Oran Testi
Oran testi bir serinin ardışık terimlerinin oranı üzerinden serinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu belirlemekte kullanılan bir testtir.
İSPATI GÖSTER
Aşağıdaki şekilde bir seri tanımlayalım.
Oran testinde kullanacağımız limitin değerine
Oran testinin üç durumunu ayrı ayrı ispatlayalım.
Durum 1:
Limit değerinden büyük ve 1'den küçük bir
Her
Bu eşitsizliği kullanarak benzer eşitsizlikleri
Bu örüntüyü devam ettirerek aynı eşitsizliği
Yukarıdaki eşitsizlikleri bu serinin terimlerine uygulayalım.
Buna göre
Eşitsizliğin sağ tarafındaki seri ortak oranı
Buna göre, toplamı bu seriden küçük olan pozitif terimli
Bu eşitliğin sağ tarafındaki birinci toplam sonlu sayıda terimden oluşur, dolayısıyla yakınsaktır. Eşitliğin sağ tarafındaki ikinci toplamın da yakınsak olduğunu göstermiş olduk, buna göre bu iki serinin toplamı olan
Durum 2:
Yukarıda
Limit değerinden küçük ve 1'den büyük bir
Durum 1'deki adımları bu
Durum 3:
Bu durumda testin sonuçsuz olduğunu iki örnek vererek gösterelim.
Önce ıraksak olduğunu bildiğimiz bir harmonik seriye oran testini uygulayalım.
Her
Şimdi de yakınsak olduğunu bildiğimiz bir
Her
Oran testinde bulduğumuz limit değeri hem yakınsak hem de ıraksak seriler için 1 olabileceği için test bu durumda sonuçsuz olur.
Oran testi pozitif terimli serilere mutlak değer olmadan aşağıdaki şekilde uygulanabilir.
Oran testi genellikle faktöriyel, kuvvet ve üstel ifadeler içeren serilerde kullanılır.
Verilen seriye oran testi uygulayalım.
Bu serinin terimleri her
Buna göre pozitif terimli oran testini kullanabiliriz.
Oran testine göre, limit değeri 1'den küçük olduğu için seri yakınsaktır.
Verilen seriye oran testi uygulayalım.
Bu seri hem pozitif hem negatif terimler içerir.
Buna göre mutlak değerli oran testini kullanalım.
Paydaki ifade her
Oran testine göre, limit değeri sonsuz olduğu için seri ıraksaktır.
Verilen seriye oran testi uygulayalım.
Bu serinin terimleri her
Buna göre pozitif terimli oran testini kullanabiliriz.
Oran testine göre, limit değeri 1'den küçük olduğu için
Verilen seriye oran testi uygulayalım.
Bu serinin terimleri her
Buna göre pozitif terimli oran testini kullanabiliriz.
Oran testine göre, limit değeri 1'den küçük olduğu için
Verilen seriye oran testi uygulayalım.
Bu serinin terimleri her
Buna göre pozitif terimli oran testini kullanabiliriz.
Bu rasyonel fonksiyonda payın derecesi paydanınkinden büyük olduğu için payın büyüme hızı daha büyüktür, dolayısıyla ifadenin limiti sonsuzdur.
Oran testine göre, limitin sonucu sonsuz olduğu için
Verilen seriye oran testi uygulayalım.
Bu serinin terimleri her
Buna göre pozitif terimli oran testini kullanabiliriz.
Oran testine göre, limit değeri 1'den küçük olduğu için
Verilen seriye oran testi uygulayalım.
Bu serinin terimleri her
Buna göre pozitif terimli oran testini kullanabiliriz.
Oran testine göre, limit değeri 1'den küçük olduğu için
Verilen seriye oran testi uygulayalım.
Bu serinin terimleri her
Buna göre pozitif terimli oran testini kullanabiliriz.
Bu rasyonel fonksiyonda payın derecesi paydanınkinden büyük olduğu için payın büyüme hızı daha büyüktür, dolayısıyla ifadenin limiti sonsuzdur.
Oran testine göre, limitin sonucu sonsuz olduğu için
İfadeyi düzenleyelim.
Verilen seriye oran testi uygulayalım.
Bu serinin terimleri her
Buna göre pozitif terimli oran testini kullanabiliriz.
Oran testine göre, limit değeri 1'den küçük olduğu için
Verilen seriye oran testi uygulayalım.
Bu serinin terimleri her
Buna göre pozitif terimli oran testini kullanabiliriz.
Elde ettiğimiz limitte
Oran testine göre, limit değeri 1'den büyük olduğu için
Bu seri ile aşağıdaki seri arasında direkt karşılaştırma testi uygulayalım.
İki serinin de terimleri her
Kosinüs fonksiyonunun değer aralığı
Paydaları eşit iki ifadeden payı büyük olan daha büyüktür (
Bu serinin terimleri her
Buna göre pozitif terimli oran testini kullanabiliriz.
Oran testine göre, limit değeri 1'den küçük olduğu için
Direkt karşılaştırma testine göre,
Verilen seriye oran testi uygulayalım.
Bu serinin terimleri her
Buna göre pozitif terimli oran testini kullanabiliriz.
Oran testine göre, limit değeri 1'den küçük olduğu için
Verilen seriye oran testi uygulayalım.
Bu serinin terimleri her
Buna göre pozitif terimli oran testini kullanabiliriz.
Oran testine göre, limit değeri 1'den büyük olduğu için
Verilen seriye oran testi uygulayalım.
Bu serinin terimleri her
Buna göre pozitif terimli oran testini kullanabiliriz.
Oran testine göre, limit değeri 1'den küçük olduğu için
Verilen seriye oran testi uygulayalım.
Bu serinin terimleri her
Buna göre pozitif terimli oran testini kullanabiliriz.
Oran testine göre, limit değeri 1'den küçük olduğu için
Verilen seriye oran testi uygulayalım.
Bu serinin terimleri
Buna göre pozitif terimli oran testini kullanabiliriz.
Verilen seri yakınsak olduğu için elde ettiğimiz limit değeri 1'den küçük olmalıdır.
Ayrıca
Verilen seriye oran testi uygulayalım.
Bu serinin terimleri her
Buna göre pozitif terimli oran testini kullanabiliriz.
Oran testine göre, limit değeri 1'den büyük olduğu için
Bu seri ile aşağıdaki seri arasında direkt karşılaştırma testi uygulayalım.
İki serinin de terimleri her
Payları eşit iki ifadeden paydası büyük olan daha küçüktür (
Bu serinin terimleri her
Buna göre pozitif terimli oran testini kullanabiliriz.
Aşağıdaki limit kuralını kullanalım.
Oran testine göre, limit değeri 1'den küçük olduğu için
Direkt karşılaştırma testine göre,
İfadeyi düzenleyelim.
Verilen seriye oran testi uygulayalım.
Bu serinin terimleri her
Buna göre pozitif terimli oran testini kullanabiliriz.
Oran testine göre, limit değeri 1'den büyük olduğu için