Vektörlerde Üçgen Eşitsizliği
Geometride gördüğümüz üçgen eşitsizliğine göre, bir üçgende iki kenarın uzunluklarının toplamı üçüncü kenar uzunluğundan büyüktür. Vektörlerdeki üçgen eşitsizliğine göre, iki vektörün normlarının toplamı vektörlerin toplamının normundan büyüktür ya da ona eşittir.
\( \norm{\vec{a} + \vec{b}} \le \norm{\vec{a}} + \norm{\vec{b}} \)
İSPATI GÖSTER
\( \vec{a} \cdot \vec{a} = \norm{\vec{a}}^2 \) eşitliğini \( \vec{a} + \vec{b} \) vektörüne uygulayalım.
\( \norm{\vec{a} + \vec{b}}^2 = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) \)
Nokta çarpımının toplama işlemi üzerinde soldan ve sağdan dağılma özelliği vardır.
\( = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{a} + (\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{b} \)
\( = \vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{b} \)
Nokta çarpımının değişme özelliği vardır.
\( = \vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{b} \)
\( = \vec{a} \cdot \vec{a} + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{b} \)
Bir vektörün kendisiyle nokta çarpımı normunun karesine eşittir.
\( = \norm{\vec{a}}^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + \norm{\vec{b}}^2 \)
Bir skaler büyüklük (reel sayı) mutlak değerinden küçüktür ya da ona eşittir.
\( \vec{a} \cdot \vec{b} \le \abs{\vec{a} \cdot \vec{b}} \)
Bu eşitsizliği son ifadeye uygulayalım.
\( \le \norm{\vec{a}}^2 + 2\abs{\vec{a} \cdot \vec{b}} + \norm{\vec{b}}^2 \)
Cauchy - Schwarz eşitsizliğini hatırlayalım.
\( \abs{\vec{a} \cdot \vec{b}} \le \norm{\vec{a}}\norm{\vec{b}} \)
Cauchy - Schwarz eşitsizliğini son ifadeye uygulayalım.
\( \le \norm{\vec{a}}^2 + 2\norm{\vec{a}}\norm{\vec{b}} + \norm{\vec{b}}^2 \)
Bu ifade bir tam kare açılımına eşittir.
\( = (\norm{\vec{a}} + \norm{\vec{b}})^2 \)
Buna göre aşağıdaki eşitsizliği elde ederiz.
\( \norm{\vec{a} + \vec{b}}^2 \le (\norm{\vec{a}} + \norm{\vec{b}})^2 \)
Eşitsizliğin taraflarının karekökünü alalım. Bir ifadenin normu negatif olamayacağı için ifadeler karekökten pozitif işaretli çıkar.
\( \norm{\vec{a} + \vec{b}} \le \norm{\vec{a}} + \norm{\vec{b}} \)
Bu eşitsizliği farklı bir şekilde ifade etmek istersek; iki nokta arasındaki direkt mesafe, bu noktaların birinden diğerine üçüncü bir nokta üzerinden ulaşmak için katedilen toplam mesafeden küçüktür ya da bu mesafeye eşittir.
Üçgen eşitsizliğinde eşitlik durumu iki şekilde sağlanır.
- İki vektör paraleldir.
- Vektörlerden biri ya da ikisi sıfır vektörüdür.
\( \vec{a} \parallel \vec{b} \), \( \vec{a} = \vec{0} \) veya \( \vec{b} = \vec{0} \) ise,
\( \norm{\vec{a} + \vec{b}} = \norm{\vec{a}} + \norm{\vec{b}} \)