Cauchy - Schwarz eşitsizliği, iki vektörün nokta çarpımının mutlak değeri için vektörlerin normlarının çarpımı olmak üzere bir üst sınır değeri belirler.
\( \abs{\vec{a} \cdot \vec{b}} \le \norm{\vec{a}}\norm{\vec{b}} \)
Bir açının kosinüs değeri \( [-1, 1] \) aralığındadır.
\( -1 \le \cos{\alpha} \le 1 \)
Eşitsizliğin taraflarını \( \norm{\vec{a}} \norm{\vec{b}} \) ile çarpalım.
\( -\norm{\vec{a}} \norm{\vec{b}} \le \norm{\vec{a}} \norm{\vec{b}} \cos{\alpha} \le \norm{\vec{a}} \norm{\vec{b}} \)
Ortadaki ifade iki vektörün nokta çarpımına eşittir.
\( -\norm{\vec{a}} \norm{\vec{b}} \le \vec{a} \cdot \vec{b} \le \norm{\vec{a}} \norm{\vec{b}} \)
İki vektörün nokta çarpımı aynı ifadenin pozitif ve negatif değerleri arasında kalıyorsa aşağıdaki şekilde yazılabilir.
\( \abs{\vec{a} \cdot \vec{b}} \le \norm{\vec{a}} \norm{\vec{b}} \)
Cauchy - Schwarz eşitsizliğinde eşitlik durumu iki şekilde sağlanır.