Önceki bölümde yakınsak serilerin . teriminin sonsuzdaki limitinin sıfır olduğunu görmüştük.
Bu önermeye denk olan karşıt tersine göre, bir serinin . teriminin sonsuzdaki limiti sıfırdan farklı ya da tanımsız ise seri ıraksaktır.
Iraksaklık testinin tersi doğru olmayabilir, yani ise seri yakınsak olmayabilir. Örnek olarak, sonsuzdaki limiti sıfır olan aşağıdaki iki seriden birincisi yakınsak iken ikincisi ıraksaktır.
Buna göre ıraksaklık testi bir serinin yakınsak olduğunu göstermek için kullanılamaz, dolayısıyla . terimin limitinin sıfır olduğu durumda diğer bir test kullanılmalıdır.
Iraksaklık testinin karşıtı da doğru olmayabilir, yani bir seri ıraksak ise . teriminin limiti sıfır olabilir. Örnek olarak, ıraksak olan harmonik serilerin sonsuzdaki limiti sıfırdır.
Iraksaklık testi uygulaması oldukça kolay bir test olduğu için bir serinin yakınsaklığına karar vermek için ilk başvurulması gereken testlerden biridir.
ÖRNEK 1:
serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyelim.
Serinin . teriminin sonsuzdaki limitini bulalım.
Serinin . teriminin sonsuzdaki limiti sıfırdan farklı olduğu için seri ıraksaktır.
ÖRNEK 2:
serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyelim.
Serinin . teriminin sonsuzda limitini aldığımızda belirsizliği olduğunu görürüz.
Limit ifadesinde belirsizliği vardır. Belirsizliği gidermek için ifadeye L'Hospital kuralını uygulayalım.
Belirsizlik devam ettiği için ifadeye tekrar L'Hospital kuralını uygulayalım.
Serinin . teriminin sonsuzdaki limiti sonsuz, dolayısıyla tanımsız olduğu için seri ıraksaktır.
SORU 1 :
Aşağıdaki serilerin yakınsaklık/ıraksaklık durumlarını inceleyiniz
(a)
(b)
(c)
Çözümü Göster
(a) seçeneği:
Serinin . teriminin sonsuzdaki limitini bulalım.
Serinin . teriminin sonsuzdaki limiti sıfırdan farklı olduğu için seri ıraksaktır.
(b) seçeneği:
Serinin . teriminin sonsuzdaki limitini bulalım.
Serinin . teriminin sonsuzdaki limiti sonsuz, dolayısıyla tanımsız olduğu için seri ıraksaktır.
(c) seçeneği:
Serinin . teriminin sonsuzdaki limitini bulalım.
iken olur.
Serinin . terimi sonsuza giderken -1 ve 1 değerleri arasında gidip geldiği için limiti tanımlı değildir, dolayısıyla seri ıraksaktır.
SORU 2 :
serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü Göster
Serinin . teriminin sonsuzdaki limitini bulalım.
Kosinüs fonksiyonu tüm reel sayılarda sürekli olduğu için limiti kosinüs ifadesinin içine alabiliriz.
iken olur.
Serinin . teriminin sonsuzdaki limiti sıfırdan farklı olduğu için seri ıraksaktır.
SORU 3 :
serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü Göster
Serinin . teriminin sonsuzdaki limitini bulalım.
Sinüs fonksiyonu tüm reel sayılarda sürekli olduğu için limiti sinüs ifadesinin içine alabiliriz.
iken olur.
Serinin . teriminin sonsuzdaki limiti sıfırdan farklı olduğu için seri ıraksaktır.
SORU 4 :
serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü Göster
Serinin . teriminin sonsuzdaki limitini bulalım.
Aşağıdaki limit kuralını kullanalım.
Serinin . teriminin sonsuzdaki limiti sıfırdan farklı olduğu için seri ıraksaktır.
SORU 5 :
serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü Göster
Serinin . teriminin sonsuzda limitini aldığımızda belirsizliği olduğunu görürüz.
Belirsizliği gidermek için ifadeye L'Hospital kuralını uygulayalım.
Belirsizlik devam ettiği için ifadeye tekrar L'Hospital kuralını uygulayalım.
iken olur.
Serinin . teriminin sonsuzdaki limiti sıfırdır, dolayısıyla ıraksaklık testine göre bu serinin yakınsaklığı/ıraksaklığı hakkında bir şey söyleyemeyiz.
Ancak bu serinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu belirlemek için ileriki bölümlerde göreceğimiz oran testi kullanılabilir.
SORU 6 :
serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü Göster
Serinin . teriminin sonsuzdaki limitini bulalım.
Payı ve paydayı, paydadaki en yüksek dereceli terimle sadeleştirelim.
iken , ve olur.
Serinin . teriminin sonsuzdaki limiti sıfırdan farklı olduğu için seri ıraksaktır.
SORU 7 :
serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü Göster
Serinin . teriminin sonsuzdaki limitini bulalım.
Payı ve paydayı, paydadaki en yüksek dereceli terimle sadeleştirelim.
iken ve olur.
iken olur.
Serinin . teriminin sonsuzdaki limiti sonsuz, dolayısıyla tanımsız olduğu için seri ıraksaktır.
SORU 8 :
serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü Göster
Serinin . teriminin sonsuzdaki limitini bulalım.
Tam sayı değerlerinde ifadesi değerlerini alır, dolayısıyla yerine yazabiliriz.
sonsuza giderken ifadesi sonsuza gider, seri ifadesi ile ardışık değerlerinde işaret değiştirir.
Serinin . teriminin sonsuzdaki limiti tanımsız olduğu için seri ıraksaktır.
SORU 9 :
serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü Göster
Serinin . teriminin sonsuzdaki limitini bulalım.
Limit ifadesinde belirsizliği vardır. Belirsizliği gidermek için ifadeye L'Hospital kuralını uygulayalım.
iken olur.
Serinin . teriminin sonsuzdaki limiti sıfırdan farklı olduğu için seri ıraksaktır.