Oran Testi
Oran testi bir serinin ardışık terimlerinin oranı üzerinden serinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu belirlemekte kullanılan bir testtir.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} \) bir seri olmak üzere,
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\abs{\dfrac{a_{n+1}}{a_n}}} = L \) limitinin değeri,
- \( L \lt 1 \) ise seri mutlak yakınsaktır (dolayısıyla yakınsaktır).
- \( L \gt 1 \) ya da sonsuz ise seri ıraksaktır.
- \( L = 1 \) ise test sonuçsuzdur (bu test serinin yakınsaklığı/ıraksaklığı hakkında kesin bilgi vermez).
İSPATI GÖSTER
Aşağıdaki şekilde bir seri tanımlayalım.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots \)
Oran testinde kullanacağımız limitin değerine \( L \) diyelim.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\abs{\dfrac{a_{n+1}}{a_n}}} = L \)
Oran testinin üç durumunu ayrı ayrı ispatlayalım.
Durum 1: \( L \lt 1 \)
Limit değerinden büyük ve 1'den küçük bir \( r \) değeri tanımlayalım.
\( L \lt r \lt 1 \)
\( n \to \infty \) iken \( \abs{\frac{a_{n+1}}{a_n}} \to L \) olduğuna göre, belirli bir \( n \ge N \) değeri için \( \abs{\frac{a_{n+1}}{a_n}} \lt r \) olacağını söyleyebiliriz.
Her \( n \ge N \) için, \( \abs{a_{n+1}} \lt \abs{a_{n}}r \)
Bu eşitsizliği kullanarak benzer eşitsizlikleri \( N \)., \( (N + 1) \)., \( (N + 2) \) vb. terimler için yazalım.
\( \abs{a_{N+1}} \lt \abs{a_{N}}r \)
\( \abs{a_{N+2}} \lt \abs{a_{N+1}}r \lt \abs{a_{N}}r^2 \)
\( \abs{a_{N+3}} \lt \abs{a_{N+2}}r \lt \abs{a_{N}}r^3 \)
Bu örüntüyü devam ettirerek aynı eşitsizliği \( (N + k) \). terim için yazalım.
\( \abs{a_{N+k}} \lt \abs{a_{N}}r^k \)
\( \sum {\abs{a_n}} \) serisinin \( (N + 1) \). ve sonrasındaki terimlerinden oluşan seriyi yazalım.
\( \displaystyle\sum_{n = N + 1}^{\infty} {\abs{a_n}} = \abs{a_{N+1}} + \abs{a_{N+2}} + \abs{a_{N+3}} + \ldots \)
Yukarıdaki eşitsizlikleri bu serinin terimlerine uygulayalım.
\( \lt \abs{a_{N}}r + \abs{a_{N}}r^2 + \abs{a_{N}}r^3 + \ldots \)
\( = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\abs{a_{N}}r^{n}} \)
Buna göre \( \sum {\abs{a_n}} \) serisi için aşağıdaki eşitsizliği elde etmiş oluruz.
\( \displaystyle\sum_{n = N + 1}^{\infty} {\abs{a_n}} \lt \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\abs{a_{N}}r^{n}} \)
Eşitsizliğin sağ tarafındaki seri ortak oranı \( 0 \lt r \lt 1 \) olan bir geometrik seridir, dolayısıyla yakınsaktır.
Buna göre, toplamı bu seriden küçük olan pozitif terimli \( \sum_{n = N + 1}^{\infty} {\abs{a_n}} \) serisi de yakınsak olur.
\( \sum {\abs{a_n}} \) serisinin tüm terimlerinden oluşan toplamı yazalım.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\abs{a_n}} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{N} {\abs{a_n}} + \displaystyle\sum_{n = N + 1}^{\infty} {\abs{a_n}} \)
Bu eşitliğin sağ tarafındaki birinci toplam sonlu sayıda terimden oluşur, dolayısıyla yakınsaktır. Eşitliğin sağ tarafındaki ikinci toplamın da yakınsak olduğunu göstermiş olduk, buna göre bu iki serinin toplamı olan \( \sum {\abs{a_n}} \) serisi yakınsak olur.
\( \sum {\abs{a_n}} \) serisi yakınsak olduğu için \( \sum {a_n} \) serisi mutlak yakınsaktır.
Durum 2: \( L \gt 1 \)
Yukarıda \( L \lt 1 \) için yaptığımız ispat \( L \gt 1 \) durumuna aşağıdaki değişikliklerle uyarlanabilir.
Limit değerinden küçük ve 1'den büyük bir \( r \) değeri tanımlayalım.
\( 1 \lt r \lt L \)
Durum 1'deki adımları bu \( r \) değeri ile tekrarladığımızda \( \sum {\abs{a_n}} \) serisinin toplamının ortak oranı 1'den büyük olan ıraksak bir geometrik seriden büyük olduğunu buluruz, dolayısıyla \( \sum {\abs{a_n}} \) serisi de ıraksak olarak bulunur.
Durum 3: \( L = 1 \)
Bu durumda testin sonuçsuz olduğunu iki örnek vererek gösterelim.
Önce ıraksak olduğunu bildiğimiz bir harmonik seriye oran testini uygulayalım.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{1}{n}} = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \ldots \)
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\abs{\dfrac{a_{n+1}}{a_n}}} = \lim\limits_{n \to \infty} {\abs{\dfrac{\frac{1}{n + 1}}{\frac{1}{n}}}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\abs{\dfrac{n}{n + 1}}} \)
Her \( n \ge 1 \) için mutlak değer içi pozitif olur.
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{n}{n + 1}} \)
\( = 1 \)
Şimdi de yakınsak olduğunu bildiğimiz bir \( p \)-serisine oran testini uygulayalım.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{1}{n^2}} = 1 + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{9} + \ldots \)
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\abs{\dfrac{a_{n+1}}{a_n}}} = \lim\limits_{n \to \infty} {\abs{\dfrac{\frac{1}{(n + 1)^2}}{\frac{1}{n^2}}}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\abs{\dfrac{n^2}{n^2 + 2n + 1}}} \)
Her \( n \ge 1 \) için mutlak değer içi pozitif olur.
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{n^2}{n^2 + 2n + 1}} \)
\( = 1 \)
Oran testinde bulduğumuz limit değeri hem yakınsak hem de ıraksak seriler için 1 olabileceği için test bu durumda sonuçsuz olur.
Oran testi pozitif terimli serilere mutlak değer olmadan aşağıdaki şekilde uygulanabilir.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} \) pozitif terimli bir seri olmak üzere,
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{a_{n+1}}{a_n}} = L \) limitinin değeri,
- \( L \lt 1 \) ise seri yakınsaktır.
- \( L \gt 1 \) ya da sonsuz ise seri ıraksaktır.
- \( L = 1 \) ise test sonuçsuzdur (bu test serinin yakınsaklığı/ıraksaklığı hakkında kesin bilgi vermez).
Oran testi genellikle faktöriyel, kuvvet ve üstel ifadeler içeren serilerde kullanılır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{n^2}{n!}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyelim.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{n^2}{n!}} \)
Verilen seriye oran testi uygulayalım.
Bu serinin terimleri her \( n \ge 1 \) pozitiftir.
Buna göre pozitif terimli oran testini kullanabiliriz.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{a_{n+1}}{a_n}} = \lim\limits_{n \to \infty} \left( \dfrac{a_{n+1}}{1} \cdot \dfrac{1}{a_n} \right) \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} \left( \dfrac{(n + 1)^2}{(n + 1)!} \cdot \dfrac{n!}{n^2} \right) \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{(n + 1)^2}{(n + 1)n^2}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{n^2 + 2n + 1}{n^3 + n^2}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{n^3(\frac{1}{n} + \frac{2}{n^2} + \frac{1}{n^3})}{n^3(1 + \frac{1}{n})}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{\frac{1}{n} + \frac{2}{n^2} + \frac{1}{n^3}}{1 + \frac{1}{n}}} \)
\( = \dfrac{\lim\limits_{n \to \infty} {\frac{1}{n}} + \lim\limits_{n \to \infty} {\frac{2}{n^2}} + \lim\limits_{n \to \infty} {\frac{1}{n^3}}}{1 + \lim\limits_{n \to \infty} {\frac{1}{n}}} \)
\( = \dfrac{0 + 0 + 0}{1 + 0} = 0 \lt 1 \)
Oran testine göre, limit değeri 1'den küçük olduğu için seri yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{(2n)!}{(-3)^n}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyelim.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{(2n)!}{(-3)^n}} \)
Verilen seriye oran testi uygulayalım.
Bu seri hem pozitif hem negatif terimler içerir.
Buna göre mutlak değerli oran testini kullanalım.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\abs{\dfrac{a_{n+1}}{a_n}}} = \lim\limits_{n \to \infty} {\abs{\dfrac{a_{n+1}}{1} \cdot \dfrac{1}{a_n}}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\abs{\dfrac{[2(n + 1)]!}{(-3)^{n+1}} \cdot \dfrac{(-3)^n}{(2n)!}}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\abs{\dfrac{(2n + 2)(2n + 1)(2n)!}{(-3)^{n+1}} \cdot \dfrac{(-3)^n}{(2n)!}}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\abs{\dfrac{(2n + 2)(2n + 1)}{-3}}} \)
Paydaki ifade her \( n \ge 1 \) için pozitiftir.
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{(2n + 2)(2n + 1)}{3}} \)
\( n \to \infty \) iken bu ifade sonsuza gider.
\( = \infty \)
Oran testine göre, limit değeri sonsuz olduğu için seri ıraksaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {n(\dfrac{1}{3})^n} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü Göster\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {n(\dfrac{1}{3})^n} \)
\( = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{n}{3^n}} \)
Verilen seriye oran testi uygulayalım.
Bu serinin terimleri her \( n \ge 1 \) için pozitiftir.
Buna göre pozitif terimli oran testini kullanabiliriz.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{a_{n+1}}{a_n}} = \lim\limits_{n \to \infty} \left( \dfrac{a_{n+1}}{1} \cdot \dfrac{1}{a_n} \right) \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} \left( \dfrac{n + 1}{3^{n+1}} \cdot \dfrac{3^n}{n} \right) \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{n + 1}{3n}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} \left( \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3n} \right) \)
\( = \dfrac{1}{3} + \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{1}{3n}} \)
\( = \dfrac{1}{3} + 0 = \dfrac{1}{3} \lt 1 \)
Oran testine göre, limit değeri 1'den küçük olduğu için \( \sum {a_n} \) serisi yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{5^n}{n!}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü Göster\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{5^n}{n!}} \)
Verilen seriye oran testi uygulayalım.
Bu serinin terimleri her \( n \ge 1 \) için pozitiftir.
Buna göre pozitif terimli oran testini kullanabiliriz.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{a_{n+1}}{a_n}} = \lim\limits_{n \to \infty} \left( \dfrac{a_{n+1}}{1} \cdot \dfrac{1}{a_n} \right) \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} \left( \dfrac{5^{n + 1}}{(n + 1)!} \cdot \dfrac{n!}{5^n} \right) \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{5}{n + 1}} \)
\( = 0 \lt 1 \)
Oran testine göre, limit değeri 1'den küçük olduğu için \( \sum {a_n} \) serisi yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{n!}{6^n}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü Göster\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{n!}{6^n}} \)
Verilen seriye oran testi uygulayalım.
Bu serinin terimleri her \( n \ge 1 \) için pozitiftir.
Buna göre pozitif terimli oran testini kullanabiliriz.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{a_{n+1}}{a_n}} = \lim\limits_{n \to \infty} \left( \dfrac{a_{n+1}}{1} \cdot \dfrac{1}{a_n} \right) \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} \left( \dfrac{(n + 1)!}{6^{n + 1}} \cdot \dfrac{6^n}{n!} \right) \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{n + 1}{6}} \)
Bu rasyonel fonksiyonda payın derecesi paydanınkinden büyük olduğu için payın büyüme hızı daha büyüktür, dolayısıyla ifadenin limiti sonsuzdur.
\( = \infty \)
Oran testine göre, limitin sonucu sonsuz olduğu için \( \sum {a_n} \) serisi ıraksaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {n^2(\dfrac{1}{7})^n} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü Göster\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {n^2(\dfrac{1}{7})^n} \)
\( = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{n^2}{7^n}} \)
Verilen seriye oran testi uygulayalım.
Bu serinin terimleri her \( n \ge 1 \) için pozitiftir.
Buna göre pozitif terimli oran testini kullanabiliriz.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{a_{n+1}}{a_n}} = \lim\limits_{n \to \infty} \left( \dfrac{a_{n+1}}{1} \cdot \dfrac{1}{a_n} \right) \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} \left( \dfrac{(n + 1)^2}{7^{n+1}} \cdot \dfrac{7^n}{n^2} \right) \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{(n + 1)^2}{7n^2}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{n^2 + 2n + 1}{7n^2}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{n^2(1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2})}{7n^2}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2}}{7}} \)
\( = \dfrac{1 + \lim\limits_{n \to \infty} {\frac{2}{n}} + \lim\limits_{n \to \infty} {\frac{1}{n^2}}}{7} \)
\( = \dfrac{1 + 0 + 0}{7} = \dfrac{1}{7} \lt 1 \)
Oran testine göre, limit değeri 1'den küçük olduğu için \( \sum {a_n} \) serisi yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{n + 6}{3^n}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü Göster\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{n + 6}{3^n}} \)
Verilen seriye oran testi uygulayalım.
Bu serinin terimleri her \( n \ge 1 \) için pozitiftir.
Buna göre pozitif terimli oran testini kullanabiliriz.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{a_{n+1}}{a_n}} = \lim\limits_{n \to \infty} \left( \dfrac{a_{n+1}}{1} \cdot \dfrac{1}{a_n} \right) \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} \left( \dfrac{(n + 1) + 6}{3^{n + 1}} \cdot \dfrac{3^n}{n + 6} \right) \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{n + 7}{3(n + 6)}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{n + 7}{3n + 18}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{n(1 + \frac{7}{n})}{n(3 + \frac{18}{n})}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{1 + \frac{7}{n}}{3 + \frac{18}{n}}} \)
\( = \dfrac{1 + \lim\limits_{n \to \infty}{\frac{7}{n}}}{3 + \lim\limits_{n \to \infty} {\frac{18}{n}}} \)
\( = \dfrac{1 + 0}{3 + 0} = \dfrac{1}{3} \lt 1 \)
Oran testine göre, limit değeri 1'den küçük olduğu için \( \sum {a_n} \) serisi yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{(n!)^3}{(2n)!}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü Göster\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{(n!)^3}{(2n)!}} \)
Verilen seriye oran testi uygulayalım.
Bu serinin terimleri her \( n \ge 1 \) için pozitiftir.
Buna göre pozitif terimli oran testini kullanabiliriz.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{a_{n+1}}{a_n}} = \lim\limits_{n \to \infty} \left( \dfrac{a_{n+1}}{1} \cdot \dfrac{1}{a_n} \right) \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} \left( \dfrac{((n + 1)!)^3}{(2(n + 1))!} \cdot \dfrac{(2n)!}{(n!)^3} \right) \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} \left( \dfrac{(n + 1)^3(n!)^3}{(2n + 2)(2n + 1)(2n)!} \cdot \dfrac{(2n)!}{(n!)^3} \right) \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{(n + 1)^3}{(2n + 2)(2n + 1)}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{n^3 + 3n^2 + 3n + 1}{4n^2 + 6n + 2}} \)
Bu rasyonel fonksiyonda payın derecesi paydanınkinden büyük olduğu için payın büyüme hızı daha büyüktür, dolayısıyla ifadenin limiti sonsuzdur.
\( = \infty \)
Oran testine göre, limitin sonucu sonsuz olduğu için \( \sum {a_n} \) serisi ıraksaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{n^2(n + 1)!}{n!\ 3^{2n}}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü Göster\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{n^2(n + 1)!}{n!\ 3^{2n}}} \)
İfadeyi düzenleyelim.
\( = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{n^2(n + 1)n!}{n!\ 3^{2n}}} \)
\( = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{n^2(n + 1)}{3^{2n}}} \)
Verilen seriye oran testi uygulayalım.
Bu serinin terimleri her \( n \ge 1 \) için pozitiftir.
Buna göre pozitif terimli oran testini kullanabiliriz.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{a_{n+1}}{a_n}} = \lim\limits_{n \to \infty} \left( \dfrac{a_{n+1}}{1} \cdot \dfrac{1}{a_n} \right) \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} \left( \dfrac{(n + 1)^2\ ((n + 1) + 1)}{3^{2(n + 1)}} \cdot \dfrac{3^{2n}}{n^2\ (n + 1)} \right) \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{(n + 1)(n + 2)}{9n^2}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{n^2 + 3n + 2}{9n^2}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{n^2(1 + \frac{3}{n} + \frac{2}{n^2})}{9n^2}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{1 + \frac{3}{n} + \frac{2}{n^2}}{9}} \)
\( = \dfrac{1 + \lim\limits_{n \to \infty} {\frac{3}{n}} + \lim\limits_{n \to \infty} {\frac{2}{n^2}}}{9} \)
\( = \dfrac{1 + 0 + 0}{9} = \dfrac{1}{9} \lt 1 \)
Oran testine göre, limit değeri 1'den küçük olduğu için \( \sum {a_n} \) serisi yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty} {\dfrac{5^{n + 2}}{\ln{n}}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü Göster\( \displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty} {\dfrac{5^{n + 2}}{\ln{n}}} \)
Verilen seriye oran testi uygulayalım.
Bu serinin terimleri her \( n \ge 2 \) için pozitiftir.
Buna göre pozitif terimli oran testini kullanabiliriz.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{a_{n+1}}{a_n}} = \lim\limits_{n \to \infty} \left( \dfrac{a_{n+1}}{1} \cdot \dfrac{1}{a_n} \right) \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} \left( \dfrac{5^{(n + 1) + 2}}{\ln(n + 1)} \cdot \dfrac{\ln{n}}{5^{n + 2}} \right) \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{5\ln{n}}{\ln(n + 1)}} \)
Elde ettiğimiz limitte \( \lim\limits_{n \to \infty} (5\ln{n}) = \infty \) ve \( \lim\limits_{n \to \infty} {\ln(n + 1)} = \infty \) olduğu için \( \dfrac{\infty}{\infty} \) belirsizliği vardır. Dolayısıyla L'Hospital kuralını uygulayabiliriz.
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{(5\ln{n})'}{(\ln(n + 1))'}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{\frac{5}{n}}{\frac{1}{n + 1}}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty}{\dfrac{5n + 5}{n}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} \left( 5 + \dfrac{5}{n} \right) \)
\( = 5 + \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{5}{n}} \)
\( = 5 + 0 = 5 \gt 1 \)
Oran testine göre, limit değeri 1'den büyük olduğu için \( \sum {a_n} \) serisi ıraksaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{n^2\cos^2{n}}{3^n}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü Göster\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{n^2\cos^2{n}}{3^n}} \)
Bu seri ile aşağıdaki seri arasında direkt karşılaştırma testi uygulayalım.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {b_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{n^2}{3^n}} \)
İki serinin de terimleri her \( n \ge 1 \) için pozitiftir.
Kosinüs fonksiyonunun değer aralığı \( [-1, 1] \) olduğu için \( \cos^2{x} \) ifadesinin değer aralığı \( [0, 1] \) olur, dolayısıyla her \( n \) için \( \cos^2{n} \le 1 \) olur.
Paydaları eşit iki ifadeden payı büyük olan daha büyüktür (\( n^2\cos^2{n} \le n^2 \)).
\( a_n = \dfrac{n^2\cos^2{n}}{3^n} \le \dfrac{n^2}{3^n} = b_n \)
\( \sum {b_n} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu incelemek için seriye oran testini uygulayalım.
Bu serinin terimleri her \( n \ge 1 \) için pozitiftir.
Buna göre pozitif terimli oran testini kullanabiliriz.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{b_{n+1}}{b_n}} = \lim\limits_{n \to \infty} \left( \dfrac{b_{n+1}}{1} \cdot \dfrac{1}{b_n} \right) \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} \left( \dfrac{(n + 1)^2}{3^{n + 1}} \cdot \dfrac{3^n}{n^2} \right) \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{(n + 1)^2}{3n^2}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{n^2 + 2n + 1}{3n^2}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{n^2(1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2})}{3n^2}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2}}{3}} \)
\( = \dfrac{1 + \lim\limits_{n \to \infty} {\frac{2}{n}} + \lim\limits_{n \to \infty} {\frac{1}{n^2}}}{3} \)
\( = \dfrac{1 + 0 + 0}{3} = \dfrac{1}{3} \lt 1 \)
Oran testine göre, limit değeri 1'den küçük olduğu için \( \sum {b_n} \) serisi yakınsaktır.
Direkt karşılaştırma testine göre, \( \sum {b_n} \) serisi yakınsak ve her \( n \ge 1 \) için \( a_n \le b_n \) olduğu için \( \sum {a_n} \) serisi de yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{{11}^n(n!)^2}{(3n)!}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü Göster\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{{11}^n(n!)^2}{(3n)!}} \)
Verilen seriye oran testi uygulayalım.
Bu serinin terimleri her \( n \ge 1 \) için pozitiftir.
Buna göre pozitif terimli oran testini kullanabiliriz.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{a_{n+1}}{a_n}} = \lim\limits_{n \to \infty} \left( \dfrac{a_{n+1}}{1} \cdot \dfrac{1}{a_n} \right) \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} \left( \dfrac{{11}^{n + 1}((n + 1)!)^2}{(3(n + 1))!} \cdot \dfrac{(3n)!}{{11}^n(n!)^2} \right) \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} \left( \dfrac{{11}^{n + 1}(n + 1)^2 (n!)^2}{(3n + 3)(3n + 2)(3n + 1)(3n)!} \cdot \dfrac{(3n)!}{{11}^n(n!)^2} \right) \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{11(n + 1)^2}{(3n + 3)(3n + 2)(3n + 1)}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{11n^2 + 22n + 11}{27n^3 + 54n^2 + 33n + 6}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{n^3(\frac{11}{n} + \frac{22}{n^2} + \frac{11}{n^3})}{n^3(27 + \frac{54}{n} + \frac{33}{n^2} + \frac{6}{n^3})}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{\frac{11}{n} + \frac{22}{n^2} + \frac{11}{n^3}}{27 + \frac{54}{n} + \frac{33}{n^2} + \frac{6}{n^3}}} \)
\( = \dfrac{\lim\limits_{n \to \infty} {\frac{11}{n}} + \lim\limits_{n \to \infty} {\frac{22}{n^2}} + \lim\limits_{n \to \infty} {\frac{11}{n^3}}}{27 + \lim\limits_{n \to \infty} {\frac{54}{n}} + \lim\limits_{n \to \infty} {\frac{33}{n^2}} + \lim\limits_{n \to \infty} {\frac{6}{n^3}}} \)
\( = \dfrac{0 + 0 + 0}{27 + 0 + 0 + 0} = 0 \lt 1 \)
Oran testine göre, limit değeri 1'den küçük olduğu için \( \sum {a_n} \) serisi yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{3^n}{n^2\ 2^n}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü Göster\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{3^n}{n^2\ 2^n}} \)
Verilen seriye oran testi uygulayalım.
Bu serinin terimleri her \( n \ge 1 \) için pozitiftir.
Buna göre pozitif terimli oran testini kullanabiliriz.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{a_{n+1}}{a_n}} = \lim\limits_{n \to \infty} \left( \dfrac{a_{n+1}}{1} \cdot \dfrac{1}{a_n} \right) \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} \left( \dfrac{3^{n + 1}}{(n + 1)^2\ 2^{n + 1}} \cdot \dfrac{n^2\ 2^n}{3^n} \right) \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty}{\dfrac{3n^2}{2(n + 1)^2}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty}{\dfrac{3n^2}{2n^2 + 4n + 2}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty}{\dfrac{3n^2}{n^2(2 + \frac{4}{n} + \frac{2}{n^2})}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty}{\dfrac{3}{2 + \frac{4}{n} + \frac{2}{n^2}}} \)
\( = \dfrac{3}{2 + \lim\limits_{n \to \infty}{\frac{4}{n}} + \lim\limits_{n \to \infty} {\frac{2}{n^2}}} \)
\( = \dfrac{3}{2 + 0 + 0} = \dfrac{3}{2} \gt 1 \)
Oran testine göre, limit değeri 1'den büyük olduğu için \( \sum {a_n} \) serisi ıraksaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{n^4}{4^n}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü Göster\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{n^4}{4^n}} \)
Verilen seriye oran testi uygulayalım.
Bu serinin terimleri her \( n \ge 1 \) için pozitiftir.
Buna göre pozitif terimli oran testini kullanabiliriz.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{a_{n+1}}{a_n}} = \lim\limits_{n \to \infty} \left( \dfrac{a_{n+1}}{1} \cdot \dfrac{1}{a_n} \right) \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} \left( \dfrac{(n + 1)^4}{4^{n + 1}} \cdot \dfrac{4^n}{n^4} \right) \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{(n + 1)^4}{4n^4}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{n^4 + 4n^3 + 6n^2 + 4n + 1}{4n^4}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{n^4(1 + \frac{4}{n} + \frac{6}{n^2} + \frac{4}{n^3} + \frac{1}{n^4})}{4n^4}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{1 + \frac{4}{n} + \frac{6}{n^2} + \frac{4}{n^3} + \frac{1}{n^4}}{4}} \)
\( = \dfrac{1 + \lim\limits_{n \to \infty} {\frac{4}{n}} + \lim\limits_{n \to \infty} {\frac{6}{n^2}} + \lim\limits_{n \to \infty} {\frac{4}{n^3}} + \lim\limits_{n \to \infty} {\frac{1}{n^4}}}{4} \)
\( = \dfrac{1 + 0 + 0 + 0 + 0}{4} = \dfrac{1}{4} \lt 1 \)
Oran testine göre, limit değeri 1'den küçük olduğu için \( \sum {a_n} \) serisi yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{n^3}{e^n}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü Göster\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{n^3}{e^n}} \)
Verilen seriye oran testi uygulayalım.
Bu serinin terimleri her \( n \ge 1 \) için pozitiftir.
Buna göre pozitif terimli oran testini kullanabiliriz.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{a_{n+1}}{a_n}} = \lim\limits_{n \to \infty} \left( \dfrac{a_{n+1}}{1} \cdot \dfrac{1}{a_n} \right) \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} \left( \dfrac{(n + 1)^3}{e^{n + 1}} \cdot \dfrac{e^n}{n^3} \right) \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty}{\dfrac{(n + 1)^3}{en^3}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty}{\dfrac{n^3 + 3n^2 + 3n + 1}{en^3}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty}{\dfrac{n^3(1 + \frac{3}{n} + \frac{3}{n^2} + \frac{1}{n^3})}{en^3}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty}{\dfrac{1 + \frac{3}{n} + \frac{3}{n^2} + \frac{1}{n^3}}{e}} \)
\( = \dfrac{1 + \lim\limits_{n \to \infty} {\frac{3}{n}} + \lim\limits_{n \to \infty} {\frac{3}{n^2}} + \lim\limits_{n \to \infty} {\frac{1}{n^3}}}{e} \)
\( e = 2,7182... \)
\( = \dfrac{1 + 0 + 0}{e} = \dfrac{1}{e} \lt 1 \)
Oran testine göre, limit değeri 1'den küçük olduğu için \( \sum {a_n} \) serisi yakınsaktır.
\( x \in \mathbb{R^+} \) olmak üzere,
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{(7x)^n}{8n^2}} \) serisi yakınsak olduğuna göre, \( x \) değer aralığını bulunuz.
Çözümü Göster\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{(7x)^n}{8n^2}} \)
Verilen seriye oran testi uygulayalım.
Bu serinin terimleri \( x \gt 0 \) olduğundan her \( n \ge 1 \) için pozitiftir.
Buna göre pozitif terimli oran testini kullanabiliriz.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{a_{n+1}}{a_n}} = \lim\limits_{n \to \infty} \left( \dfrac{a_{n+1}}{1} \cdot \dfrac{1}{a_n} \right) \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} \left( \dfrac{(7x)^{n + 1}}{8(n + 1)^2} \cdot \dfrac{8n^2}{(7x)^n} \right) \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{7xn^2}{(n + 1)^2}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{7xn^2}{n^2 + 2n + 1}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{7xn^2}{n^2(1 + \dfrac{2}{n} + \dfrac{1}{n^2})}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{7x}{1 + \dfrac{2}{n} + \dfrac{1}{n^2}}} \)
\( = \dfrac{7x}{1 + \lim\limits_{n \to \infty} {\frac{2}{n}} + \lim\limits_{n \to \infty} {\frac{1}{n^2}}} \)
\( = \dfrac{7x}{1 + 0 + 0} = 7x \)
Verilen seri yakınsak olduğu için elde ettiğimiz limit değeri 1'den küçük olmalıdır.
\( 7x \lt 1 \)
\( x \lt \dfrac{1}{7} \)
Ayrıca \( x \in \mathbb{R^+} \) olduğu için \( x \) değer aralığı \( (0, \frac{1}{7}) \) olarak bulunur.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{e^{2n}((n + 1)!)^2}{(2n)!}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü Göster\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{e^{2n}((n + 1)!)^2}{(2n)!}} \)
Verilen seriye oran testi uygulayalım.
Bu serinin terimleri her \( n \ge 1 \) için pozitiftir.
Buna göre pozitif terimli oran testini kullanabiliriz.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{a_{n+1}}{a_n}} = \lim\limits_{n \to \infty} \left( \dfrac{a_{n+1}}{1} \cdot \dfrac{1}{a_n} \right) \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} \left( \dfrac{e^{2(n + 1)}((n + 2)!)^2}{(2(n + 1))!} \cdot \dfrac{(2n)!}{e^{2n}((n + 1)!)^2} \right) \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} \left( \dfrac{e^{2n + 2}(n + 2)^2((n + 1)!)^2}{(2n + 2)(2n + 1)(2n)!} \cdot \dfrac{(2n)!}{e^{2n}((n + 1)!)^2} \right) \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{e^2(n + 2)^2}{(2n + 2)(2n + 1)}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{e^2n^2 + 4e^2n + 4e^2}{4n^2 + 6n + 2}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{n^2(e^2 + \frac{4e^2}{n} + \frac{4e^2}{n^2})}{n^2(4 + \frac{6}{n} + \frac{2}{n^2})}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{e^2 + \frac{4e^2}{n} + \frac{4e^2}{n^2}}{4 + \frac{6}{n} + \frac{2}{n^2}}} \)
\( = \dfrac{e^2 + \lim\limits_{n \to \infty} {\frac{4e^2}{n}} + \lim\limits_{n \to \infty} {\frac{4e^2}{n^2}}}{4 + \lim\limits_{n \to \infty} {\frac{6}{n}} + \lim\limits_{n \to \infty} {\frac{2}{n^2}}} \)
\( = \dfrac{e^2 + 0 + 0}{4 + 0 + 0} \)
\( e = 2,7182... \)
\( = \dfrac{e^2}{4} \gt 1 \)
Oran testine göre, limit değeri 1'den büyük olduğu için \( \sum {a_n} \) serisi ıraksaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{n!}{n^{n + 2}}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü Göster\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{n!}{n^{n + 2}}} \)
Bu seri ile aşağıdaki seri arasında direkt karşılaştırma testi uygulayalım.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {b_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{n!}{n^n}} \)
İki serinin de terimleri her \( n \ge 1 \) için pozitiftir.
Payları eşit iki ifadeden paydası büyük olan daha küçüktür (\( n^{n + 2} \ge n^n \)).
\( a_n = \dfrac{n!}{n^{n + 2}} \le \dfrac{n!}{n^n} = b_n \)
\( \sum {b_n} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu incelemek için seriye oran testini uygulayalım.
Bu serinin terimleri her \( n \ge 1 \) için pozitiftir.
Buna göre pozitif terimli oran testini kullanabiliriz.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{b_{n+1}}{b_n}} = \lim\limits_{n \to \infty} \left( \dfrac{b_{n+1}}{1} \cdot \dfrac{1}{b_n} \right) \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} \left( \dfrac{(n + 1)!}{(n + 1)^{n + 1}} \cdot \dfrac{n^n}{n!} \right) \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} \left( \dfrac{(n + 1)n!}{(n + 1)^n(n + 1)} \cdot \dfrac{n^n}{n!} \right) \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{n^n}{(n + 1)^n}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {(\dfrac{n}{n + 1})^n} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{1}{(\frac{n + 1}{n})^n}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{1}{(1 + \frac{1}{n})^n}} \)
\( = \dfrac{1}{\lim\limits_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n})^n}} \)
Aşağıdaki limit kuralını kullanalım.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {(1 + \dfrac{a}{n})^n} = e^a \)
\( e = 2,7182... \)
\( = \dfrac{1}{e} \lt 1 \)
Oran testine göre, limit değeri 1'den küçük olduğu için \( \sum {b_n} \) serisi yakınsaktır.
Direkt karşılaştırma testine göre, \( \sum {b_n} \) serisi yakınsak ve her \( n \ge 1 \) için \( a_n \le b_n \) olduğu için \( \sum {a_n} \) serisi de yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{\binom{2n}{n}}{3^n}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü Göster\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{\binom{2n}{n}}{3^n}} \)
İfadeyi düzenleyelim.
\( = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{\frac{(2n)!}{n!\ (2n - n)!}}{3^n}} \)
\( = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{(2n)!}{(n!)^2\ 3^n}} \)
Verilen seriye oran testi uygulayalım.
Bu serinin terimleri her \( n \ge 1 \) için pozitiftir.
Buna göre pozitif terimli oran testini kullanabiliriz.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{a_{n+1}}{a_n}} = \lim\limits_{n \to \infty} \left( \dfrac{a_{n+1}}{1} \cdot \dfrac{1}{a_n} \right) \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} \left( \dfrac{(2(n + 1))!}{((n + 1)!)^2\ 3^{n + 1}} \cdot \dfrac{(n!)^2\ 3^n}{(2n)!} \right) \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} \left( \dfrac{(2n + 2)(2n + 1)(2n)!}{(n + 1)^2(n!)^2\ 3^{n + 1}} \cdot \dfrac{(n!)^2\ 3^n}{(2n)!} \right) \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{(2n + 2)(2n + 1)}{3(n + 1)^2}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{4n^2 + 6n + 2}{3n^2 + 6n + 3}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{n^2(4 + \frac{6}{n} + \frac{2}{n^2})}{n^2(3 + \frac{6}{n} + \frac{3}{n^2})}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{4 + \frac{6}{n} + \frac{2}{n^2}}{3 + \frac{6}{n} + \frac{3}{n^2}}} \)
\( = \dfrac{4 + \lim\limits_{n \to \infty} {\frac{6}{n}} + \lim\limits_{n \to \infty} {\frac{2}{n^2}}}{3 + \lim\limits_{n \to \infty} {\frac{6}{n}} + \lim\limits_{n \to \infty} {\frac{3}{n^2}}} \)
\( = \dfrac{4 + 0 + 0}{3 + 0 + 0} = \dfrac{4}{3} \gt 1 \)
Oran testine göre, limit değeri 1'den büyük olduğu için \( \sum {a_n} \) serisi ıraksaktır.