Kök Testi
Kök testi bir serinin \( n \). dereceden kökü üzerinden serinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu belirlemekte kullanılan bir testtir.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} \) bir seri olmak üzere,
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\sqrt[n]{\abs{a_n}}} = L \) limitinin değeri,
- \( L \lt 1 \) ise seri mutlak yakınsaktır (dolayısıyla yakınsaktır).
- \( L \gt 1 \) ya da sonsuz ise seri ıraksaktır.
- \( L = 1 \) ise test sonuçsuzdur (bu test serinin yakınsaklığı/ıraksaklığı hakkında kesin bilgi vermez).
İSPATI GÖSTER
Aşağıdaki şekilde bir seri tanımlayalım.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots \)
Kök testinde kullanacağımız limitin değerine \( L \) diyelim.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\sqrt[n]{\abs{a_n}}} = L \)
Kök testinin üç durumunu ayrı ayrı ispatlayalım.
Durum 1: \( L \lt 1 \)
Limit değerinden büyük ve 1'den küçük bir \( r \) değeri tanımlayalım.
\( L \lt r \lt 1 \)
\( n \to \infty \) iken \( \sqrt[n]{\abs{a_n}} \to L \) olduğuna göre, belirli bir \( n \ge N \) değeri için \( \sqrt[n]{\abs{a_n}} \lt r \) olacağını söyleyebiliriz.
Her \( n \ge N \) için, \( \sqrt[n]{\abs{a_n}} \lt r \)
Tarafların \( n \). kuvvetini alalım.
\( \abs{a_n} \lt r^n \)
\( \sum {\abs{a_n}} \) serisinin \( (N + 1) \). ve sonrasındaki terimlerinden oluşan seriyi yazalım.
\( \displaystyle\sum_{n = N + 1}^{\infty} {\abs{a_n}} = \abs{a_{N+1}} + \abs{a_{N+2}} + \abs{a_{N+3}} + \ldots \)
Yukarıdaki eşitsizlikleri bu serinin terimlerine uygulayalım.
\( \lt r^{N+1} + r^{N+2} + r^{N+3} + \ldots \)
\( = \displaystyle\sum_{n = N + 1}^{\infty} {r^{n}} \)
Buna göre \( \sum {\abs{a_n}} \) serisi için aşağıdaki eşitsizliği elde etmiş oluruz.
\( \displaystyle\sum_{n = N + 1}^{\infty} {\abs{a_n}} \lt \displaystyle\sum_{n = N + 1}^{\infty} {r^{n}} \)
Eşitsizliğin sağ tarafındaki seri ortak oranı \( 0 \lt r \lt 1 \) olan bir geometrik seridir, dolayısıyla yakınsaktır.
Buna göre, toplamı bu seriden küçük olan pozitif terimli \( \sum_{n = N + 1}^{\infty} {\abs{a_n}} \) serisi de yakınsak olur.
\( \sum {\abs{a_n}} \) serisinin tüm terimlerinden oluşan toplamı yazalım.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\abs{a_n}} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{N} {\abs{a_n}} + \displaystyle\sum_{n = N + 1}^{\infty} {\abs{a_n}} \)
Bu eşitliğin sağ tarafındaki birinci toplam sonlu sayıda terimden oluşur, dolayısıyla yakınsaktır. Eşitliğin sağ tarafındaki ikinci toplamın da yakınsak olduğunu göstermiş olduk, buna göre bu iki serinin toplamı olan \( \sum {\abs{a_n}} \) serisi yakınsak olur.
\( \sum {\abs{a_n}} \) serisi yakınsak olduğu için \( \sum {a_n} \) serisi mutlak yakınsaktır.
Durum 2: \( L \gt 1 \)
Yukarıda \( L \lt 1 \) için yaptığımız ispat \( L \gt 1 \) durumuna aşağıdaki değişikliklerle uyarlanabilir.
Limit değerinden küçük ve 1'den büyük bir \( r \) değeri tanımlayalım.
\( 1 \lt r \lt L \)
Durum 1'deki adımları bu \( r \) değeri ile tekrarladığımızda \( \sum {\abs{a_n}} \) serisinin toplamının ortak oranı 1'den büyük olan ıraksak bir geometrik seriden büyük olduğunu buluruz, dolayısıyla \( \sum {\abs{a_n}} \) serisi de ıraksak olarak bulunur.
Durum 3: \( L = 1 \)
Bu durumda testin sonuçsuz olduğunu iki örnek vererek gösterelim.
Önce ıraksak olduğunu bildiğimiz bir harmonik seriye kök testini uygulayalım.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{1}{n}} = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \ldots \)
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\sqrt[n]{\abs{a_n}}} = \lim\limits_{n \to \infty} {\sqrt[n]{\abs{\frac{1}{n}}}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{1}{\abs{\sqrt[n]{n}}}} \)
Her \( n \ge 1 \) için mutlak değer içi pozitif olur.
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{1}{\sqrt[n]{n}}} \)
\( n \to \infty \) iken \( \sqrt[n]{n} \to 1 \) olur.
\( = 1 \)
Şimdi de yakınsak olduğunu bildiğimiz bir \( p \)-serisine kök testini uygulayalım.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{1}{n^2}} = 1 + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{9} + \ldots \)
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\sqrt[n]{\abs{a_n}}} = \lim\limits_{n \to \infty} {\sqrt[n]{\abs{\frac{1}{n^2}}}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{1}{\abs{\sqrt[n]{n^2}}}} \)
Her \( n \ge 1 \) için mutlak değer içi pozitif olur.
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{1}{\sqrt[n]{n^2}}} \)
\( n \to \infty \) iken \( \sqrt[n]{n^2} \to 1 \) olur.
\( = 1 \)
Kök testinde bulduğumuz limit değeri hem yakınsak hem de ıraksak seriler için 1 olabileceği için test bu durumda sonuçsuz olur.
Kök testi pozitif terimli serilere mutlak değer olmadan aşağıdaki şekilde uygulanabilir.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} \) pozitif terimli bir seri olmak üzere,
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\sqrt[n]{a_n}} = L \) limitinin değeri,
- \( L \lt 1 \) ise seri yakınsaktır.
- \( L \gt 1 \) ya da sonsuz ise seri ıraksaktır.
- \( L = 1 \) ise test sonuçsuzdur (bu test serinin yakınsaklığı/ıraksaklığı hakkında kesin bilgi vermez).
Kök testi genellikle \( n \). dereceden üs içeren serilerde kullanılır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\left( \dfrac{2n - 1}{3n + 2} \right)^n} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyelim.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\left( \dfrac{2n - 1}{3n + 2} \right)^n} \)
Verilen seriye kök testi uygulayalım.
Bu serinin terimleri her \( n \ge 1 \) pozitiftir.
Buna göre pozitif terimli kök testini kullanabiliriz.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\sqrt[n]{a_n}} = \lim\limits_{n \to \infty} {\sqrt[n]{\left( \dfrac{2n - 1}{3n + 2} \right)^n}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{2n - 1}{3n + 2}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{n(2 - \frac{1}{n})}{n(3 + \frac{2}{n})}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{2 - \frac{1}{n}}{3 + \frac{2}{n}}} \)
\( = \dfrac{2 - \lim\limits_{n \to \infty} {\frac{1}{n}}}{3 + \lim\limits_{n \to \infty} \frac{2}{n}} \)
\( = \dfrac{2 - 0}{3 + 0} = \dfrac{2}{3} \lt 1 \)
Kök testine göre, limit değeri 1'den küçük olduğu için seri yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{6^n}{(5n)^n}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü Göster\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{6^n}{(5n)^n}} \)
Verilen seriye kök testi uygulayalım.
Bu serinin terimleri her \( n \ge 1 \) pozitiftir.
Buna göre pozitif terimli kök testini kullanabiliriz.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\sqrt[n]{a_n}} = \lim\limits_{n \to \infty} {\sqrt[n]{\dfrac{6^n}{(5n)^n}}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{6^{\frac{n}{n}}}{(5n)^{\frac{n}{n}}}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{6}{5n}} \)
\( = 0 \lt 1 \)
Kök testine göre, limit değeri 1'den küçük olduğu için \( \sum {a_n} \) serisi yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {n^n} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü Göster\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {n^n} \)
Verilen seriye kök testi uygulayalım.
Bu serinin terimleri her \( n \ge 1 \) pozitiftir.
Buna göre pozitif terimli kök testini kullanabiliriz.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\sqrt[n]{a_n}} = \lim\limits_{n \to \infty} {\sqrt[n]{n^n}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {n^{\frac{n}{n}}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {n} = \infty \)
Kök testine göre, limitin sonucu sonsuz olduğu için \( \sum {a_n} \) serisi ıraksaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty} {\left( \dfrac{5n + 4}{4n - 6} \right)^n} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü Göster\( \displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty} {\left( \dfrac{5n + 4}{4n - 6} \right)^n} \)
Verilen seriye kök testi uygulayalım.
Bu serinin terimleri her \( n \ge 2 \) pozitiftir.
Buna göre pozitif terimli kök testini kullanabiliriz.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\sqrt[n]{a_n}} = \lim\limits_{n \to \infty} {\sqrt[n]{\left( \dfrac{5n + 4}{4n - 6} \right)^n}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} (\dfrac{5n + 4}{4n - 6})^{\frac{n}{n}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{5n + 4}{4n - 6}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{n(5 + \frac{4}{n})}{n(4 - \frac{6}{n})}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{5 + \frac{4}{n}}{4 - \frac{6}{n}}} \)
\( = \dfrac{5 + \lim\limits_{n \to \infty} {\frac{4}{n}}}{4 - \lim\limits_{n \to \infty} {\frac{6}{n}}} \)
\( = \dfrac{5 + 0}{4 - 0} = \dfrac{5}{4} \gt 1 \)
Kök testine göre, limit değeri 1'den büyük olduğu için \( \sum {a_n} \) serisi ıraksaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{n}{5^n}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü Göster\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{n}{5^n}} \)
Verilen seriye kök testi uygulayalım.
Bu serinin terimleri her \( n \ge 1 \) pozitiftir.
Buna göre pozitif terimli kök testini kullanabiliriz.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\sqrt[n]{a_n}} = \lim\limits_{n \to \infty} {\sqrt[n]{\dfrac{n}{5^n}}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{\sqrt[n]{n}}{5^{\frac{n}{n}}}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{\sqrt[n]{n}}{5}} \)
\( = \dfrac{\lim\limits_{n \to \infty} {\sqrt[n]{n}}}{5} \)
Aşağıdaki limit kuralını kullanalım.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\sqrt[n]{n}} = 1 \)
\( = \dfrac{1}{5} \lt 1 \)
Kök testine göre, limit değeri 1'den küçük olduğu için \( \sum {a_n} \) serisi yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\left( \ln(e^3 + \frac{1}{n^2}) \right)^n} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü Göster\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\left( \ln(e^3 + \frac{1}{n^2}) \right)^n} \)
Verilen seriye kök testi uygulayalım.
Bu serinin terimleri her \( n \ge 1 \) pozitiftir.
Buna göre pozitif terimli kök testini kullanabiliriz.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\sqrt[n]{a_n}} = \lim\limits_{n \to \infty} {\sqrt[n]{\left( \ln(e^3 + \dfrac{1}{n^2}) \right)^n}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} \left( \ln(e^3 + \dfrac{1}{n^2}) \right)^{\frac{n}{n}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\ln(e^3 + \dfrac{1}{n^2})} \)
Logaritma fonksiyonu pozitif reel sayılarda sürekli olduğu için limit ifadesi logaritma içine alınabilir.
\( = \ln(e^3 + \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{1}{n^2}}) \)
\( = \ln(e^3 + 0) \)
\( = \ln{e^3} = 3 \gt 1 \)
Kök testine göre, limit değeri 1'den büyük olduğu için \( \sum {a_n} \) serisi ıraksaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 0}^{\infty} {2^{\frac{n^2}{n + 7}}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü Göster\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {2^{\frac{n^2}{n + 7}}} \)
Verilen seriye kök testi uygulayalım.
Bu serinin terimleri her \( n \ge 0 \) pozitiftir.
Buna göre pozitif terimli kök testini kullanabiliriz.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\sqrt[n]{a_n}} = \lim\limits_{n \to \infty} {\sqrt[n]{2^{\frac{n^2}{n + 7}}}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {2^\frac{n^2}{n(n + 7)}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {2^\frac{n}{n + 7}} \)
Üstel fonksiyon tüm reel sayılarda sürekli olduğu için limit ifadesi üstel ifadenin üssüne alınabilir.
\( = 2^{\lim\limits_{n \to \infty} {\frac{n}{n + 7}}} \)
\( = 2^{\lim\limits_{n \to \infty} {\frac{n}{n(1 + \frac{7}{n})}}} \)
\( = 2^{\lim\limits_{n \to \infty} {\frac{1}{1 + \frac{7}{n}}}} \)
\( = 2^{\frac{1}{1 + \lim\limits_{n \to \infty} {\frac{7}{n}}}} \)
\( = 2^{\frac{1}{1 + 0}} = 2 \gt 1 \)
Kök testine göre, limit değeri 1'den büyük olduğu için \( \sum {a_n} \) serisi ıraksaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty} \left( \dfrac{\ln{n}}{n} \right)^n \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü Göster\( \displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty} \left( \dfrac{\ln{n}}{n} \right)^n \)
Verilen seriye kök testi uygulayalım.
Bu serinin terimleri her \( n \ge 2 \) pozitiftir.
Buna göre pozitif terimli kök testini kullanabiliriz.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\sqrt[n]{a_n}} = \lim\limits_{n \to \infty} {\sqrt[n]{\left( \dfrac{\ln{n}}{n} \right)^n}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\left( \dfrac{\ln{n}}{n} \right)^\frac{n}{n}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{\ln{n}}{n}} \)
Aşağıdaki limit kuralını kullanalım.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{\ln{n}}{n}} = 0 \)
\( = 0 \lt 1 \)
Kök testine göre, limit değeri 1'den küçük olduğu için \( \sum {a_n} \) serisi yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{2^{n + 1}}{n^n}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü Göster\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{2^{n + 1}}{n^n}} \)
Verilen seriye kök testi uygulayalım.
Bu serinin terimleri her \( n \ge 1 \) pozitiftir.
Buna göre pozitif terimli kök testini kullanabiliriz.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\sqrt[n]{a_n}} = \lim\limits_{n \to \infty} {\sqrt[n]{\dfrac{2^{n + 1}}{n^n}}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{2^{\frac{n + 1}{n}}}{n^\frac{n}{n}}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{2^{\frac{n + 1}{n}}}{n}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{2^{1 + \frac{1}{n}}}{n}} \)
\( n \to \infty \) iken \( 2^{1 + \frac{1}{n}} \to 2 \) olur.
\( n \) sonsuza giderken bu limit ifadesinin payı 2'ye paydası sonsuza gittiği için limit değeri sıfır olur.
\( = 0 \lt 1 \)
Kök testine göre, limit değeri 1'den küçük olduğu için \( \sum {a_n} \) serisi yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} \left( \sin^2{\frac{1}{\sqrt{n}}} \right)^n \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü Göster\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} \left( \sin^2{\frac{1}{\sqrt{n}}} \right)^n \)
Verilen seriye kök testi uygulayalım.
Bu serinin terimleri her \( n \ge 1 \) pozitiftir.
Buna göre pozitif terimli kök testini kullanabiliriz.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\sqrt[n]{a_n}} = \lim\limits_{n \to \infty} {\sqrt[n]{\left( \sin^2{\frac{1}{\sqrt{n}}} \right)^n}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} \left( \sin^2{\frac{1}{\sqrt{n}}} \right)^\frac{n}{n} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\sin^2{\frac{1}{\sqrt{n}}}} \)
Sinüs fonksiyonu tüm reel sayılarda sürekli olduğu için limiti sinüs fonksiyonu içine alabiliriz.
\( = \sin^2{\lim\limits_{n \to \infty} {\frac{1}{\sqrt{n}}}} \)
\( n \to \infty \) iken \( \frac{1}{\sqrt{n}} \to 0 \) olur.
\( = \sin^2{0} \)
\( = 0 \lt 1 \)
Kök testine göre, limit değeri 1'den küçük olduğu için \( \sum {a_n} \) serisi yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} \left( \dfrac{n}{n + 4} \right)^{n^2} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü Göster\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} \left( \dfrac{n}{n + 4} \right)^{n^2} \)
Verilen seriye kök testi uygulayalım.
Bu serinin terimleri her \( n \ge 1 \) pozitiftir.
Buna göre pozitif terimli kök testini kullanabiliriz.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\sqrt[n]{a_n}} = \lim\limits_{n \to \infty} {\sqrt[n]{\left( \dfrac{n}{n + 4} \right)^{n^2}}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\left( \dfrac{n}{n + 4} \right)^\frac{n^2}{n}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\left( \dfrac{n}{n + 4} \right)^n} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{1}{\left( \frac{n + 4}{n} \right)^n}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{1}{\left( 1 + \frac{4}{n} \right)^n}} \)
\( = \dfrac{1}{\lim\limits_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{4}{n} \right)^n} \)
Aşağıdaki limit kuralını kullanalım.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\left( 1 + \dfrac{a}{n} \right)^n} = e^a \)
\( = \dfrac{1}{e^4} \lt 1 \)
Kök testine göre, limit değeri 1'den küçük olduğu için \( \sum {a_n} \) serisi yakınsaktır.