Nokta (Skaler) Çarpımı
Konu tekrarı için: İzdüşüm
Vektörlerle çarpma yöntemlerinden biri olan nokta çarpımının formülü aşağıdaki gibidir. Bu formüldeki \( \alpha \) açısı iki vektör arasında oluşan açıdır.
Nokta çarpımında vektörler arasında nokta (\( \cdot \)) sembolü kullanılır. Nokta çarpımına skaler çarpım ya da iç çarpım da denir.
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = \norm{\vec{a}} \norm{\vec{b}} \cos{\alpha} \)
Aşağıdaki iki vektörün nokta çarpımını bulalım.
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = \norm{\vec{a}} \norm{\vec{b}} \cos{45°} \)
\( = 10 \cdot 8\sqrt{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 80 \)
Sayılar arasındaki çarpma işleminde çarpanlar arasında çarpma sembolü kullanılmayabilir (\( xy = x \cdot y \)), ancak nokta çarpımında vektörler arasında nokta işareti mutlaka kullanılmalıdır (\( \vec{a} \cdot \vec{b} \)).
Yukarıdaki formülde \( \norm{\vec{a}} \) ve \( \norm{\vec{b}} \) sırasıyla \( \vec{a} \) ve \( \vec{b} \) vektörlerinin (skaler) büyüklükleridir. \( \cos{\alpha} \) değeri de iki vektör arasındaki açının kosinüs değeri olarak skaler bir büyüklüktür, dolayısıyla iki vektörün nokta çarpımı bir vektör değil, skalerdir.
İki vektör arasındaki nokta çarpımı, vektörlerden birinin diğer vektör üzerindeki izdüşümünün büyüklüğü ile üzerinde izdüşüm alınan vektörün büyüklüğünün çarpımı olarak ifade edilebilir. Şimdi aralarındaki açı \( \alpha \) olan \( \vec{a} \) ve \( \vec{b} \) vektörleri üzerinde bu işlemin nasıl gerçekleştiğine bakalım.
Nokta çarpım işlemini önce ikinci vektörün (\( \vec{b} \)) birinci vektör (\( \vec{a} \)) üzerindeki izdüşümünü alarak yapalım. Bir dik üçgendeki trigonometrik oranlar kullanılarak \( \vec{b} \) vektörünün \( \vec{a} \) vektörü üzerindeki izdüşümünün \( \norm{\vec{b}} \cos{\alpha} \) olduğu görülebilir. Bu ifade üzerinde izdüşüm alınan \( \vec{a} \) vektörünün büyüklüğü ile çarpıldığında nokta çarpım formülü elde edilir.
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = \norm{\vec{a}} (\norm{\vec{b}} \cos{\alpha}) \)
\( \norm{\vec{a}} \): \( \vec{a} \) vektörünün büyüklüğü
\( \norm{\vec{b}} \cos{\alpha} \): \( \vec{b} \) vektörünün \( \vec{a} \) vektörü üzerindeki izdüşümünün büyüklüğü
Bu işlemi şimdi de birinci vektörün (\( \vec{a} \)) ikinci vektör (\( \vec{b} \)) üzerindeki izdüşümünü alarak yapalım. Yine trigonometrik oranlar kullanılarak bu izdüşümün \( \norm{\vec{a}} \cos{\alpha} \) olduğu görülebilir. Bu ifade üzerinde izdüşüm alınan \( \vec{b} \) vektörünün büyüklüğü ile çarpıldığında aynı nokta çarpım formülü elde edilir.
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = \norm{\vec{b}} (\norm{\vec{a}} \cos{\alpha}) \)
\( \norm{\vec{b}} \): \( \vec{b} \) vektörünün büyüklüğü
\( \norm{\vec{a}} \cos{\alpha} \): \( \vec{a} \) vektörünün \( \vec{b} \) vektörü üzerindeki izdüşümünün büyüklüğü
Buna göre, nokta çarpımında hangi vektörün diğer vektör üzerinde izdüşümünün alındığının sonuca bir etkisi yoktur.
Nokta Çarpım İşlem Özellikleri
Yukarıda gördüğümüz gibi, nokta çarpım işleminin değişme özelliği vardır.
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} \)
Nokta çarpım işleminin birleşme özelliği yoktur.
Nokta çarpım işleminin toplama ve çıkarma işlemleri üzerinde soldan ve sağdan dağılma özelliği vardır.
\( \vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} \)
\( (\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c} \)
\( \vec{a} \cdot (\vec{b} - \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{a} \cdot \vec{c} \)
\( (\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} - \vec{b} \cdot \vec{c} \)
Nokta Çarpım İşlem Kuralları
Yönleri aynı iki vektörün nokta çarpımı, vektörlerin büyüklüklerinin çarpımına eşittir.
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = \norm{\vec{a}} \norm{\vec{b}} \cos{0°} = \norm{\vec{a}} \norm{\vec{b}} \)
Bir vektörün kendisiyle nokta çarpımı, vektörün büyüklüğünün karesine eşittir.
\( \vec{a} \cdot \vec{a} = \norm{\vec{a}} \norm{\vec{a}} \cos{0°} = {\norm{\vec{a}}}^2 \)
İki vektörün nokta çarpımı vektörler arasındaki açı 90°'den küçükse pozitif, 90°'den büyükse negatiftir.
\( 0 \lt \alpha \lt 90° \) ise,
\( \cos{\alpha} \gt 0 \)
\( \vec{a} \cdot \vec{b} \gt 0 \)
\( 90 \lt \alpha \lt 180° \) ise,
\( \cos{\alpha} \lt 0 \)
\( \vec{a} \cdot \vec{b} \lt 0 \)
Aralarındaki açı 90° (birbirine dik) olan iki vektörün nokta çarpımı sıfıra eşittir. Bunun geometrik açıklaması, bir vektörün kendisine dik bir vektör üzerindeki izdüşümünün büyüklüğünün sıfır olmasıdır.
\( \cos{90°} = 0 \)
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = \norm{\vec{a}} \norm{\vec{b}} \cos{90°} = 0 \)
İki vektörün nokta çarpımı sıfır ise ya vektörlerden biri ya da ikisi sıfır vektörüdür ya da vektörler birbirine diktir.
Üç vektörün nokta çarpımı geçerli bir işlem değildir. Bunun sebebi, iki vektörün nokta çarpımının skaler bir büyüklük olması ve skaler ve vektörel iki büyüklük arasında nokta çarpım işlemi yapılamayacak olmasıdır.
\( k \in \mathbb{R} \)
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = k \) olmak üzere,
\( \vec{a} \cdot \vec{b} \cdot \vec{c} = k \cdot \vec{c} \Longrightarrow \) Geçersiz işlem
Nokta Çarpımı ve Kosinüs Teoremi
İki vektörün nokta çarpımı kullanılarak trigonometri konusunda gördüğümüz kosinüs teoremi formülü türetilebilir.
Aralarındaki açı \( \alpha \) olan \( \vec{a} \) ve \( \vec{b} \) vektörleri ve \( \vec{a} - \vec{b} \) farkına eşit olan bir \( \vec{c} \) vektörü tanımlayalım.
\( \vec{c} = \vec{a} - \vec{b} \)
Her iki tarafın kendisiyle nokta çarpımını alalım.
\( \vec{c} \cdot \vec{c} = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) \)
Nokta çarpımının dağılma özelliğini kullanalım.
\( \vec{c} \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{a} \) \( - \vec{a} \cdot \vec{b} \) \( - \vec{b} \cdot \vec{a} \) \( + \vec{b} \cdot \vec{b} \)
Nokta çarpımlarının formül karşılıklarını yazalım.
Bir vektörün kendisiyle nokta çarpımı, vektörün büyüklüğünün karesine eşittir.
\( \norm{\vec{c}}^2 = \norm{\vec{a}}^2 \) \( - \norm{\vec{a}} \norm{\vec{b}} \cos{\alpha} \) \( - \norm{\vec{b}} \norm{\vec{a}} \cos{\alpha} \) \( + \norm{\vec{b}}^2 \)
\( \vec{a} \), \( \vec{b} \), \( \vec{c} \) vektörlerinin büyüklüklerine sırasıyla \( a \), \( b \), \( c \) diyelim.
\( c^2 = a^2 - ab\cos{\alpha} - ba\cos{\alpha} + b^2 \)
\( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos{\alpha} \)
Elde ettiğimiz bu formül kosinüs teoremi formülüdür.