots \)
Bir geometrik serinin toplamı \( n \to \infty \) iken \( s_n \) ifadesinin limitine eşittir.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {s_n} = \lim\limits_{n \to \infty} \left( a \cdot \dfrac{1 - r^n}{1 - r} \right) \)
\( a \) ve \( r \) sabit sayılar olduğu için limitleri kendilerine eşittir.
\( = a \cdot \dfrac{1 - \lim\limits_{n \to \infty} {r^n}}{1 - \lim\limits_{n \to \infty} {r}} \)
\( = a \cdot \dfrac{1 - \lim\limits_{n \to \infty} {r^n}}{1 - r} \)
Bu ifadenin değerini ve serinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu farklı \( r \) değerleri için inceleyelim.
Durum 1: \( r \gt 1 \)
Bu durumda \( n \to \infty \) iken \( r^n \to \infty \) olur, dolayısıyla geometrik serinin toplamı sonsuza gider.
\( s_n = a \cdot \dfrac{1 - \infty}{1 - r} = \infty \)
Buna göre \( r \gt 1 \) için geometrik seri ıraksaktır.
Durum 2: \( r = 1 \)
Bu durumda geometrik seri aşağıdaki gibi olur.
\( s_n = a + a + a + \ldots \)
Önümüzdeki bölümlerde göreceğimiz ıraksaklık testine göre, genel teriminin sonsuzdaki limiti sıfır ya da tanımsız olan seriler ıraksaktır.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {ar^{n-1}} = \lim\limits_{n \to \infty} {a} \)
\( = a \ne 0 \)
Buna göre \( r = 1 \) için geometrik seri ıraksaktır.
Durum 3: \( r \lt -1 \)
Bu durumda geometrik seri aşağıdaki gibi olur.
\( s_n = a - ar + ar^2 - ar^3 + \ldots \)
Eşitliğin sağ tarafındaki pozitif ve negatif işaretli terimleri iki serinin farkı şeklinde yazalım.
\( = a + ar^2 + ar^4 + \ldots \)
\( - (ar + ar^3 + ar^5 + \ldots) \)
Terimleri düzenleyelim.
\( = a + a(r^2)^1 + a(r^2)^2 + \ldots \)
\( - r(a + a(r^2)^1 + a(r^2)^2 + \ldots) \)
\( = (1 - r)(a + a(r^2)^1 + a(r^2)^2 + \ldots) \)
İkinci çarpan ilk terimi \( a \) ve ortak oranı \( r^2 \gt 1 \) olan bir geometrik seridir ve yukarıda "Durum 1"de gösterdiğimiz üzere ıraksaktır.
Bir ıraksak serinin \( 1 - r \ne 0 \) reel sayısı ile çarpımı da ıraksak olduğu için \( r \lt -1 \) için geometrik seri ıraksaktır.
Durum 4: \( r = -1 \)
Bu durumda geometrik seri aşağıdaki gibi olur.
\( s_n = a + (-a) + a + (-a) + \ldots \)
Bu geometrik serinin genel terimi \( n \to \infty \) iken \( a \) ve \( 0 \) değerleri arasında salınım hareketi yapar ve belirli bir değere yakınsamaz.
Önümüzdeki bölümlerde göreceğimiz ıraksaklık testine göre, genel teriminin sonsuzdaki limiti sıfır ya da tanımsız olan seriler ıraksaktır.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {ar^{n-1}} = \lim\limits_{n \to \infty} {a(-1)^{n-1}} \): Tanımsız
Buna göre \( r = -1 \) için geometrik seri ıraksaktır.
Durum 5: \( -1 \lt r \lt 1 \)
Sonsuz diziler bölümünde \( \abs{r} \lt 1 \) olduğu durumda \( n \to \infty \) iken \( r^n \to 0 \) olduğunu görmüştük.
\( s_n = a \cdot \dfrac{1 - \lim\limits_{n \to \infty} {r^n}}{1 - r} \)
\( = a \cdot \dfrac{1 - 0}{1 - r} \)
\( = \dfrac{a}{1 - r} \)
\( -1 \lt r \lt 1 \) için bu ifade reel sayı değere sahiptir.
Buna göre \( -1 \lt r \lt 1 \) için geometrik seri yakınsaktır.
Yukarıdaki beş durumu özetlersek; bir geometrik seri \( \abs{r} \lt 1 \) ise yakınsaktır, \( \abs{r} \ge 1 \) ise ıraksaktır.
Yukarıdaki ispatta gösterdiğimiz üzere, yakınsak geometrik serilerin toplamı aşağıdaki formülle bulunur.
\( \abs{r} \lt 1 \) olmak üzere,
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {ar^{n-1}} = \dfrac{a}{1 - r} \)
Geometrik olduğu bilinen bir seriyi toplam sembolü ile göstermek için serinin ilk terimi \( a \) parametresi, ilk iki terimin oranı da \( r \) parametresi olarak geometrik seri formülünde yerine konur.
\( 3 + \dfrac{6}{5} + \dfrac{12}{25} + \dfrac{24}{125} + \ldots \)
\( = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {3\left( \dfrac{2}{5} \right)^{n-1}} \)
\( 5 - 5 + 5 - 5 + \ldots \)
\( = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {5(-1)^{n-1}} \)
\( \displaystyle\sum_{n = 0}^{\infty} {\dfrac{3^{n-1}}{5^{n+1}}} \) serisinin yakınsak mı ıraksak mı olduğunu, yakınsak ise toplamını bulalım.
Seriyi geometrik seri formuna getirelim.
\( \displaystyle\sum_{n = 0}^{\infty} {\dfrac{3^{n-1}}{5^{n+1}}} = \displaystyle\sum_{n = 0}^{\infty} {\dfrac{3^n\ 3^{-1}}{5^n\ 5^1}} \)
\( = \displaystyle\sum_{n = 0}^{\infty} {\dfrac{3^n}{15 \cdot 5^n}} \)
\( = \displaystyle\sum_{n = 0}^{\infty} {\dfrac{1}{15}\left( \dfrac{3}{5} \right)^n} \)
Serinin ortak oranı: \( r = \frac{3}{5} \)
\( \abs{r} = \frac{3}{5} \lt 1 \) olduğu için seri yakınsaktır.
Serinin başlangıç indis değerini (\( n = 0 \)) kullanarak ilk terimi bulalım.
\( a = \dfrac{1}{15}\left( \dfrac{3}{5} \right)^0 = \dfrac{1}{15} \)
Serinin toplamını bulalım.
\( \dfrac{a}{1 - r} = \dfrac{\frac{1}{15}}{1 - \frac{3}{5}} \)
\( = \dfrac{\frac{1}{15}}{\frac{2}{5}} = \dfrac{1}{6} \)
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{3^{2n+1}}{(-2)^{3n-5}}} \) serisinin yakınsak mı ıraksak mı olduğunu, yakınsak ise toplamını bulalım.
Seriyi geometrik seri formuna getirelim.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{3^{2n+1}}{(-2)^{3n-5}}} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{3^{2n-2}\ 3^3}{(-2)^{3n-3}\ (-2)^2}} \)
\( = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{27 \cdot 9^{n-1}}{4 \cdot (-8)^{n-1}}} \)
\( = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{27}{4}\left( -\dfrac{9}{8} \right)^{n-1}} \)
Serinin ortak oranı: \( r = -\frac{9}{8} \)
\( \abs{r} = \frac{9}{8} \ge 1 \) olduğu için seri ıraksaktır.
\( \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{24} + \dfrac{1}{48} + \ldots \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz, seri yakınsak ise toplamını bulunuz.
Çözümü GösterSeriyi toplam sembolü ile ifade edelim.
\( \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} \cdot \left( \dfrac{1}{2} \right)^2 + \dfrac{1}{3} \cdot \left( \dfrac{1}{2} \right)^3 + \ldots \)
\( = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{1}{3}\left( \dfrac{1}{2} \right)^{n - 1}} \)
Seri ilk terimi \( a = \frac{1}{3} \) ve ortak oranı \( r = \frac{1}{2} \) olan bir geometrik seridir.
\( \abs{r} = \frac{1}{2} \lt 1 \) olduğu için seri yakınsaktır.
Serinin toplamını bulalım.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {ar^{n-1}} = \dfrac{a}{1 - r} \)
\( = \dfrac{\frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{2}} = \dfrac{2}{3} \) bulunur.
\( 5 - \dfrac{5}{3} + \dfrac{5}{9} - \dfrac{5}{27} + \ldots \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz, seri yakınsak ise toplamını bulunuz.
Çözümü GösterSeriyi toplam sembolü ile ifade edelim.
\( 5 + 5\left( -\dfrac{1}{3} \right) + 5\left( -\dfrac{1}{3} \right)^2 + 5\left( -\dfrac{1}{3} \right)^3 + \ldots \)
\( = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {5\left( -\dfrac{1}{3} \right)^{n - 1}} \)
Seri ilk terimi \( a = 5 \) ve ortak oranı \( r = -\frac{1}{3} \) olan bir geometrik seridir.
\( \abs{r} = \frac{1}{3} \lt 1 \) olduğu için seri yakınsaktır.
Serinin toplamını bulalım.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {ar^{n-1}} = \dfrac{a}{1 - r} \)
\( = \dfrac{5}{1 - (-\frac{1}{3})} = \dfrac{15}{4} \) bulunur.
\( 2 + \dfrac{8}{7} + \dfrac{32}{49} + \dfrac{128}{343} + \ldots \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz, seri yakınsak ise toplamını bulunuz.
Çözümü GösterSeriyi toplam sembolü ile ifade edelim.
\( 2 + 2 \cdot \dfrac{4}{7} + 2 \cdot \left( \dfrac{4}{7} \right)^2 + 2 \cdot \left( \dfrac{4}{7} \right)^3 + \ldots \)
\( = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {2\left( \dfrac{4}{7} \right)^{n-1}} \)
Seri ilk terimi \( a = 2 \) ve ortak oranı \( r = \frac{4}{7} \) olan bir geometrik seridir.
\( \abs{r} = \frac{4}{7} \lt 1 \) olduğu için seri yakınsaktır.
Serinin toplamını bulalım.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {ar^{n-1}} = \dfrac{a}{1 - r} \)
\( = \dfrac{2}{1 - \frac{4}{7}} = \dfrac{14}{3} \) bulunur.
\( 3 - 12 + 48 - 192 + \ldots \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz, seri yakınsak ise toplamını bulunuz.
Çözümü GösterSeriyi toplam sembolü ile ifade edelim.
\( 3 + 3(-4) + 3(-4)^2 + 3(-4)^3 + \ldots \)
\( = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {3(-4)^{n-1}} \)
Seri ilk terimi \( a = 3 \) ve ortak oranı \( r = -4 \) olan bir geometrik seridir.
\( \abs{r} = 4 \gt 1 \) olduğu için seri ıraksaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 0}^{\infty} {\dfrac{6^{n + 2}}{2^{n + 4}}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz, seri yakınsak ise toplamını bulunuz.
Çözümü GösterSeriyi geometrik seri formuna getirelim.
\( \displaystyle\sum_{n = 0}^{\infty} {\dfrac{6^{n + 2}}{2^{n + 4}}} = \displaystyle\sum_{n = 0}^{\infty} {\dfrac{6^n\ 6^2}{2^n\ 2^4}} \)
\( = \displaystyle\sum_{n = 0}^{\infty} {\dfrac{9}{4}\ 3^n} \)
Seri ilk terimi \( a = \frac{9}{4} \) ve ortak oranı \( r = 3 \) olan bir geometrik seridir.
\( \abs{r} = 3 \gt 1 \) olduğu için seri ıraksaktır.
\( \dfrac{4}{25} - \dfrac{8}{125} + \dfrac{16}{625} - \dfrac{32}{3125} + \ldots \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz, seri yakınsak ise toplamını bulunuz.
Çözümü GösterSeriyi toplam sembolü ile ifade edelim.
\( \left( -\dfrac{2}{5} \right)^2 + \left( -\dfrac{2}{5} \right)^3 + \left( -\dfrac{2}{5} \right)^4 + \left( -\dfrac{2}{5 } \right)^5 + \ldots \)
\( = \displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty} {\left( -\dfrac{2}{5} \right)^n} \)
Seri ilk terimi \( a = \frac{4}{25} \) ve ortak oranı \( r = -\frac{2}{5} \) olan bir geometrik seridir.
\( \abs{r} = \frac{2}{5} \lt 1 \) olduğu için seri yakınsaktır.
Serinin toplamını bulalım.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {ar^{n-1}} = \dfrac{a}{1 - r} \)
\( = \dfrac{\frac{4}{25}}{1 - (-\frac{2}{5})} = \dfrac{4}{35} \) bulunur.
\( 0,\overline{36} \) devirli ondalıklı sayısını geometrik seriler yardımıyla kesirli şekilde ifade ediniz.
Çözümü GösterDevirli ondalıklı sayıyı geometrik seri formuna getirelim.
\( 0,\overline{36} = 0,36363636\ldots \)
\( = 0,36 + 0,0036 + 0,000036 + 0,00000036 + \ldots \)
\( = \dfrac{36}{100} + \dfrac{36}{100^2} + \dfrac{36}{100^3} + \dfrac{36}{100^4} + \ldots \)
\( = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{36}{100}\left( \dfrac{1}{100} \right)^{n-1}} \)
Seri ilk terimi \( a = \frac{36}{100} \) ve ortak oranı \( r = \frac{1}{100} \) olan bir geometrik seridir.
\( \abs{r} = \frac{1}{100} \lt 1 \) olduğu için seri yakınsaktır.
Serinin toplamını bulalım.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {ar^{n-1}} = \dfrac{a}{1 - r} \)
\( = \dfrac{\frac{36}{100}}{1 - \frac{1}{100}} \)
\( = \dfrac{36}{99} = \dfrac{4}{11} \) bulunur.
\( 0,\overline{123} \) devirli ondalıklı sayısını geometrik seriler yardımıyla kesirli şekilde ifade ediniz.
Çözümü GösterDevirli ondalıklı sayıyı geometrik seri formuna getirelim.
\( 0,\overline{123} = 0,123123123123... \)
\( = 0,123 + 0,000123 + 0,000000123 + 0,000000000123 + \ldots \)
\( = \dfrac{123}{1000} + \dfrac{123}{1000^2} + \dfrac{123}{1000^3} + \dfrac{123}{1000^4} + \ldots \)
\( = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{123}{1000}\left( \dfrac{1}{1000} \right)^{n-1}} \)
Seri ilk terimi \( a = \frac{123}{1000} \) ve ortak oranı \( r = \frac{1}{1000} \) olan bir geometrik seridir.
\( \abs{r} = \frac{1}{1000} \lt 1 \) olduğu için seri yakınsaktır.
Serinin toplamını bulalım.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {ar^{n-1}} = \dfrac{a}{1 - r} \)
\( = \dfrac{\frac{123}{1000}}{1 - \frac{1}{1000}} \)
\( = \dfrac{123}{999} = \dfrac{41}{333} \) bulunur.
\( 0,\overline{9} \) devirli ondalıklı sayısını geometrik seriler yardımıyla kesirli şekilde ifade ediniz.
Çözümü GösterDevirli ondalıklı sayıyı geometrik seri formuna getirelim.
\( 0,\overline{9} = 0,9999... \)
\( = 0,9 + 0,09 + 0,009 + 0,0009 + \ldots \)
\( = \dfrac{9}{10} + \dfrac{9}{10^2} + \dfrac{9}{10^3} + \dfrac{9}{10^4} + \ldots \)
\( = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{9}{10}\left( \dfrac{1}{10} \right)^{n-1}} \)
Seri ilk terimi \( a = \frac{9}{10} \) ve ortak oranı \( r = \frac{1}{10} \) olan bir geometrik seridir.
\( \abs{r} = \frac{1}{10} \lt 1 \) olduğu için seri yakınsaktır.
Serinin toplamını bulalım.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {ar^{n-1}} = \dfrac{a}{1 - r} \)
\( = \dfrac{\frac{9}{10}}{1 - \frac{1}{10}} = 1 \) bulunur.
\( 0,0\overline{5} \) devirli ondalıklı sayısını geometrik seriler yardımıyla kesirli şekilde ifade ediniz.
Çözümü GösterDevirli ondalıklı sayıyı geometrik seri formuna getirelim.
\( 0,0\overline{5} = 0,05555... \)
\( = 0,05 + 0,005 + 0,0005 + 0,00005 + \ldots \)
\( = \dfrac{5}{100} + \dfrac{5}{100} \cdot \dfrac{1}{10} + \dfrac{5}{100} \cdot \dfrac{1}{10^2} + \dfrac{5}{100} \cdot \dfrac{1}{10^3} + \ldots \)
\( = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{5}{100} \left( \dfrac{1}{10} \right)^{n-1}} \)
Seri ilk terimi \( a = \frac{5}{100} \) ve ortak oranı \( r = \frac{1}{10} \) olan bir geometrik seridir.
\( \abs{r} = \frac{1}{10} \lt 1 \) olduğu için seri yakınsaktır.
Serinin toplamını bulalım.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {ar^{n-1}} = \dfrac{a}{1 - r} \)
\( = \dfrac{\frac{5}{100}}{1 - \frac{1}{10}} \)
\( = \dfrac{5}{90} = \dfrac{1}{18} \) bulunur.
\( 2,\overline{636} \) devirli ondalıklı sayısını geometrik seriler yardımıyla kesirli şekilde ifade ediniz.
Çözümü GösterDevirli ondalıklı sayıyı geometrik seri formuna getirelim.
\( 2,\overline{636} = 2,636636636636... \)
\( = 2 + 0,636 + 0,000636 + 0,000000636 + 0,000000000636 + \ldots \)
\( = 2 + \dfrac{636}{1000} + \dfrac{636}{1000^2} + \dfrac{636}{1000^3} + \dfrac{636}{1000^4} + \ldots \)
\( = 2 + \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{636}{1000}\left( \dfrac{1}{1000} \right)^{n-1}} \)
Seri ilk terimi \( a = \frac{636}{1000} \) ve ortak oranı \( r = \frac{1}{1000} \) olan bir geometrik seridir.
\( \abs{r} = \frac{1}{1000} \lt 1 \) olduğu için seri yakınsaktır.
Serinin toplamını bulalım.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {ar^{n-1}} = \dfrac{a}{1 - r} \)
\( = 2 + \dfrac{\frac{636}{1000}}{1 - \frac{1}{1000}} \)
\( = 2 + \dfrac{636}{999} \)
\( = 2 + \dfrac{212}{333} = \dfrac{878}{333} \) bulunur.
\( 3^x + 9^x + 27^x + 81^x + 243^x + \ldots = 1 \)
olduğuna göre, \( x \) kaçtır?
Çözümü GösterSeriyi geometrik seri formunda yazalım.
\( 3^x + 9^x + 27^x + 81^x + 243^x + \ldots = 1 \)
\( 3^x + (3^2)^x + (3^3)^x + (3^4)^x + (3^5)^x + \ldots = 1 \)
\( 3^x + (3^x)^2 + (3^x)^3 + (3^x)^4 + (3^x)^5 + \ldots = 1 \)
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {(3^x)^n} = 1 \)
\( r = 3^x \) geometrik serinin ortak oranı olmak üzere, serinin toplamı bir reel sayı olarak tanımlı olduğu için seri yakınsaktır, dolayısıyla \( \abs{r} \lt 1 \) olur.
Yakınsak geometrik serilerin toplam formülünü yazalım.
\( a \) serinin ilk terimi olmak üzere,
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {ar^{n-1}} = \dfrac{a}{1 - r} \)
\( = \dfrac{3^x}{1 - 3^x} = 1 \)
\( 3^x = 1 - 3^x \)
\( 3^x = \dfrac{1}{2} \)
\( x = \log_3{\dfrac{1}{2}} \)
\( = \log_3{2^{-1}} \)
\( = -\log_3{2} \) bulunur.