Bir \( f \) fonksiyonu ve türevi \( f \) olan \( F \) fonksiyonu tanımlayalım.
\( f(x) = 2x \)
\( F'(x) = f(x) \)
\( F \) fonksiyonunun tanımını bulmak istediğimizde türevi \( f \) olan ve birbirinden bir sabit terim ile ayrılan sonsuz sayıda \( F \) fonksiyonu yazabileceğimizi görebiliriz.
\( F_1(x) = x^2 \Longrightarrow F_1'(x) = 2x \)
\( F_2(x) = x^2 + 3 \Longrightarrow F_2'(x) = 2x \)
\( F_3(x) = x^2 - 2 \Longrightarrow F_3'(x) = 2x \)
Tüm bu \( F \) fonksiyonlarını, fonksiyonun sonuna ekleyeceğimiz sabit bir \( C \) reel sayısı ile tek bir fonksiyon tanımı altında toplayabiliriz.
\( C \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( F(x) = x^2 + C \)
Türevi \( f \) fonksiyonu olan bu \( F \) fonksiyonuna \( f \) fonksiyonunun ters türevi ya da belirsiz integrali denir.
\( F'(x) = f(x) \) ise,
\( \displaystyle\int {f(x) \ dx} = F(x) + C \)
\( C \) sayısına integral sabiti denir.
Önceki bölümde tanımladığımız belirli integral ile belirsiz integral arasındaki bazı farklar şunlardır:
Belirli integralin özelliklerinde bahsettiğimiz aşağıdaki işlem özellikleri belirsiz integral için de geçerlidir.
\( k \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( \displaystyle\int {k \cdot f(x)\ dx} = k \cdot \displaystyle\int {f(x)\ dx} \)
\( \displaystyle\int {(f(x) \pm g(x))\ dx} = \displaystyle\int {f(x)\ dx} \) \( \pm \displaystyle\int {g(x) dx}\ \)
Türevde geçerli olmadığı gibi, integralde de benzer özellikler çarpma ve bölme işlemleri için geçerli değildir.
\( \displaystyle\int {f(x) \cdot g(x)\ dx} \textcolor{red}{\ne} \displaystyle\int {f(x)\ dx} \cdot \displaystyle\int {g(x) dx}\ \)
\( \displaystyle\int {\dfrac{f(x)}{g(x)}\ dx} \textcolor{red}{\ne} \frac{\displaystyle\int {f(x)\ dx}}{\displaystyle\int {g(x)\ dx}} \)
\( f(x) \) sabit olmayan bir polinom fonksiyonu olmak üzere,
\( \dfrac{d}{dx}\displaystyle\int f'(x)\ dx \) ifadesinin sonucu nedir?
(a) \( f'(x) + C \)
(b) \( f'(x) \)
(c) \( f(x) + C \)
(d) \( f(x) \)
(e) \( 0 \)
Çözümü Göster\( \dfrac{d^2}{dx^2}(\displaystyle\int (3x^2 + 2y^3 + 5z + \cos{t})\ dx) \) integralinin sonucu kaçtır ?
Çözümü Göster\( (f - g)(3) = 10, \quad g(5) = 5 \)
\( f(x) = \displaystyle\int g'(x)\ dx \)
olduğuna göre, \( f(5) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( f(x) = \dfrac{d}{dx}(2x^3 + \displaystyle\int \cos(2t)\ dt) \)
ifadesinin sonucu nedir? Çözümü Göster