Trigonometrik Fonksiyonların İntegrali

(a) seçeneği:

\( \displaystyle\int (\sin(7x) - \dfrac{1}{5}\cos{\frac{13x}{5}})\ dx \)

Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.

\( = \dfrac{-\cos(7x)}{7} - \dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{\sin{\frac{13x}{5}}}{\frac{13}{5}} + C \)

\( = -\dfrac{1}{7}\cos(7x) - \dfrac{1}{13}\sin{\dfrac{13x}{5}} + C \)

(b) seçeneği:

\( \displaystyle\int (5\cos(2x) - \sin{\dfrac{x}{8}} + 6\sin{\frac{3x}{2}})\ dx \)

Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.

\( = 5 \cdot \dfrac{\sin(2x)}{2} - \dfrac{-\cos{\frac{x}{8}}}{\frac{1}{8}} + 6 \cdot \dfrac{-\cos{\frac{3x}{2}}}{\frac{3}{2}} + C \)

\( = \dfrac{5}{2}\sin(2x) + 8\cos{\dfrac{x}{8}} - 4\cos{\dfrac{3x}{2}} + C \)

(c) seçeneği:

\( \displaystyle\int (\dfrac{5}{6}\cos{\dfrac{2x}{3}} - \dfrac{6}{7}\sin{\dfrac{3x}{4}} + \dfrac{7}{8}\cos{\dfrac{4x}{5}})\ dx \)

Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.

\( = \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{\sin{\frac{2x}{3}}}{\frac{2}{3}} - \dfrac{6}{7} \cdot \dfrac{-\cos{\frac{3x}{4}}}{\frac{3}{4}} + \dfrac{7}{8} \cdot \dfrac{\sin{\frac{4x}{5}}}{\frac{4}{5}} + C \)

\( = \dfrac{5}{4}\sin{\dfrac{2x}{3}} + \dfrac{8}{7}\cos{\dfrac{3x}{4}} + \dfrac{35}{32}\sin{\dfrac{4x}{5}} + C \)

(a) seçeneği:

\( \displaystyle\int {15\csc^2(3x + 1)\ dx} \)

Aşağıdaki şekilde değişken değiştirelim.

\( u = 3x + 1 \)

Her iki tarafın diferansiyelini alalım.

\( du = 3\ dx \)

\( \Longrightarrow \dfrac{du}{3} = dx \)

Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.

\( = \displaystyle\int {15\csc^2{u}\ \dfrac{du}{3}} \)

\( = 5\displaystyle\int {\csc^2{u}\ du} \)

Elde ettiğimiz ifadenin integralini alalım.

\( = 5(-\cot{u}) + C \)

\( = -5\cot{u} + C \)

İfadede \( u \) değişkeni yerine \( x \) cinsinden karşılığını yazdığımızda verilen ifadenin integralini buluruz.

\( = -5\cot(3x + 1) + C \)

(b) seçeneği:

\( \displaystyle\int {8\sec^2(4x + 5)\ dx} \)

Aşağıdaki şekilde değişken değiştirelim.

\( u = 4x + 5 \)

Her iki tarafın diferansiyelini alalım.

\( du = 4\ dx \)

\( \Longrightarrow \dfrac{du}{4} = dx \)

Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.

\( = \displaystyle\int {8\sec^2{u}\ \dfrac{du}{4}} \)

\( = 2\displaystyle\int {\sec^2{u}\ du} \)

Elde ettiğimiz ifadenin integralini alalım.

\( = 2\tan{u} + C \)

İfadede \( u \) değişkeni yerine \( x \) cinsinden karşılığını yazdığımızda verilen ifadenin integralini buluruz.

\( = 2\tan(4x + 5) + C \)

(c) seçeneği:

\( \displaystyle\int {18\csc(3x)\cot(3x)\ dx} \)

Kosekant ve kotanjant ifadelerini sinüs ve kosinüs cinsinden yazalım.

\( = \displaystyle\int {18\dfrac{1}{\sin(3x)}\dfrac{\cos(3x)}{\sin(3x)}\ dx} \)

\( = \displaystyle\int {18\dfrac{\cos(3x)}{\sin^2(3x)}\ dx} \)

Aşağıdaki şekilde değişken değiştirelim.

\( u = \sin(3x) \)

Her iki tarafın diferansiyelini alalım.

\( du = 3\cos(3x)\ dx \)

\( \Longrightarrow \dfrac{du}{3} = \cos(3x)\ dx \)

Son ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.

\( = \displaystyle\int {18\dfrac{1}{u^2}\ \dfrac{du}{3}} \)

\( = 6\displaystyle\int {\dfrac{1}{u^2}\ du} \)

Elde ettiğimiz ifadenin integralini alalım.

\( = -\dfrac{6}{u} + C \)

İfadede \( u \) değişkeni yerine \( x \) cinsinden karşılığını yazdığımızda verilen ifadenin integralini buluruz.

\( = -\dfrac{6}{\sin(3x)} + C \)

\( = -6\csc(3x) + C \)

(a) seçeneği:

\( \displaystyle\int {\dfrac{8}{13}\cos{\frac{8x}{13}}\ dx} \)

Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.

\( u = \dfrac{8x}{13} \)

Her iki tarafın diferansiyelini alalım.

\( du = \dfrac{8}{13}dx \)

\( \Longrightarrow \dfrac{13}{8}du = dx \)

Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.

\( \displaystyle\int {\dfrac{8}{13}\cos{u}\ \dfrac{13}{8}\ du } = \displaystyle\int {\cos{u}\ du } \)

Elde ettiğimiz ifadenin integralini alalım.

\( = \sin{u} + C \)

İfadede \( u \) değişkeni yerine \( x \) cinsinden karşılığını yazdığımızda verilen ifadenin integralini buluruz.

\( = \sin{\dfrac{8x}{13}} + C \)

(b) seçeneği:

\( \displaystyle\int {4\sin{\frac{4x}{9}}\ dx} \)

Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.

\( u = \dfrac{4x}{9} \)

Her iki tarafın diferansiyelini alalım.

\( du = \dfrac{4}{9}dx \)

\( \Longrightarrow \dfrac{9}{4}du = dx \)

Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.

\( = \displaystyle\int {4\sin{u}\ \dfrac{9}{4}\ du } = 9\displaystyle\int {\sin{u}\ du } \)

İfadenin integralini alalım.

\( = 9(-\cos{u}) + C \)

\( = -9\cos{u} + C \)

İfadede \( u \) değişkeni yerine \( x \) cinsinden karşılığını yazdığımızda verilen ifadenin integralini buluruz.

\( = -9\cos{\dfrac{4x}{9}} + C \)

(c) seçeneği:

\( \displaystyle\int {3\cos{\frac{5x}{4}}\ dx} \)

Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.

\( u = \dfrac{5x}{4} \)

Her iki tarafın diferansiyelini alalım.

\( du = \dfrac{5}{4}dx \)

\( \Longrightarrow \dfrac{4}{5}du = dx \)

Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.

\( \displaystyle\int {3\cos{u}\ \dfrac{4}{5}\ du } = \dfrac{12}{5}\displaystyle\int {\cos{u}\ du } \)

Elde ettiğimiz ifadenin integralini alalım.

\( = \dfrac{12}{5}\sin{u} + C \)

İfadede \( u \) değişkeni yerine \( x \) cinsinden karşılığını yazdığımızda verilen ifadenin integralini buluruz.

\( = \dfrac{12}{5}\sin{\dfrac{5x}{4}} + C \)

1. yöntem:

Tanjant fonksiyonunu sinüs ve kosinüs cinsinden yazalım.

\( \displaystyle\int {(\dfrac{\sin{x}}{\cos{x}})^2\ dx} \)

\( = \displaystyle\int {\dfrac{\sin^2{x}}{\cos^2{x}}\ dx} \)

Paydaki ifadede Pisagor özdeşliğini kullanalım.

\( = \displaystyle\int {\dfrac{1 - \cos^2{x}}{\cos^2{x}}\ dx} \)

\( = \displaystyle\int {(\dfrac{1}{\cos^2{x}} - \dfrac{\cos^2{x}}{\cos^2{x}})\ dx} \)

\( = \displaystyle\int {(\sec^2{x} - 1)\ dx} \)

\( = \displaystyle\int {\sec^2{x}\ dx} - \displaystyle\int {1\ dx} \)

İfadelerin integralini alalım.

\( = \tan{x} - x + C \)

2. yöntem:

İfadeye 1 ekleyip çıkaralım.

\( \displaystyle\int {(\tan^2{x} + 1 - 1)\ dx} \)

\( \tan^2{x} + 1 = \sec^2{x} \) özdeşliğini kullanalım.

\( = \displaystyle\int {(\sec^2{x} - 1)\ dx} \)

Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.

\( = \tan{x} - x + C \)

Sinüs iki kat açı formülünü kullanalım.

\( \sin{x} = 2\sin(\frac{x}{2})\cos(\frac{x}{2}) \)

\( \displaystyle\int 3\sin{x}\ dx \)

İfadenin integralini alalım.

\( = -3\cos{x} + C \)

Verilen ifadeyi 5 parantezine alalım.

\( 5\displaystyle\int (1 + \tan^2{x})\ dx \)

\( 1 + \tan^2{x} = \sec^2{x} \) özdeşliğini kullanalım.

\( = 5\displaystyle\int {\sec^2{x}\ dx} \)

Elde ettiğimiz ifadenin integralini alalım.

\( = 5\tan{x} + C \)

Parantez karesi ifadesinin açılımını yazalım.

\( \displaystyle\int{(4\cos{x} - 1)^2\ dx} = \displaystyle\int (16\cos^2{x} - 8\cos{x} + 1)\ dx \)

Birinci terimde kosinüs iki kat açı formülünü kullanalım.

\( \cos^2{x} = \dfrac{\cos(2x) + 1}{2} \)

\( = \displaystyle\int (16 \cdot \dfrac{\cos(2x) + 1}{2} - 8\cos{x} + 1)\ dx \)

\( = \displaystyle\int (8\cos(2x) + 8 - 8\cos{x} + 1)\ dx \)

\( = \displaystyle\int (8\cos(2x) - 8\cos{x} + 9)\ dx \)

Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.

\( = 4\sin(2x) - 8\sin{x} + 9x + C \)

Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.

\( u = 2x + \dfrac{\pi}{2} \)

Her iki tarafın diferansiyelini alalım.

\( du = 2\ dx \)

\( \Longrightarrow \dfrac{du}{2} = dx \)

\( u \) değişkeni için integralin sınır değerlerini bulalım.

\( u(0) = 2(0) + \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{\pi}{2} \)

\( u(\dfrac{\pi}{4}) = 2 \cdot \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi}{2} = \pi \)

\( x \) değişkenlerinin \( u \) karşılıklarını yazalım.

\( \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}} {\cos(2x + \frac{\pi}{2})\ dx} = \displaystyle\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} {\cos{u} \cdot\ \dfrac{du}{2}} \)

\( = \dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} {\cos{u}\ du} \)

İfadenin integralini alalım.

\( = \dfrac{1}{2}(\sin{u})|_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \)

\( = \dfrac{1}{2}(\sin{\pi} - \sin{\frac{\pi}{2}}) \)

\( = \dfrac{1}{2}(0 - 1) \)

\( = -\dfrac{1}{2} \) bulunur.

İfadeyi iki kesrin toplamı şeklinde yazalım.

\( \displaystyle\int (\dfrac{3}{\cos^2{x}} + \dfrac{4\cos^4{x}}{\cos^2{x}})\ dx \)

\( = \displaystyle\int (\dfrac{3}{\cos^2{x}} + 4\cos^2{x})\ dx \)

Birinci ifadeyi sekant cinsinden yazalım.

İkinci ifadede kosinüs iki kat açı formülünü kullanalım.

\( \cos^2{x} = \dfrac{\cos(2x) + 1}{2} \)

\( = \displaystyle\int [3\sec^2{x} + 4(\dfrac{\cos(2x) + 1}{2})]\ dx \)

\( = \displaystyle\int (3\sec^2{x} + 2\cos(2x) + 2)\ dx \)

Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.

\( = 3\tan{x} + 2 \cdot \dfrac{1}{2}\sin(2x) + 2x + C \)

\( = 3\tan{x} + \sin(2x) + 2x + C \)

İfadeyi düzenleyelim.

\( \displaystyle\int {\sqrt[5]{\sin^2{x}\cos^5{x}}\ dx} = \displaystyle\int {\sqrt[5]{\sin^2{x}}\cos{x}\ dx} \)

\( = \displaystyle\int {(\sin{x})^{\frac{2}{5}}\cos{x}\ dx} \)

Aşağıdaki şekilde değişken değiştirelim.

\( u = \sin{x} \)

\( du = \cos{x}\ dx \)

Son ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.

\( = \displaystyle\int {u^{\frac{2}{5}}\ du} \)

Elde ettiğimiz ifadenin integralini alalım.

\( = \dfrac{u^{\frac{7}{5}}}{\frac{7}{5}} + C \)

\( = \dfrac{5\sqrt[5]{u^7}}{7} + C \)

İfadede \( u \) değişkeni yerine \( x \) cinsinden karşılığını yazdığımızda verilen ifadenin integralini buluruz.

\( = \dfrac{5\sqrt[5]{\sin^7{x}}}{7} + C \)

Sinüs iki kat açı formülünü kullanalım.

\( \sin(2x) = 2\sin{x}\cos{x} \)

\( \displaystyle\int {14\sin^5{x}(2\sin{x}\cos{x})\ dx} \)

\( = 28\displaystyle\int {\sin^6{x}\cos{x}\ dx} \)

Aşağıdaki şekilde değişken değiştirelim.

\( u = \sin{x} \)

Her iki tarafın diferansiyelini alalım.

\( du = \cos{x}\ dx \)

Son ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.

\( = 28\displaystyle\int {u^6\ du} \)

Elde ettiğimiz ifadenin integralini alalım.

\( = 28 \cdot \dfrac{u^7}{7} + C \)

\( = 4u^7 + C \)

İfadede \( u \) değişkeni yerine \( x \) cinsinden karşılığını yazdığımızda verilen ifadenin integralini buluruz.

\( = 4\sin^7{x} + C \)

Sinüs iki kat açı formülünü kullanalım.

\( \sin(2x) = 2\sin{x}\cos{x} \)

\( \displaystyle\int {3\cos^4{x}(2\sin{x}\cos{x})\ dx} \)

\( = 6\displaystyle\int {\cos^5{x}\sin{x}\ dx} \)

Aşağıdaki şekilde değişken değiştirelim.

\( u = \cos{x} \)

Her iki tarafın diferansiyelini alalım.

\( du = -\sin{x}\ dx \)

\( \Longrightarrow -du = \sin{x}\ dx \)

Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.

\( = 6\displaystyle\int {u^5\ (-du)} \)

\( = -6\displaystyle\int {u^5\ du} \)

Elde ettiğimiz ifadenin integralini alalım.

\( = (-6) \cdot \dfrac{u^6}{6} + C \)

\( = -u^6 + C \)

İfadede \( u \) değişkeni yerine \( x \) cinsinden karşılığını yazdığımızda verilen ifadenin integralini buluruz.

\( = -\cos^6{x} + C \)

Aşağıdaki şekilde değişken değiştirelim.

\( u = \sin{x^3} \)

Her iki tarafın diferansiyelini alalım.

\( du = 3x^2\cos{x^3}\ dx \)

Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.

\( = \displaystyle\int {u\ du} \)

Elde ettiğimiz ifadenin integralini alalım.

\( = \dfrac{u^2}{2} + C \)

İfadede \( u \) değişkeni yerine \( x \) cinsinden karşılığını yazdığımızda verilen ifadenin integralini buluruz.

\( = \dfrac{\sin^2{x^3}}{2} + C \)

İfadeyi düzenleyelim.

\( \displaystyle\int {\dfrac{10\tan^4{x}}{\cos^2{x}}\ dx} = 10\displaystyle\int {\tan^4{x}\sec^2{x}\ dx} \)

Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.

\( u = \tan{x}, \quad du = \sec^2{x}\ dx \)

Son ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.

\( = 10\displaystyle\int {u^4\ du} \)

İfadenin integralini alalım.

\( = 10\dfrac{u^5}{5} + C \)

\( = 2u^5 + C \)

\( u \) değişkenini tekrar \( x \) cinsinden yazalım.

\( = 2\tan^5{x} + C \)

(a) seçeneği:

\( \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{3}} {\dfrac{5}{1 - \sin{x}}\ dx} \)

Payı ve paydayı, paydanın eşleniği ile çarpalım.

\( = \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{3}} {\dfrac{5}{1 - \sin{x}} \cdot \dfrac{1 + \sin{x}}{1 + \sin{x}}\ dx} \)

\( = 5\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{3}} {\dfrac{1 + \sin{x}}{1 - \sin^2{x}}\ dx} \)

Pisagor özdeşliğini kullanalım.

\( 1 - \sin^2{x} = \cos^2{x} \)

\( = 5\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{3}} {\dfrac{1 + \sin{x}}{\cos^2{x}}\ dx} \)

İfadeyi iki kesrin toplamı şeklinde yazalım.

\( = 5\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{3}} (\dfrac{1}{\cos^2{x}} + \dfrac{\sin{x}}{\cos^2{x}})\ dx \)

\( = 5\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{3}} (\dfrac{1}{\cos^2{x}} + \dfrac{\sin{x}}{\cos{x}} \cdot \dfrac{1}{\cos{x}})\ dx \)

Sinüs ve kosinüs ifadelerini sekant ve tanjant cinsinden yazalım.

\( = 5\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{3}} (\sec^2{x} + \tan{x}\sec{x})\ dx \)

Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.

\( = 5 \cdot (\tan{x} + \sec{x})|_0^{\frac{\pi}{3}} \)

\( = 5 \cdot [(\tan{\frac{\pi}{3}} + \sec{\frac{\pi}{3}}) - (\tan{0} + \sec{0})] \)

\( = 5 \cdot [(\sqrt{3} + 2) - (0 + 1)] \)

\( = 5(\sqrt{3} + 1) \)

\( = 5\sqrt{3} + 5 \)

(b) seçeneği:

\( \displaystyle\int_0^{\pi} (1 + \tan{\frac{x}{4}})^2\ dx \)

İntegral içerisindeki ifadenin açılımını yazalım.

\( = \displaystyle\int_0^{\pi} (1 + 2\tan{\frac{x}{4}} + \tan^2{\frac{x}{4}})\ dx \)

\( \tan^2{x} = \sec^2{x} - 1 \) özdeşliğini kullanalım.

\( = \displaystyle\int_0^{\pi} (1 + 2\tan{\frac{x}{4}} + \sec^2{\frac{x}{4}} - 1)\ dx \)

\( = \displaystyle\int_0^{\pi} (2\tan{\frac{x}{4}} + \sec^2{\frac{x}{4}})\ dx \)

Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.

\( = (2 \cdot 4 \ln{\abs{\sec{\dfrac{x}{4}}}} + 4\tan{\dfrac{x}{4}})|_0^{\pi} \)

\( = (8\ln{\abs{\sec{\dfrac{x}{4}}}} + 4\tan{\dfrac{x}{4}})|_0^{\pi} \)

\( = (8\ln{\abs{\sec{\dfrac{\pi}{4}}}} + 4\tan{\dfrac{\pi}{4}}) - (8\ln{\abs{\sec{0}}} + 4\tan{0}) \)

\( = (8\ln{\abs{\sqrt{2}}} + 4 \cdot 1) - (8\ln{\abs{1}} + 4 \cdot 0) \)

\( = (4\ln{2} + 4) - (8 \cdot 0 + 4 \cdot 0) \)

\( = 4\ln{2} + 4 \)

(c) seçeneği:

\( \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}} (5\sec{x} + 4\cos{x})^2\ dx \)

İntegral içerisindeki ifadenin açılımını yazalım.

\( = \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}} (25\sec^2{x} + 40\sec{x}\cos{x} + 16\cos^2{x})\ dx \)

\( \sec{x}\cos{x} = 1 \)

\( = \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}} (25\sec^2{x} + 40 + 16\cos^2{x})\ dx \)

Üçüncü terimde kosinüs iki kat açı formülünü kullanalım.

\( \cos^2{x} = \dfrac{\cos(2x) + 1}{2} \)

\( = \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}} [25\sec^2{x} + 40 + 16(\dfrac{\cos(2x) + 1}{2})]\ dx \)

\( = \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}} [25\sec^2{x} + 40 + 8(\cos(2x) + 1)]\ dx \)

\( = \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}} (25\sec^2{x} + 48 + 8\cos(2x))\ dx \)

Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.

\( = (25\tan{x} + 48x + 8 \cdot \dfrac{1}{2}\sin(2x))|_0^{\frac{\pi}{4}} \)

\( = (25\tan{x} + 48x + 4\sin(2x))|_0^{\frac{\pi}{4}} \)

\( = (25\tan{\frac{\pi}{4}} + 48 \cdot \dfrac{\pi}{4} + 4\sin(2 \cdot \frac{\pi}{4})) - (25\tan{0} + 48 \cdot 0 + 4\sin(2 \cdot 0)) \)

\( = (25 \cdot 1 + 12\pi + 4 \cdot 1) - (25 \cdot 0 + 48 \cdot 0 + 4 \cdot 0) \)

\( = 25 + 12\pi + 4 - 0 \)

\( = 12\pi + 29 \)

İki kat açı formülü ile birinci ifadeyi düzenleyelim.

\( \cos(2x) = 1 - 2\sin^2{x} \)

\( \displaystyle\int_0^{3\pi} (1 - 2\sin^2{x})\ dx + \displaystyle\int_0^{3\pi} 2\sin^2{x}\ dx \)

İki integral işleminin sınır değerleri eşit olduğu için toplama kuralını kullanarak iki ifadeyi tek integral işleminde birleştirebiliriz.

\( = \displaystyle\int_0^{3\pi} (1 - 2\sin^2{x} + 2\sin^2{x})\ dx \)

\( = \displaystyle\int_0^{3\pi} 1\ dx \)

İfadenin integralini alalım.

\( = (x)|_0^{3\pi} = 3\pi - 0 = 3\pi \) bulunur.

Kosinüs iki kat açı formülü ile paydadaki ifadeyi düzenleyelim.

\( \displaystyle\int{\dfrac{\cos{x}}{\cos(2x) - 1} \ dx} = \displaystyle\int {\dfrac{\cos{x}}{1 - 2\sin^2{x} - 1}\ dx} \)

\( = -\dfrac{1}{2}\displaystyle\int {\dfrac{\cos{x}}{\sin^2{x}}\ dx} \)

Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.

\( u = \sin{x} \)

Her iki tarafın diferansiyelini alalım.

\( du = \cos{x}\ dx \)

Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.

\( = -\dfrac{1}{2}\displaystyle\int {\dfrac{1}{u^2}\ du} = -\dfrac{1}{2}\displaystyle\int{u^{-2}\ du} \)

İfadenin integralini alalım.

\( = -\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{u^{-1}}{-1} + C \)

\( = \dfrac{1}{2u} + C \)

İfadede \( u \) değişkeni yerine \( x \) cinsinden karşılığını yazdığımızda verilen ifadenin integralini buluruz.

\( = \dfrac{1}{2\sin{x}} + C \)

\( = \dfrac{1}{2}\csc{x} + C \)

Kosinüs ve kosekant ifadelerini sinüs cinsinden yazalım.

\( \cos^2{x} = 1 - \sin^2{x} \)

\( \csc^2{x} = \dfrac{1}{\sin^2{x}} \)

\( \displaystyle\int {\cos^2{x}\csc^2{x}\ dx} = \displaystyle\int {(1 - \sin^2{x})\dfrac{1}{\sin^2{x}}\ dx} \)

\( = \displaystyle\int {\dfrac{1 - \sin^2{x}}{\sin^2{x}}\ dx} \)

\( = \displaystyle\int (\dfrac{1}{\sin^2{x}} - 1)\ dx \)

\( = \displaystyle\int {(\csc^2{x} - 1)\ dx} \)

Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.

\( = -\cot{x} - x + C \)

\( \displaystyle\int {\sqrt{(\cos{x} - 3)^2 - 4 + \sin^2{x}}\ dx} \)

Kök içindeki ifadeyi düzenleyelim.

\( = \displaystyle\int {\sqrt{\cos^2{x} - 6\cos{x} + 9 - 4 + \sin^2{x}}\ dx} \)

\( \cos^2{x} + \sin^2{x} = 1 \) özdeşliğini kullanalım.

\( = \displaystyle\int {\sqrt{6 - 6\cos{x}}\ dx} \)

Kosinüs iki kat açı formülünü kullanalım.

\( = \displaystyle\int {\sqrt{6 - 6(1 - 2\sin^2{\frac{x}{2}})}\ dx} \)

\( = \displaystyle\int {\sqrt{6 - 6 + 12\sin^2{\frac{x}{2}}}\ dx} \)

\( = \displaystyle\int {\sqrt{12\sin^2{\frac{x}{2}}}\ dx} \)

\( = \displaystyle\int {2\sqrt{3}\abs{\sin{\frac{x}{2}}}\ dx} \)

\( x \in [0, \pi] \) aralığında sinüs pozitiftir.

\( = \displaystyle\int {2\sqrt{3}\sin{\frac{x}{2}}\ dx} \)

İfadenin integralini alalım.

\( = 2\sqrt{3} \cdot 2 \cdot (-\cos{\dfrac{x}{2}}) + C \)

\( = -4\sqrt{3}\cos{\dfrac{x}{2}} + C \)

Parantez karesi ifadesinin açılımını yazalım.

\( \displaystyle\int (3\cos{x} - 2\sin{x})^2\ dx = \displaystyle\int (9\cos^2{x} - 12\cos{x}\sin{x} + 4\sin^2{x})\ dx \)

1. ve 3. terimlerde kosinüs iki kat açı formüllerini kullanalım.

\( \cos^2{x} = \dfrac{\cos(2x) + 1}{2} \)

\( \sin^2{x} = \dfrac{1 - \cos(2x)}{2} \)

\( = \displaystyle\int (9 \cdot \dfrac{\cos(2x) + 1}{2} - 12\cos{x}\sin{x} + 4 \cdot \dfrac{1 - \cos(2x)}{2})\ dx \)

\( = \displaystyle\int (\dfrac{9\cos(2x)}{2} + \dfrac{9}{2} - 12\cos{x}\sin{x} + 2 - 2\cos(2x))\ dx \)

\( = \displaystyle\int (\dfrac{5\cos(2x)}{2} - 12\cos{x}\sin{x} + \dfrac{13}{2})\ dx \)

2. terimde sinüs iki kat açı formülünü kullanalım.

\( \sin(2x) = 2\sin{x}\cos{x} \)

\( = \displaystyle\int (\dfrac{5\cos(2x)}{2} - 6\sin(2x) + \dfrac{13}{2})\ dx \)

Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.

\( = \dfrac{5\sin(2x)}{4} + 3\cos(2x) + \dfrac{13}{2}x + C \)

Payı ve paydayı, paydanın eşleniği ile çarpalım.

\( = \displaystyle\int {\dfrac{1}{1 + \sin{x}} \cdot \dfrac{1 - \sin{x}}{1 - \sin{x}}\ dx} \)

\( = \displaystyle\int {\dfrac{1 - \sin{x}}{1 - \sin^2{x}}\ dx} \)

Pisagor özdeşliğini kullanalım.

\( 1 - \sin^2{x} = \cos^2{x} \)

\( = \displaystyle\int {\dfrac{1 - \sin{x}}{\cos^2{x}}\ dx} \)

İfadeyi iki kesrin toplamı şeklinde yazalım.

\( \displaystyle\int (\dfrac{1}{\cos^2{x}} - \dfrac{\sin{x}}{\cos^2{x}})\ dx \)

\( \displaystyle\int (\dfrac{1}{\cos^2{x}} - \dfrac{\sin{x}}{\cos{x}} \cdot \dfrac{1}{\cos{x}})\ dx \)

Elde ettiğimiz ifadeyi sekant ve tanjant cinsinden yazalım.

\( = \displaystyle\int (\sec^2{x} - \tan{x}\sec{x})\ dx \)

Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.

\( = \tan{x} - \sec{x} + C \)

Kosekant fonksiyonunu sinüs cinsinden yazalım.

\( 5\displaystyle\int {\dfrac{1}{\sin^2{x}}\cos{x}\ dx} \)

\( = 5\displaystyle\int {\dfrac{1}{\sin{x}} \cdot \dfrac{\cos{x}}{\sin{x}}\ dx} \)

\( = 5\displaystyle\int {\csc{x}\cot{x}\ dx} \)

Elde ettiğimiz ifadenin integralini alalım.

\( = -5\csc{x} + C \)

İfadeyi düzenleyelim.

\( 8\displaystyle\int {\sqrt[5]{\tan^3{x}} \cdot \dfrac{1}{\cos^2{x}}}\ dx \)

İkinci ifadeyi sekant cinsinden yazalım.

\( = 8\displaystyle\int {\sqrt[5]{\tan^3{x}}\sec^2{x}\ dx} \)

\( = 8\displaystyle\int {(\tan{x})^{\frac{3}{5}}\sec^2{x}\ dx} \)

Aşağıdaki şekilde değişken değiştirelim.

\( u = \tan{x} \)

Her iki tarafın diferansiyelini alalım.

\( du = \sec^2{x}\ dx \)

Son ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.

\( = 8\displaystyle\int {u^{\frac{3}{5}}\ du} \)

Elde ettiğimiz ifadenin integralini alalım.

\( = 8 \cdot \dfrac{u^{\frac{8}{5}}}{\frac{8}{5}} + C \)

\( = 5u^{\frac{8}{5}} + C \)

\( = 5\sqrt[5]{u^8} + C \)

İfadede \( u \) değişkeni yerine \( x \) cinsinden karşılığını yazdığımızda verilen ifadenin integralini buluruz.

\( = 5\sqrt[5]{\tan^8{x}} + C \)

İfadeyi düzenleyelim.

\( \displaystyle\int {\dfrac{\sin^9{x}}{\cos^{11}{x}}\ dx} = \displaystyle\int {\dfrac{\sin^9{x}}{\cos^9{x}} \cdot \dfrac{1}{\cos^2{x}}\ dx} \)

\( = \displaystyle\int {\tan^9{x}\sec^2{x}\ dx} \)

Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.

\( u = \tan{x}, \quad du = \sec^2{x}\ dx \)

Son ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.

\( = \displaystyle\int {u^9\ du} \)

İfadenin integralini alalım.

\( = \dfrac{u^{10}}{10} + C \)

\( u \) değişkenini tekrar \( x \) cinsinden yazalım.

\( = \dfrac{\tan^{10}{x}}{10} + C \)

İfadeyi düzenleyelim.

\( \displaystyle\int {\dfrac{1}{\sqrt{x - 2}\sqrt{4 - x}}\ dx} = \displaystyle\int {\dfrac{1}{\sqrt{(x - 2)(4 - x)}}\ dx} \)

\( = \displaystyle\int {\dfrac{1}{\sqrt{-x^2 + 6x - 8}}\ dx} \)

\( = \displaystyle\int {\dfrac{1}{\sqrt{-(x^2 - 6x + 8)}}\ dx} \)

Kök içindeki ifadeden tam kare elde edelim.

\( = \displaystyle\int {\dfrac{1}{\sqrt{-[(x - 3)^2 - 1]}}\ dx} \)

\( = \displaystyle\int {\dfrac{1}{\sqrt{1 - (x - 3)^2}}\ dx} \)

İfadenin integralini alalım.

\( \displaystyle\int {\dfrac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}}} = \arcsin{\frac{x}{a}} + C \)

\( = \arcsin(x - 3) + C \)

İki kat açı formülünü kullanarak ifadeyi düzenleyelim.

\( \cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2{x} \)

\( \displaystyle\int_0^{50\pi} \sqrt{\sin^2{x} + \cos^2(x) - \sin^2{x}}\ dx \)

\( = \displaystyle\int_0^{50\pi} \sqrt{\cos^2(x)}\ dx \)

\( = \displaystyle\int_0^{50\pi} \abs{\cos{x}}\ dx \)

Kosinüs fonksiyonunun grafiğini ve \( x \) ekseni ile arasında kalan alanı düşündüğümüzde grafiğin \( x \) ekseninin üzerinde kaldığı \( [0, \frac{\pi}{2}] \) ve \( [\frac{3\pi}{2}, 2\pi] \) aralıklarındaki belirli integral değerleri birbirine eşittir. Grafiğin \( x \) ekseninin altında kaldığı \( [\frac{\pi}{2}, \pi] \) ve \( [\pi, \frac{3\pi}{2}] \) aralıklarında ise belirli integral aynı değerlerin negatifine eşittir.

Buna göre kosinüs fonksiyonunun mutlak değerinin \( [0, 2\pi] \) aralığındaki değeri \( [0, \frac{\pi}{2}] \) aralığındaki değerinin 4 katıdır.

Kosinüs fonksiyonu periyodik olduğu ve periyodu \( 2\pi \) olduğu için \( [0, 50\pi] \) aralığında aynı grafik 25 kez tekrarlanır.

Buna göre ifadeyi aşağıdaki şekilde yazabiliriz.

\( = \displaystyle\int_0^{50\pi} \abs{\cos{x}}\ dx = 25 \cdot 4\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos{x}\ dx \)

İfadenin integralini alalım.

\( = 100(\sin{x})_0^{\frac{\pi}{2}} \)

\( = 100(\sin{\frac{\pi}{2}} - \sin{0}) \)

\( = 100(1 - 0) = 100 \) bulunur.