Şu ana kadar gördüğümüz vektörler sadece \( x \) ve \( y \) bileşenleri olan iki boyutlu vektörlerdi. Bu bileşenlere üçüncü bir \( z \) bileşenin eklenmesiyle üç boyutlu vektörler elde edilir ve bu vektörler üç eksenli koordinat sisteminde gösterilir.
Görsel olarak ifade etmemiz mümkün olmasa da, üçten fazla boyuta sahip vektörler tanımlanabilir ve bu vektörler arasında işlemler yapılabilir. Burada bu vektörlerin tanımlanmasından ve işlem kurallarında kısaca bahsedeceğiz.
\( n \) boyutlu iki vektör aşağıdaki şekilde tanımlanır.
\( \vec{a} = (a_1, a_2, \ldots, a_n) \)
\( \vec{b} = (b_1, b_2, \ldots, b_n) \)
Bu iki vektör arasında toplama ve çıkarma işlemleri aşağıdaki şekilde gerçekleşir.
\( \vec{a} + \vec{b} = (a_1, a_2, \ldots, a_n) \) \( + (b_1, b_2, \ldots, b_n) \))
\( = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, \ldots, a_n + b_n) \)
\( \vec{a} - \vec{b} = (a_1, a_2, \ldots, a_n) \) \( - (b_1, b_2, \ldots, b_n) \)
\( = (a_1 - b_1, a_2 - b_2, \ldots, a_n - b_n) \)
Bu iki vektör arasında nokta çarpım işlemi aşağıdaki şekilde gerçekleşir.
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = (a_1, a_2, \ldots, a_n) \) \( \cdot (b_1, b_2, \ldots, b_n) \)
\( = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \ldots + a_n b_n \)