Bir Vektörün İzdüşümü

\( \vec{a} \) vektörünün sıfır vektöründen farklı bir \( \vec{b} \) vektörü üzerindeki vektör izdüşümü, \( \vec{a} \) vektörünün başlangıç ve bitiş noktalarının \( \vec{b} \) vektörü üzerindeki dik izdüşümlerinin oluşturduğu vektördür.

\( \vec{a} \) vektörünün \( \vec{b} \) vektörü üzerindeki vektörel izdüşümü \( \text{Proj}_{\vec{b}}(\vec{a}) \) şeklinde gösterilir ve bir vektörel büyüklüktür.

Vektörel izdüşüm
Vektörel izdüşüm

Bu formüldeki vektörel ve skaler çarpanlar arasındaki ayrıma dikkat edilmelidir.

Vektörel izdüşümün büyüklüğü skaler izdüşüm olarak adlandırılır ve vektörel izdüşümün normuna eşittir.

Skaler izdüşüm
Skaler izdüşüm

Vektörel izdüşüm, büyüklüğü skaler izdüşüme eşit olan ve yönü \( \hat{b} \) birim vektörü ile aynı olan bir vektör olduğu için, bu ikisinin skaler çarpımı şeklinde de ifade edilebilir.

Skaler izdüşüm (ispat)
Skaler izdüşüm (ispat)

Bir Vektörün Paralel ve Dik Bileşenleri

Bir vektör diğer bir vektör üzerindeki paralel ve dik bileşenlerine ayrılabilir.

Bir vektörün paralel ve dik bileşenleri
Bir vektörün paralel ve dik bileşenleri

Bir \( \vec{a} \) vektörünün \( \vec{b} \) vektörü üzerindeki paralel ve dik bileşenlerinin toplamı \( \vec{a} \) vektörüne eşittir.

\( \vec{a} \) vektörünün \( \vec{b} \) vektörü üzerindeki paralel bileşeni \( \vec{b} \) vektörü üzerindeki izdüşümüdür.

\( \vec{a} \) vektörünün \( \vec{b} \) vektörü üzerindeki dik bileşeni bu izdüşüm vektörüne dik olan vektördür.

İzdüşüm ile Uzaklık

Skaler izdüşüm formülünün bir uygulaması olarak, bir \( B \) noktasının bir doğruya (ya da vektöre/düzleme) olan en yakın uzaklığı, bu doğru (vektör/düzlem) üzerindeki herhangi bir \( A \) noktasından \( B \) noktasına çizilen vektörün bu doğruya (vektöre/düzleme) dik bir vektör üzerindeki izdüşümünün normuna eşittir.

Uzaklığın izdüşüm formülü
Uzaklığın izdüşüm formülü

Bu formülü ileriki bölümlerde bir noktanın üç boyutlu uzayda bir doğruya ya da düzleme olan uzaklığını bulmak için sıklıkla kullanıyor olacağız.


« Önceki
Bir Vektörün Bileşenleri
Sonraki »
Vektörlerde Açılar


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır