Vektörlerle Çarpma
Çarpanlarından en az biri bir vektör olan farklı çarpma işlemleri vardır.
- Bir vektörün bir skaler ile çarpımı
- Nokta çarpımı (skaler çarpım)
- Vektörel çarpım
- Üçlü (Karma) vektörel çarpım
Bu bölümde bir vektörün bir skaler ile çarpımını, önümüzdeki iki bölümde sırasıyla nokta çarpımını ve vektörel çarpımı inceleyeceğiz.
Bir Vektörün Skaler ile Çarpımı
Bir vektörün bir skaler büyüklükle çarpımında, vektörün tüm bileşenlerinin bu skaler büyüklükle ayrı ayrı çarpımı alınır.
\( k \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( \vec{a} = (x_1, y_1) \)
\( k\vec{a} = k(x_1, y_1) \)
\( = (kx_1, ky_1) \)
\( \vec{a} = (2, 1) \) olmak üzere,
\( 3\vec{a} = 3 (2, 1) \)
\( = (3 \cdot 2, 3 \cdot 1) \)
\( = (6, 3) \)
\( \vec{b} = (2, -2) \) olmak üzere,
\( -2 \vec{b} = -2 (2, -2) \)
\( = (-2 \cdot 2, -2 \cdot (-2)) \)
\( = (-4, 4) \)
Bir vektör pozitif bir skaler büyüklükle çarpıldığında vektörün yönü değişmez, büyüklüğü skalerin büyüklüğü oranında artar ya da azalır. Aşağıda bir \( \vec{a} \) vektörünün farklı pozitif skaler büyüklüklerle çarpımı sonucunda oluşan vektörler gösterilmiştir.
Bir vektör negatif bir skaler büyüklükle çarpıldığında vektörün yönü zıt yöne döner, büyüklüğü skalerin büyüklüğünün mutlak değeri oranında artar ya da azalır. Aşağıda bir \( \vec{a} \) vektörünün farklı negatif skaler büyüklüklerle çarpımı sonucunda oluşan vektörler gösterilmiştir.
Bir vektörün 1 ile skaler çarpımının sonucu vektörün kendisidir.
\( 1\vec{a} = \vec{a} \)
\( 1 (5, 2) = (1 \cdot 5, 1 \cdot 2) \)
\( = (5, 2) \)
Bir vektörün 0 ile skaler çarpımının sonucu sıfır vektörüdür.
\( 0\vec{a} = \vec{0} \)
\( 0 (3, 4) = (0 \cdot 3, 0 \cdot 4) \)
\( = (0, 0) \)
Bir vektörün -1 ile skaler çarpımının sonucu vektörün zıt vektörüdür.
\( -1\vec{a} = -\vec{a} \)
\( -(3, -2) = (-1 \cdot 3, -1 \cdot (-2)) \)
\( = (-3, 2) \)
Skaler çarpma işleminin birleşme özelliği vardır.
\( c(d\vec{a}) = (cd)\vec{a} = d(c\vec{a}) \)
İSPATI GÖSTER
\( \vec{a} \) vektörü ve \( c, d \) reel sayıları tanımlayalım.
\( \vec{a} = (a_1, a_2, a_3) \)
\( c, d \in \mathbb{R} \)
İSPAT 1:
\( c(d\vec{a}) = (cd)\vec{a} \) eşitliğini ispatlayalım.
\( c(d\vec{a}) = c[d(a_1, a_2, a_3)] \)
\( = c(da_1, da_2, da_3) \)
\( = (c(da_1), c(da_2), c(da_3)) \)
Reel sayılarda çarpma işleminin birleşme özelliği vardır.
\( = ((cd)a_1, (cd)a_2, (cd)a_3) \)
\( = cd(a_1, a_2, a_3) \)
\( = (cd)\vec{a} \)
İSPAT 2:
\( c(d\vec{a}) = d(c\vec{a}) \) eşitliğini ispatlayalım.
\( c(d\vec{a}) = c[d(a_1, a_2, a_3)] \)
\( = c(da_1, da_2, da_3) \)
\( = (c(da_1), c(da_2), c(da_3)) \)
Reel sayılarda çarpma işleminin birleşme özelliği vardır.
\( = ((cd)a_1, (cd)a_2, (cd)a_3) \)
Reel sayılarda çarpma işleminin değişme özelliği vardır.
\( = ((dc)a_1, (dc)a_2, (dc)a_3) \)
\( = (d(ca_1), d(ca_2), d(ca_3)) \)
\( = d(ca_1, ca_2, ca_3) \)
\( = d[c(a_1, a_2, a_3)] \)
\( = d(c\vec{a}) \)
Skaler çarpma işleminin toplama işlemi üzerinde soldan ve sağdan dağılma özelliği vardır.
\( c(\vec{a} + \vec{b}) = c\vec{a} + c\vec{b} \)
\( (c + d)\vec{a} = c\vec{a} + d\vec{a} \)
İSPATI GÖSTER
\( \vec{a} \), \( \vec{b} \) vektörleri ve bir \( c \) reel sayısı tanımlayalım.
\( \vec{a} = (a_1, a_2, a_3) \)
\( \vec{b} = (b_1, b_2, b_3) \)
\( c \in \mathbb{R} \)
Skaler çarpma işleminin toplama işlemi üzerinde soldan dağılma özelliğini ispatlayalım.
\( c(\vec{a} + \vec{b}) = c[(a_1, a_2, a_3) + (b_1, b_2, b_3)] \)
\( = c(a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3) \)
\( = (c(a_1 + b_1), c(a_2 + b_2), c(a_3 + b_3)) \)
Reel sayılarda çarpma işleminin toplama işlemi üzerinde soldan dağılma özelliği vardır.
\( = (ca_1 + cb_1, ca_2 + cb_2, ca_3 + cb_3) \)
\( = (ca_1, ca_2, ca_3) + (cb_1, cb_2, cb_3) \)
\( = c(a_1, a_2, a_3) + c(b_1, b_2, b_3) \)
\( = c\vec{a} + c\vec{b} \)
Skaler çarpma işleminin toplama işlemi üzerinde sağdan dağılma özelliği de benzer şekilde ispatlanabilir.
Bir vektörün tüm reel sayılarla skaler çarpımlarının kümesi bir doğru oluşturur.
\( l = \{ k\vec{a} \mid k \in \mathbb{R} \} \)
Üç boyutlu bir vektörün bir skaler büyüklükle çarpımı iki boyutlu vektörlere benzer şekilde yapılır.
\( k \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( \vec{a} = (x_1, y_1, z_1) \)
\( k\vec{a} = k(x_1, y_1, z_1) \)
\( = (kx_1, ky_1, kz_1) \)
\( \vec{a} = (3, -2, 1) \) olmak üzere,
\( 3\vec{a} = 3(3, -2, 1) \)
\( = (3 \cdot 3, 3 \cdot (-2), 3 \cdot 1) \)
\( = (9, -6, 3) \)
\( O \) noktası orijin olmak üzere, koordinat düzlemindeki \( A, B, C, D \) noktaları ile ilgili aşağıdaki bilgiler veriliyor.
\( A(2, 1), B(1, 3), C(-1, 7) \)
\( D \) noktası \( [BC] \) doğru parçası üzerindedir.
\( \vec{BD} = \dfrac{1}{4}\vec{BC} \)
Buna göre;
(a) \( A, B, C \) noktaları doğrusal mıdır?
(b) \( D \) noktasının koordinatları nedir?
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( \vec{OA} \), \( \vec{OB} \) ve \( \vec{OC} \) konum vektörlerini tanımlayalım.
\( \vec{OA} = (2, 1) \)
\( \vec{OB} = (1, 3) \)
\( \vec{OC} = (-1, 7) \)
\( \vec{AB} \) ve \( \vec{BC} \) vektörlerini bulalım.
\( \vec{AB} \) vektörü başlangıç noktası \( A \) ve bitiş noktası \( B \) olan vektörü temsil eder.
\( \vec{AB} \) vektörü \( \vec{OB} \) konum vektöründen \( \vec{OA} \) konum vektörünün çıkarılması ile elde edilir.
\( \vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} \)
İki vektör arasındaki çıkarma işleminde, vektörlerin birbirine karşılık gelen bileşenlerinin ayrı ayrı farkı alınır.
\( = (1, 3) - (2, 1) \)
\( = (1 - 2, 3 - 1) \)
\( = (-1, 2) \)
\( \vec{BC} \) vektörü başlangıç noktası \( B \) ve bitiş noktası \( C \) olan vektörü temsil eder.
\( \vec{BC} \) vektörü \( \vec{OC} \) konum vektöründen \( \vec{OB} \) konum vektörünün çıkarılması ile elde edilir.
\( \vec{BC} = \vec{OC} - \vec{OB} \)
\( = (-1, 7) - (1, 3) \)
\( = (-1 - 1, 7 - 3) \)
\( = (-2, 4) \)
\( \vec{AB} \) vektörünü \( \vec{BC} \) vektörünün bir skaler ile çarpımı şeklinde yazabiliriz.
\( \vec{BC} = 2 \vec{AB} \)
\( (-2, 4) = 2(-1, 2) \)
Buna göre \( \vec{AB} \) ve \( \vec{BC} \) yönleri aynı vektörlerdir.
İki vektör ayrıca ortak bir \( B \) noktası içerdikleri için \( A, B, C \) noktaları doğrusaldır.
(b) seçeneği:
\( \vec{BD} = \dfrac{1}{4}\vec{BC} \)
\( = \dfrac{1}{4}(-2, 4) \)
Bir vektörün bir skaler büyüklükle çarpımında, vektörün bileşenlerinin bu skaler büyüklükle çarpımı alınır.
\( = (-\dfrac{1}{2}, 1) \)
\( \vec{BD} \) vektörü başlangıç noktası \( B \) ve bitiş noktası \( D \) olan vektörü temsil eder.
\( \vec{BD} \) vektörü \( \vec{OD} \) konum vektöründen \( \vec{OB} \) konum vektörünün çıkarılması ile elde edilir.
\( \vec{BD} = \vec{OD} - \vec{OB} \)
\( \vec{OD} = \vec{BD} + \vec{OB} \)
İki vektör arasındaki toplama işleminde, vektörlerin birbirine karşılık gelen bileşenlerinin ayrı ayrı toplamı alınır.
\( = (-\dfrac{1}{2}, 1) + (1, 3) \)
\( = (-\dfrac{1}{2} + 1, 1 + 3) \)
\( = (\dfrac{1}{2}, 4) \)
\( O \) noktası orijin olmak üzere, koordinat düzlemindeki \( A, B, C \) noktaları ile ilgili aşağıdaki bilgiler veriliyor.
\( \vec{OA} = (2, 3) \)
\( \vec{OB} = (-9, 1) \)
\( \vec{AB} = \dfrac{3}{4}\vec{AC} \)
Buna göre, \( \vec{OC} \) konum vektörü nedir?
Çözümü Göster\( \vec{AB} \) vektörü başlangıç noktası \( A \) ve bitiş noktası \( B \) olan vektörü temsil eder.
\( \vec{AB} \) vektörü \( \vec{OB} \) konum vektöründen \( \vec{OA} \) konum vektörünün çıkarılması ile elde edilir.
\( \vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} \)
İki vektör arasındaki çıkarma işleminde, vektörlerin birbirine karşılık gelen bileşenlerinin ayrı ayrı farkı alınır.
\( = (-9, 1) - (2, 3) \)
\( = (-9 - 2, 1 - 3) \)
\( = (-11, -2) \)
\( \vec{AB} = \dfrac{3}{4}\vec{AC} \)
\( \vec{AC} = \dfrac{4}{3}\vec{AB} \)
Bir vektörün bir skaler büyüklükle çarpımında, vektörün bileşenlerinin bu skaler büyüklükle çarpımı alınır.
\( = \dfrac{4}{3}(-11, -2) \)
\( = (-\dfrac{44}{3}, -\dfrac{8}{3}) \)
\( \vec{AC} \) vektörü başlangıç noktası \( A \) ve bitiş noktası \( C \) olan vektörü temsil eder.
\( \vec{AC} \) vektörü \( \vec{OC} \) konum vektöründen \( \vec{OA} \) konum vektörünün çıkarılması ile elde edilir.
\( \vec{AC} = \vec{OC} - \vec{OA} \)
\( \vec{OC} = \vec{AC} + \vec{OA} \)
İki vektör arasındaki toplama işleminde, vektörlerin birbirine karşılık gelen bileşenlerinin ayrı ayrı toplamı alınır.
\( = (-\dfrac{44}{3}, -\dfrac{8}{3}) + (2, 3) \)
\( = (-\dfrac{44}{3} + 2, -\dfrac{8}{3} + 3) \)
\( = (-\dfrac{38}{3}, \dfrac{1}{3}) \) bulunur.
Koordinat düzlemindeki \( A, B, C, D \) noktaları ile ilgili aşağıdaki bilgiler veriliyor.
\( D \) noktası \( [BC] \) doğru parçası üzerindedir.
\( \vec{AB} = (7, 3) \)
\( \vec{AC} = (9, -7) \)
\( \dfrac{\norm{\vec{BD}}}{\norm{\vec{DC}}} = \dfrac{2}{3} \)
Buna göre;
(a) \( \vec{BD} \) vektörünü bulunuz.
(b) \( \vec{AD} \) vektörünü bulunuz.
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( \dfrac{\norm{\vec{BD}}}{\norm{\vec{DC}}} = \dfrac{2}{3} \)
\( k \in \mathbb{R} \) ve \( k \ne 0 \) olmak üzere,
\( \norm{\vec{BD}} = 2k \)
\( \norm{\vec{DC}} = 3k \)
\( D \) noktası \( [BC] \) doğru parçası üzerindedir.
\( \norm{\vec{BC}} = 2k + 3k = 5k \)
\( \vec{BC} \) vektörünü uç uca ekleme yöntemini kullanarak yazalım.
\( \vec{BC} = \vec{BA} + \vec{AC} \)
\( = -\vec{AB} + \vec{AC} \)
İki vektör arasındaki toplama işleminde, vektörlerin birbirine karşılık gelen bileşenlerinin ayrı ayrı toplamı alınır.
\( = -(7, 3) + (9, -7) \)
\( = (-7, -3) + (9, -7) \)
\( = (-7 + 9, -3 + (-7)) \)
\( = (2, -10) \)
\( \vec{BD}, \vec{DC} \) ve \( \vec{BC} \) aynı yönlü vektörlerdir, dolayısıyla normları arasındaki oran vektörler için de geçerlidir.
\( \dfrac{\norm{\vec{BD}}}{\norm{\vec{BC}}} = \dfrac{2k}{5k} \)
\( \vec{BD} = \dfrac{2}{5}\vec{BC} \)
Bir vektörün bir skaler büyüklükle çarpımında, vektörün bileşenlerinin bu skaler büyüklükle çarpımı alınır.
\( = \dfrac{2}{5}(2, -10) \)
\( = (\dfrac{4}{5}, -4) \)
(b) seçeneği:
\( \vec{AD} \) vektörünü uç uca ekleme yöntemini kullanarak yazalım.
\( \vec{AD} = \vec{AB} + \vec{BD} \)
\( = (7, 3) + (\dfrac{4}{5}, -4) \)
\( = (7 + \dfrac{4}{5}, 3 + (-4)) \)
\( = (\dfrac{39}{5}, -1) \)
Koordinat düzlemindeki \( \vec{a} \) ve \( \vec{b} \) vektörleri ile ilgili aşağıdaki bilgiler veriliyor.
\( \vec{a} = (2x^2 - 2y - \dfrac{3}{2}, -y^2 - 4x) \)
\( \vec{b} = (-1, 2) \)
\( \vec{a} \) ve \( \vec{b} \) vektörleri birbirine paralel olduğuna göre, \( x \) ve \( y \) değerleri nedir?
Çözümü Göster\( \vec{a} \parallel \vec{b} \)
Paralel iki vektörün bileşenlerinin oranı birbirine eşittir.
\( \dfrac{2x^2 - 2y - \frac{3}{2}}{-1} = \dfrac{-y^2 - 4x}{2} \)
İçler - dışlar çarpımı yapalım.
\( 4x^2 - 4y - 3 = y^2 + 4x \)
\( 4x^2 - 4y - 3 - y^2 - 4x = 0 \)
Terimleri düzenleyelim.
\( (4x^2 - 4x + 1) - (y^2 + 4y + 4) = 0 \)
\( (2x - 1)^2 - (y + 2)^2 = 0 \)
\( x = \dfrac{1}{2} \) ve \( y = -2 \) bulunur.
\( O \) noktası orijin olmak üzere, koordinat uzayındaki \( A, B, C, D \) noktaları ile ilgili aşağıdaki bilgiler veriliyor.
\( C \) noktası \( [AB] \) doğru parçası üzerindedir.
\( \vec{OA} = (10, -20, -15) \)
\( \vec{OB} = (20, 5, 15) \)
\( \dfrac{\norm{\vec{AC}}}{\norm{\vec{CB}}} = \dfrac{1}{4} \)
Buna göre, \( \vec{OC} \) konum vektörü nedir?
Çözümü Göster\( \dfrac{\norm{\vec{AC}}}{\norm{\vec{CB}}} = \dfrac{1}{4} \)
\( k \in \mathbb{R} \) ve \( k \ne 0 \) olmak üzere,
\( \norm{\vec{AC}} = k \)
\( \norm{\vec{CB}} = 4k \)
\( C \) noktası \( [AB] \) doğru parçası üzerindedir.
\( \norm{\vec{AB}} = k + 4k = 5k \)
\( \vec{AB} \) vektörünü yazalım.
\( \vec{AB} \) vektörü başlangıç noktası \( A \) ve bitiş noktası \( B \) olan vektörü temsil eder.
\( \vec{AB} \) vektörü \( \vec{OB} \) konum vektöründen \( \vec{OA} \) konum vektörünün çıkarılması ile elde edilir.
\( \vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} \)
İki vektör arasındaki çıkarma işleminde, vektörlerin birbirine karşılık gelen bileşenlerinin ayrı ayrı farkı alınır.
\( = (20, 5, 15) - (10, -20, -15) \)
\( = (20 - 10, 5 - (-20), 15 - (-15)) \)
\( = (10, 25, 30) \)
\( \vec{AC}, \vec{CB} \) ve \( \vec{AB} \) aynı yönlü vektörlerdir, dolayısıyla normları arasındaki oran vektörler için de geçerlidir.
\( \dfrac{\norm{\vec{AC}}}{\norm{\vec{AB}}} = \dfrac{k}{5k} \)
\( \vec{AC} = \dfrac{1}{5}\vec{AB} \)
Bir vektörün bir skaler büyüklükle çarpımında, vektörün bileşenlerinin bu skaler büyüklükle çarpımı alınır.
\( = \dfrac{1}{5}(10, 25, 30) \)
\( = (2, 5, 6) \)
\( \vec{AC} \) vektörü başlangıç noktası \( A \) ve bitiş noktası \( C \) olan vektörü temsil eder.
\( \vec{AC} \) vektörü \( \vec{OC} \) konum vektöründen \( \vec{OA} \) konum vektörünün çıkarılması ile elde edilir.
\( \vec{AC} = \vec{OC} - \vec{OA} \)
\( \vec{OC} = \vec{AC} + \vec{OA} \)
İki vektör arasındaki toplama işleminde, vektörlerin birbirine karşılık gelen bileşenlerinin ayrı ayrı toplamı alınır.
\( = (2, 5, 6) + (10, -20, -15) \)
\( = (2 + 10, 5 + (-20), 6 + (-15)) \)
\( = (12, -15, -9) \) bulunur.
\( O \) noktası orijin olmak üzere, koordinat uzayındaki \( A, B, C \) noktaları ile ilgili aşağıdaki bilgiler veriliyor.
\( A \) noktası \( [CB] \) doğru parçası üzerindedir.
\( \vec{OA} = (12, -16, 4) \)
\( \vec{OB} = (20, -4, -8) \)
\( \dfrac{\norm{\vec{CA}}}{\norm{\vec{AB}}} = \dfrac{3}{4} \)
Buna göre, \( \vec{OC} \) konum vektörü nedir?
Çözümü Göster\( \dfrac{\norm{\vec{CA}}}{\norm{\vec{AB}}} = \dfrac{3}{4} \)
\( k \in \mathbb{R} \) ve \( k \ne 0 \) olmak üzere,
\( \norm{\vec{CA}} = 3k \)
\( \norm{\vec{AB}} = 4k \)
\( A \) noktasının \( [CB] \) doğru parçası üzerindedir.
\( \vec{CA} \) ve \( \vec{AB} \) aynı yönlü vektörlerdir, dolayısıyla normları arasındaki oran vektörler için de geçerlidir.
\( \vec{CA} = \dfrac{3}{4}\vec{AB} \)
\( \vec{AB} \) vektörü başlangıç noktası \( A \) ve bitiş noktası \( B \) olan vektörü temsil eder.
\( \vec{AB} \) vektörü \( \vec{OB} \) konum vektöründen \( \vec{OA} \) konum vektörünün çıkarılması ile elde edilir.
\( \vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} \)
İki vektör arasındaki çıkarma işleminde, vektörlerin birbirine karşılık gelen bileşenlerinin ayrı ayrı farkı alınır.
\( = (20, -4, -8) - (12, -16, 4) \)
\( = (20 - 12, -4 - (-16), -8 - 4) \)
\( = (8, 12, -12) \)
Eşitlikte yerine koyalım.
\( \vec{CA} = \dfrac{3}{4}\vec{AB} \)
Bir vektörün bir skaler büyüklükle çarpımında, vektörün bileşenlerinin bu skaler büyüklükle çarpımı alınır.
\( = \dfrac{3}{4}(8, 12, -12) \)
\( = (6, 9, -9) \)
\( \vec{CA} \) vektörü başlangıç noktası \( C \) ve bitiş noktası \( A \) olan vektörü temsil eder.
\( \vec{CA} \) vektörü \( \vec{OA} \) konum vektöründen \( \vec{OC} \) konum vektörünün çıkarılması ile elde edilir.
\( \vec{CA} = \vec{OA} - \vec{OC} \)
\( \vec{OC} = \vec{OA} - \vec{CA} \)
\( = (12, -16, 4) - (6, 9, -9) \)
\( = (12 - 6, -16 - 9, 4 - (-9)) \)
\( = (6, -25, 13) \) bulunur.
\( O \) noktası orijin olmak üzere, koordinat uzayındaki \( A, B, C \) noktaları ile ilgili aşağıdaki bilgiler veriliyor.
\( \vec{OA} = (-2, -1, -3) \)
\( \vec{OB} = (-6, 5, -1) \)
\( B \) noktası \( [AC] \) doğru parçası üzerindedir.
\( \dfrac{\norm{\vec{AB}}}{\norm{\vec{BC}}} = \dfrac{2}{3} \)
Buna göre, \( \vec{OC} \) konum vektörü nedir?
Çözümü Göster\( \dfrac{\norm{\vec{AB}}}{\norm{\vec{BC}}} = \dfrac{2}{3} \)
\( k \in \mathbb{R} \) ve \( k \ne 0 \) olmak üzere,
\( \norm{\vec{AB}} = 2k \)
\( \norm{\vec{BC}} = 3k \)
\( B \) noktası \( [AC] \) doğru parçası üzerindedir.
\( \vec{AB} \) ve \( \vec{BC} \) aynı yönlü vektörlerdir, dolayısıyla normları arasındaki oran vektörler için de geçerlidir.
\( \vec{AB} = \dfrac{2}{3}\vec{BC} \)
\( \vec{BC} = \dfrac{3}{2}\vec{AB} \)
\( \vec{AB} \) vektörü başlangıç noktası \( A \) ve bitiş noktası \( B \) olan vektörü temsil eder.
\( \vec{AB} \) vektörü \( \vec{OB} \) konum vektöründen \( \vec{OA} \) konum vektörünün çıkarılması ile elde edilir.
\( \vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} \)
İki vektör arasındaki çıkarma işleminde, vektörlerin birbirine karşılık gelen bileşenlerinin ayrı ayrı farkı alınır.
\( = (-6, 5, -1) - (-2, -1, -3) \)
\( = (-6 - (-2), 5 - (-1), -1 - (-3)) \)
\( = (-4, 6, 2) \)
Eşitlikte yerine koyalım.
\( \vec{BC} = \dfrac{3}{2}\vec{AB} \)
Bir vektörün bir skaler büyüklükle çarpımında, vektörün bileşenlerinin bu skaler büyüklükle çarpımı alınır.
\( = \dfrac{3}{2}(-4, 6, 2) \)
\( = (-6, 9, 3) \)
\( \vec{BC} \) vektörü başlangıç noktası \( B \) ve bitiş noktası \( C \) olan vektörü temsil eder.
\( \vec{BC} \) vektörü \( \vec{OC} \) konum vektöründen \( \vec{OB} \) konum vektörünün çıkarılması ile elde edilir.
\( \vec{BC} = \vec{OC} - \vec{OB} \)
\( \vec{OC} = \vec{BC} + \vec{OB} \)
İki vektör arasındaki toplama işleminde, vektörlerin birbirine karşılık gelen bileşenlerinin ayrı ayrı toplamı alınır.
\( = (-6, 9, 3) + (-6, 5, -1) \)
\( = (-6 + (-6), 9 + 5, 3 + (-1)) \)
\( = (-12, 14, 2) \) bulunur.
\( O \) noktası orijin olmak üzere, koordinat uzayındaki \( A, B, C, D \) noktaları ile ilgili aşağıdaki bilgiler veriliyor.
\( A(12, 2, 4) \)
\( B(6, 10, 1) \)
\( C(2, 2, 8) \)
\( \vec{DA} - \vec{DB} = 4\vec{DC} \)
Buna göre, \( \vec{OD} \) konum vektörü nedir?
Çözümü Göster\( \vec{OA} \), \( \vec{OB} \) ve \( \vec{OC} \) konum vektörlerini tanımlayalım.
\( \vec{OA} = (12, 2, 4) \)
\( \vec{OB} = (6, 10, 1) \)
\( \vec{OC} = (2, 2, 8) \)
\( D(x, y, z) \) diyelim.
\( \vec{DA} \) vektörünü yazalım.
\( \vec{DA} \) vektörü başlangıç noktası \( D \) ve bitiş noktası \( A \) olan vektörü temsil eder.
\( \vec{DA} \) vektörü \( \vec{OA} \) konum vektöründen \( \vec{OD} \) konum vektörünün çıkarılması ile elde edilir.
\( \vec{DA} = \vec{OA} - \vec{OD} \)
İki vektör arasındaki çıkarma işleminde, vektörlerin birbirine karşılık gelen bileşenlerinin ayrı ayrı farkı alınır.
\( = (12, 2, 4) - (x, y, z) \)
\( = (12 - x, 2 - y, 4 - z) \)
\( \vec{DB} \) vektörünü yazalım.
\( \vec{DB} \) vektörü başlangıç noktası \( D \) ve bitiş noktası \( B \) olan vektörü temsil eder.
\( \vec{DB} \) vektörü \( \vec{OB} \) konum vektöründen \( \vec{OD} \) konum vektörünün çıkarılması ile elde edilir.
\( \vec{DB} = \vec{OB} - \vec{OD} \)
\( = (6, 10, 1) - (x, y, z) \)
\( = (6 - x, 10 - y, 1 - z) \)
\( \vec{DA} - \vec{DB} \) farkını hesaplayalım.
\( \vec{DA} - \vec{DB} = (12 - x, 2 - y, 4 - z) - (6 - x, 10 - y, 1 - z) \)
\( = (12 - x - (6 - x), 2 - y - (10 - y), 4 - z - (1 - z)) \)
\( = (6, -8, 3) \)
\( \vec{DC} \) vektörünü yazalım.
\( \vec{DC} \) vektörü başlangıç noktası \( D \) ve bitiş noktası \( C \) olan vektörü temsil eder.
\( \vec{DC} \) vektörü \( \vec{OC} \) konum vektöründen \( \vec{OD} \) konum vektörünün çıkarılması ile elde edilir.
\( \vec{DC} = \vec{OC} - \vec{OD} \)
\( = (2, 2, 8) - (x, y, z) \)
\( = (2 - x, 2 - y, 8 - z) \)
\( 4\vec{DC} \) çarpımını hesaplayalım.
Bir vektörün bir skaler büyüklükle çarpımında, vektörün bileşenlerinin bu skaler büyüklükle çarpımı alınır.
\( 4\vec{DC} = 4(2 - x, 2 - y, 8 - z) \)
\( = (8 - 4x, 8 - 4y, 32 - 4z) \)
Bulduğumuz değerleri verilen eşitlikte yerine koyalım.
\( \vec{DA} - \vec{DB} = 4\vec{DC} \)
\( (6, -8, 3) = (8 - 4x, 8 - 4y, 32 - 4z) \)
\( 6 = 8 - 4x \)
\( x = \dfrac{1}{2} \)
\( -8 = 8 - 4y \)
\( y = 4 \)
\( 3 = 32 - 4z \)
\( z = \dfrac{29}{4} \)
\( D(\dfrac{1}{2}, 4, \dfrac{29}{4}) \)
\( \vec{OD} = (\dfrac{1}{2}, 4, \dfrac{29}{4}) \) bulunur.