Nokta (Skaler) Çarpımı

İki vektörün nokta çarpımı, vektörlerin birbirine karşılık gelen bileşenlerinin çarpımlarının toplamına eşittir.

Yukarıdaki örneklerde görülebileceği üzere, iki vektörün nokta çarpımı skaler bir büyüklüktür ve herhangi bir reel sayı değer alabilir.

Nokta çarpımında vektörler arasında nokta (\( \cdot \)) sembolü kullanılır. Sayılar arasındaki çarpma işleminde çarpanlar arasında çarpma sembolünün kullanılması zorunlu değildir (\( xy = x \cdot y \)), ancak vektörler arasındaki nokta çarpımında nokta işareti mutlaka kullanılmalıdır (\( \vec{a} \cdot \vec{b} \)).

Nokta çarpımına skaler çarpım ya da iç çarpım da denir. Nokta çarpımının bir diğer adı olan "skaler çarpım" ile önceki bölümde gördüğümüz "bir skaler ile çarpma" işlemleri karıştırılmamalıdır.

Nokta Çarpımının Geometrik Tanımı

Nokta çarpımının yukarıda yaptığımız tanıma denk olan ikinci ve geometrik tanımı aşağıdaki gibidir. Bu formüle göre; iki vektörün nokta çarpımı, vektörlerin normları ile aralarındaki açının kosinüsünün çarpımına eşittir.

İki vektörün nokta çarpımı
İki vektörün nokta çarpımı

\( \norm{\vec{a}} \) ve \( \norm{\vec{b}} \) değerleri vektörlerin normları olduğu için skaler büyüklüklerdir. İki vektör arasındaki açının kosinüs değeri de skaler bir büyüklük olduğu için, nokta çarpımının sonucunun bir vektör değil skaler olduğu bu ikinci tanımda da görülebilir.

Nokta Çarpımının Geometrik Yorumu

İki vektör arasındaki nokta çarpımı, vektörlerden birinin diğer vektör üzerindeki izdüşümünün büyüklüğü ile üzerinde izdüşüm alınan vektörün büyüklüğünün çarpımı şeklinde ifade edilebilir. Bunu iki farklı şekilde gösterelim.

Nokta çarpım işlemini önce \( \vec{b} \) vektörünün \( \vec{a} \) vektörü üzerindeki izdüşümünün büyüklüğünü bularak yapalım. Bir dik üçgendeki trigonometrik oranlar kullanılarak \( \vec{b} \) vektörünün \( \vec{a} \) vektörü üzerindeki izdüşümünün \( \norm{\vec{b}} \cos{\alpha} \) olduğu görülebilir. Bu ifade üzerinde izdüşüm alınan \( \vec{a} \) vektörünün büyüklüğü ile çarpıldığında nokta çarpım formülü elde edilir.

İkinci vektörün birinci vektör üzerindeki izdüşümü
İkinci vektörün birinci vektör üzerindeki izdüşümü

Aynı işlemi şimdi de \( \vec{a} \) vektörünün \( \vec{b} \) vektörü üzerindeki izdüşümünün büyüklüğünü bularak yapalım. Yine trigonometrik oranlar kullanılarak bu izdüşümün \( \norm{\vec{a}} \cos{\alpha} \) olduğu görülebilir. Bu ifade üzerinde izdüşüm alınan \( \vec{b} \) vektörünün büyüklüğü ile çarpıldığında aynı nokta çarpım formülü elde edilir.

Birinci vektörün ikinci vektör üzerindeki izdüşümü
Birinci vektörün ikinci vektör üzerindeki izdüşümü

Buna göre, nokta çarpımının geometrik tanımı ile ilgili aşağıdaki iki yorumu yapabiliriz.

  • Nokta çarpımı birinci vektörün ikinci vektör üzerindeki izdüşümünün büyüklüğü ile ikinci vektörün büyüklüğünün çarpımına eşittir.
  • Vektörlerden hangisinin birinci hangisinin ikinci vektör olarak alındığının sonuca bir etkisi yoktur.

Nokta Çarpım İşlem Özellikleri

Yukarıda geometrik olarak gösterdiğimiz üzere, nokta çarpımının değişme özelliği vardır.

Nokta çarpımının skaler bir büyüklükle birleşme özelliği vardır.

Nokta çarpımının toplama işlemi üzerinde soldan ve sağdan dağılma özelliği vardır.

Nokta Çarpım İşlem Kuralları

Bir vektörün kendisiyle nokta çarpımı, vektörün normunun karesine eşittir.

Yönleri aynı iki vektörün nokta çarpımı, vektörlerin normlarının çarpımına eşittir.

Birbirine dik iki vektörün nokta çarpımı sıfıra eşittir. Bunu geometrik olarak açıklamak gerekirse, bir vektörün kendisine dik bir vektör üzerindeki izdüşümünün büyüklüğü sıfırdır.

İki vektörün nokta çarpımı sıfır ise ya vektörler birbirine diktir ya da vektörlerden biri ya da ikisi sıfır vektörüdür.

Sıfır vektörünün tüm vektörlerle nokta çarpımı sıfır olduğu için sıfır vektörü tüm vektörlere diktir.

İki vektörün nokta çarpımı vektörler arasındaki açı 90°'den küçükse pozitif, 90°'den büyükse negatiftir.

Üç vektörün nokta çarpımı geçerli bir işlem değildir. Bunun sebebi, iki vektörün nokta çarpımının sonucunun skaler bir büyüklük olması ve skaler ve vektörel iki büyüklük arasında nokta çarpım işlemi yapılamayacak olmasıdır.

Nokta Çarpımı ve Kosinüs Teoremi

İki vektörün nokta çarpımı kullanılarak trigonometri konusunda gördüğümüz kosinüs teoremi formülü türetilebilir.

Kosinüs teoremi
Kosinüs teoremi
SORU 1 :

\( O \) noktası orijin olmak üzere, koordinat düzlemindeki \( A \) ve \( B \) noktaları ile ilgili aşağıdaki bilgiler veriliyor.

\( A(3, -2) \)

\( \vec{BA} = (-2, -2) \)

Buna göre;

(a) \( \norm{\vec{OB}} \) uzunluğu nedir?

(b) \( \widehat{AOB} \) açısının ölçüsü nedir?

(a) seçeneği:

\( \vec{OA} \) konum vektörünü tanımlayalım.

\( \vec{OA} = (3, -2) \)

\( \vec{BA} \) vektörü başlangıç noktası \( B \) ve bitiş noktası \( A \) olan vektörü temsil eder.

\( \vec{BA} \) vektörü \( \vec{OA} \) konum vektöründen \( \vec{OB} \) konum vektörünün çıkarılması ile elde edilir.

\( \vec{BA} = \vec{OA} - \vec{OB} \)

\( \vec{OB} = \vec{OA} - \vec{BA} \)

İki vektör arasındaki çıkarma işleminde, vektörlerin birbirine karşılık gelen bileşenlerinin ayrı ayrı farkı alınır.

\( = (3, -2) - (-2, -2) \)

\( = (3 - (-2), -2 - (-2)) \)

\( = (5, 0) \)

\( \vec{OB} \) vektörünün normunu bulalım.

\( \norm{\vec{OB}} = \sqrt{5^2 + 0^2} = 5 \)

(b) seçeneği:

\( \widehat{AOB} \) açısı, \( \vec{OA} \) ve \( \vec{OB} \) vektörleri arasında kalan açıdır. Bu açıya \( \alpha \) diyelim.

İki vektör arasındaki açıyı bulmak için nokta çarpımı formülünü kullanalım.

\( \vec{OA} \cdot \vec{OB} = \norm{\vec{OA}} \norm{\vec{OB}} \cos{\alpha} \)

\( \cos{\alpha} = \dfrac{\vec{OA} \cdot \vec{OB}}{\norm{\vec{OA}} \norm{\vec{OB}}} \)

İki vektörün nokta çarpımı, vektörlerin birbirine karşılık gelen bileşenlerinin çarpımlarının toplamına eşittir.

\( \vec{OA} \cdot \vec{OB} = (3, -2) \cdot (5, 0) \)

\( = 3 \cdot 5 + (-2) \cdot 0 \)

\( = 15 \)

\( \vec{OA} \) vektörünün normunu bulalım.

\( \norm{\vec{OA}} = \sqrt{3^2 + (-2)^2} \)

\( = \sqrt{13} \)

Bulduğumuz değerleri nokta çarpımı formülünde yerine koyalım.

\( \cos{\alpha} = \dfrac{15}{\sqrt{13} \cdot 5} \)

\( = \dfrac{3}{\sqrt{13}} = \dfrac{3\sqrt{13}}{13} \)

\( \alpha = \arccos{\dfrac{3\sqrt{13}}{13}} \)


SORU 2 :
Soru

Şekildeki \( ABCD \) yamuğu ile ilgili aşağıdaki bilgiler veriliyor.

\( \vec{AD} \parallel \vec{BC} \)

\( \vec{AB} = (-2, -1) \)

\( \vec{AD} = (3, k) \)

\( \vec{CA} = (-3, 6) \)

Buna göre;

(a) \( \vec{BC} \) vektörünü bulunuz.

(b) \( \vec{AD} \) vektörünü bulunuz.

(c) \( \norm{\vec{DC}} \) uzunluğu nedir?

(d) \( \widehat{ACD} \) açısının ölçüsü nedir?

(a) seçeneği:

\( \vec{BC} \) vektörünü uç uca ekleme yöntemini kullanarak bulalım.

Soru

\( \vec{BC} = \vec{BA} + \vec{AC} \)

\( = -\vec{AB} + (-\vec{CA}) \)

İki vektör arasındaki toplama işleminde, vektörlerin birbirine karşılık gelen bileşenlerinin ayrı ayrı toplamı alınır.

\( = -(-2, -1) + [-(-3, 6)] \)

\( = (2, 1) + (3, -6) \)

\( = (2 + 3, 1 + (-6)) \)

\( = (5, -5) \)

(b) seçeneği:

\( \vec{AD} = (3, k) \)

\( \vec{AD} \parallel \vec{BC} \)

Paralel iki vektörün bileşenleri orantılıdır.

\( \dfrac{3}{5} = \dfrac{k}{-5} \)

\( k = -3 \)

\( \vec{AD} = (3, -3) \)

(c) seçeneği:

\( \vec{DC} \) vektörünü uç uca ekleme yöntemini kullanarak bulalım.

Soru

\( \vec{DC} = \vec{DA} + \vec{AC} \)

\( = -\vec{AD} + (-\vec{CA}) \)

\( = -(3, -3) + [-(-3, 6)] \)

\( = (-3, 3) + (3, -6) \)

\( = (-3 + 3, 3 + (-6)) \)

\( = (0, -3) \)

\( \vec{DC} \) vektörünün normunu bulalım.

\( \norm{\vec{DC}} = \sqrt{0^2 + (-3)^2} \)

\( = 3 \)

(d) seçeneği:

\( \widehat{ACD} \) açısı, \( \vec{CA} \) ve \( \vec{CD} \) vektörleri arasında kalan açıdır. Bu açıya \( \alpha \) diyelim.

İki vektör arasındaki açıyı bulmak için nokta çarpımı formülünü kullanalım.

\( \vec{CA} \cdot \vec{CD} = \norm{\vec{CA}} \norm{\vec{CD}} \cos{\alpha} \)

\( \cos{\alpha} = \dfrac{\vec{CA} \cdot \vec{CD}}{\norm{\vec{CA}} \norm{\vec{CD}}} \)

İki vektörün nokta çarpımı, vektörlerin birbirine karşılık gelen bileşenlerinin çarpımlarının toplamına eşittir.

\( \vec{CA} \cdot \vec{CD} = \vec{CA} \cdot (-\vec{DC}) \)

\( = (-3, 6) \cdot [-(0, -3)] \)

\( = (-3, 6) \cdot (0, 3) \)

\( = (-3) \cdot 0 + 6 \cdot 3 = 18 \)

\( \vec{CA} \) vektörünün normunu bulalım.

\( \norm{\vec{CA}} = \sqrt{(-3)^2 + 6^2} \)

\( = 3\sqrt{5} \)

\( \norm{\vec{CD}} = \norm{\vec{DC}} = 3 \)

Bulduğumuz değerleri nokta çarpımı formülünde yerine koyalım.

\( \cos{\alpha} = \dfrac{18}{3\sqrt{5} \cdot 3} \)

\( = \dfrac{2\sqrt{5}}{5} \)

\( \alpha = \arccos{\dfrac{2\sqrt{5}}{5}} \)


SORU 3 :

\( O \) noktası orijin olmak üzere, koordinat düzlemindeki \( A, B, C \) noktaları ile ilgili aşağıdaki bilgiler veriliyor.

\( \vec{OA} = (1, -1, 1) \)

\( \vec{OB} = (2, 1, 2) \)

\( \vec{OC} = (3, -1, 1) \)

Buna göre \( ABC \) üçgeninin alanı nedir?

\( \vec{AB} \) vektörünü bulalım.

\( \vec{AB} \) vektörü başlangıç noktası \( A \) ve bitiş noktası \( B \) olan vektörü temsil eder.

\( \vec{AB} \) vektörü \( \vec{OB} \) konum vektöründen \( \vec{OA} \) konum vektörünün çıkarılması ile elde edilir.

\( \vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} \)

İki vektör arasındaki çıkarma işleminde, vektörlerin birbirine karşılık gelen bileşenlerinin ayrı ayrı farkı alınır.

\( = (2, 1, 2) - (1, -1, 1) \)

\( = (2 - 1, 1 - (-1), 2 - 1) \)

\( = (1, 2, 1) \)

\( \vec{BC} \) vektörünü bulalım.

\( \vec{BC} = \vec{OC} - \vec{OB} \)

\( = (3, -1, 1) - (2, 1, 2) \)

\( = (3 - 2, -1 - 1, 1 - 2) \)

\( = (1, -2, -1) \)

\( \vec{BA} \) ve \( \vec{BC} \) vektörleri arasındaki açıyı bulmak için nokta çarpımı formülünü kullanalım.

İki vektör arasındaki açıya \( \alpha \) diyelim.

Soru

\( \vec{BA} \cdot \vec{BC} = \norm{\vec{BA}} \norm{\vec{BC}} \cos{\alpha} \)

\( (-\vec{AB}) \cdot \vec{BC} = \norm{\vec{AB}} \norm{\vec{BC}} \cos{\alpha} \)

\( \cos{\alpha} = \dfrac{(-\vec{AB}) \cdot \vec{BC}}{\norm{\vec{AB}} \norm{\vec{BC}}} \)

İki vektörün nokta çarpımı, vektörlerin birbirine karşılık gelen bileşenlerinin çarpımlarının toplamına eşittir.

\( (-\vec{AB}) \cdot \vec{BC} = [-(1, 2, 1)] \cdot (1, -2, -1) \)

\( = (-1, -2, -1) \cdot (1, -2, -1) \)

\( = (-1) \cdot 1 + (-2) \cdot (-2) + (-1) \cdot (-1) \)

\( = -1 + 4 + 1 = 4 \)

\( \vec{AB} \) vektörünün normunu bulalım.

\( \norm{\vec{AB}} = \sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2 } \)

\( = \sqrt{6} \)

\( \vec{BC} \) vektörünün normunu bulalım.

\( \norm{\vec{BC}} = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-1)^2 } \)

\( = \sqrt{6} \)

Bulduğumuz değerleri nokta çarpımı formülünde yerine koyalım.

\( \cos{\alpha} = \dfrac{4}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} \)

\( = \dfrac{2}{3} \)

Pisagor özdeşliğini kullanalım.

\( \sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} = 1 \)

\( \sin^2{\alpha} + (\dfrac{2}{3})^2 = 1 \)

\( \sin{\alpha} = \pm \dfrac{\sqrt{5}}{3} \)

\( \alpha \) açısı \( ABC \) üçgeninin bir iç açısıdır.

\( 0 \lt \alpha \lt 180 \)

Sinüs I. ve II. bölgelerde pozitiftir.

\( \sin{\alpha} = \dfrac{\sqrt{5}}{3} \)

Sinüs alan formülünü kullanalım.

\( A(ABC) = \dfrac{1}{2}\norm{\vec{BA}}\norm{\vec{BC}}\sin{\alpha} \)

\( = \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{6} \cdot \dfrac{\sqrt{5}}{3} \)

\( = \sqrt{5} \) bulunur.


SORU 4 :

Koordinat uzayındaki \( A, B, C \) noktaları ile ilgili aşağıdaki bilgiler veriliyor.

\( k \in \mathbb{R} \) olmak üzere,

\( \vec{AB} = (4, 1, 1) \)

\( \vec{BC} = (k, -2k, 8) \)

\( \vec{AB} \perp \vec{BC} \)

Buna göre;

(a) \( k \) kaçtır?

(b) \( ABC \) üçgeninin alanı nedir?

(a) seçeneği:

Aralarındaki açı 90° (birbirine dik) olan iki vektörün nokta çarpımı sıfıra eşittir.

\( \vec{AB} \cdot \vec{BC} = 0 \)

İki vektörün nokta çarpımı, vektörlerin birbirine karşılık gelen bileşenlerinin çarpımlarının toplamına eşittir.

\( (4, 1, 1) \cdot (k, -2k, 8) = 0 \)

\( 4 \cdot k + 1 \cdot (-2k) + 1 \cdot 8 = 0 \)

\( 4k - 2k + 8 = 0 \)

\( k = -4 \) bulunur.

(b) seçeneği:

\( \vec{AB} \) vektörünün normunu bulalım.

\( \norm{\vec{AB}} = \sqrt{4^2 + 1^2 + 1^2} \)

\( = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \)

Bulduğumuz \( k \) değerini \( \vec{BC} \) vektöründe yerine yazalım.

\( \vec{BC} = (k, -2k, 8) \)

\( = (-4, -2(-4), 8) \)

\( = (-4, 8, 8) \)

\( \vec{BC} \) vektörünün normunu bulalım.

\( \norm{\vec{BC}} = \sqrt{(-4)^2 + 8^2 + 8^2} \)

\( = \sqrt{144} = 12 \)

\( \vec{AB} \perp \vec{BC} \) soruda verilmiştir.

Soru

Dik üçgen alan formülünü kullanalım.

\( A(ABC) = \dfrac{\norm{\vec{AB}} \cdot \norm{\vec{BC}}}{2} \)

\( = \dfrac{3\sqrt{2} \cdot 12}{2} \)

\( = 18\sqrt{2} \) bulunur.


« Önceki
Vektörlerle Çarpma
Sonraki »
Vektörel Çarpım


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır