Iraksaklık Testi
Önceki bölümde yakınsak serilerin \( n \). teriminin sonsuzdaki limitinin sıfır olduğunu görmüştük.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} \) yakınsak ise \( \lim\limits_{n \to \infty} {a_n} = 0 \) olur.
İSPATI GÖSTER
\( \sum {a_n} \) yakınsak bir seri olsun ve serinin \( n \). kısmi toplamlar dizisine \( s_n \), yakınsadığı değere de \( L \) diyelim.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} = \lim\limits_{n \to \infty} {s_n} = L \)
\( n \to \infty \) iken \( n - 1 \to \infty \) olur ve \( s_{n-1} \) de \( L \) değerine yaklaşır.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {s_{n-1}} = L \)
İki kısmi toplam ifadesinin farkının limitini alalım.
\( \lim\limits_{n \to \infty} (s_n - s_{n-1}) = \lim\limits_{n \to \infty} {s_n} - \lim\limits_{n \to \infty} {s_{n-1}} \)
\( = L - L = 0 \)
\( s_n \) ve \( s_{n-1} \) ifadelerinin açılımını yazalım.
\( s_n = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n \)
\( s_{n-1} = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_{n-1} \)
İki eşitliğin farkını alalım.
\( s_n - s_{n-1} = a_n \)
Bu ifadeyi yukarıdaki limit ifadesinde yerine koyalım.
\( \lim\limits_{n \to \infty} (s_n - s_{n-1}) = 0 \)
\( \lim\limits_{n \to \infty} {a_n} = 0 \)
Bu önermeye denk olan karşıt tersine göre, bir serinin \( n \). teriminin sonsuzdaki limiti sıfırdan farklı ya da tanımsız ise seri ıraksaktır.
\( \lim\limits_{n \to \infty}{a_n} \ne 0 \) veya \( \lim\limits_{n \to \infty}{a_n} \) tanımsız ise,
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} \) serisi ıraksaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {n} \) serisi,
\( \lim\limits_{n \to \infty} {n} = \infty \) olduğu için ıraksaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{2n}{5n - 1}} \) serisi,
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{2n}{5n - 1}} = \dfrac{2}{5} \ne 0 \) olduğu için ıraksaktır.
İSPATI GÖSTER
Karşıt tersle ispat yöntemini kullanalım.
\( \sum_{n = 1}^{\infty}{a_n} \) şeklinde tanımlı bir seri yakınsak ise serinin \( n \). teriminin sonsuzdaki limiti sıfıra eşittir.
\( \lim\limits_{n \to \infty} a_n = 0 \)
Önermeler mantığına göre, bir önerme karşıt tersine denktir.
\( (p \Rightarrow q) \equiv (q' \Rightarrow p') \)
Buna göre bir serinin \( n \). teriminin limiti sıfıra eşit değilse (sıfırdan farklı ya da tanımsız ise) bu seri yakınsak değildir (ıraksaktır).
Bu testin bir diğer adı \( n \). terim testidir.
Iraksaklık testinin tersi doğru olmayabilir, yani \( \lim\limits_{n \to \infty} {a_n} = 0 \) ise seri yakınsak olmayabilir. Örnek olarak, sonsuzdaki limiti sıfır olan aşağıdaki iki seriden birincisi yakınsak iken ikincisi ıraksaktır.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{1}{n^2}} = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{1}{n}} = 0 \)
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{1}{n^2}} \) serisi yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{1}{n}} \) serisi ıraksaktır.
Buna göre ıraksaklık testi bir serinin yakınsak olduğunu göstermek için kullanılamaz, dolayısıyla \( n \). terimin limitinin sıfır olduğu durumda diğer bir test kullanılmalıdır.
Iraksaklık testinin karşıtı da doğru olmayabilir, yani bir seri ıraksak ise \( n \). teriminin limiti sıfır olabilir. Örnek olarak, ıraksak olan harmonik serilerin sonsuzdaki limiti sıfırdır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{1}{n}} \) serisi ıraksaktır.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{1}{n}} = 0 \)
Iraksaklık testi uygulaması oldukça kolay bir test olduğu için bir serinin yakınsaklığına karar vermek için ilk başvurulması gereken testlerden biridir.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{2n^2 - 3n^3}{4n^3 - 5}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyelim.
Serinin \( n \). teriminin sonsuzdaki limitini bulalım.
\( \lim\limits_{n \to \infty}{\dfrac{2n^2 - 3n^3}{4n^3 - 5}} = \lim\limits_{n \to \infty}{\dfrac{n^3(\frac{2}{n} - 3)}{n^3(4 - \frac{5}{n^3})}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty}{\dfrac{\frac{2}{n} - 3}{4 - \frac{5}{n^3}}} \)
\( = \dfrac{\lim\limits_{n \to \infty}{\frac{2}{n}} - 3}{4 - \lim\limits_{n \to \infty}{\frac{5}{n^3}}} \)
\( = \dfrac{0 - 3}{4 - 0} = -\dfrac{3}{4} \)
Serinin \( n \). teriminin sonsuzdaki limiti sıfırdan farklı olduğu için seri ıraksaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{e^n}{n^2}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyelim.
Serinin \( n \). teriminin sonsuzda limitini aldığımızda \( \frac{\infty}{\infty} \) belirsizliği olduğunu görürüz.
\( \lim\limits_{n \to \infty}{\dfrac{e^{5n}}{n^2}} \)
Limit ifadesinde \( \frac{\infty}{\infty} \) belirsizliği vardır. Belirsizliği gidermek için ifadeye L'Hospital kuralını uygulayalım.
\( = \lim\limits_{n \to \infty}{\dfrac{5e^{5n}}{2n}} \)
Belirsizlik devam ettiği için ifadeye tekrar L'Hospital kuralını uygulayalım.
\( = \lim\limits_{n \to \infty}{\dfrac{25e^{5n}}{2}} = \infty \)
Serinin \( n \). teriminin sonsuzdaki limiti sonsuz, dolayısıyla tanımsız olduğu için seri ıraksaktır.
Aşağıdaki serilerin yakınsaklık/ıraksaklık durumlarını inceleyiniz
(a) \( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{n + 1}{n}} \)
(b) \( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\sqrt{n}} \)
(c) \( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {(-1)^n} \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{n + 1}{n}} \)
Serinin \( n \). teriminin sonsuzdaki limitini bulalım.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{n + 1}{n}} = 1 \)
Serinin \( n \). teriminin sonsuzdaki limiti sıfırdan farklı olduğu için seri ıraksaktır.
(b) seçeneği:
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\sqrt{n}} \)
Serinin \( n \). teriminin sonsuzdaki limitini bulalım.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\sqrt{n}} = \infty \)
Serinin \( n \). teriminin sonsuzdaki limiti sonsuz, dolayısıyla tanımsız olduğu için seri ıraksaktır.
(c) seçeneği:
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {(-1)^n} \)
Serinin \( n \). teriminin sonsuzdaki limitini bulalım.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {(-1)^n} \)
\( n \to \infty \) iken \( (-1)^n \to \pm 1 \) olur.
Serinin \( n \). terimi \( n \) sonsuza giderken -1 ve 1 değerleri arasında gidip geldiği için limiti tanımlı değildir, dolayısıyla seri ıraksaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\cos{\frac{1}{2n}}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü GösterSerinin \( n \). teriminin sonsuzdaki limitini bulalım.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\cos{\dfrac{1}{2n}}} \)
Kosinüs fonksiyonu tüm reel sayılarda sürekli olduğu için limiti kosinüs ifadesinin içine alabiliriz.
\( = \cos{\lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{1}{2n}}} \)
\( n \to \infty \) iken \( \frac{1}{2n} \to 0 \) olur.
\( = \cos{0} = 1 \)
Serinin \( n \). teriminin sonsuzdaki limiti sıfırdan farklı olduğu için seri ıraksaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\sin(\dfrac{3\pi}{2} + \dfrac{2}{n})} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü GösterSerinin \( n \). teriminin sonsuzdaki limitini bulalım.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\sin(\dfrac{3\pi}{2} + \dfrac{2}{n})} \)
Sinüs fonksiyonu tüm reel sayılarda sürekli olduğu için limiti sinüs ifadesinin içine alabiliriz.
\( = \sin{\lim\limits_{n \to \infty} (\dfrac{3\pi}{2} + \dfrac{2}{n})} \)
\( = \sin(\lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{3\pi}{2}} + \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{2}{n}}) \)
\( n \to \infty \) iken \( \frac{2}{n} \to 0 \) olur.
\( = \sin(\dfrac{3\pi}{2} + 0) \)
\( = -1 \)
Serinin \( n \). teriminin sonsuzdaki limiti sıfırdan farklı olduğu için seri ıraksaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\left( \dfrac{n + 4}{n} \right)^n} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü GösterSerinin \( n \). teriminin sonsuzdaki limitini bulalım.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\left( \dfrac{n + 4}{n} \right)^n} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\left( 1 + \dfrac{4}{n} \right)^n} \)
Aşağıdaki limit kuralını kullanalım.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\left( 1 + \dfrac{a}{n} \right)^n} = e^a \)
\( = e^4 \)
Serinin \( n \). teriminin sonsuzdaki limiti sıfırdan farklı olduğu için seri ıraksaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{n^2}{e^n}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü GösterSerinin \( n \). teriminin sonsuzda limitini aldığımızda \( \frac{\infty}{\infty} \) belirsizliği olduğunu görürüz.
\( \lim\limits_{n \to \infty}{\dfrac{n^2}{e^n}} \)
Belirsizliği gidermek için ifadeye L'Hospital kuralını uygulayalım.
\( = \lim\limits_{n \to \infty}{\dfrac{(n^2)'}{(e^n)'}} = \lim\limits_{n \to \infty}{\dfrac{2n}{e^n}} \)
Belirsizlik devam ettiği için ifadeye tekrar L'Hospital kuralını uygulayalım.
\( = \lim\limits_{n \to \infty}{\dfrac{(2n)'}{(e^n)'}} = \lim\limits_{n \to \infty}{\dfrac{2}{e^n}} \)
\( n \to \infty \) iken \( \frac{1}{e^n} \to 0 \) olur.
\( = 0 \)
Serinin \( n \). teriminin sonsuzdaki limiti sıfırdır, dolayısıyla ıraksaklık testine göre bu serinin yakınsaklığı/ıraksaklığı hakkında bir şey söyleyemeyiz.
Ancak bu serinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu belirlemek için ileriki bölümlerde göreceğimiz oran testi kullanılabilir.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{n(n + 2)}{(n + 1)(n + 3)}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü GösterSerinin \( n \). teriminin sonsuzdaki limitini bulalım.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{n(n + 2)}{(n + 1)(n + 3)}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{n^2 + 2n}{n^2 + 4n + 3}} \)
Payı ve paydayı, paydadaki en yüksek dereceli terimle sadeleştirelim.
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{n^2(1 + \frac{2}{n})}{n^2(1 + \frac{4}{n} + \frac{3}{n^2})}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{1 + \frac{2}{n}}{1 + \frac{4}{n} + \frac{3}{n^2}}} \)
\( = \dfrac{1 + \lim\limits_{n \to \infty} {\frac{2}{n}}}{1 + \lim\limits_{n \to \infty} {\frac{4}{n}} + \lim\limits_{n \to \infty} {\frac{3}{n^2}}} \)
\( n \to \infty \) iken \( \frac{2}{n} \to 0 \), \( \frac{4}{n} \to 0 \) ve \( \frac{3}{n^2} \to 0 \) olur.
\( = \dfrac{1 + 0}{1 + 0 + 0} = 1 \)
Serinin \( n \). teriminin sonsuzdaki limiti sıfırdan farklı olduğu için seri ıraksaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{3n + 2}{4 - 5\sqrt{n}}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü GösterSerinin \( n \). teriminin sonsuzdaki limitini bulalım.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{3n + 2}{4 - 5\sqrt{n}}} \)
Payı ve paydayı, paydadaki en yüksek dereceli terimle sadeleştirelim.
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{\sqrt{n}(3\sqrt{n} + \frac{2}{\sqrt{n}})}{\sqrt{n}(\frac{4}{\sqrt{n}} - 5)}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{3\sqrt{n} + \frac{2}{\sqrt{n}}}{\frac{4}{\sqrt{n}} - 5}} \)
\( = \dfrac{\lim\limits_{n \to \infty} {3\sqrt{n}} + \lim\limits_{n \to \infty} {\frac{2}{\sqrt{n}}}}{\lim\limits_{n \to \infty} {\frac{4}{\sqrt{n}}} - \lim\limits_{n \to \infty} {5}} \)
\( n \to \infty \) iken \( \frac{2}{\sqrt{n}} \to 0 \ \) ve \( \frac{4}{\sqrt{n}} \to 0 \) olur.
\( n \to \infty \) iken \( \sqrt{n} \to \infty \) olur.
\( = \dfrac{\infty + 0}{0 - 5} = -\infty \)
Serinin \( n \). teriminin sonsuzdaki limiti sonsuz, dolayısıyla tanımsız olduğu için seri ıraksaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} { n^2\pi\cos(n\pi)} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü GösterSerinin \( n \). teriminin sonsuzdaki limitini bulalım.
\( \lim\limits_{n \to \infty} { n^2\pi\cos(n\pi)} \)
Tam sayı \( n \) değerlerinde \( \cos(n\pi) \) ifadesi \( \pm 1 \) değerlerini alır, dolayısıyla \( \cos(n\pi) \) yerine \( (-1)^n \) yazabiliriz.
\( = \lim\limits_{n \to \infty} (n^2\pi(-1)^n) \)
\( n \) sonsuza giderken \( n^2\pi \) ifadesi sonsuza gider, seri \( (-1)^n \) ifadesi ile ardışık \( n \) değerlerinde işaret değiştirir.
Serinin \( n \). teriminin sonsuzdaki limiti tanımsız olduğu için seri ıraksaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{3^n + n}{3^n}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü GösterSerinin \( n \). teriminin sonsuzdaki limitini bulalım.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{3^n + n}{3^n}} = \lim\limits_{n \to \infty} \left( 1 + \dfrac{n}{3^n} \right) \)
\( = 1 + \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{n}{3^n}} \)
Limit ifadesinde \( \frac{\infty}{\infty} \) belirsizliği vardır. Belirsizliği gidermek için ifadeye L'Hospital kuralını uygulayalım.
\( = 1 + \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{(n)'}{(3^n)'}} \)
\( = 1 + \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{1}{3^n\ln{3}}} \)
\( = 1 + \dfrac{1}{\ln{3}}\lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{1}{3^n}} \)
\( n \to \infty \) iken \( \frac{1}{3^n} \to 0 \) olur.
\( = 1 + \dfrac{1}{\ln{3}} \cdot 0 = 1 \)
Serinin \( n \). teriminin sonsuzdaki limiti sıfırdan farklı olduğu için seri ıraksaktır.