Mutlak Değerli İfadelerin İntegrali
Konu tekrarı için: Mutlak Değerli İfadelerin Parçalı Yazılışı
Mutlak değerli ifadelerin tek adımda integralini alabileceğimiz bir integral kuralı yoktur, bunun sebebi mutlak değerli ifadelerin aslında farklı aralıklarda farklı tanımlara sahip birer parçalı fonksiyon olmalarıdır.
Bir mutlak değer fonksiyonunun integralini alırken önce tüm mutlak değerli ifadelerin içini sıfır yapan
- Eğer fonksiyonun bir kritik noktasını içeren bir aralıkta integrali alınıyorsa integral işlemi her biri kritik noktaların ayırdığı tek bir aralığa karşılık gelecek şekilde birden fazla integral işleminin toplamı şeklinde yazılır.
- Eğer integral işleminin sınır değerleri fonksiyonun tek bir aralığına karşılık geliyorsa bu tanım kullanılarak integral alınır.
Mutlak değerli bir ifadenin belirli integralini nasıl hesaplayabileceğimizi bir örnek üzerinden gösterelim.
Buna göre fonksiyonun kritik noktası
Bu kritik noktanın oluşturduğu farklı aralıklarda mutlak değer içindeki ifadenin işareti ve fonksiyon tanımı aşağıdaki gibi olur.
Bu kritik nokta integral sınır değerleri arasında kaldığı için integral işlemini her biri fonksiyonun tek bir tanımına karşılık gelecek şekilde birden fazla integral işleminin toplamı şeklinde yazalım.
İfadenin integralini alalım.
Sınır değerlerini yerine koyarak belirli integral değerini bulalım.
Mutlak değerli fonksiyonun grafiği ve her aralıkta belirli integralin karşılık geldiği alanlar aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.
Bir mutlak değerli ifadenin birden fazla kritik noktası olabilir.
Buna göre fonksiyonun kritik noktaları
Bu kritik noktaların oluşturduğu farklı aralıklarda mutlak değer içindeki ifadenin işareti ve fonksiyon tanımı aşağıdaki gibi olur.
Bu kritik noktalardan
İfadenin integralini alalım.
Sınır değerlerini yerine koyarak belirli integral değerini bulalım.
Mutlak değerli fonksiyonun grafiği ve her aralıkta belirli integralin karşılık geldiği alanlar aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.
Birden fazla mutlak değerden oluşan bir ifadenin belirli integralini de benzer bir yöntemle hesaplayabiliriz.
Buna göre fonksiyonun kritik noktaları
Bu kritik noktaların oluşturduğu farklı aralıklarda mutlak değer içindeki ifadenin işareti ve fonksiyon tanımı aşağıdaki gibi olur.
Bu kritik noktaların ikisi de integral sınır değerleri arasında kaldığı için integral işlemini her biri fonksiyonun tek bir tanımına karşılık gelecek şekilde birden fazla integral işleminin toplamı şeklinde yazalım.
İfadenin integralini alalım.
Sınır değerlerini yerine koyarak belirli integral değerini bulalım.
Mutlak değerli fonksiyonun grafiği ve her aralıkta belirli integralin karşılık geldiği alanlar aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.
Aşağıdaki integrallerin sonuçlarını bulunuz.
(a)
(b)
(c)
(a) seçeneği:
Bir mutlak değer ifadesinin içini sıfır yapan değerler o ifadenin kritik noktalarıdır.
Mutlak değer ifadesinin kritik noktasını bulalım.
Kritik noktanın solunda ve sağında mutlak değer içindeki ifadenin işareti farklı olacağı için integrali birden fazla integral işleminin toplamı şeklinde yazalım.
İfadenin integralini alalım.
Sınır değerlerini yerine koyarak belirli integral değerini bulalım.
(b) seçeneği:
Bir mutlak değer ifadesinin içini sıfır yapan değerler o ifadenin kritik noktalarıdır.
Mutlak değer ifadesinin kritik noktasını bulalım.
Kritik noktanın solunda ve sağında mutlak değer içindeki ifadenin işareti farklı olacağı için integrali birden fazla integral işleminin toplamı şeklinde yazalım.
İfadenin integralini alalım.
Sınır değerlerini yerine koyarak belirli integral değerini bulalım.
(c) seçeneği:
Bir mutlak değer ifadesinin içini sıfır yapan değerler o ifadenin kritik noktalarıdır.
Mutlak değer ifadesinin kritik noktasını bulalım.
Kritik noktanın solunda ve sağında mutlak değer içindeki ifadenin işareti farklı olacağı için integrali birden fazla integral işleminin toplamı şeklinde yazalım.
İfadenin integralini alalım.
Sınır değerlerini yerine koyarak belirli integral değerini bulalım.
Bir mutlak değer ifadesinin içini sıfır yapan değerler o ifadenin kritik noktalarıdır.
Mutlak değer ifadesinin kritik noktasını bulalım.
Buna göre integrali alınan mutlak değer ifadesinin kritik noktaları
İntegral ifadesini bu kritik noktalara göre üç aralığa bölelim ve her aralıktaki
Bu aralıkta mutlak değer içindeki ifade negatif olur, dolayısıyla mutlak değerden negatif işaretli çıkar.
Bu aralıkta mutlak değer içindeki ifade pozitiftir olur, dolayısıyla mutlak değerden olduğu gibi çıkar.
İstenen integral değeri bu iki aralıktaki integral değerlerinin toplamına eşittir.
Bir mutlak değer ifadesinin içini sıfır yapan değerler o ifadenin kritik noktalarıdır.
Mutlak değer ifadesinin kritik noktasını bulalım.
İntegral ifadesini bu kritik noktaya göre iki aralığa bölelim ve her aralıktaki
İfadelerin integralini alalım.
Bir mutlak değer ifadesinin içini sıfır yapan değerler o ifadenin kritik noktalarıdır.
Mutlak değer ifadesinin kritik noktasını bulalım.
Kritik noktanın solunda ve sağında mutlak değer içindeki ifadenin işareti farklı olacağı için integrali birden fazla integral işleminin toplamı şeklinde yazalım.
İfadelerin integralini alalım.
Mutlak değer içindeki
Bu kritik nokta integral sınır değerleri arasında kaldığı için integral işlemini her biri fonksiyonun tek bir tanımına karşılık gelecek şekilde birden fazla integral işleminin toplamı şeklinde yazalım.
İfadelerin integralini alalım.
Bir mutlak değer ifadesinin içini sıfır yapan değerler o ifadenin kritik noktalarıdır.
İçteki mutlak değer ifadesinin kritik noktasını bulalım.
Durum 1:
Bu durumda içteki mutlak değer içindeki ifade pozitif olur ve mutlak değerden olduğu gibi çıkar.
Durum 2:
Bu durumda içteki mutlak değer içindeki ifade negatif olur ve mutlak değerden ters işaretli çıkar.
Buna göre integrali alınan mutlak değer ifadesinin kritik noktaları
İntegral ifadesini bu kritik noktalara göre üç aralığa bölelim ve her aralıktaki
Sorulan integral değeri bu üç aralıktaki integral değerlerinin toplamına eşittir.
Sinüs grafiği
Mutlak değerden kurtulmak için ifadeyi daha büyük olan fonksiyondan daha küçük olan fonksiyonu çıkaracak şekilde bu iki aralık için ayrı ayrı yazalım.
İfadenin integralini alalım.