Sonsuz Seriler
Sonsuz terimden oluşan bir dizinin terimlerinin toplamına sonsuz seri ya da kısaca seri denir.
\( (a_n)_{n=1}^{\infty} \) bir sonsuz dizi olmak üzere,
\( a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_k + \ldots \)
toplamına seri denir.
Bu toplamdaki her bir \( a_k \) terimine serinin \( k \). terimi denir. Bir serinin sonsuza giden terimlerinin toplamı kısaca \( \sum \) sembolü ile gösterilir.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots \)
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {n^2} = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots \)
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{2^n}{n!}} = \dfrac{2^1}{1!} + \dfrac{2^2}{2!} + \dfrac{2^3}{3!} + \ldots \)
\( \sum {a_n} \) şeklindeki bir gösterimde serinin başlangıç indisi \( n = 1 \) ve bitiş indisi \( \infty \) olarak kabul edilebilir.
Bir serinin ilk \( n \) teriminin toplamına o serinin \( n \). kısmi toplamı denir ve \( s_n \) ile gösterilir.
\( s_n = \displaystyle\sum_{k = 1}^n {a_k} \)
\( = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n \)
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {n^3} \) serisinin 1., 2., 3. ve 4. kısmi toplamları:
\( s_1 = a_1 = 1 \)
\( s_2 = a_1 + a_2 = 9 \)
\( s_3 = a_1 + a_2 + a_3 = 36 \)
\( s_4 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 100 \)
Bir serinin \( n \). kısmi toplamları da bir dizi oluşturur. Bu diziye \( n \). kısmi toplamlar dizisi denir ve \( (s_n) \) ile gösterilir.
\( (s_n) = (s_1, s_2, s_3, s_4, s_5, \ldots) \)
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {n^3} \) serisinin kısmi toplamlar dizisi:
\( (s_n) = (1, 9, 36, 100, 225, \ldots) \)
Bir \( \sum {a_n} \) serisi ile ilişkili olan \( a_n \) ve \( s_n \) dizileri arasındaki ayrım iyi anlaşılmalıdır. \( a_n \) dizisi serinin terimlerinden oluşurken \( s_n \) dizisi serinin \( n \). kısmi toplamlarından oluşur.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {n^2} \) serisi için:
Serinin terimlerinden oluşan dizi:
\( (a_n) = (1, 4, 9, 16, 25, \ldots) \)
Serinin \( n \). kısmi toplamlar dizisi:
\( (s_n) = (1, 5, 14, 30, 55, \ldots) \)
Bir serinin sonsuz sayıdaki teriminin toplamına o serinin toplamı ya da değeri denir.
Bir serinin toplamı \( n \) sonsuza giderken kısmi toplamlar dizisinin yaklaştığı değere eşittir, bu değer serinin \( n \). kısmi toplamlarının limiti alınarak bulunabilir.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} = \lim\limits_{n \to \infty} {s_n} \)