Basit Kesirlere Ayırma Yöntemi
Konu tekrarı için: Basit Kesirlere Ayırma
Basit kesirlere ayırma yöntemi ile standart bir integral alma kuralı olmayan \( \frac{P(x)}{Q(x)} \) biçimindeki bir rasyonel ifadeyi integral alma kuralları bilinen basit kesirlerin toplamı şeklinde yazabilir ve her terimin integralini ayrı ayrı alabiliriz.
\( \displaystyle\int {\dfrac{2x^3 - 6x^2 - 2x - 3}{x^4 - 4x^3 + 5x^2 - 4x + 4}\ dx} \) ifadesinin integralini bulalım.
Önce paydayı çarpanlarına ayıralım.
\( = \displaystyle\int {\dfrac{2x^3 - 6x^2 - 2x - 3}{(x - 2)^2(x^2 + 1)}\ dx} \)
İfadeyi basit kesirlerin toplamı şeklinde yazalım.
\( = \displaystyle\int {(\dfrac{2}{x - 2} - \dfrac{3}{(x - 2)^2} + \dfrac{1}{x^2 + 1})\ dx} \)
Her kesrin ayrı ayrı integralini alalım.
\( = 2\ln{\abs{x - 2}} + \dfrac{3}{x - 2} + \arctan{x} + C \)
Bir rasyonel ifadeyi basit kesirlerin toplamı şeklinde nasıl yazabileceğimize polinomlar konusundaki basit kesirlere ayırma bölümünde değinmiştik. Bu bölümde bir rasyonel ifadeyi basit kesirlere ayırdıktan sonra oluşan farklı tipteki terimlerin integralini nasıl alabileceğimize değineceğiz.
Bir rasyonel ifadenin basit kesirlere ayrılmış hali aşağıdaki formdaki kesirlerden oluşabilir.
\( \frac{1}{ax + b} \) Formu
Bu formdaki ifadelerin integrali doğal logaritma fonksiyonudur.
\( \displaystyle\int {\frac{1}{ax + b}\ dx} = \frac{1}{a}\ln\abs{ax + b} + C \)
\( \displaystyle\int {\frac{1}{x}\ dx} = \ln\abs{x} + C \)
\( \displaystyle\int {\frac{1}{3x + 2}\ dx} = \dfrac{1}{3}\ln\abs{3x + 2} + C \)
\( \displaystyle\int {\frac{3}{x - 5}\ dx} = 3\ln\abs{x - 5} + C \)
\( \frac{1}{(ax + b)^n} \) Formu
Bu formdaki ifadelerin integrali kuvvet fonksiyonlarının integrali şeklinde alınır.
\( \displaystyle\int {\frac{1}{(ax + b)^n}\ dx} = -\dfrac{1}{a(n - 1)(ax + b)^{n - 1}} + C \)
\( \displaystyle\int {\frac{1}{x^3}\ dx} = -\dfrac{1}{2x^2} + C \)
\( \displaystyle\int {\frac{1}{(3x + 2)^5}\ dx} = -\dfrac{1}{12(x + 2)^4} + C \)
\( \displaystyle\int {\frac{5}{(x - 4)^7}\ dx} = -\dfrac{5}{6(x - 4)^6} + C \)
\( \frac{1}{x^2 + a^2} \) Formu
Bu formdaki ifadelerin integrali ters tanjant fonksiyonudur.
\( \displaystyle\int {\dfrac{dx}{a^2 + x^2}} = \dfrac{1}{a}\arctan{\frac{x}{a}} + C \)
\( \displaystyle\int {\dfrac{dx}{1 + x^2}} = \arctan{x} + C \)
\( \displaystyle\int {\dfrac{dx}{9 + x^2}} = \dfrac{1}{3}\arctan{\frac{x}{3}} + C \)
\( \displaystyle\int {\dfrac{5dx}{2 + x^2}} = \dfrac{5}{\sqrt{2}}\arctan{\frac{x}{\sqrt{2}}} + C \)
\( \frac{x}{x^2 + a} \) Formu
Bu formdaki ifadelerin integrali doğal logaritma fonksiyonudur.
\( \displaystyle\int {\dfrac{x\ dx}{x^2 + a}} = \dfrac{1}{2}\ln\abs{x^2 + a} + C \)
\( \displaystyle\int {\dfrac{x\ dx}{x^2 + 1}} = \dfrac{1}{2}\ln\abs{x^2 + 1} + C \)
\( \displaystyle\int {\dfrac{x\ dx}{x^2 - 5}} = \dfrac{1}{2}\ln\abs{x^2 - 5} + C \)
\( \frac{1}{(x^2 + a)^n} \) Formu
Bu formdaki ifadelerin integralini şu aşamada kapsam dışında tutuyoruz.
\( \frac{x}{(x^2 + a)^n} \) Formu
Bu formdaki ifadelerin integrali kuvvet fonksiyonlarının integrali şeklinde alınır.
\( \displaystyle\int {\frac{x}{(x^2 + a)^n}\ dx} = -\dfrac{1}{2(n - 1)(x^2 + a)^{n - 1}} + C \)
\( \displaystyle\int {\frac{x}{(x^2 + 3)^2}\ dx} = -\dfrac{1}{2(x^2 + 3)} + C \)
\( \displaystyle\int {\frac{x}{(x^2 - 4)^5}\ dx} = -\dfrac{1}{8(x^2 - 4)^4} + C \)
\( \displaystyle\int {\frac{7x}{(x^2 + 2)^8}\ dx} = -\dfrac{1}{2(x^2 + 2)^7} + C \)
\( \frac{1}{x^2 + bx + c} \) Formu
İfadenin paydası tam kareye tamamlama yöntemi ile \( (x + m)^2 + n^2 \) formuna getirilir. Bu formdaki ifadelerin integrali ters tanjant fonksiyonudur.
Payda tam kare hale getirilir.
\( m = \dfrac{b}{2}, \quad n = \sqrt{c - \frac{b^2}{4}} \) olmak üzere,
\( \dfrac{1}{x^2 + bx + c} = \dfrac{1}{n^2 + (x + m)^2} \)
İfadenin integrali aşağıdaki gibidir.
\( \displaystyle\int {\dfrac{1}{n^2 + (x + m)^2}\ dx} \) \( = \dfrac{1}{n}\arctan{\frac{x + m}{n}} + C \)
\( \displaystyle\int {\dfrac{1}{x^2 + 2x + 3}\ dx} \)
\( m = \dfrac{2}{2} = 1 \)
\( n = \sqrt{3 - \frac{2^2}{4}} = \sqrt{2} \)
\( \dfrac{1}{x^2 + 2x + 3} = \dfrac{1}{(\sqrt{2})^2 + (x + 1)^2} \)
\( \displaystyle\int {\dfrac{1}{(\sqrt{2})^2 + (x + 1)^2}\ dx} \) \( = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\arctan{\frac{x + 1}{\sqrt{2}}} + C \)
\( \frac{dx + e}{x^2 + bx + c} \) Formu
İfadenin paydası payın türevinin bir katı ile sabit bir sayının toplamı olacak şekilde düzenlenir.
İfade aşağıdaki forma getirilir.
\( (x^2 + bx + c)' = 2x + b \) olmak üzere,
\( dx + e = p(2x + b) + q \)
\( \dfrac{dx + e}{x^2 + bx + c} = \dfrac{p(2x + b) + q}{x^2 + bx + c} \)
\( = p\dfrac{2x + b}{x^2 + bx + c} + \dfrac{q}{x^2 + bx + c} \)
Buna göre orijinal ifade aşağıdaki ifadeye eşittir.
\( \displaystyle\int {\dfrac{dx + e}{x^2 + bx + c}\ dx} = p\displaystyle\int {\frac{2x + b}{x^2 + bx + c}\ dx} \) \( + \displaystyle\int {\frac{q}{x^2 + bx + c}\ dx} \)
Bu ifadedeki birinci terimin integrali doğal logaritma fonksiyonudur. İkinci terimin integrali \( \frac{1}{x^2 + bx + c} \) formunda gösterdiğimiz yöntemle alınır.
\( = p\ln{\abs{x^2 + bx + c}} + \dfrac{q}{n}\arctan{\dfrac{x + m}{n}} + C \)
\( \displaystyle\int {\dfrac{4x + 3}{x^2 + 2x + 3}\ dx} \)
\( (x^2 + 2x + 3)' = 2x + 2 \) olmak üzere,
\( 4x + 3 = 2(2x + 2) - 1 \)
\( \displaystyle\int {\dfrac{4x + 3}{x^2 + 2x + 3}\ dx} = 2\displaystyle\int {\frac{2x + 2}{x^2 + 2x + 3}\ dx} \) \( - \displaystyle\int {\frac{1}{x^2 + 2x + 3}\ dx} \)
\( = 2\ln{\abs{x^2 + 2x + 3}} \) \( - \dfrac{1}{\sqrt{2}}\arctan{\dfrac{x + 1}{\sqrt{2}}} + C \)
\( \frac{1}{(x^2 + bx + c)^n} \) Formu
Bu formdaki ifadelerin integralini şu aşamada kapsam dışında tutuyoruz.
\( \frac{dx + e}{(x^2 + bx + c)^n} \) Formu
Bu formdaki ifadelerin integralini şu aşamada kapsam dışında tutuyoruz.
\( \displaystyle\int {\dfrac{x + 4}{x^2 + x}\ dx} \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü GösterÖnce basit kesirlere ayırma yöntemi ile ifadeyi birden fazla kesrin toplamı şeklinde yazalım, sonra ifadenin integralini alalım.
Adım 1: Basit kesirlere ayırma
Pay ve paydadaki polinomların derecelerini bulalım.
\( der[x + 4] = 1 \)
\( der[x^2 + x] = 2 \)
Payın derecesi paydanın derecesinden küçük olduğu için polinom bölmesine gerek kalmadan basit kesirlere ayırma yöntemini verilen rasyonel ifadeye uygulayabiliriz.
Paydadaki ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( x^2 + x = x(x + 1) \)
\( \dfrac{x + 4}{x^2 + x} = \dfrac{x + 4}{x(x + 1)} \)
Paydanın çarpan tiplerine göre ifadeyi basit kesirlerin toplamı şeklinde yazalım.
\( \dfrac{x + 4}{x(x + 1)} = \dfrac{A}{x} + \dfrac{B}{x + 1} \)
Kesirlerin paydalarını eşitleyelim.
\( = \dfrac{A(x + 1)}{x(x + 1)} + \dfrac{Bx}{(x + 1)x} \)
\( = \dfrac{A(x + 1) + Bx}{x(x + 1)} \)
Rasyonel ifade ile basit kesirlere ayrılmış halinin paydalarını eşitlediğimiz için paylarını da eşitleyebiliriz.
\( x + 4 = A(x + 1) + Bx \)
\( = Ax + A + Bx \)
\( = (A + B)x + A \)
Birbirine eşit iki polinomun eşit dereceli terimlerinin katsayıları birbirine eşit olur.
\( A + B = 1 \)
\( A = 4 \)
\( B = -3 \)
Buna göre rasyonel ifadenin basit kesirlere ayrılmış hali aşağıdaki gibi olur.
\( \dfrac{x + 4}{x^2 + x} = \dfrac{A}{x} + \dfrac{B}{x + 1} \)
\( = \dfrac{4}{x} + \dfrac{-3}{x + 1} \)
\( = \dfrac{4}{x} - \dfrac{3}{x + 1} \)
Adım 2: İntegral alma
İntegral ifadesini basit kesirlere ayrılmış şekilde yazalım.
\( \displaystyle\int (\dfrac{4}{x} - \dfrac{3}{x + 1})\ dx \)
Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.
\( = 4\ln{\abs{x}} - 3\ln{\abs{x + 1}} + C \)
\( \displaystyle\int {\dfrac{4x}{(x - 1)(x + 1)^2}\ dx} \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü GösterÖnce basit kesirlere ayırma yöntemi ile ifadeyi birden fazla kesrin toplamı şeklinde yazalım, sonra ifadenin integralini alalım.
Adım 1: Basit kesirlere ayırma
Pay ve paydadaki polinomların derecelerini bulalım.
\( der[4x] = 1 \)
\( der[(x - 1)(x + 1)^2] = 3 \)
Payın derecesi paydanın derecesinden küçük olduğu için polinom bölmesine gerek kalmadan basit kesirlere ayırma yöntemini verilen rasyonel ifadeye uygulayabiliriz.
Paydanın çarpan tiplerine göre ifadeyi basit kesirlerin toplamı şeklinde yazalım.
\( \dfrac{4x}{(x - 1)(x + 1)^2} = \dfrac{A}{x - 1} + \dfrac{B}{x + 1} + \dfrac{C}{(x + 1)^2} \)
Kesirlerin paydalarını eşitleyelim.
\( = \dfrac{A(x + 1)^2}{(x - 1)(x + 1)^2} + \dfrac{B(x - 1)(x + 1)}{(x + 1)(x - 1)(x + 1)} + \dfrac{C(x - 1)}{(x + 1)^2(x - 1)} \)
\( = \dfrac{A(x + 1)^2 + B(x - 1)(x + 1) + C(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)^2} \)
Rasyonel ifade ile basit kesirlere ayrılmış halinin paydalarını eşitlediğimiz için paylarını da eşitleyebiliriz.
\( 4x = A(x + 1)^2 + B(x - 1)(x + 1) + C(x - 1) \)
\( = Ax^2 + 2Ax + A + Bx^2 - B + Cx - C \)
\( = (A + B)x^2 + (2A + C)x + A - B - C \)
Birbirine eşit iki polinomun eşit dereceli terimlerinin katsayıları birbirine eşit olur.
\( A + B = 0 \)
\( 2A + C = 4 \)
\(A - B - C = 0 \)
Bu üç bilinmeyen ve üç denklemden oluşan denklem sistemini çözdüğümüzde aşağıdaki değerleri buluruz.
\( A = 1, \quad B = -1, \quad C = 2 \)
Buna göre rasyonel ifadenin basit kesirlere ayrılmış hali aşağıdaki gibi olur.
\( \dfrac{4x}{(x - 1)(x + 1)^2} = \dfrac{A}{x - 1} + \dfrac{B}{x + 1} + \dfrac{C}{(x + 1)^2} \)
\( = \dfrac{1}{x - 1} + \dfrac{-1}{x + 1} + \dfrac{2}{(x + 1)^2} \)
\( = \dfrac{1}{x - 1} - \dfrac{1}{x + 1} + \dfrac{2}{(x + 1)^2} \)
Adım 2: İntegral alma
İntegral ifadesini basit kesirlere ayrılmış şekilde yazalım.
\( \displaystyle\int (\dfrac{1}{x - 1} - \dfrac{1}{x + 1} + \dfrac{2}{(x + 1)^2})\ dx \)
Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.
\( = \ln{\abs{x - 1}} - \ln{\abs{x + 1}} - \dfrac{2}{x + 1} + C \)
\( \displaystyle\int {\dfrac{2x^2 + 3}{x^3 + x^2}\ dx} \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü GösterÖnce basit kesirlere ayırma yöntemi ile ifadeyi birden fazla kesrin toplamı şeklinde yazalım, sonra ifadenin integralini alalım.
Adım 1: Basit kesirlere ayırma
Pay ve paydadaki polinomların derecelerini bulalım.
\( der[2x^2 + 3] = 2 \)
\( der[x^3 + x^2] = 3 \)
Payın derecesi paydanın derecesinden küçük olduğu için polinom bölmesine gerek kalmadan basit kesirlere ayırma yöntemini verilen rasyonel ifadeye uygulayabiliriz.
Paydadaki ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( x^3 + x^2 = x^2(x + 1) \)
\( \dfrac{2x^2 + 3}{x^3 + x^2} = \dfrac{2x^2 + 3}{x^2(x + 1)} \)
Paydanın çarpan tiplerine göre ifadeyi basit kesirlerin toplamı şeklinde yazalım.
\( \dfrac{2x^2 + 3}{x^2(x + 1)} = \dfrac{A}{x} + \dfrac{B}{x^2} + \dfrac{C}{x + 1} \)
Kesirlerin paydalarını eşitleyelim.
\( = \dfrac{Ax(x + 1)}{x \cdot x(x + 1)} + \dfrac{B(x + 1)}{x^2(x + 1)} + \dfrac{Cx^2}{(x + 1)x^2} \)
\( = \dfrac{Ax(x + 1) + B(x + 1) + Cx^2}{x^2(x + 1)} \)
Rasyonel ifade ile basit kesirlere ayrılmış halinin paydalarını eşitlediğimiz için paylarını da eşitleyebiliriz.
\( 2x^2 + 3 = Ax(x + 1) + B(x + 1) + Cx^2 \)
\( = Ax^2 + Ax + Bx + B + Cx^2 \)
\( = (A + C)x^2 + (A + B)x + B \)
Birbirine eşit iki polinomun eşit dereceli terimlerinin katsayıları birbirine eşit olur.
\( A + C = 2 \)
\( A + B = 0 \)
\( B = 3 \)
Bu üç bilinmeyen ve üç denklemden oluşan denklem sistemini çözdüğümüzde aşağıdaki değerleri buluruz.
\( A = -3, \quad B = 3, \quad C = 5 \)
Buna göre rasyonel ifadenin basit kesirlere ayrılmış hali aşağıdaki gibi olur.
\( \dfrac{2x^2 + 3}{x^3 + x^2} = \dfrac{A}{x} + \dfrac{B}{x^2} + \dfrac{C}{x + 1} \)
\( = \dfrac{-3}{x} + \dfrac{3}{x^2} + \dfrac{5}{x + 1} \)
\( = -\dfrac{3}{x} + \dfrac{3}{x^2} + \dfrac{5}{x + 1} \)
Adım 2: İntegral alma
İntegral ifadesini basit kesirlere ayrılmış şekilde yazalım.
\( \displaystyle\int (-\dfrac{3}{x} + \dfrac{3}{x^2} + \dfrac{5}{x + 1})\ dx \)
Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.
\( = -3\ln{\abs{x}} - \dfrac{3}{x} + 5\ln{\abs{x + 1}} + C \)
\( \displaystyle\int {\dfrac{15}{x^2 + 9x + 14}\ dx} \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü GösterÖnce basit kesirlere ayırma yöntemi ile ifadeyi birden fazla kesrin toplamı şeklinde yazalım, sonra ifadenin integralini alalım.
Adım 1: Basit kesirlere ayırma
Pay ve paydadaki polinomların derecelerini bulalım.
\( der[15] = 0 \)
\( der[x^2 + 9x + 14] = 2 \)
Payın derecesi paydanın derecesinden küçük olduğu için polinom bölmesine gerek kalmadan basit kesirlere ayırma yöntemini verilen rasyonel ifadeye uygulayabiliriz.
Paydadaki ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( x^2 + 9x + 14 = (x + 7)(x + 2) \)
\( \dfrac{15}{x^2 + 9x + 14} = \dfrac{15}{(x + 7)(x + 2)} \)
Paydanın çarpan tiplerine göre ifadeyi basit kesirlerin toplamı şeklinde yazalım.
\( \dfrac{15}{(x + 7)(x + 2)} = \dfrac{A}{x + 7} + \dfrac{B}{x + 2} \)
Kesirlerin paydalarını eşitleyelim.
\( = \dfrac{A(x + 2)}{(x + 7)(x + 2)} + \dfrac{B(x + 7)}{(x + 2)(x + 7)} \)
\( = \dfrac{A(x + 2) + B(x + 7)}{(x + 7)(x + 2)} \)
Rasyonel ifade ile basit kesirlere ayrılmış halinin paydalarını eşitlediğimiz için paylarını da eşitleyebiliriz.
\( 15 = A(x + 2) + B(x + 7) \)
Bilinmeyen değerleri bulmak için \( x \)'e değer verelim.
\( A \)'lı terimi sıfırlamak için \( x = -2 \) verelim.
\( 15 = A(-2 + 2) + B(-2 + 7) \)
\( 15 = A(0) + B(5) \)
\( B = 3 \)
\( B \)'li terimi sıfırlamak için \( x = -7 \) verelim.
\( 15 = A(-7 + 2) + B(-7 + 7) \)
\( 15 = A(-5) + B(0) \)
\( A = -3 \)
Buna göre rasyonel ifadenin basit kesirlere ayrılmış hali aşağıdaki gibi olur.
\( \dfrac{15}{x^2 + 9x + 14} = \dfrac{A}{x + 7} + \dfrac{B}{x + 2} \)
\( = \dfrac{-3}{x + 7} + \dfrac{3}{x + 2} \)
\( = -\dfrac{3}{x + 7} + \dfrac{3}{x + 2} \)
Adım 2: İntegral alma
İntegral ifadesini basit kesirlere ayrılmış şekilde yazalım.
\( \displaystyle\int (-\dfrac{3}{x + 7} + \dfrac{3}{x + 2})\ dx \)
Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.
\( = -3\ln{\abs{x + 7}} + 3\ln{\abs{x + 2}} + C \)
\( = 3(\ln{\abs{x + 2}} - \ln{\abs{x + 7}}) + C \)
\( = 3\ln{\abs{\dfrac{x + 2}{x + 7}}} + C \)
\( \displaystyle\int {\dfrac{2x^3 - x^2 - 4x}{x^2 - 16}\ dx} \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü GösterÖnce basit kesirlere ayırma yöntemi ile ifadeyi birden fazla kesrin toplamı şeklinde yazalım, sonra ifadenin integralini alalım.
Adım 1: Basit kesirlere ayırma
Pay ve paydadaki polinomların derecelerini bulalım.
\( der[2x^3 - x^2 - 4x] = 3 \)
\( der[x^2 - 16] = 2 \)
Payın derecesi paydanın derecesinden küçük olmadığı için polinom bölmesi ile ifadeyi bu koşulu sağlayacak forma getirelim.
\( \dfrac{2x^3 - x^2 - 4x}{x^2 - 16} = (2x - 1) + \dfrac{28x - 16}{x^2 - 16} \)
Buna göre basit kesirlere ayırma yöntemini polinom bölmesi sonucunda elde ettiğimiz \( \frac{28x - 16}{x^2 - 16} \) rasyonel ifadesine uygulayabiliriz.
Paydadaki ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4) \)
\( \dfrac{28x - 16}{x^2 - 16} = \dfrac{28x - 16}{(x - 4)(x + 4)} \)
Paydanın çarpan tiplerine göre ifadeyi basit kesirlerin toplamı şeklinde yazalım.
\( \dfrac{28x - 16}{(x - 4)(x + 4)} = \dfrac{A}{x - 4} + \dfrac{B}{x + 4} \)
Kesirlerin paydalarını eşitleyelim.
\( = \dfrac{A(x + 4)}{(x - 4)(x + 4)} + \dfrac{B(x - 4)}{(x + 4)(x - 4)} \)
\( = \dfrac{A(x + 4) + B(x - 4)}{(x - 4)(x + 4)} \)
Rasyonel ifade ile basit kesirlere ayrılmış halinin paydalarını eşitlediğimiz için paylarını da eşitleyebiliriz.
\( 28x - 16 = A(x + 4) + B(x - 4) \)
Bilinmeyen değerleri bulmak için \( x \)'e değer verelim.
\( A \)'lı terimi sıfırlamak için \( x = -4 \) verelim.
\( 28(-4) - 16 = A(-4 + 4) + B(-4 - 4) \)
\( -128 = A(0) + B(-8) \)
\( B = 16 \)
\( B \)'li terimi sıfırlamak için \( x = 4 \) verelim.
\( 28(4) - 16 = A(4 + 4) + B(4 - 4) \)
\( 96 = A(8) + B(0) \)
\( A = 12 \)
Buna göre rasyonel ifadenin basit kesirlere ayrılmış hali aşağıdaki gibi olur.
\( \dfrac{2x^3 - x^2 - 4x}{x^2 - 16} = 2x - 1 + \dfrac{A}{x - 4} + \dfrac{B}{x + 4} \)
\( = 2x - 1 + \dfrac{12}{x - 4} + \dfrac{16}{x + 4} \)
Adım 2: İntegral alma
İntegral ifadesini basit kesirlere ayrılmış şekilde yazalım.
\( \displaystyle\int (2x - 1 + \dfrac{12}{x - 4} + \dfrac{16}{x + 4})\ dx \)
Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.
\( = x^2 - x + 12\ln{\abs{x - 4}} + 16\ln{\abs{x + 4}} + C \)
\( \displaystyle\int {\dfrac{4x^2 + 16x + 25}{(2x + 3)^3}\ dx} \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü GösterÖnce basit kesirlere ayırma yöntemi ile ifadeyi birden fazla kesrin toplamı şeklinde yazalım, sonra ifadenin integralini alalım.
Adım 1: Basit kesirlere ayırma
Pay ve paydadaki polinomların derecelerini bulalım.
\( der[4x^2 + 16x + 25] = 2 \)
\( der[(2x + 3)^3] = 3 \)
Payın derecesi paydanın derecesinden küçük olduğu için polinom bölmesine gerek kalmadan basit kesirlere ayırma yöntemini verilen rasyonel ifadeye uygulayabiliriz.
Paydanın çarpan tiplerine göre ifadeyi basit kesirlerin toplamı şeklinde yazalım.
\( \dfrac{4x^2 + 16x + 25}{(2x + 3)^3} = \dfrac{A}{2x + 3} + \dfrac{B}{(2x + 3)^2} + \dfrac{C}{(2x + 3)^3} \)
Kesirlerin paydalarını eşitleyelim.
\( = \dfrac{A(2x + 3)^2}{(2x + 3)(2x + 3)^2} + \dfrac{B(2x + 3)}{(2x + 3)^2(2x + 3)} + \dfrac{C}{(2x + 3)^3}\)
\( = \dfrac{A(2x + 3)^2 + B(2x + 3) + C}{(2x + 3)^3} \)
Rasyonel ifade ile basit kesirlere ayrılmış halinin paydalarını eşitlediğimiz için paylarını da eşitleyebiliriz.
\( 4x^2 + 16x + 25 = A(2x + 3)^2 + B(2x + 3) + C \)
\( = 4Ax^2 + 12Ax + 9A + 2Bx + 3B + C \)
\( = 4Ax^2 + (12A + 2B)x + 9A + 3B + C \)
Birbirine eşit iki polinomun eşit dereceli terimlerinin katsayıları birbirine eşit olur.
\( 4A = 4 \)
\( 12A + 2B = 16 \)
\( 9A + 3B + C = 25 \)
Bu üç bilinmeyen ve üç denklemden oluşan denklem sistemini çözdüğümüzde aşağıdaki değerleri buluruz.
\( A = 1, \quad B = 2, \quad C = 10 \)
Buna göre rasyonel ifadenin basit kesirlere ayrılmış hali aşağıdaki gibi olur.
\( \dfrac{4x^2 + 16x + 25}{(2x + 3)^3} = \dfrac{A}{2x + 3} + \dfrac{B}{(2x + 3)^2} + \dfrac{C}{(2x + 3)^3} \)
\( = \dfrac{1}{2x + 3} + \dfrac{2}{(2x + 3)^2} + \dfrac{10}{(2x + 3)^3}\)
Adım 2: İntegral alma
İntegral ifadesini basit kesirlere ayrılmış şekilde yazalım.
\( \displaystyle\int (\dfrac{1}{2x + 3} + \dfrac{2}{(2x + 3)^2} + \dfrac{10}{(2x + 3)^3})\ dx \)
Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.
\( = \dfrac{1}{2}\ln{\abs{2x + 3}} - \dfrac{1}{2x + 3} - \dfrac{5}{2(2x + 3)^2} + C \)
\( \displaystyle\int {\dfrac{x^3 + 14x^2 + 45x + 30}{x^2 + 6x + 8}\ dx} \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü GösterÖnce basit kesirlere ayırma yöntemi ile ifadeyi birden fazla kesrin toplamı şeklinde yazalım, sonra ifadenin integralini alalım.
Adım 1: Basit kesirlere ayırma
Pay ve paydadaki polinomların derecelerini bulalım.
\( der[x^3 + 14x^2 + 45x + 30] = 3 \)
\( der[x^2 + 6x + 8] = 2 \)
Payın derecesi paydanın derecesinden küçük olmadığı için polinom bölmesi ile ifadeyi bu koşulu sağlayacak forma getirelim.
\( \dfrac{x^3 + 14x^2 + 45x + 30}{x^2 + 6x + 8} = (x + 8) + \dfrac{-11x - 34}{x^2 + 6x + 8} \)
Buna göre basit kesirlere ayırma yöntemini polinom bölmesi sonucunda elde ettiğimiz \( \frac{-11x - 34}{x^2 + 6x + 8} \) rasyonel ifadesine uygulayabiliriz.
Paydadaki ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( x^2 + 6x + 8 = (x + 4)(x + 2) \)
\( \dfrac{-11x - 34}{x^2 + 6x + 8} = \dfrac{-11x - 34}{(x + 4)(x + 2)} \)
Paydanın çarpan tiplerine göre ifadeyi basit kesirlerin toplamı şeklinde yazalım.
\( \dfrac{-11x - 34}{(x + 4)(x + 2)} = \dfrac{A}{x + 4} + \dfrac{B}{x + 2} \)
Kesirlerin paydalarını eşitleyelim.
\( = \dfrac{A(x + 2)}{(x + 4)(x + 2)} + \dfrac{B(x + 4)}{(x + 2)(x + 4)} \)
\( = \dfrac{A(x + 2) + B(x + 4)}{(x + 4)(x + 2)} \)
Rasyonel ifade ile basit kesirlere ayrılmış halinin paydalarını eşitlediğimiz için paylarını da eşitleyebiliriz.
\( -11x - 34 = A(x + 2) + B(x + 4) \)
Bilinmeyen değerleri bulmak için \( x \)'e değer verelim.
\( A \)'lı terimi sıfırlamak için \( x = -2 \) verelim.
\( -11(-2) - 34 = A(-2 + 2) + B(-2 + 4) \)
\( 22 - 34 = A(0) + B(2) \)
\( B = -6 \)
\( B \)'li terimi sıfırlamak için \( x = -4 \) verelim.
\( -11(-4) - 34 = A(-4 + 2) + B(-4 + 4) \)
\( 44 - 34 = A(-2) + B(0) \)
\( A = -5 \)
Buna göre rasyonel ifadenin basit kesirlere ayrılmış hali aşağıdaki gibi olur.
\( \dfrac{x^3 + 14x^2 + 45x + 30}{x^2 + 6x + 8} = x + 8 + \dfrac{A}{x + 4} + \dfrac{B}{x + 2} \)
\( = x + 8 + \dfrac{-5}{x + 4} + \dfrac{-6}{x + 2} \)
\( = x + 8 - \dfrac{5}{x + 4} - \dfrac{6}{x + 2} \)
Adım 2: İntegral alma
İntegral ifadesini basit kesirlere ayrılmış şekilde yazalım.
\( \displaystyle\int (x + 8 - \dfrac{5}{x + 4} - \dfrac{6}{x + 2})\ dx \)
Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.
\( = \dfrac{x^2}{2} + 8x - 5\ln{\abs{x + 4}} - 6\ln{\abs{x + 2}} + C \)
\( \displaystyle\int {\dfrac{x^3 + x^2 + x + 2}{x^4 + 3x^2 + 2}\ dx} \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü GösterÖnce basit kesirlere ayırma yöntemi ile ifadeyi birden fazla kesrin toplamı şeklinde yazalım, sonra ifadenin integralini alalım.
Adım 1: Basit kesirlere ayırma
Pay ve paydadaki polinomların derecelerini bulalım.
\( der[x^3 + x^2 + x + 2] = 3 \)
\( der[x^4 + 3x^2 + 2] = 4 \)
Payın derecesi paydanın derecesinden küçük olduğu için polinom bölmesine gerek kalmadan basit kesirlere ayırma yöntemini verilen rasyonel ifadeye uygulayabiliriz.
Paydadaki ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( x^4 + 3x^2 + 2 = (x^2 + 2)(x^2 + 1) \)
\( \dfrac{x^3 + x^2 + x + 2}{x^4 + 3x^2 + 2} = \dfrac{x^3 + x^2 + x + 2}{(x^2 + 2)(x^2 + 1)} \)
Paydanın çarpan tiplerine göre ifadeyi basit kesirlerin toplamı şeklinde yazalım.
\( \dfrac{x^3 + x^2 + x + 2}{(x^2 + 2)(x^2 + 1)} = \dfrac{Ax + B}{x^2 + 2} + \dfrac{Cx + D}{x^2 + 1} \)
Kesirlerin paydalarını eşitleyelim.
\( = \dfrac{(Ax + B)(x^2 + 1)}{(x^2 + 2)(x^2 + 1)} + \dfrac{(Cx + D)(x^2 + 2)}{(x^2 + 1)(x^2 + 2)} \)
\( = \dfrac{(Ax + B)(x^2 + 1) + (Cx + D)(x^2 + 2)}{(x^2 + 2)(x^2 + 1)} \)
Rasyonel ifade ile basit kesirlere ayrılmış halinin paydalarını eşitlediğimiz için paylarını da eşitleyebiliriz.
\( x^3 + x^2 + x + 2 = (Ax + B)(x^2 + 1) + (Cx + D)(x^2 + 2) \)
\( = Ax^3 + Ax + Bx^2 + B + Cx^3 + 2Cx + Dx^2 + 2D \)
\( = (A + C)x^3 + (B + D)x^2 + (A + 2C)x + B + 2D \)
Birbirine eşit iki polinomun eşit dereceli terimlerinin katsayıları birbirine eşit olur.
\( A + C = 1 \)
\( B + D = 1 \)
\( A + 2C = 1 \)
\( B + 2D = 2 \)
Bu dört bilinmeyen ve dört denklemden oluşan denklem sistemini yok etme yöntemi ile çözdüğümüzde aşağıdaki değerleri buluruz.
\( A = 1, \quad B = 0, \quad C = 0, \quad D = 1 \)
Buna göre rasyonel ifadenin basit kesirlere ayrılmış hali aşağıdaki gibi olur.
\( \dfrac{x^3 + x^2 + x + 2}{x^4 + 3x^2 + 2} = \dfrac{Ax + B}{x^2 + 2} + \dfrac{Cx + D}{x^2 + 1} \)
\( = \dfrac{x}{x^2 + 2} + \dfrac{1}{x^2 + 1} \)
Adım 2: İntegral alma
İntegral ifadesini basit kesirlere ayrılmış şekilde yazalım.
\( \displaystyle\int (\dfrac{x}{x^2 + 2} + \dfrac{1}{x^2 + 1})\ dx \)
Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.
\( = \dfrac{1}{2}\ln(x^2 + 2) + \arctan{x} + C \)
\( \displaystyle\int {\dfrac{x^2 - x - 21}{2x^3 - x^2 + 8x - 4}\ dx} \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü GösterÖnce basit kesirlere ayırma yöntemi ile ifadeyi birden fazla kesrin toplamı şeklinde yazalım, sonra ifadenin integralini alalım.
Adım 1: Basit kesirlere ayırma
Pay ve paydadaki polinomların derecelerini bulalım.
\( der[x^2 - x - 21] = 2 \)
\( der[2x^3 - x^2 + 8x - 4] = 3 \)
Payın derecesi paydanın derecesinden küçük olduğu için polinom bölmesine gerek kalmadan basit kesirlere ayırma yöntemini verilen rasyonel ifadeye uygulayabiliriz.
Paydadaki ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( 2x^3 - x^2 + 8x - 4 = (2x - 1)(x^2 + 4) \)
\( \dfrac{x^2 - x - 21}{2x^3 - x^2 + 8x - 4} = \dfrac{x^2 - x - 21}{(2x - 1)(x^2 + 4)} \)
Paydanın çarpan tiplerine göre ifadeyi basit kesirlerin toplamı şeklinde yazalım.
\( \dfrac{x^2 - x - 21}{(2x - 1)(x^2 + 4)} = \dfrac{A}{2x - 1} + \dfrac{Bx + C}{x^2 + 4} \)
Kesirlerin paydalarını eşitleyelim.
\( = \dfrac{A(x^2 + 4)}{(2x - 1)(x^2 + 4)} + \dfrac{(Bx + C)(2x - 1)}{(x^2 + 4)(2x - 1)} \)
\( = \dfrac{A(x^2 + 4) + (Bx + C)(2x - 1)}{(2x - 1)(x^2 + 4)} \)
Rasyonel ifade ile basit kesirlere ayrılmış halinin paydalarını eşitlediğimiz için paylarını da eşitleyebiliriz.
\( x^2 - x - 21 = A(x^2 + 4) + (Bx + C)(2x - 1) \)
\( = Ax^2 + 4A + 2Bx^2 - Bx + 2Cx - C \)
\( = (A + 2B)x^2 + (2C - B)x + 4A - C \)
Birbirine eşit iki polinomun eşit dereceli terimlerinin katsayıları birbirine eşit olur.
\( A + 2B = 1 \)
\( 2C - B = -1 \)
\( 4A - C = -21 \)
Bu üç bilinmeyen ve üç denklemden oluşan denklem sistemini yok etme yöntemi ile çözdüğümüzde aşağıdaki değerleri buluruz.
\( A = -5, \quad B = 3, \quad C = 1 \)
Buna göre rasyonel ifadenin basit kesirlere ayrılmış hali aşağıdaki gibi olur.
\( \dfrac{x^2 - x - 21}{2x^3 - x^2 + 8x - 4} = \dfrac{A}{2x - 1} + \dfrac{Bx + C}{x^2 + 4} \)
\( = \dfrac{-5}{2x - 1} + \dfrac{3x + 1}{x^2 + 4} \)
\( = -\dfrac{5}{2x - 1} + \dfrac{3x + 1}{x^2 + 4} \)
Adım 2: İntegral alma
İntegral ifadesini basit kesirlere ayrılmış şekilde yazalım.
\( \displaystyle\int (-\dfrac{5}{2x - 1} + \dfrac{3x + 1}{x^2 + 4})\ dx \)
İkinci terimi iki terime ayıralım.
\( = \displaystyle\int (\dfrac{-5}{2x - 1} + \dfrac{3x}{x^2 + 4} + \dfrac{1}{x^2 + 4})\ dx \)
Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.
\( = -\dfrac{5}{2}\ln{\abs{2x - 1}} + \dfrac{3}{2}\ln(x^2 + 4) + \dfrac{1}{2}\arctan{\dfrac{x}{2}} + C \)
\( \displaystyle\int {\dfrac{16}{x^4 + 4}\ dx} \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü GösterÖnce basit kesirlere ayırma yöntemi ile ifadeyi birden fazla kesrin toplamı şeklinde yazalım, sonra ifadenin integralini alalım.
Adım 1: Basit kesirlere ayırma
Pay ve paydadaki polinomların derecelerini bulalım.
\( der[16] = 0 \)
\( der[x^4 + 4] = 4 \)
Payın derecesi paydanın derecesinden küçük olduğu için polinom bölmesine gerek kalmadan basit kesirlere ayırma yöntemini verilen rasyonel ifadeye uygulayabiliriz.
Paydadaki ifadeyi terim ekleme/çıkarma yöntemi ile çarpanlarına ayıralım. Bunun için ifadeye \( 4x^2 \) ekleyip çıkaralım.
\( x^4 + 4 = x^4 + 4x^2 + 4 - 4x^2 \)
\( = (x^2 + 2)^2 - (2x)^2 \)
\( = (x^2 + 2 - 2x)(x^2 + 2 + 2x) \)
\( = (x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2) \)
Bu durumda verilen ifade aşağıdaki gibi olur.
\( \dfrac{16}{x^4 + 4} = \dfrac{16}{(x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)} \)
Paydanın çarpan tiplerine göre ifadeyi basit kesirlerin toplamı şeklinde yazalım.
\( \dfrac{16}{(x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)} = \dfrac{Ax + B}{x^2 - 2x + 2} + \dfrac{Cx + D}{x^2 + 2x + 2} \)
Kesirlerin paydalarını eşitleyelim.
\( = \dfrac{(Ax + B)(x^2 + 2x + 2)}{(x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)} \) \( + \dfrac{(Cx + D)(x^2 - 2x + 2)}{(x^2 + 2x + 2)(x^2 - 2x + 2)} \)
\( = \dfrac{(Ax + B)(x^2 + 2x + 2) + (Cx + D)(x^2 - 2x + 2)}{(x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)} \)
Rasyonel ifade ile basit kesirlere ayrılmış halinin paydalarını eşitlediğimiz için paylarını da eşitleyebiliriz.
\( 16 = (Ax + B)(x^2 + 2x + 2) \) \( + (Cx + D)(x^2 - 2x + 2) \)
\( = Ax^3 + 2Ax^2 \) \( + 2Ax + Bx^2 \) \( + 2Bx + 2B \) \( + Cx^3 - 2Cx^2 \) \( + 2Cx + Dx^2 \) \( - 2Dx + 2D \)
\( = (A + C)x^3 \) \( + (2A + B - 2C + D)x^2 \) \( + (2A + 2B + 2C - 2D)x \) \( + 2B + 2D \)
Birbirine eşit iki polinomun eşit dereceli terimlerinin katsayıları birbirine eşit olur.
\( A + C = 0 \)
\( \Longrightarrow A = -C \)
\( 2A + 2B + 2C - 2D = 0 \)
\( \Longrightarrow B = D \)
\( 2B + 2D = 16 \)
\( B = D = 4 \)
\( 2A + B - 2C + D = 0 \)
\( A = -2, \quad C = 2 \)
Buna göre rasyonel ifadenin basit kesirlere ayrılmış hali aşağıdaki gibi olur.
\( \dfrac{16}{x^4 + 4} = \dfrac{Ax + B}{x^2 - 2x + 2} + \dfrac{Cx + D}{x^2 + 2x + 2} \)
\( = \dfrac{-2x + 4}{x^2 - 2x + 2} + \dfrac{2x + 4}{x^2 + 2x + 2} \)
Adım 2: İntegral alma
İntegral ifadesini basit kesirlere ayrılmış şekilde yazalım.
\( \displaystyle\int (\dfrac{-2x + 4}{x^2 - 2x + 2} + \dfrac{2x + 4}{x^2 + 2x + 2})\ dx \)
Her iki terimi ikişer terime ayıralım.
\( = \displaystyle\int (\dfrac{-(2x - 2)}{x^2 - 2x + 2} + \dfrac{2}{x^2 - 2x + 2} + \dfrac{2x + 2}{x^2 + 2x + 2} + \dfrac{2}{x^2 + 2x + 2})\ dx \)
\( = \displaystyle\int (\dfrac{-(2x - 2)}{x^2 - 2x + 2} + \dfrac{2}{1 + (x - 1)^2} + \dfrac{2x + 2}{x^2 + 2x + 2} + \dfrac{2}{1 + (x + 1)^2})\ dx \)
Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.
\( = -\ln{\abs{x^2 - 2x + 2}} + 2\arctan(x - 1) + \ln{\abs{x^2 + 2x + 2}} + 2\arctan(x + 1) + C \)
Deltaları sıfırdan küçük olduğu için \( x^2 - 2x + 2 \) ve \( x^2 + 2x + 2 \) ifadeleri her \( x \) değeri için pozitiftir.
\( = -\ln(x^2 - 2x + 2) + 2\arctan(x - 1) + \ln(x^2 + 2x + 2) + 2\arctan(x + 1) + C \)
\( \displaystyle\int {\dfrac{5x^2 + 3x - 27}{x^3 - 27}\ dx} \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü GösterÖnce basit kesirlere ayırma yöntemi ile ifadeyi birden fazla kesrin toplamı şeklinde yazalım, sonra ifadenin integralini alalım.
Adım 1: Basit kesirlere ayırma
Pay ve paydadaki polinomların derecelerini bulalım.
\( der[5x^2 + 3x - 27] = 2 \)
\( der[x^3 - 27] = 3 \)
Payın derecesi paydanın derecesinden küçük olduğu için polinom bölmesine gerek kalmadan basit kesirlere ayırma yöntemini verilen rasyonel ifadeye uygulayabiliriz.
Paydadaki ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( x^3 - 27 = (x - 3)(x^2 + 3x + 9) \)
\( \dfrac{5x^2 + 3x - 27}{x^3 - 27} = \dfrac{5x^2 + 3x - 27}{(x - 3)(x^2 + 3x + 9)} \)
Paydanın çarpan tiplerine göre ifadeyi basit kesirlerin toplamı şeklinde yazalım.
\( \dfrac{5x^2 + 3x - 27}{(x - 3)(x^2 + 3x + 9)} = \dfrac{A}{x - 3} + \dfrac{Bx + C}{x^2 + 3x + 9} \)
Kesirlerin paydalarını eşitleyelim.
\( = \dfrac{A(x^2 + 3x + 9)}{(x - 3)(x^2 + 3x + 9)} + \dfrac{(Bx + C)(x - 3)}{(x^2 + 3x + 9)(x - 3)} \)
\( = \dfrac{A(x^2 + 3x + 9) + (Bx + C)(x - 3)}{(x - 3)(x^2 + 3x + 9)} \)
Rasyonel ifade ile basit kesirlere ayrılmış halinin paydalarını eşitlediğimiz için paylarını da eşitleyebiliriz.
\( 5x^2 + 3x - 27 = A(x^2 + 3x + 9) + (Bx + C)(x - 3) \)
\( = Ax^2 + 3Ax + 9A + Bx^2 - 3Bx + Cx - 3C \)
\( = (A + B)x^2 + (3A - 3B + C)x + 9A - 3C \)
Birbirine eşit iki polinomun eşit dereceli terimlerinin katsayıları birbirine eşit olur.
\( A + B = 5 \)
\( 3A - 3B + C = 3 \)
\( 9A - 3C = -27 \)
Bu üç bilinmeyen ve üç denklemden oluşan denklem sistemini yok etme yöntemi ile çözdüğümüzde aşağıdaki değerleri buluruz.
\( A = 1, \quad B = 4, \quad C = 12 \)
Buna göre rasyonel ifadenin basit kesirlere ayrılmış hali aşağıdaki gibi olur.
\( \dfrac{5x^2 + 3x - 27}{x^3 - 27} = \dfrac{A}{x - 3} + \dfrac{Bx + C}{x^2 + 3x + 9} \)
\( = \dfrac{1}{x - 3} + \dfrac{4x + 12}{x^2 + 3x + 9} \)
Adım 2: İntegral alma
İntegral ifadesini basit kesirlere ayrılmış şekilde yazalım.
\( \displaystyle\int (\dfrac{1}{x - 3} + \dfrac{4x + 12}{x^2 + 3x + 9})\ dx \)
İkinci terimi iki terime ayıralım.
\( = \displaystyle\int (\dfrac{1}{x - 3} + \dfrac{2(2x + 3)}{x^2 + 3x + 9} + \dfrac{6}{x^2 + 3x + 9})\ dx \)
\( = \displaystyle\int (\dfrac{1}{x - 3} + \dfrac{2(2x + 3)}{x^2 + 3x + 9} + \dfrac{6}{(\frac{3\sqrt{3}}{2})^2 + (x + \frac{3}{2})^2})\ dx \)
Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.
\( = \ln{\abs{x - 3}} + 2\ln{\abs{x^2 + 3x + 9}} + \dfrac{6}{\frac{3\sqrt{3}}{2}}\arctan(\dfrac{x + \frac{3}{2}}{\frac{3\sqrt{3}}{2}}) + C \)
\( = \ln{\abs{x - 3}} + 2\ln{\abs{x^2 + 3x + 9}} + \dfrac{4\sqrt{3}}{3}\arctan(\dfrac{2\sqrt{3}x}{9} + \dfrac{\sqrt{3}}{3}) + C \)
Deltası sıfırdan küçük olduğu için \( x^2 + 3x + 9 \) ifadesi her \( x \) değeri için pozitiftir.
\( = \ln{\abs{x - 3}} + 2\ln(x^2 + 3x + 9) + \dfrac{4\sqrt{3}}{3}\arctan(\dfrac{2\sqrt{3}x}{9} + \dfrac{\sqrt{3}}{3}) + C \)
\( \displaystyle\int {\dfrac{2}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 3)}\ dx} \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü GösterAşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
\( u = \sqrt{x} \)
\( du = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\ dx \)
\( \Longrightarrow dx = 2\sqrt{x}\ du \)
\( \Longrightarrow dx = 2u\ du \)
\( x \) değişkenlerinin \( u \) karşılıklarını yazalım.
\( \displaystyle\int {\dfrac{2}{(u - 2)(u + 3)}\ 2u\ du} \)
\( = \displaystyle\int {\dfrac{4u}{(u - 2)(u + 3)}\ du} \)
Önce basit kesirlere ayırma yöntemi ile ifadeyi birden fazla kesrin toplamı şeklinde yazalım, sonra ifadenin integralini alalım.
Adım 1: Basit kesirlere ayırma
Pay ve paydadaki polinomların derecelerini bulalım.
\( der[4u] = 1 \)
\( der[(u - 2)(u + 3)] = 2 \)
Payın derecesi paydanın derecesinden küçük olduğu için polinom bölmesine gerek kalmadan basit kesirlere ayırma yöntemini verilen rasyonel ifadeye uygulayabiliriz.
Paydanın çarpan tiplerine göre ifadeyi basit kesirlerin toplamı şeklinde yazalım.
\( \dfrac{4u}{(u - 2)(u + 3)} = \dfrac{A}{u - 2} + \dfrac{B}{u + 3} \)
Kesirlerin paydalarını eşitleyelim.
\( = \dfrac{A(u + 3)}{(u - 2)(u + 3)} + \dfrac{B(u - 2)}{(u + 3)(u - 2)} \)
\( = \dfrac{A(u + 3) + B(u - 2)}{(u - 2)(u + 3)} \)
Rasyonel ifade ile basit kesirlere ayrılmış halinin paydalarını eşitlediğimiz için paylarını da eşitleyebiliriz.
\( 4u = A(u + 3) + B(u - 2) \)
Bilinmeyen değerleri bulmak için \( u \)'ya değer verelim.
\( A \)'lı terimi sıfırlamak için \( u = -3 \) verelim.
\( 4(-3) = A(-3 + 3) + B(-3 - 2) \)
\( -12 = A(0) + B(-5) \)
\( B = \dfrac{12}{5} \)
\( B \)'li terimi sıfırlamak için \( u = 2 \) verelim.
\( 4(2) = A(2 + 3) + B(2 - 2) \)
\( 8 = A(5) + B(0) \)
\( A = \dfrac{8}{5} \)
Buna göre rasyonel ifadenin basit kesirlere ayrılmış hali aşağıdaki gibi olur.
\( \dfrac{4u}{(u - 2)(u + 3)} = \dfrac{A}{u - 2} + \dfrac{B}{u + 3} \)
\( = \dfrac{\frac{8}{5}}{u - 2} + \dfrac{\frac{12}{5}}{u + 3} \)
\( = \dfrac{8}{5(u - 2)} + \dfrac{12}{5(u + 3)} \)
Adım 2: İntegral alma
İntegral ifadesini basit kesirlere ayrılmış şekilde yazalım.
\( \displaystyle\int (\dfrac{8}{5(u - 2)} + \dfrac{12}{5(u + 3)})\ du \)
Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.
\( = \dfrac{8}{5}\ln{\abs{u - 2}} + \dfrac{12}{5}\ln{\abs{u + 3}} + C \)
\( u \) değişkenlerini tekrar \( x \) cinsinden yazalım.
\( = \dfrac{8}{5}\ln{\abs{\sqrt{x} - 2}} + \dfrac{12}{5}\ln{\abs{\sqrt{x} + 3}} + C \)
\( \displaystyle\int {\dfrac{3}{(x - 9)\sqrt{x}}\ dx} \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü GösterAşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
\( u = \sqrt{x} \)
\( \Longrightarrow x = u^2 \)
\( du = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\ dx \)
\( \Longrightarrow dx = 2\sqrt{x}\ du \)
\( \Longrightarrow dx = 2u\ du \)
\( x \) değişkenlerinin \( u \) karşılıklarını yazalım.
\( \displaystyle\int {\dfrac{3}{(u^2 - 9)u}\ 2u\ du} \)
\( = \displaystyle\int {\dfrac{6}{u^2 - 9}\ du} \)
Önce basit kesirlere ayırma yöntemi ile ifadeyi birden fazla kesrin toplamı şeklinde yazalım, sonra ifadenin integralini alalım.
Adım 1: Basit kesirlere ayırma
Pay ve paydadaki polinomların derecelerini bulalım.
\( der[6] = 0 \)
\( der[u^2 - 9] = 2 \)
Payın derecesi paydanın derecesinden küçük olduğu için polinom bölmesine gerek kalmadan basit kesirlere ayırma yöntemini verilen rasyonel ifadeye uygulayabiliriz.
Paydadaki ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( u^2 - 9 = (u - 3)(u + 3) \)
\( \dfrac{6}{u^2 - 9} = \dfrac{6}{(u - 3)(u + 3)} \)
Paydanın çarpan tiplerine göre ifadeyi basit kesirlerin toplamı şeklinde yazalım.
\( \dfrac{6}{(u - 3)(u + 3)} = \dfrac{A}{u - 3} + \dfrac{B}{u + 3} \)
Kesirlerin paydalarını eşitleyelim.
\( = \dfrac{A(u + 3)}{(u - 3)(u + 3)} + \dfrac{B(u - 3)}{(u + 3)(u - 3)} \)
\( = \dfrac{A(u + 3) + B(u - 3)}{(u - 3)(u + 3)} \)
Rasyonel ifade ile basit kesirlere ayrılmış halinin paydalarını eşitlediğimiz için paylarını da eşitleyebiliriz.
\( 6 = A(u + 3) + B(u - 3) \)
Bilinmeyen değerleri bulmak için \( u \)'ya değer verelim.
\( A \)'lı terimi sıfırlamak için \( u = -3 \) verelim.
\( 6 = A(-3 + 3) + B(-3 - 3) \)
\( 6 = A(0) + B(-6) \)
\( B = -1 \)
\( B \)'li terimi sıfırlamak için \( u = 3 \) verelim.
\( 6 = A(3 + 3) + B(3 - 3) \)
\( 6 = A(6) + B(0) \)
\( A = 1 \)
Buna göre rasyonel ifadenin basit kesirlere ayrılmış hali aşağıdaki gibi olur.
\( \dfrac{6}{u^2 - 9} = \dfrac{A}{u - 3} + \dfrac{B}{u + 3} \)
\( = \dfrac{1}{u - 3} + \dfrac{-1}{u + 3} \)
\( = \dfrac{1}{u - 3} - \dfrac{1}{u + 3} \)
Adım 2: İntegral alma
İntegral ifadesini basit kesirlere ayrılmış şekilde yazalım.
\( \displaystyle\int (\dfrac{1}{u - 3} - \dfrac{1}{u + 3})\ du \)
Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.
\( = \ln{\abs{u - 3}} - \ln{\abs{u + 3}} + C \)
\( u \) değişkenlerini tekrar \( x \) cinsinden yazalım.
\( = \ln{\abs{\sqrt{x} - 3}} - \ln{\abs{\sqrt{x} + 3}} + C \)