Bir Vektörün Normu
Bir vektörün uzunluğuna o vektörün büyüklüğü ya da normu denir ve \( \norm{\vec{a}} \) ya da \( \abs{\vec{a}} \) şeklinde gösterilir.
İki boyutlu bir vektörün normu, Pisagor teoremi kullanılarak aşağıdaki formülle hesaplanır.
\( \vec{a} = (x_1, y_1) \) olmak üzere,
\( \norm{\vec{a}} = \sqrt{x_1^2 + y_1^2} \)
\( \vec{a} = (12, -5) \)
\( \norm{\vec{a}} = \sqrt{12^2 + (-5)^2} = 13 \)
\( \vec{b} = (-8, 0) \)
\( \norm{\vec{b}} = \sqrt{(-8)^2 + 0^2} = 8 \)
Bir vektörün normu, kendisini temsil eden doğru parçasının uzunluğuna karşılık geldiği için skaler bir büyüklüktür ve negatif değer alamaz.
\( \norm{\vec{a}} \ge 0 \)
Norm pozitif bir büyüklük olduğu için, bir vektörün önündeki katsayı normun dışına mutlak değer içinde çıkar.
\( \norm{k\vec{a}} = \abs{k}\norm{\vec{a}} \)
\( \vec{a} = (-3, 4) \) olmak üzere,
\( \norm{-2\vec{a}} = \norm{-2(-3, 4)} \)
\( = 2\norm{(-3, 4)} \)
\( = 2\sqrt{(-3)^2 + 4^2} \)
\( = 2 \cdot 5 = 10 \)
Üç boyutlu bir vektörün büyüklüğü, iki kez Pisagor teoremi kullanılarak aşağıdaki formülle hesaplanır.
\( \vec{a} = (x_1, y_1, z_1) \) olmak üzere,
\( \norm{\vec{a}} = \sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} \)
\( \vec{a} = (6, -3, 2) \)
\( \norm{\vec{a}} = \sqrt{6^2 + (-3)^2 + 2^2} = 7 \)
\( \vec{b} = (4, 0, -3) \)
\( \norm{\vec{b}} = \sqrt{(4^2 + 0^2 + (-3)^2} = 5 \)
İSPATI GÖSTER
\( \vec{a} \) vektörünün uç noktasına \( A \), bu noktanın \( xy \) düzlemi üzerindeki izdüşümü olan noktaya \( B \) diyelim.
\( xy \) düzleminde bulunan ve \( z \) koordinatları aynı olan \( O \) ve \( B \) noktaları arasındaki \( \abs{OB} \) uzaklığını iki boyutlu kartezyen düzlemi uzaklık formülü ile bulabiliriz.
\( \abs{OB}^2 = x_1^2 + y_1^2 \)
\( [BA] \) doğru parçasının uzunluğu \( \vec{a} \) vektörünün \( z \) bileşenine eşittir.
\( \abs{BA} = z_1 \)
\( O \), \( B \) ve \( A \) noktaları bir dik üçgen oluşturur.
\( OBA \) dik üçgenine Pisagor teoremini uygulayalım.
\( \abs{OA}^2 = \abs{OB}^2 + \abs{BA}^2 \)
\( \norm{\vec{a}}^2 = (x_1^2 + y_1^2) + z_1^2 \)
\( \norm{\vec{a}} = \sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} \)
Uzunlukları aynı, yönleri farklı vektörler birbirine eşit değildir, ancak normları birbirine eşittir.
\( \vec{a} = (3, 4) \)
\( \vec{b} = (-5, 0) \)
\( \vec{c} = (-4, -3) \)
\( \vec{d} = (2, -\sqrt{21}) \)
\( \vec{a} \ne \vec{b} \ne \vec{c} \ne \vec{d} \)
\( \norm{\vec{a}} = \norm{\vec{b}} = \norm{\vec{c}} = \norm{\vec{d}} \)