Genelleştirilmiş İntegral

Şu ana kadar gördüğümüz integral ifadeleri aşağıdaki iki koşulu sağlıyordu.

  • İntegral aralığı sonlu ve kapalı bir \( [a, b] \) aralığı idi.
  • İntegrali alınan fonksiyon bu aralıkta alttan ve üstten sınırlı idi.

Genelleştirilmiş integral ya da diğer adıyla has olmayan integral, bu iki koşuldan en az birinin sağlanmadığı durumlarda kullanılan bir yöntemdir. Genelleştirilmiş integral, her biri yukarıdaki iki koşuldan birinin sağlanmadığı duruma karşılık gelecek şekilde iki tipte olabilir.

  • Tip I - Sınırsız integral aralığı: Bu durumda integral aralığının sınır değerlerinden en az biri sonsuzdur. Bir diğer ifadeyle integral yatay yönde sınırsızdır.
  • Tip II - Sınırsız fonksiyon değeri: Bu durumda fonksiyon değeri integral aralığında bir noktada sonsuza gider ve bu noktada bir dikey asimptot oluşur. Bir diğer ifadeyle integral dikey yönde sınırsızdır.

Genelleştirilmiş integralde amaç, yukarıdaki iki durumda da ifadeyi belirli integral koşullarını sağlayan bir forma getirmek ve integral sonucu bir reel sayı olarak tanımlı ise bu değeri bulmaktır. Aşağıda göreceğimiz üzere, genelleştirilmiş integrali belirli integrale dönüştürmek için limit işlemi kullanılır.

Tip I: Sınırsız İntegral Aralığı

Bu tipteki integralde integral aralığının sınır değerlerinden en az biri sonsuzdur. Bu şekildeki bir genelleştirilmiş integral, limit işlemi yardımıyla belirli integrale dönüştürülür.

Aralık Üstten Sınırsız

İntegral aralığı \( [a, \infty) \) şeklinde ise ve fonksiyon diğer tüm integrallenebilirlik koşullarını sağlıyorsa genelleştirilmiş integral aşağıdaki şekilde tanımlanır.

İntegral aralığı üstten sınırsız
İntegral aralığı üstten sınırsız

Bu eşitlikte (ve aşağıda paylaşacağımız diğer benzer eşitliklerde) sol taraftaki integral bir genelleştirilmiş integral, limit içindeki integral ise belirli integraldir. Burada kullanılan yöntem; integralin üst sınır değerini reel sayı bir değişken olarak tanımlayarak belirli integrali hesaplamak, daha sonra belirli integral sonucunun bu değişken pozitif sonsuza giderkenki limitini almaktır.

Fonksiyonun bu aralıktaki genelleştirilmiş integrali yukarıdaki limit ifadesi bir reel sayı olarak tanımlı ise tanımlıdır. Limit ifadesi tanımsız ya da sonsuz ise bu aralıkta genelleştirilmiş integral de tanımsızdır.

Bir fonksiyonun bir aralıktaki genelleştirilmiş integrali bir reel sayı olarak tanımlı ise bu integral yakınsaktır, aksi takdirde ıraksaktır. Benzer şekilde, bir genelleştirilmiş integralin yakınsak olması integralin bir reel sayı olarak tanımlı olduğunu, ıraksak olması ise tanımsız ya da sonsuz olduğunu gösterir.

Aralık Alttan Sınırsız

İntegral aralığı \( (-\infty, b] \) şeklinde ise ve fonksiyon diğer tüm integrallenebilirlik koşullarını sağlıyorsa genelleştirilmiş integral aşağıdaki şekilde tanımlanır.

İntegral aralığı alttan sınırsız
İntegral aralığı alttan sınırsız

Fonksiyonun bu aralıktaki genelleştirilmiş integrali yukarıdaki limit ifadesi bir reel sayı olarak tanımlı ise tanımlıdır. Limit ifadesi tanımsız ya da sonsuz ise bu aralıkta genelleştirilmiş integral de tanımsızdır.

Aralık Alttan ve Üstten Sınırsız

İntegral aralığı \( (-\infty, \infty) \) şeklinde ise ve fonksiyon diğer tüm integrallenebilirlik koşullarını sağlıyorsa genelleştirilmiş integral aşağıdaki şekilde tanımlanır.

İntegral aralığı alttan ve üstten sınırsız
İntegral aralığı alttan ve üstten sınırsız

Bu tanımda toplamı alınan iki integral, yukarıda tanımladığımız integral aralığının alt ya da üst sınır değerleri sonsuz olan I. tipte genelleştirilmiş integrallerdir.

Formüldeki \( x = c \) noktası \( (a, b) \) aralığında herhangi bir nokta olarak seçilebilir.

\( (-\infty, \infty) \) aralığındaki genelleştirilmiş integralin yakınsak olması için hem \( \int_{-\infty}^c {f(x)\ dx} \) hem de \( \int_c^{\infty} {f(x)\ dx} \) genelleştirilmiş integrali yakınsak olmalıdır. Bu integrallerden en az birinin ıraksak olması durumunda \( \int_{-\infty}^{\infty} {f(x)\ dx} \) genelleştirilmiş integrali de ıraksak olur.

Tip II: Sınırsız Fonksiyon Değeri

Bu tipteki integralde fonksiyon integral aralığındaki bir \( x = c \) noktasında sonsuza gider ve bu noktada bir dikey asimptot oluşur. Bu şekildeki bir genelleştirilmiş integral, yine limit işlemi yardımıyla belirli integrale dönüştürülür.

Fonksiyon Üst Sınır Noktasında Sonsuz

Fonksiyon değeri integral aralığının üst sınırında sonsuza gidiyorsa ve fonksiyon diğer tüm integrallenebilirlik koşullarını sağlıyorsa genelleştirilmiş integral aşağıdaki şekilde tanımlanır.

Fonksiyon değeri aralığın üst sınırında sonsuz
Fonksiyon değeri aralığın üst sınırında sonsuz

Bu eşitlikte (ve aşağıda paylaşacağımız diğer benzer eşitliklerde) sol taraftaki integral bir genelleştirilmiş integral, limit içindeki integral ise belirli integraldir. Burada kullanılan yöntem; fonksiyonun sonsuza gittiği (dikey asimptotun oluştuğu) noktanın apsis değerini bir değişken olarak tanımlayarak belirli integrali hesaplamak, daha sonra belirli integral sonucunun değişken bu noktaya soldan yaklaşırkenki limitini almaktır.

Fonksiyonun bu aralıktaki genelleştirilmiş integrali yukarıdaki limit ifadesi bir reel sayı olarak tanımlı ise tanımlıdır. Limit ifadesi tanımsız ya da sonsuz ise bu aralıkta genelleştirilmiş integral de tanımsızdır.

Fonksiyon Alt Sınır Noktasında Sonsuz

Fonksiyon değeri integral aralığının alt sınırında sonsuza gidiyorsa ve fonksiyon diğer tüm integrallenebilirlik koşullarını sağlıyorsa genelleştirilmiş integral aşağıdaki şekilde tanımlanır.

Fonksiyon değeri aralığın alt sınırında sonsuz
Fonksiyon değeri aralığın alt sınırında sonsuz

Fonksiyonun bu aralıktaki genelleştirilmiş integrali yukarıdaki limit ifadesi bir reel sayı olarak tanımlı ise tanımlıdır. Limit ifadesi tanımsız ya da sonsuz ise bu aralıkta genelleştirilmiş integral de tanımsızdır.

Fonksiyon Bir Ara Noktada Sonsuz

Fonksiyonun sonsuza gittiği nokta \( (a, b) \) açık aralığında bir \( x = c \) noktası ise genelleştirilmiş integral aşağıdaki şekilde tanımlanır.

Fonksiyon değeri aralığın bir ara noktasında sonsuz
Fonksiyon değeri aralığın bir ara noktasında sonsuz

Bu tanımda toplamı alınan iki integral, yukarıda tanımladığımız II. tipteki genelleştirilmiş integrallerdir.

Tanımdaki \( x = c \) noktası; I. tipte olduğu gibi \( (a, b) \) aralığında seçilen herhangi bir nokta değil, fonksiyon değerinin sonsuza gittiği noktadır.

İntegral aralığındaki ara bir noktada sonsuza giden bir genelleştirilmiş integralin yakınsak olması için hem \( \int_a^c {f(x)\ dx} \) hem de \( \int_c^b {f(x)\ dx} \) genelleştirilmiş integrali yakınsak olmalıdır. Bu integrallerden en az birinin ıraksak olması durumunda \( \int_a^b {f(x)\ dx} \) integrali de ıraksak olur.

Her ne kadar kullanılan integral sembolleri aynı olsa da, genelleştirilmiş integral belirli integralden farklı bir işlemdir. I. tipte genelleştirilmiş integralde sınır değerlerinden en az biri sonsuz olduğu için bu integralin belirli integralden ayırt edilmesi kolaydır, ancak II. tipte böyle bir ayrım söz konusu olmadığı için dikkatli olunmalı ve sonsuzluk içeren bir aralıkta genelleştirilmiş integral yerine belirli integral kullanılmamalıdır.

Bu durumun gözden kaçırılması durumunda nasıl yanlış sonuç elde edilebileceğini bir örnekle gösterelim.

SORU 1 :

\( \displaystyle\int_0^{\infty} \cos{x}\ dx \) integralinin yakınsak mı ıraksak mı olduğunu, yakınsak ise integral değerini bulunuz.

İntegral aralığının üst sınırı pozitif sonsuz olduğu için I. tipte genelleştirilmiş integral formülünü kullanalım.

\( \displaystyle\int_0^{\infty} \cos{x}\ dx = \lim_{t \to \infty} \displaystyle\int_0^t \cos{x}\ dx \)

İfadenin integralini alalım.

\( = \lim_{t \to \infty} (\sin{x})|_0^t \)

\( = \lim_{t \to \infty} (\sin{t} - \sin{0}) \)

\( = \lim_{t \to \infty} \sin{t} \)

Sinüs fonksiyonu periyodik bir fonksiyon olduğu için \( t \to \infty \) iken belirli bir değere yaklaşmaz, dolayısıyla limiti tanımsızdır.

Buna göre verilen integral ifadesi ıraksaktır.

Verilen ifadeyi belirli integralin alan anlamı açısından düşündüğümüzde, periyodik bir fonksiyonun \( x \) ekseni ile arasında kalan alanın \( x \) sonsuza giderken kesin bir değeri olamayacağını görebiliriz.


SORU 2 :

\( \displaystyle\int_{e}^{\infty} \dfrac{6}{x\ln^4{x}}\ dx \) integralinin yakınsak mı ıraksak mı olduğunu, yakınsak ise integral değerini bulunuz.

İntegral aralığının üst sınırı pozitif sonsuz olduğu için I. tipte genelleştirilmiş integral formülünü kullanalım.

\( \displaystyle\int_{e}^{\infty} \dfrac{6}{x\ln^4{x}}\ dx = \lim\limits_{t \to \infty} \displaystyle\int_{e}^{t} \dfrac{6}{x\ln^4{x}}\ dx \)

İfadenin integralini alalım.

\( u = \ln{x} \) ve \( du = \dfrac{1}{x}\ dx \) şeklinde değişken değiştirme uygulayalım.

\( = \lim\limits_{t \to \infty} (-\dfrac{2}{\ln^3{x}})|_{e}^{t} \)

\( = \lim\limits_{t \to \infty} (-\dfrac{2}{\ln^3{t}} - (-\dfrac{2}{\ln^3{e}})) \)

\( t \to \infty\) iken \( -\dfrac{2}{\ln^3{t}} \) ifadesi sıfıra yaklaşır.

\( = \lim\limits_{t \to \infty} (-0 - (-\dfrac{2}{1^3})) \)

\( = 2 \)

Buna göre verilen integral ifadesi yakınsaktır ve değeri \( 2 \) olarak bulunur.


SORU 3 :

\( \displaystyle\int_{-\infty}^{0} \dfrac{4e^x}{e^{2x} + 1}\ dx \) integralinin yakınsak mı ıraksak mı olduğunu, yakınsak ise integral değerini bulunuz.

İntegral aralığının alt sınırı negatif sonsuz olduğu için I. tipte genelleştirilmiş integral formülünü kullanalım.

\( \displaystyle\int_{-\infty}^0 \dfrac{4e^x}{e^{2x} + 1}\ dx = \lim\limits_{t \to -\infty} \displaystyle\int_t^0 \dfrac{4e^x}{e^{2x} + 1}\ dx \)

İfadenin integralini alalım.

\( u = e^x \) ve \( du = e^x\ dx \) şeklinde değişken değiştirme uygulayalım.

\( = \lim\limits_{t \to -\infty} (4\arctan{e^x})|_t^0 \)

\( = \lim\limits_{t \to -\infty} (4\arctan{e^0} - 4\arctan{e^t}) \)

\( \arctan{e^0} = \arctan{1} = \dfrac{\pi}{4} \)

\( t \to -\infty \) iken \( e^t \) ifadesi sıfıra pozitif taraftan yaklaşır.

\( e^t \to 0^+ \) iken \( \arctan{e^t} \) ifadesi sıfıra yaklaşır.

Buna göre yukarıdaki limit ifadesinin sonucu aşağıdaki gibi olur.

\( = 4 \cdot \dfrac{\pi}{4} - 4 \cdot 0 \)

\( = \pi \)

Buna göre verilen integral ifadesi yakınsaktır ve değeri \( \pi \) olarak bulunur.


SORU 4 :

\( \displaystyle\int_3^{\infty} \dfrac{4}{x^2 - 4}\ dx \) integralinin yakınsak mı ıraksak mı olduğunu, yakınsak ise integral değerini bulunuz.

İntegral aralığının üst sınırı pozitif sonsuz olduğu için I. tipte genelleştirilmiş integral formülünü kullanalım.

\( \displaystyle\int_3^{\infty} \dfrac{4}{x^2 - 4}\ dx = \lim\limits_{t \to \infty} \displaystyle\int_{3}^{t} \dfrac{4}{x^2 - 4}\ dx \)

\( = \lim\limits_{t \to \infty} \displaystyle\int_3^t \dfrac{4}{(x - 2)(x + 2)}\ dx \)

İfadeyi basit kesirlerin toplamı şeklinde yazalım.

\( = \lim\limits_{t \to \infty} \displaystyle\int_3^t (\dfrac{1}{x - 2} - \dfrac{1}{x + 2})\ dx \)

Kesirlerin ayrı ayrı integrallerini alalım.

\( = \lim\limits_{t \to \infty} (\ln{\abs{x - 2}} - \ln{\abs{x + 2}})|_3^t \)

\( = \lim\limits_{t \to \infty} (\ln{\abs{\dfrac{x - 2}{x + 2}}})|_3^t \)

\( t \to \infty \) iken pay ve payda pozitif olacağı için mutlak değeri kaldırabiliriz.

\( = \lim\limits_{t \to \infty} (\ln{\dfrac{x - 2}{x + 2}})|_3^t \)

\( = \lim\limits_{t \to \infty} (\ln{\dfrac{t - 2}{t + 2}} - \ln{\dfrac{3 - 2}{3 + 2}}) \)

İfadeyi düzenleyelim.

\( = \lim\limits_{t \to \infty} (\ln{\dfrac{t(1 - \frac{2}{t})}{t(1 + \frac{2}{t})}} - \ln{\dfrac{1}{5}}) \)

\( = \lim\limits_{t \to \infty} (\ln{\dfrac{1 - \frac{2}{t}}{1 + \frac{2}{t}}} + \ln{5}) \)

\( t \to \infty \) iken \( \dfrac{2}{t} \) ifadesi sıfıra yaklaşır.

\( = \ln{1} + \ln{5} \)

\( = \ln{5} \)

Buna göre verilen integral ifadesi yakınsaktır ve değeri \( \ln{5} \) olarak bulunur.


SORU 5 :

\( \displaystyle\int_2^{\infty} -\dfrac{7}{(2x + 3)(3x + 1)}\ dx \) integralinin yakınsak mı ıraksak mı olduğunu, yakınsak ise integral değerini bulunuz.

İntegral aralığının üst sınırı pozitif sonsuz olduğu için I. tipte genelleştirilmiş integral formülünü kullanalım.

\( \displaystyle\int_2^{\infty} -\dfrac{7}{(2x + 3)(3x + 1)}\ dx = \lim\limits_{t \to \infty} \displaystyle\int_2^t -\dfrac{7}{(2x + 3)(3x + 1)}\ dx \)

İfadeyi basit kesirlerin toplamı şeklinde yazalım.

\( = \lim\limits_{t \to \infty} \displaystyle\int_2^t (\dfrac{2}{2x + 3} - \dfrac{3}{3x + 1})\ dx \)

Kesirlerin ayrı ayrı integrallerini alalım.

\( = \lim\limits_{t \to \infty} (\ln{\abs{2x + 3}} - \ln{\abs{3x + 1}})|_2^t \)

\( = \lim\limits_{t \to \infty} (\ln{\abs{\dfrac{2x + 3}{3x + 1}}})|_2^t \)

\( t \to \infty \) iken pay ve payda pozitif olacağı için mutlak değeri kaldırabiliriz.

\( = \lim\limits_{t \to \infty} (\ln{\dfrac{2x + 3}{3x + 1}})|_2^t \)

\( = \lim\limits_{t \to \infty} (\ln{\dfrac{2t + 3}{3t + 1}}- \ln{\dfrac{4 + 3}{6 + 1}}) \)

İlk terimin limitini bulmak için ifadeyi düzenleyelim.

\( = \lim\limits_{t \to \infty} \ln{\dfrac{2t + 3}{3t + 1}} = \lim\limits_{t \to \infty} \ln{\dfrac{t(2 + \frac{3}{t})}{t(3 + \frac{1}{t})}} \)

\( = \lim\limits_{t \to \infty} \ln{\dfrac{2 + \frac{3}{t}}{3 + \frac{1}{t}}} \)

\( t \to \infty \) iken \( \dfrac{3}{t} \) ve \( \dfrac{1}{t} \) ifadeleri sıfıra yaklaşır.

\( = \lim\limits_{t \to \infty} \ln{\dfrac{2 + 0}{3 + 0}} = \ln{\dfrac{2}{3}} \)

Buna göre yukarıdaki limit ifadesinin sonucu aşağıdaki gibi olur.

\( = \ln{\dfrac{2}{3}} - \ln{1} \)

\( = \ln{\dfrac{2}{3}} \)

Buna göre verilen integral ifadesi yakınsaktır ve değeri \( \ln{\dfrac{2}{3}} \) olarak bulunur.


SORU 6 :

\( \displaystyle\int_0^{\infty} (\dfrac{4}{1 + x} - \dfrac{8x}{1 + 2x^2})\ dx \) integralinin yakınsak mı ıraksak mı olduğunu, yakınsak ise integral değerini bulunuz.

İntegral aralığının üst sınırı pozitif sonsuz olduğu için I. tipte genelleştirilmiş integral formülünü kullanalım.

\( \displaystyle\int_0^{\infty} (\dfrac{4}{1 + x} - \dfrac{8x}{1 + 2x^2})\ dx = \lim\limits_{t \to \infty} \displaystyle\int_0^t (\dfrac{4}{1 + x} - \dfrac{8x}{1 + 2x^2})\ dx \)

Kesirlerin ayrı ayrı integrallerini alalım.

İkinci terimin integralini alınırken \( u = 1 + 2x^2 \) ve \( du = 4x\ dx \) şeklinde değişken değiştirme uygulayalım.

\( = \lim\limits_{t \to \infty} (4\ln{\abs{1 + x}} - 2\ln{\abs{1 + 2x^2}})|_0^t \)

\( t \to \infty \) iken pay ve payda pozitif olacağı için mutlak değeri kaldırabiliriz.

\( = 2\lim\limits_{t \to \infty} (\ln{\dfrac{(1 + x)^2}{1 + 2x^2}})|_0^t \)

\( = 2\lim\limits_{t \to \infty} (\ln{\dfrac{(1 + t)^2}{1 + 2t^2}} - \ln{\dfrac{(1 + 0)^2}{1 + 2(0)^2}}) \)

\( = 2\lim\limits_{t \to \infty} (\ln{\dfrac{1 + 2t + t^2}{1 + 2t^2}} - \ln{1}) \)

\( = 2\lim\limits_{t \to \infty} \ln{\dfrac{t^2 + 2t + 1}{2t^2 + 1}} \)

İfadeyi düzenleyelim.

\( = 2\lim\limits_{t \to \infty} \ln{\dfrac{t^2(1 + \frac{2}{t} + \frac{1}{t^2})}{t^2(2 + \frac{1}{t^2})}} \)

\( = 2\lim\limits_{t \to \infty} \ln{\dfrac{1 + \frac{2}{t} + \frac{1}{t^2}}{2 + \frac{1}{t^2}}} \)

\( t \to \infty \) iken \( \dfrac{2}{t} \) ve \( \dfrac{1}{t^2} \) ifadeleri sıfıra yaklaşır.

\( = 2\lim\limits_{t \to \infty} \ln{\dfrac{1}{2}} \)

\( = -2\ln{2} \)

Buna göre verilen integral ifadesi yakınsaktır ve değeri \( -2\ln{2} \) olarak bulunur.


SORU 7 :

\( \displaystyle\int_0^1 \dfrac{1}{5x^{0,99}}\ dx \) integralinin yakınsak mı ıraksak mı olduğunu, yakınsak ise integral değerini bulunuz.

İntegral aralığının alt sınırı olan \( x = 0 \) değeri paydayı sıfır yaptığı için bu noktada bir dikey asimptot oluşur, bu yüzden alt sınır noktasında sonsuza giden II. tipte genelleştirilmiş integral formülünü kullanalım.

\( \displaystyle\int_0^1 \dfrac{1}{5x^{0,99}}\ dx = \lim\limits_{t \to 0^+} \displaystyle\int_t^1 \dfrac{1}{5x^{0,99}}\ dx \)

İfadeyi düzenleyelim.

\( = \lim\limits_{t \to 0^+} \displaystyle\int_t^1 \dfrac{1}{5x^{\frac{99}{100}}}\ dx \)

\( = \lim\limits_{t \to 0^+} \displaystyle\int_t^1 \dfrac{1}{5\sqrt[100]{x^{99}}}\ dx \)

İfadenin integralini alalım.

\( = \lim\limits_{t \to 0^+} (\dfrac{100\sqrt[100]{x}}{5})|_t^1 \)

\( = \lim\limits_{t \to 0^+} (20\sqrt[100]{1} - 20\sqrt[100]{t}) \)

\( t \to 0^+ \) iken \( \sqrt[100]{t} \) ifadesi sıfıra yaklaşır.

\( = 20 - 0 = 20 \)

Buna göre verilen integral ifadesi yakınsaktır ve değeri \( 20 \) olarak bulunur.


SORU 8 :

\( \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{12x^3}{(x^4 + 4)^2}\ dx \) integralinin yakınsak mı ıraksak mı olduğunu, yakınsak ise integral değerini bulunuz.

İntegral aralığının hem alt hem de üst sınırı sonsuz olduğu için I. tipte genelleştirilmiş integral formülünü kullanalım.

\( \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{12x^3}{(x^4 + 4)^2}\ dx = \displaystyle\int_{-\infty}^c \dfrac{12x^3}{(x^4 + 4)^2}\ dx \) \( + \displaystyle\int_c^{\infty} \dfrac{12x^3}{(x^4 + 4)^2}\ dx \)

\( c \) değeri olarak \( c = 0 \) seçelim ve \( (-\infty, 0] \) aralığı için (birinci terim) genelleştirilmiş integral formülünü yazalım.

\( \displaystyle\int_{-\infty}^0 \dfrac{12x^3}{(x^4 + 4)^2}\ dx = \lim\limits_{t \to -\infty} \displaystyle\int_t^0 \dfrac{12x^3}{(x^4 + 4)^2}\ dx \)

İfadenin integralini alalım.

\( u = x^4 + 4 \) ve \( du = 4x^3\ dx \) şeklinde değişken değiştirme uygulayalım.

\( = \lim\limits_{t \to -\infty} (-\dfrac{3}{x^4 + 4})|_t^0 \)

\( = \lim\limits_{t \to -\infty} (-\dfrac{3}{0^4 + 4} - (-\dfrac{3}{t^4 + 4})) \)

\( t \to -\infty \) iken \( \dfrac{3}{t^4 + 4} \) ifadesi sıfıra yaklaşır.

\( = -\dfrac{3}{4} + 0 = -\dfrac{3}{4} \)

\( [0, \infty) \) aralığı için (ikinci terim) genelleştirilmiş integral formülünü yazalım.

\( \displaystyle\int_0^{\infty} \dfrac{12x^3}{(x^4 + 4)^2}\ dx = \lim\limits_{t \to \infty} \displaystyle\int_0^t \dfrac{12x^3}{(x^4 + 4)^2}\ dx \)

İfadenin integralini alalım.

\( = \lim\limits_{t \to \infty} (-\dfrac{3}{x^4 + 4})|_0^t \)

\( = \lim\limits_{t \to \infty} (-\dfrac{3}{t^4 + 4} - (-\dfrac{3}{0^4 + 4})) \)

\( t \to \infty \) iken \( \dfrac{3}{t^4 + 4} \) ifadesi sıfıra yaklaşır.

\( = 0 + \dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{4}\)

\( (-\infty, \infty) \) aralığı için genelleştirilmiş integrali bulmak için \( (-\infty, 0] \) ve \( [0, \infty) \) aralıkları için bulduğumuz değerlerin toplamını alalım.

\( \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{12x^3}{(x^4 + 4)^2}\ dx = -\dfrac{3}{4} + \dfrac{3}{4} = 0 \)

Buna göre verilen integral ifadesi yakınsaktır ve değeri \( 0 \) olarak bulunur.


SORU 9 :

\( \displaystyle\int_5^{\infty} 4xe^{-2x}\ dx \) integralinin yakınsak mı ıraksak mı olduğunu, yakınsak ise integral değerini bulunuz.

İntegral aralığının üst sınırı pozitif sonsuz olduğu için I. tipte genelleştirilmiş integral formülünü kullanalım.

\( \displaystyle\int_5^{\infty} 4xe^{-2x}\ dx = \lim\limits_{t \to \infty} \displaystyle\int_5^{t} 4xe^{-2x}\ dx \)

İfadenin integralini alalım.

\( u = x \) ve \( dv = e^{-x}\ dx \) olmak üzere kısmi integral yöntemini kullanalım.

\( = \lim\limits_{t \to \infty} (-2xe^{-2x} - e^{-2x})|_5^t \)

\( = \lim\limits_{t \to \infty} [(-2te^{-2t} - e^{-2t}) - (-10e^{-10} - e^{-10})] \)

\( = \lim\limits_{t \to \infty} (-e^{-2t}(2t + 1) + 11e^{-10}) \)

\( \lim\limits_{t \to 0^+} -e^{-2t}(2t + 1) \) limitini bulmak için önce ifadeyi \( \frac{\infty}{\infty} \) belirsizliği içerecek şekilde düzenleyelim.

\( \lim\limits_{t \to \infty} -e^{-2t}(2t + 1) = \lim\limits_{t \to \infty} - \dfrac{2t + 1}{e^{2t}} = \dfrac{\infty}{\infty} \)

Belirsizliği gidermek için L'Hospital kuralını kullanalım ve payın/paydanın türevini alalım.

\( = \lim\limits_{t \to \infty} -e^{-2t} \)

\( t \to \infty \) iken \( e^{-2t} = \dfrac{1}{e^{2t}} \) ifadesi sıfıra yaklaşır.

Buna göre yukarıdaki limit ifadesinin sonucu aşağıdaki gibi olur.

\( = 0 + 11e^{-10} \)

\( = 11e^{-10} \)

Buna göre verilen integral ifadesi yakınsaktır ve değeri \( 11e^{-10} \) olarak bulunur.


SORU 10 :

\( \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} 3x^5e^{-x^6}\ dx \) integralinin yakınsak mı ıraksak mı olduğunu, yakınsak ise integral değerini bulunuz.

İntegral aralığının hem alt hem de üst sınırı sonsuz olduğu için I. tipte genelleştirilmiş integral formülünü kullanalım.

\( \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} 3x^5e^{-x^6}\ dx = \displaystyle\int_{-\infty}^c 3x^5e^{-x^6}\ dx \) \( + \displaystyle\int_c^{\infty} 3x^5e^{-x^6}\ dx \)

\( c \) değeri olarak \( c = 0 \) seçelim ve \( (-\infty, 0] \) aralığı için (birinci terim) genelleştirilmiş integral formülünü yazalım.

\( \displaystyle\int_{-\infty}^0 3x^5e^{-x^6}\ dx = \lim\limits_{t \to -\infty} \displaystyle\int_t^0 3x^5e^{-x^6}\ dx \)

İfadenin integralini alalım.

\( u = -x^6 \) ve \( du = -6x^5\ dx \) şeklinde değişken değiştirme uygulayalım.

\( = \lim\limits_{t \to -\infty} (-\dfrac{e^{-x^6}}{2})|_t^0 \)

\( = \lim\limits_{t \to -\infty} (-\dfrac{e^{-0^6}}{2} - (-\dfrac{e^{-t^6}}{2})) \)

\( t \to -\infty \) iken \( \dfrac{e^{-t^6}}{2} = \dfrac{1}{2e^{t^6}} \) ifadesi sıfıra yaklaşır.

\( = -\dfrac{1}{2} + 0 = -\dfrac{1}{2} \)

\( [0, \infty) \) aralığı için (ikinci terim) genelleştirilmiş integral formülünü yazalım.

\( \displaystyle\int_0^{\infty} 3x^5e^{-x^6}\ dx = \lim\limits_{t \to \infty} \displaystyle\int_0^t 3x^5e^{-x^6}\ dx \)

İfadenin integralini alalım.

\( = \lim\limits_{t \to \infty} (-\dfrac{e^{-x^6}}{2})|_0^t \)

\( = \lim\limits_{t \to \infty} (-\dfrac{e^{-t^6}}{2} - (-\dfrac{e^{-0^6}}{2})) \)

\( t \to \infty \) iken \( \dfrac{e^{-t^6}}{2} = \dfrac{1}{2e^{t^6}} \) ifadesi sıfıra yaklaşır.

\( = 0 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}\)

\( (-\infty, \infty) \) aralığı için genelleştirilmiş integrali bulmak için \( (-\infty, 0] \) ve \( [0, \infty) \) aralıkları için bulduğumuz değerlerin toplamını alalım.

\( \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} 3x^5e^{-x^6}\ dx = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 0 \)

Buna göre verilen integral ifadesi yakınsaktır ve değeri \( 0 \)'dır.


SORU 11 :

\( \displaystyle\int_0^{2e} 2x^3\ln(2x)\ dx \) integralinin yakınsak mı ıraksak mı olduğunu, yakınsak ise integral değerini bulunuz.

İntegral aralığının alt sınırı olan \( x = 0 \) değeri \( \ln(2x) \) ifadesini tanımsız yaptığı için bu noktada bir dikey asimptot oluşur, bu yüzden alt sınır noktasında sonsuza giden II. tipte genelleştirilmiş integral formülünü kullanalım.

\( \displaystyle\int_0^{2e} 2x^3\ln(2x)\ dx = \lim\limits_{t \to 0^+} \displaystyle\int_t^{2e} 2x^3\ln(2x)\ dx \)

İfadenin integralini alalım.

\( u = \ln(2x) \) ve \( dv = 2x^3\ dx \) olmak üzere kısmi integral yöntemini kullanalım.

\( = \lim\limits_{t \to 0^+} (\dfrac{x^4\ln(2x)}{2} - \dfrac{x^4}{8})|_t^{2e} \)

\( = \lim\limits_{t \to 0^+} [(\dfrac{(2e)^4\ln(4e)}{2} - \dfrac{(2e)^4}{8}) - (\dfrac{t^4\ln(2t)}{2} - \dfrac{t^4}{8})] \)

\( = \lim\limits_{t \to 0^+} (8e^4(\ln{4} + 1) - 2e^4 - \dfrac{t^4\ln(2t)}{2} + \dfrac{t^4}{8}) \)

\( = \lim\limits_{t \to 0^+} (8e^4\ln{4} + 6e^4 - \dfrac{t^4\ln(2t)}{2} + \dfrac{t^4}{8}) \)

\( t \to 0^+ \) iken \( \dfrac{t^4}{8} \) ifadesi sıfıra yaklaşır.

\( \lim\limits_{t \to 0^+} \dfrac{t^4\ln(2t)}{2} \) limitini bulmak için önce ifadeyi \( \frac{\infty}{\infty} \) belirsizliği içerecek şekilde düzenleyelim.

\( \lim\limits_{t \to 0^+} \dfrac{t^4\ln(2t)}{2} = \lim\limits_{t \to 0^+} \dfrac{\ln(2t)}{2 \cdot \frac{1}{t^4}} = \dfrac{\infty}{\infty} \)

Belirsizliği gidermek için L'Hospital kuralını kullanalım ve payın/paydanın türevini alalım.

\( = \lim\limits_{t \to 0^+} \dfrac{(\ln(2t))'}{(2 \cdot \frac{1}{t^4})'} \)

\( = \lim\limits_{t \to 0^+} (-\dfrac{t^4}{8}) \)

\( t \to +0 \) iken \( -\dfrac{t^4}{8} \) ifadesi sıfıra yaklaşır.

Buna göre yukarıdaki limit ifadesinin sonucu aşağıdaki gibi olur.

\( = 8e^4\ln{4} + 6e^4 - 0 + 0 \)

\( = 2e^4(4\ln{4} + 3) \)

Buna göre verilen integral ifadesi yakınsaktır ve değeri \( 2e^4(4\ln{4} + 3) \) olarak bulunur.


SORU 12 :

\( \displaystyle\int_0^{\infty} \dfrac{1}{(x^2 + 1)(\arccot(x) + 1)}\ dx \) integralinin yakınsak mı ıraksak mı olduğunu, yakınsak ise integral değerini bulunuz.

İntegral aralığının üst sınırı pozitif sonsuz olduğu için I. tipte genelleştirilmiş integral formülünü kullanalım.

\( \displaystyle\int_0^{\infty} \dfrac{1}{(x^2 + 1)(\arccot(x) + 1)}\ dx = \lim\limits_{t \to \infty} \displaystyle\int_0^t \dfrac{1}{(x^2 + 1)(\arccot(x) + 1)}\ dx \)

İfadenin integralini alalım.

\( u = \arccot(x) + 1 \) ve \( du = -\dfrac{1}{x^2 + 1}\ dx \) şeklinde değişken değiştirme uygulayalım.

\( = \lim\limits_{t \to \infty} (-\ln{\abs{\arccot{x} + 1}})|_0^t \)

\( = \lim\limits_{t \to \infty} (-\ln{\abs{\arccot{t} + 1}} - (-\ln{\abs{\arccot{0} + 1}})) \)

\( t \to \infty \) iken \( \arccot{t} \) ifadesi \( 0 \) değerine yaklaşır.

\( \arccot{0} = \dfrac{\pi}{2} \)

\( = -\ln{1} + \ln(\dfrac{\pi}{2} + 1) \)

\( = -0 + \ln{(\frac{\pi}{2} + 1)} \)

\( = \ln(\dfrac{\pi}{2} + 1) \)

Buna göre verilen integral ifadesi yakınsaktır ve değeri \( \ln(\dfrac{\pi}{2} + 1) \) olarak bulunur.


SORU 13 :

\( \displaystyle\int_{-10}^{15} \dfrac{1}{\sqrt[4]{(x + 1)^2}}\ dx \) integralinin yakınsak mı ıraksak mı olduğunu, yakınsak ise integral değerini bulunuz.

İntegrali düzenleyelim.

\( \displaystyle\int_{-10}^{15} \dfrac{1}{\sqrt[4]{(x + 1)^2}}\ dx = \displaystyle\int_{-10}^{15} \dfrac{1}{\sqrt{\abs{x + 1}}}\ dx \)

İntegral aralığında ara bir nokta olan \( x = -1 \) değeri paydayı sıfır yaptığı için bu noktada bir dikey asimptot oluşur, bu yüzden ara bir noktasında sonsuza giden II. tipte genelleştirilmiş integral formülünü kullanalım.

Formüldeki \( c \) değeri sonsuz süreksizliğin oluştuğu \( x = -1 \) değeri olur.

\( \displaystyle\int_{-10}^{15} \dfrac{1}{\sqrt{\abs{x + 1}}}\ dx = \displaystyle\int_{-10}^{-1} \dfrac{1}{\sqrt{\abs{x + 1}}}\ dx \) \( + \displaystyle\int_{-1}^{15} \dfrac{1}{\sqrt{\abs{x + 1}}}\ dx \)

\( [-10, -1) \) aralığı için (birinci terim) genelleştirilmiş integral formülünü yazalım.

\( \displaystyle\int_{-10}^{-1} \dfrac{1}{\sqrt{\abs{x + 1}}}\ dx = \lim\limits_{t \to -1^-} \displaystyle\int_{-10}^t \dfrac{1}{\sqrt{\abs{x + 1}}}\ dx \)

İfadeyi düzenleyelim.

\( [-10, -1) \) aralığı için:

\( \lim\limits_{t \to -1^-} \displaystyle\int_{-10}^t \dfrac{1}{\sqrt{\abs{x + 1}}}\ dx = \lim\limits_{t \to -1^-} \displaystyle\int_{-10}^t \dfrac{1}{\sqrt{-x - 1}}\ dx \)

İfadenin integralini alalım.

\( u = -x - 1 \) ve \( du = -dx \) şeklinde değişken değiştirme uygulayalım.

\( = \lim\limits_{t \to -1^-} (-2\sqrt{-x - 1})|_{-10}^t \)

\( = \lim\limits_{t \to -1^-} (-2\sqrt{-t - 1} - (-2\sqrt{-(-10) - 1})) \)

\( t \to -1^- \) iken \( 2\sqrt{-t - 1} \) ifadesi sıfıra yaklaşır.

\( = 0 + 2\sqrt{9} = 6 \)

\( [-1, 15) \) aralığı için (ikinci terim) genelleştirilmiş integral formülünü yazalım.

\( \displaystyle\int_{-1}^{15} \dfrac{1}{\sqrt{\abs{x + 1}}}\ dx = \lim\limits_{t \to -1^+} \displaystyle\int_t^{15} \dfrac{1}{\sqrt{\abs{x + 1}}}\ dx \)

İfadeyi düzenleyelim.

\( (-1, 15] \) aralığı için:

\( \lim\limits_{t \to -1^+} \displaystyle\int_{-1}^{15} \dfrac{1}{\sqrt{\abs{x + 1}}}\ dx = \lim\limits_{t \to -1^+} \displaystyle\int_{-1}^{15} \dfrac{1}{\sqrt{x + 1}}\ dx \)

İfadenin integralini alalım.

\( u = x + 1 \) ve \( du = dx \) şeklinde değişken değiştirme uygulayalım.

\( = \lim\limits_{t \to -1^+} (2\sqrt{x + 1})|_t^{15} \)

\( = \lim\limits_{t \to -1^+} (2\sqrt{15 + 1} - 2\sqrt{t + 1}) \)

\( t \to -1^+ \) iken \( 2\sqrt{t + 1} \) ifadesi sıfıra yaklaşır.

\( = 2\sqrt{16} - 0 = 8 \)

\( [-10, 15] \) aralığı için genelleştirilmiş integrali bulmak için \( [-10, -1) \) ve \( (-1, 15] \) aralıkları için bulduğumuz değerlerin toplamını alalım.

\( \displaystyle\int_{-10}^{15} \dfrac{1}{\sqrt[4]{(x + 1)^2}}\ dx = 6 + 8 = 14 \)

Buna göre verilen integral ifadesi yakınsaktır ve değeri \( 14 \) olarak bulunur.


« Önceki
Yüzey Alanı Bulma
Ana Sayfa »
Konu Tamamlandı!


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır