Mutlak değerli ifadelerin tek adımda integralini alabileceğimiz bir integral kuralı yoktur, bunun sebebi mutlak değerli ifadelerin aslında farklı aralıklarda farklı tanımlara sahip birer parçalı fonksiyon olmalarıdır.
Bir mutlak değer fonksiyonunun integralini alırken önce tüm mutlak değerli ifadelerin içini sıfır yapan \( x \) değerleri bulunur. Bu değerler fonksiyonun kritik noktalarıdır. Daha sonra fonksiyon bir parçalı fonksiyon şeklinde yazılır ya da bir işaret tablosu yardımıyla fonksiyonun farklı aralıklardaki tanımları belirlenir. Her iki yöntemde de amacımız her aralıkta fonksiyon tanımını mutlak değersiz bir şekilde ifade etmektir.
Eğer fonksiyonun bir kritik noktasını içeren bir aralıkta integrali alınıyorsa integral işlemi her biri kritik noktaların ayırdığı tek bir aralığa karşılık gelecek şekilde birden fazla integral işleminin toplamı şeklinde yazılır.
Eğer integral işleminin sınır değerleri fonksiyonun tek bir aralığına karşılık geliyorsa bu tanım kullanılarak integral alınır.
Mutlak değerli bir ifadenin belirli integralini nasıl hesaplayabileceğimizi bir örnek üzerinden gösterelim.
ÖRNEK 1:
\( \displaystyle\int_0^5 \abs{2x - 6}\ dx \) integralinin sonucu kaçtır?
\( 2x - 6 = 0 \Longrightarrow x = 3 \)
Buna göre fonksiyonun kritik noktası \( x = 3 \) noktasıdır.
Bu kritik noktanın oluşturduğu farklı aralıklarda mutlak değer içindeki ifadenin işareti ve fonksiyon tanımı aşağıdaki gibi olur.
Bu kritik nokta integral sınır değerleri arasında kaldığı için integral işlemini her biri fonksiyonun tek bir tanımına karşılık gelecek şekilde birden fazla integral işleminin toplamı şeklinde yazalım.
Buna göre fonksiyonun kritik noktaları \( x = -1 \) ve \( x = 3 \) noktalarıdır.
Bu kritik noktaların oluşturduğu farklı aralıklarda mutlak değer içindeki ifadenin işareti ve fonksiyon tanımı aşağıdaki gibi olur.
Bu kritik noktalardan \( x = -1 \) integral sınır değerleri arasında kaldığı için integral işlemini her biri fonksiyonun tek bir tanımına karşılık gelecek şekilde birden fazla integral işleminin toplamı şeklinde yazalım.
Buna göre fonksiyonun kritik noktaları \( x = -1 \) ve \( x = 2 \) noktalarıdır.
Bu kritik noktaların oluşturduğu farklı aralıklarda mutlak değer içindeki ifadenin işareti ve fonksiyon tanımı aşağıdaki gibi olur.
Bu kritik noktaların ikisi de integral sınır değerleri arasında kaldığı için integral işlemini her biri fonksiyonun tek bir tanımına karşılık gelecek şekilde birden fazla integral işleminin toplamı şeklinde yazalım.
Bir mutlak değer ifadesinin içini sıfır yapan değerler o ifadenin kritik noktalarıdır.
Mutlak değer ifadesinin kritik noktasını bulalım.
\( e^x - e = 0 \Longrightarrow x = 1 \)
Kritik noktanın solunda ve sağında mutlak değer içindeki ifadenin işareti farklı olacağı için integrali birden fazla integral işleminin toplamı şeklinde yazalım.
\( -2 \le x \lt 1 \) aralığında \( e^x - e \) ifadesi mutlak değerden negatif işaretli çıkar.
\( 1 \lt x \le 3 \) aralığında \( e^x - e \) ifadesi mutlak değerden olduğu gibi çıkar.
Mutlak değer içindeki \( 3x \) ifadesini sıfır yapan \( x \) değerini bulalım.
\( 3x = 0 \Longrightarrow x = 0 \)
Bu kritik nokta integral sınır değerleri arasında kaldığı için integral işlemini her biri fonksiyonun tek bir tanımına karşılık gelecek şekilde birden fazla integral işleminin toplamı şeklinde yazalım.
\( x \lt 0 \) aralığında \( 3x \) ifadesinin değeri negatif olur ve mutlak değerden negatif işaretli çıkar. \( x \ge 0 \) aralığında \( 3x \) ifadesinin değeri sıfır ya da pozitif olur ve mutlak değerden olduğu gibi çıkar.