Kısmi İntegral Alma Yöntemi
Kısmi integral alma yöntemi, iki ya da daha fazla ifadenin çarpımı şeklinde yazabildiğimiz fonksiyonların integralini bulmada kullanılır. Bu yöntemde amaç integrali kolay alınamayan bir ifadeyi integrali kolay alınabilecek bir ifadeye dönüştürmektir.
Kısmi integral alma yöntemi türevde gördüğümüz çarpma kuralına dayanır.
İki fonksiyon arasındaki türev çarpma kuralını yazalım.
\( (f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g' \)
Tarafların integralini alalım.
\( \displaystyle\int {(f \cdot g)'\ dx} = \displaystyle\int {f' \cdot g\ dx} + \displaystyle\int {f \cdot g'\ dx} \)
İntegral türevin ters işlemi olduğu için eşitliğin sol tarafı sadeleşir.
\( f \cdot g = \textcolor{blue}{\displaystyle\int {f' \cdot g\ dx}} + \textcolor{red}{\displaystyle\int {f \cdot g'\ dx}} \)
Buna göre, integrali kolay bir şekilde alınamayan bir ifadeyi kırmızı ifadeye benzetebiliyorsak ve bu doğrultuda (birinci çarpanın türevini ve ikinci çarpanın integralini alarak) oluşan mavi ifadenin integrali kolay bir şekilde alınabiliyorsa kırmızı ifadenin integralini aşağıdaki formülle, kırmızı ifade yerine mavi ifadenin integralini alarak bulabiliriz.
\( \textcolor{red}{\displaystyle\int {f \cdot g'\ dx}} = f \cdot g - \textcolor{blue}{\displaystyle\int {f' \cdot g\ dx}} \)
Yöntemin Adımları
Kısmi integral alma yönteminin adımlarını bir örnek üzerinden inceleyelim.
Aşağıdaki integral işleminin sonucunu bulalım.
\( \displaystyle\int {x \cdot e^x\ dx} \)
Adım 1: İfadeyi oluşturan iki fonksiyon belirlenir.
İşlemde çarpımı alınan ifadeler \( x \) ve \( e^x \) fonksiyonlarıdır.
Adım 2: Fonksiyonlardan hangisinin \( f \), hangisinin \( g' \) olacağına karar verilir.
Bu kararı verirken amacımız, \( f \) fonksiyonunun türevini, \( g' \) fonksiyonunun integralini aldığımızda elde edeceğimiz \( \int {f' \cdot g\ dx} \) ifadesini integrali kolay alınabilir bir forma getirmek ve \( \int {f \cdot g'\ dx} \) ifadesi yerine bu ifadenin integralini almaktır.
\( f \) ve \( g' \) seçimini aşağıdaki gibi yapalım.
\( f(x) = x \)
\( g'(x) = e^x \)
Adım 3: \( f \) fonksiyonunun türevi alınarak \( f' \) fonksiyonu, \( g' \) fonksiyonunun integrali alınarak \( g \) fonksiyonu bulunur.
\( f' \) ve \( g \) fonksiyonlarını bulalım.
\( f'(x) = (x)' = 1 \)
\( g(x) = \displaystyle\int {e^x\ dx} = e^x \)
Bu yöntemin son adımında integral sabitini ekleyeceğimiz için bu adımda \( g \) fonksiyonunun sonuna \( C \) integral sabitini eklemiyoruz.
Adım 4: Tüm fonksiyonlar kısmi integral formülünde yerine konur ve integral işlemi yapılır.
\( \displaystyle\int {f \cdot g'\ dx} = f \cdot g - \displaystyle\int {f' \cdot g\ dx} \)
\( \displaystyle\int {x \cdot e^x\ dx} = x \cdot e^x - \displaystyle\int {1 \cdot e^x\ dx} \)
\( = x \cdot e^x - e^x + C \)
Görebileceğimiz gibi, bir integral işleminin sonucunu diğer bir ifadenin integralini alarak bulmuş olduk.
Fonksiyonların Seçim Kriteri
Fonksiyonlardan hangisinin \( f \), hangisinin \( g' \) olarak seçileceği değerlendirilirken kullanılabilecek öncelik sırası aşağıdaki gibidir. Buna göre listede daha üstte olan fonksiyonlar \( f \), daha altta olan fonksiyonlar ise \( g' \) olmaya daha uygun fonksiyonlardır. Bu listenin bir öneri olup her zaman doğru sonuç vermeyebileceği akılda tutulmalıdır.
- Logaritma fonksiyonları (\( \log, \ln \))
- Ters trigonometrik fonksiyonlar
- Kuvvet fonksiyonları (\( x^n \))
- Trigonometrik fonksiyonlar
- Üstel fonksiyonlar (\( e^x, a^x \))
Kısmi integral alma yöntemi formülünü aşağıdaki gibi daha sade şekilde de ifade edebiliriz.
\( \displaystyle\int {u\ dv} = u\ v - \displaystyle\int {v\ du} \)
İSPATI GÖSTER
\( \displaystyle\int {f \cdot g'\ dx} = f \cdot g - \displaystyle\int {f' \cdot g\ dx} \)
Yukarıdaki formüle aşağıdaki değişken değiştirmeleri uygulayalım.
\( u = f(x) \)
\( du = f'(x)\ dx \)
\( v = g(x) \)
\( dv = g'(x)\ dx \)
Bu değişkenleri formülde yerine koyalım.
\( \displaystyle\int {u\ dv} = u\ v - \displaystyle\int {v\ du} \)
Kısmi integral alma yöntemini kullanabileceğimiz birkaç örnek yapalım.
\( \displaystyle\int {x\cos(2x)\ dx} \) ifadesinin integralini bulalım.
\( u \) ve \( dv \) ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.
\( u = x, \quad dv = \cos(2x)\ dx \)
Buna göre \( du \) ve \( v \) aşağıdaki gibi olur.
\( du = dx, \quad v = \dfrac{1}{2}\sin(2x) \)
Değişkenleri kısmi integral formülünde yerine koyalım.
\( \displaystyle\int {u\ dv} = u\ v - \displaystyle\int {v\ du} \)
\( \displaystyle\int {x\cos(2x)\ dx} = x\dfrac{1}{2}\sin(2x) \) \( - \displaystyle\int {\dfrac{1}{2}\sin(2x)\ dx} \)
Son terimin integralini alalım.
\( = \dfrac{1}{2}x\sin(2x) + \dfrac{1}{4}\cos(2x) + C \)
\( \displaystyle\int {\ln{x}\ dx} \) ifadesinin integralini bulalım.
\( u \) ve \( dv \) ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.
\( u = \ln{x}, \quad dv = dx \)
Buna göre \( du \) ve \( v \) aşağıdaki gibi olur.
\( du = \dfrac{1}{x}\ dx, \quad v = x \)
Değişkenleri kısmi integral formülünde yerine koyalım.
\( \displaystyle\int {u\ dv} = u\ v - \displaystyle\int {v\ du} \)
\( \displaystyle\int {\ln{x}\ dx} = x\ln{x} - \displaystyle\int {x\dfrac{1}{x}\ dx} \)
\( \displaystyle\int {\ln{x}\ dx} = x\ln{x} - \displaystyle\int {dx} \)
Son terimin integralini alalım.
\( = x\ln{x} - x + C \)
Belirli İntegralde Kısmi İntegral Alma
Kısmi integral alma yöntemi belirli integrale aşağıdaki şekilde uygulanabilir.
\( \displaystyle\int_a^b {u\ dv} = u\ v|_a^b - \displaystyle\int_a^b {v\ du} \)
Kısmi integral alma yöntemini belirli integrale uygulayacağımız bir örnek yapalım.
\( \displaystyle\int_1^2 {xe^x\ dx} \) ifadesinin değerini bulalım.
\( xe^x \) ifadesinin belirsiz integralini aşağıdaki şekilde bulmuştuk.
\( \displaystyle\int {xe^x\ dx} = xe^x - \displaystyle\int {e^x\ dx} \)
Bu formülü belirli integrale aşağıdaki şekilde uyarlayabiliriz.
\( \displaystyle\int_1^2 {xe^x\ dx} = xe^x|_1^2 - \displaystyle\int_1^2 {e^x\ dx} \)
\( = xe^x|_1^2 - e^x|_1^2 \)
\( = (2 \cdot e^2 - 1 \cdot e^1) - (e^2 - e^1) \)
\( = e^2 \)
Tekrarlı Kısmi İntegral Alma
Bazı ifadelere kısmi integral alma yöntemi birden fazla kez uygulanarak ifadenin integrali alınabilir.
Derece İndirgeme
\( x^n \) şeklinde bir çarpan içeren aşağıdaki formdaki ifadelere kısmi integral yöntemi her uygulandığında \( x \)'in derecesi bir eksilir ve yöntem toplam \( n \) kez uygulandığında \( x^n \) çarpanı tamamen kaybolur ve diğer çarpanın integrali alınır.
\( \int {x^ne^x\ dx} \)
\( \int {x^n\sin{x}\ dx} \)
\( \int {x^n\cos{x}\ dx} \)
Yöntemin bu formdaki ifadelere uygulanmasına bir örnek verelim.
\( \displaystyle\int {x^2e^x\ dx} \) ifadesinin integralini bulalım.
\( u \) ve \( dv \) ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.
\( u = x^2, \quad dv = e^x\ dx \)
Buna göre \( du \) ve \( v \) aşağıdaki gibi olur.
\( du = 2x\ dx, \quad v = e^x \)
Değişkenleri kısmi integral formülünde yerine koyalım.
\( \displaystyle\int {u\ dv} = u\ v - \displaystyle\int {v\ du} \)
\( \displaystyle\int {x^2e^x\ dx} = x^2e^x - \displaystyle\int {2xe^x\ dx} \)
\( = x^2e^x - 2\textcolor{red}{\displaystyle\int {xe^x\ dx}} \)
İntegralini almamız gereken kırmızı ifadede \( x \)'in derecesi bir eksilmiş olsa da hala integralini alabileceğimiz bir formda değildir. Aynı yöntemi tekrar uygulayarak ifadeyi daha da sadeleştirebiliriz.
Bu ifadenin yukarıda yine kısmi integral alma yöntemiyle bulduğumuz integralini kullanalım.
\( = x^2e^x - 2(\underbrace{xe^x - e^x}_{\int {xe^x\ dx}}) \)
İntegral sabitini de eklediğimizde aşağıdaki sonucu elde ederiz.
\( = x^2e^x - 2xe^x + 2e^x + C \)
Tekrarla Aynı İfadeyi Elde Etme
Aşağıdaki formdaki diğer bazı ifadelere kısmi integral alma yöntemi tekrarlı uygulandığında ifade integrali alınabilir bir forma gelmez, ancak ikinci uygulamada cevabı aranan integral ifadesi tekrar elde edilir ve bu şekilde ifadenin integralini almaya gerek kalmadan ifade yalnız bırakılarak sonuç bulunur.
\( \int {e^x\cos{x}\ dx} \)
\( \int {e^x\sin{x}\ dx} \)
Yöntemin bu tip ifadelere uygulanmasına bir örnek verelim.
\( \displaystyle\int {e^x\cos{x}\ dx} \) ifadesinin integralini bulalım.
\( u \) ve \( dv \) ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.
\( u = \cos{x}, \quad dv = e^x\ dx \)
Buna göre \( du \) ve \( v \) aşağıdaki gibi olur.
\( du = -\sin{x}\ dx, \quad v = e^x \)
Değişkenleri kısmi integral formülünde yerine koyalım.
\( \displaystyle\int {u\ dv} = u\ v - \displaystyle\int {v\ du} \)
\( \displaystyle\int {e^x\cos{x}\ dx} = e^x\cos{x} - \displaystyle\int {e^x(-\sin{x})\ dx} \)
\( = e^x\cos{x} + \textcolor{red}{\displaystyle\int {e^x\sin{x}\ dx}} \)
İntegralini almamız gereken kırmızı ifade hala integralini alabileceğimiz bir formda değildir. Aynı yöntemi kırmızı ifadeye tekrar uygulayalım.
\( u \) ve \( dv \) ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.
\( u = \sin{x}, \quad dv = e^x\ dx \)
Buna göre \( du \) ve \( v \) aşağıdaki gibi olur.
\( du = \cos{x}\ dx, \quad v = e^x \)
Değişkenleri kısmi integral formülünde yerine koyalım.
\( \displaystyle\int {u\ dv} = u\ v - \displaystyle\int {v\ du} \)
\( \displaystyle\int {e^x\sin{x}\ dx} = e^x\sin{x} - \displaystyle\int {e^x\cos{x}\ dx} \)
İntegralini bulmak istediğimiz orijinal ifade için elde ettiğimiz tüm formülü yazalım.
\( \displaystyle\int {e^x\cos{x}\ dx} = e^x\cos{x} + e^x\sin{x} \) \( - \displaystyle\int {e^x\cos{x}\ dx} \)
İntegralini bulmak istediğimiz ifadenin eşitliğin her iki tarafında da bulunduğunu görebiliriz. Bu iki ifadeyi tek tarafta toplayalım.
\( 2\displaystyle\int {e^x\cos{x}\ dx} = e^x\cos{x} + e^x\sin{x} \)
Tarafları ikiye böldüğümüzde istediğimiz sonucu integral işlemine gerek kalmadan buluruz.
\( \displaystyle\int {e^x\cos{x}\ dx} = \dfrac{1}{2}(e^x\cos{x} + e^x\sin{x}) \) \( + C \)
Birden Fazla Yöntemle İntegral
Bazı ifadelerin integrali kısmi integral alma yöntemi ile birlikte diğer yöntemlerle de bulunabilir, ancak farklı yöntemlerle alınan integraller farklı sonuç verebilir. Bu bölümde bu farklı sonuçların aslında eşit olduklarını ve birbirlerinden sadece integral sabiti kadar farklılaşabileceklerini göstereceğiz.
Önce bir örnek fonksiyonun integralini kısmi integral alma yöntemi ile bulalım.
\( \displaystyle\int {x\sqrt{x + 5}\ dx} \) ifadesinin integralini kısmi integral alma yöntemi ile bulalım.
\( u \) ve \( dv \) ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.
\( u = x, \quad dv = \sqrt{x + 5}\ dx \)
Buna göre \( du \) ve \( v \) aşağıdaki gibi olur.
\( du = dx, \quad v = \dfrac{2}{3}\sqrt{(x + 5)^3} \)
Değişkenleri kısmi integral formülünde yerine koyalım.
\( \displaystyle\int {u\ dv} = u\ v - \displaystyle\int {v\ du} \)
\( \displaystyle\int {x\sqrt{x + 5}\ dx} = \dfrac{2}{3}x\sqrt{(x + 5)^3} \) \( - \displaystyle\int {\dfrac{2}{3}\sqrt{(x + 5)^3}\ dx} \)
Son terimin integralini alalım.
\( = \dfrac{2}{3}x\sqrt{(x + 5)^3} - \dfrac{4}{15}\sqrt{(x + 5)^5} + C \)
Şimdi aynı fonksiyonun integralini değişken değiştirme yöntemi ile bulalım.
\( \displaystyle\int {x\sqrt{x + 5}\ dx} \) ifadesinin integralini değişken değiştirme yöntemi ile bulalım.
İfadeye aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
\( u = x + 5, \quad du = dx \)
\( x = u - 5, \quad dx = du \)
\( \displaystyle\int {x\sqrt{x + 5}\ dx} = \displaystyle\int {(u - 5)\sqrt{u}\ du} \)
\( = \displaystyle\int {(u\sqrt{u} - 5\sqrt{u})\ du} \)
\( = \displaystyle\int {(u^{\frac{3}{2}} - 5u^{\frac{1}{2}})\ du} \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \dfrac{2}{5}u^{\frac{5}{2}} - \dfrac{10}{3}u^{\frac{3}{2}} + C \)
\( = \dfrac{2}{5}\sqrt{u^5} - \dfrac{10}{3}\sqrt{u^3} + C \)
\( u \) değişkeni yerine \( x \) yazalım.
\( = \dfrac{2}{5}\sqrt{(x + 5)^5} - \dfrac{10}{3}\sqrt{(x + 5)^3} + C \)
Bulduğumuz iki sonuç farklı gözükseler de birbirine eşit olduklarını gösterelim.
İlk yöntemle bulduğumuz sonucu \( \sqrt{(x + 5)^3} \) parantezine alalım.
\( \dfrac{2}{3}x\sqrt{(x + 5)^3} - \dfrac{4}{15}\sqrt{(x + 5)^5} \)
\( = \sqrt{(x + 5)^3}(\dfrac{2}{3}x - \dfrac{4}{15}(x + 5)) \)
\( = \sqrt{(x + 5)^3}(\dfrac{2}{3}x - \dfrac{4}{15}x - \dfrac{4}{3}) \)
\( = \textcolor{red}{\sqrt{(x + 5)^3}(\dfrac{2}{5}x - \dfrac{4}{3})} \)
İkinci yöntemle bulduğumuz sonucu da \( \sqrt{(x + 5)^3} \) parantezine alalım.
\( \dfrac{2}{5}\sqrt{(x + 5)^5} - \dfrac{10}{3}\sqrt{(x + 5)^3} \)
\( = \sqrt{(x + 5)^3}(\dfrac{2}{5}(x + 5) - \dfrac{10}{3}) \)
\( = \sqrt{(x + 5)^3}(\dfrac{2}{5}x + 2 - \dfrac{10}{3}) \)
\( = \textcolor{red}{\sqrt{(x + 5)^3}(\dfrac{2}{5}x - \dfrac{4}{3})} \)
Her ne kadar bu örnekte birebir aynı iki sonucu elde etmiş olsak da, farklı örneklerde bulacağımız sonuçlar sabit bir terim (integral sabiti) kadar birbirinden farklı çıkabilir.
Üç Çarpanlı Fonksiyonlar
Türev çarpma kuralının üç fonksiyonun çarpımına aşağıdaki şekilde uygulanabileceğini görmüştük.
Üç fonksiyon arasındaki türev çarpma kuralını yazalım.
\( (f \cdot g \cdot h)' = f' \cdot g \cdot h + f \cdot g' \cdot h \) \( + f \cdot g \cdot h' \)
Tarafların integralini alalım.
\( \displaystyle\int {(f \cdot g \cdot h)'\ dx} = \displaystyle\int {f' \cdot g \cdot h\ dx} \) \( + \displaystyle\int {f \cdot g' \cdot h\ dx} \) \( + \displaystyle\int {f \cdot g \cdot h'\ dx} \)
İntegral türevin ters işlemi olduğu için eşitliğin sol tarafı sadeleşir.
\( f \cdot g \cdot h = \textcolor{blue}{\displaystyle\int {f' \cdot g \cdot h\ dx}} \) \( + \textcolor{blue}{\displaystyle\int {f \cdot g' \cdot h\ dx}} \) \( + \textcolor{red}{\displaystyle\int {f \cdot g \cdot h'\ dx}} \)
Buna göre, integrali kolay bir şekilde alınamayan üç çarpanlı bir ifadeyi kırmızı ifadeye benzetebiliyorsak ve bu doğrultuda oluşan mavi ifadelerin integrali kolay bir şekilde alınabiliyorsa kırmızı ifadenin integralini aşağıdaki formülle, kırmızı ifade yerine mavi ifadelerin integralini alarak bulabiliriz.
\( \textcolor{red}{\displaystyle\int {f \cdot g \cdot h'\ dx}} = f \cdot g \cdot h \) \( - \textcolor{blue}{\displaystyle\int {f' \cdot g \cdot h\ dx}} \) \( - \textcolor{blue}{\displaystyle\int {f \cdot g' \cdot h\ dx}} \)
\( \displaystyle\int \ln{x^5}\ dx \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü GösterLogaritma üs kuralını uygulayalım.
\( \displaystyle\int \ln{x^5}\ dx = \displaystyle\int 5\ln{x}\ dx \)
İfadenin integralini almak için kısmi integral alma yöntemini kullanalım.
\( u \) ve \( dv \) ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.
\( u = \ln{x} \)
\( dv = 5\ dx \)
Buna göre \( du \) ve \( v \) aşağıdaki gibi olur.
\( du = \dfrac{1}{x}\ dx \)
\( v = 5x \)
Değişkenleri kısmi integral formülünde yerine koyalım.
\( \displaystyle\int {u\ dv} = u\ v - \displaystyle\int {v\ du} \)
\( \displaystyle\int 5\ln{x}\ dx = \ln{x} \cdot 5x - \displaystyle\int 5x \dfrac{1}{x}\ dx \)
\( = 5x\ln{x} - \displaystyle\int 5\ dx \)
Son terimin integralini alalım.
\( = 5x\ln{x} - 5x + C \)
\( = 5x(\ln{x} - 1) + C \)
\( \displaystyle\int (4 + 12x)e^{-2x}\ dx \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Gösterİfadenin integralini almak için kısmi integral alma yöntemini kullanalım.
\( u \) ve \( dv \) ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.
\( u = 4 + 12x \)
\( dv = e^{-2x}\ dx \)
Buna göre \( du \) ve \( v \) aşağıdaki gibi olur.
\( du = 12\ dx \)
\( v = -\dfrac{e^{-2x}}{2} \)
Değişkenleri kısmi integral formülünde yerine koyalım.
\( \displaystyle\int {u\ dv} = u\ v - \displaystyle\int {v\ du} \)
\( \displaystyle\int (4 + 12x)e^{-2x}\ dx = -(4 + 12x)\dfrac{e^{-2x}}{2} - \displaystyle\int -\dfrac{12e^{-2x}}{2}\ dx \)
\( = -(2 + 6x)e^{-2x} + 6 \displaystyle\int e^{-2x}\ dx \)
Son terimin integralini alalım.
\( = -(2 + 6x)e^{-2x} - 3e^{-2x} + C \)
\( = -(5 + 6x)e^{-2x} + C \)
\( \displaystyle\int_1^2 {\log_2{x}\ dx} \) integralinin sonucu kaçtır?
Çözümü Gösterİfadenin integralini almak için kısmi integral alma yöntemini kullanalım.
\( u \) ve \( dv \) ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.
\( u = \log_2{x} \)
\( dv = dx \)
Buna göre \( du \) ve \( v \) aşağıdaki gibi olur.
\( du = \dfrac{1}{x\ln{2}}\ dx \)
\( v = x \)
Değişkenleri kısmi integral formülünde yerine koyalım.
\( \displaystyle\int_a^b {u\ dv} = uv|_a^b - \displaystyle\int_a^b {v\ du} \)
\( \displaystyle\int_1^2 {\log_2{x}\ dx} = (\log_2{x} \cdot x)|_1^2 - \displaystyle\int_1^2 {x\dfrac{1}{x\ln{2}}\ dx} \)
\( = \log_2{2} \cdot 2 - \log_2{1} \cdot 1 - (\dfrac{x}{\ln{2}})|_1^2 \)
\( = 2 - 0 - (\dfrac{2}{\ln{2}} - \dfrac{1}{\ln{2}}) \)
\( = 2 - \dfrac{1}{\ln{2}} \)
\( = \dfrac{2\ln{2} - 1}{\ln{2}} \) bulunur.
\( \displaystyle\int 9x^2\ln(10x)\ dx \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Gösterİfadenin integralini almak için kısmi integral alma yöntemini kullanalım.
\( u \) ve \( dv \) ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.
\( u = \ln(10x) \)
\( dv = 9x^2\ dx \)
Buna göre \( du \) ve \( v \) aşağıdaki gibi olur.
\( du = \dfrac{1}{x}\ dx \)
\( v = 3x^3 \)
Değişkenleri kısmi integral formülünde yerine koyalım.
\( \displaystyle\int {u\ dv} = u\ v - \displaystyle\int {v\ du} \)
\( \displaystyle\int 9x^2\ln(10x)\ dx = \ln(10x) \cdot 3x^3 - \displaystyle\int 3x^3 \dfrac{1}{x}\ dx \)
\( = 3x^3\ln(10x) - 3\displaystyle\int x^2\ dx \)
Son terimin integralini alalım.
\( = 3x^3\ln(10x) - x^3 + C \)
\( = x^3(3\ln(10x) - 1) + C \)
\( \displaystyle\int \dfrac{3\ln(2x)}{x^2}\ dx \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Gösterİfadenin integralini almak için kısmi integral alma yöntemini kullanalım.
\( u \) ve \( dv \) ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.
\( u = \ln(2x) \)
\( dv = \dfrac{3}{x^2}\ dx \)
Buna göre \( du \) ve \( v \) aşağıdaki gibi olur.
\( du = \dfrac{1}{x}\ dx \)
\( v = -\dfrac{3}{x} \)
Değişkenleri kısmi integral formülünde yerine koyalım.
\( \displaystyle\int {u\ dv} = u\ v - \displaystyle\int {v\ du} \)
\( \displaystyle\int \dfrac{3\ln(2x)}{x^2}\ dx = -\ln(2x) \cdot \dfrac{3}{x} - \displaystyle\int -\dfrac{3}{x} \cdot \dfrac{1}{x}\ dx \)
\( = -\dfrac{3\ln(2x)}{x} + 3 \displaystyle\int \dfrac{1}{x^2}\ dx \)
Son terimin integralini alalım.
\( = -\dfrac{3\ln(2x)}{x} - \dfrac{3}{x} + C \)
\( = \dfrac{-3\ln(2x) - 3}{x} + C \)
\( \displaystyle\int \ln^2(2x)\ dx \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Gösterİfadenin integralini almak için kısmi integral alma yöntemini kullanalım.
\( u \) ve \( dv \) ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.
\( u = \ln^2(2x) \)
\( dv = \ dx \)
Buna göre \( du \) ve \( v \) aşağıdaki gibi olur.
\( du = \dfrac{2\ln(2x)}{x}\ dx \)
\( v = x \)
Değişkenleri kısmi integral formülünde yerine koyalım.
\( \displaystyle\int {u\ dv} = u\ v - \displaystyle\int {v\ du} \)
\( \displaystyle\int \ln^2(2x)\ dx = \ln^2(2x) \cdot x - \displaystyle\int x \cdot \dfrac{2\ln(2x)}{x}\ dx \)
\( = x\ln^2(2x) - 2\displaystyle\int \ln(2x)\ dx \)
Son terimin integralini almak için tekrar kısmi integral alma yöntemini kullanalım.
\( u \) ve \( dv \) ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.
\( u = \ln(2x) \)
\( dv = dx \)
Buna göre \( du \) ve \( v \) aşağıdaki gibi olur.
\( du = \dfrac{1}{x}\ dx \)
\( v = x \)
Değişkenleri kısmi integral formülünde yerine koyalım.
\( \displaystyle\int \ln(2x)\ dx = \ln(2x) \cdot x - \displaystyle\int x \cdot \dfrac{1}{x}\ dx \)
\( = x\ln(2x) - \displaystyle\int \ dx \)
Son terimin integralini alalım.
\( = x\ln(2x) - x + C \)
Bulduğumuz sonucu ilk kısmi integral sonucunda yerine koyalım.
\( = x\ln^2(2x) - 2(x\ln(2x) - x + C) \)
\( = x\ln^2(2x) - 2x\ln(2x) + 2x + C \)
\( \displaystyle\int_e^{e^2} 3x^2\ln{x}\ dx \) integralinin sonucu kaçtır?
Çözümü Gösterİfadenin integralini almak için kısmi integral alma yöntemini kullanalım.
\( u \) ve \( dv \) ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.
\( u = \ln{x} \)
\( dv = 3x^2\ dx \)
Buna göre \( du \) ve \( v \) aşağıdaki gibi olur.
\( du = \dfrac{1}{x}\ dx \)
\( v = x^3 \)
Değişkenleri kısmi integral formülünde yerine koyalım.
\( \displaystyle\int_a^b {u\ dv} = u\ v|_a^b - \displaystyle\int_a^b {v\ du} \)
\( \displaystyle\int_e^{e^2} 3x^2\ln{x}\ dx = (x^3\ln{x})|_e^{e^2} - \displaystyle\int_e^{e^2} x^3 \cdot \dfrac{1}{x}\ dx \)
\( = (x^3\ln{x})|_e^{e^2} - \displaystyle\int_e^{e^2} x^2\ dx \)
Son terimin integralini alalım.
\( = (x^3\ln{x})|_e^{e^2} - \dfrac{x^3}{3}|_e^{e^2} \)
Sınır değerlerini yerine koyarak belirli integral değerini bulalım.
\( = (e^6\ln{e^2} - e^3\ln{e}) - (\dfrac{e^6}{3} - \dfrac{e^3}{3}) \)
\( = (e^{6} \cdot 2\ln{e} - e^3\ln{e}) - ( \dfrac{e^6 - e^3}{3}) \)
\( \ln{e} = 1 \) olur.
\( = (2e^6 - e^3) - ( \dfrac{e^6 - e^3}{3}) \)
\( = \dfrac{5e^6 - 2e^3}{3} \)
\( = \dfrac{e^3(5e^3 - 2)}{3} \) bulunur.
\( \displaystyle\int_0^{\ln{10}} (2x + 3)e^x\ dx \) integralinin sonucu kaçtır?
Çözümü Gösterİfadenin integralini almak için kısmi integral alma yöntemini kullanalım.
\( u \) ve \( dv \) ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.
\( u = 2x + 3 \)
\( dv = e^x\ dx \)
Buna göre \( du \) ve \( v \) aşağıdaki gibi olur.
\( du = 2\ dx \)
\( v = e^x \)
Değişkenleri kısmi integral formülünde yerine koyalım.
\( \displaystyle\int_a^b {u\ dv} = u\ v|_a^b - \displaystyle\int_a^b {v\ du} \)
\( \displaystyle\int_0^{\ln{10}} (2x + 3)e^x\ dx = ((2x + 3)e^x)|_0^{\ln{10}} - \displaystyle\int_0^{\ln{10}} 2e^x\ dx \)
Son terimin integralini alalım.
\( = ((2x + 3)e^x)|_0^{\ln{10}} - (2e^x)|_0^{\ln{10}} \)
Sınır değerlerini yerine koyarak belirli integral değerini bulalım.
\( = (2\ln{10} + 3)e^{\ln{10}} - (2(0) + 3)e^0 - (2e^{\ln{10}} - 2e^0) \)
\( e^{\ln{10}} = 10 \) olur.
\( = (2\ln{10} + 3)10 - 3 - (2(10) - 2) \)
\( = 20\ln{10} + 9 \) bulunur.
\( \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} 2x\cos(2x)\ dx \) integralinin sonucu kaçtır?
Çözümü Gösterİfadenin integralini almak için kısmi integral alma yöntemini kullanalım.
\( u \) ve \( dv \) ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.
\( u = 2x \)
\( dv = \cos(2x)\ dx \)
Buna göre \( du \) ve \( v \) aşağıdaki gibi olur.
\( du = 2\ dx \)
\( v = \dfrac{\sin(2x)}{2} \)
Değişkenleri kısmi integral formülünde yerine koyalım.
\( \displaystyle\int_a^b {u\ dv} = u\ v|_a^b - \displaystyle\int_a^b {v\ du} \)
\( \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} 2x\cos(2x)\ dx = \dfrac{2x\sin(2x)}{2}|_0^{\frac{\pi}{2}} - \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{2\sin(2x)}{2}\ dx \)
\( = x\sin(2x)|_0^{\frac{\pi}{2}} - \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(2x)\ dx \)
Son terimin integralini alalım.
\( = x\sin(2x)|_0^{\frac{\pi}{2}} + \dfrac{\cos(2x)}{2}|_0^{\frac{\pi}{2}} \)
Sınır değerlerini yerine koyarak belirli integral değerini bulalım.
\( = \dfrac{\pi}{2}\sin{\pi} - (0)\sin{0} + (\dfrac{\cos{\pi}}{2} - \dfrac{\cos{0}}{2}) \)
\( = 0 - 0 + (-\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}) \)
\( = -1 \) bulunur.
\( f(1) = 3, \quad f'(1) = 4 \)
\( f(2) = 1, \quad f'(2) = 2 \) olduğuna göre,
\( \displaystyle\int_1^2 xf''(x)\ dx \) integralinin değeri kaçtır?
Çözümü Gösterİfadenin integralini almak için kısmi integral alma yöntemini kullanalım.
\( u \) ve \( dv \) ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.
\( u = x, \quad dv = f''(x)\ dx \)
Buna göre \( du \) ve \( v \) aşağıdaki gibi olur.
\( du = dx, \quad v = f'(x) \)
Değişkenleri kısmi integral formülünde yerine koyalım.
\( \displaystyle\int_a^b {u\ dv} = u\ v|_a^b - \displaystyle\int_a^b {v\ du} \)
\( \displaystyle\int_1^2 xf''(x)\ dx = (xf'(x))|_1^2 - \displaystyle\int_1^2 f'(x)\ dx \)
Son terimin integralini alalım.
\( = (xf'(x))|_1^2 - f(x)|_1^2 \)
Sınır değerlerini yerine koyarak belirli integral değerini bulalım.
\( = (2f'(2) - 1f'(1)) - (f(2) - f(1)) \)
Soruda verilen değerleri yerine koyalım.
\( = (2(2) - 1(4)) - (1 - 3) \)
\( = 2 \) bulunur.
\( \displaystyle\int 2x\csc^2{x}\ dx \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Gösterİfadenin integralini almak için kısmi integral alma yöntemini kullanalım.
\( u \) ve \( dv \) ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.
\( u = 2x \)
\( dv = \csc^2{x}\ dx \)
Buna göre \( du \) ve \( v \) aşağıdaki gibi olur.
\( du = 2\ dx \)
\( v = -\cot{x} \)
Değişkenleri kısmi integral formülünde yerine koyalım.
\( \displaystyle\int {u\ dv} = u\ v - \displaystyle\int {v\ du} \)
\( \displaystyle\int 2x\csc^2{x}\ dx = -2x\cot{x} - \displaystyle\int -2\cot{x}\ dx \)
Son terimin integralini alalım.
\( = -2x\cot{x} + 2\ln{\abs{\sin{x}}} + C \)
\( \displaystyle\int 2x\sin^2{x}\ dx \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü GösterKosinüs iki kat açı formülünü kullanalım.
\( \cos(2x) = 1 - 2\sin^2{x} \)
\( \sin^2{x} = \dfrac{1 - \cos(2x)}{2} \)
\( \displaystyle\int 2x\sin^2{x}\ dx = \displaystyle\int \dfrac{2x(1 - \cos(2x))}{2}\ dx \)
\( = \displaystyle\int (x - x\cos(2x))\ dx \)
\( = \displaystyle\int x\ dx - \displaystyle\int x\cos(2x)\ dx \)
\( = \dfrac{x^2}{2} + C - \displaystyle\int x\cos(2x)\ dx \)
Son terimdeki integrali bulmak için kısmi integral alma yöntemini kullanalım.
\( u \) ve \( dv \) ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.
\( u = x \)
\( dv = \cos(2x)\ dx \)
Buna göre \( du \) ve \( v \) aşağıdaki gibi olur.
\( du = 1\ dx \)
\( v = \dfrac{\sin(2x)}{2} \)
Değişkenleri kısmi integral formülünde yerine koyalım.
\( \displaystyle\int {u\ dv} = u\ v - \displaystyle\int {v\ du} \)
\( \displaystyle\int x\cos(2x)\ dx = \dfrac{x\sin(2x)}{2} - \displaystyle\int \dfrac{\sin(2x)}{2}\ dx \)
Son terimin integralini alalım.
\( = \dfrac{x\sin(2x)}{2} + \dfrac{\cos(2x)}{4} + C \)
Bulduğumuz sonucu ilk kısmi integral sonucunda yerine koyalım.
\( \displaystyle\int 2x\sin^2{x}\ dx = \dfrac{x^2}{2} - (\dfrac{x\sin(2x)}{2} + \dfrac{\cos(2x)}{4}) + C \)
\( = \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x\sin(2x)}{2} - \dfrac{\cos(2x)}{4} + C \)
\( \displaystyle\int \arctan{x}\ dx \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Gösterİfadenin integralini almak için kısmi integral alma yöntemini kullanalım.
\( u \) ve \( dv \) ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.
\( u = \arctan{x} \)
\( dv = dx \)
Buna göre \( du \) ve \( v \) aşağıdaki gibi olur.
\( du = \dfrac{1}{1 + x^2}\ dx \)
\( v = x \)
Değişkenleri kısmi integral formülünde yerine koyalım.
\( \displaystyle\int {u\ dv} = u\ v - \displaystyle\int {v\ du} \)
\( \displaystyle\int \arctan{x}\ dx = x\arctan{x} - \displaystyle\int \dfrac{x}{1 + x^2}\ dx \)
Son terimdeki integrali bulmak için aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
\( t = 1 + x^2 \)
\( dt = 2x\ dx \)
\( \Longrightarrow x\ dx = \dfrac{1}{2}\ dt \)
\( x \) değişkenlerinin \( t \) karşılıklarını yazalım.
\( = x\arctan{x} - \displaystyle\int \dfrac{dt}{2t} \)
İfadenin integralini alalım.
\( = x\arctan{x} - \dfrac{1}{2}\ln{\abs{t}} + C \)
\( t \) değişkenlerinin \( x \) karşılıklarını yazalım.
\( = x\arctan{x} - \dfrac{1}{2}\ln{\abs{1 + x^2}} + C \)
\( 1 + x^2 \) ifadesi her zaman pozitiftir.
\( = x\arctan{x} - \dfrac{1}{2}\ln(1 + x^2) + C \)
\( \displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{xe^x}{(x + 1)^2}dx \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Gösterİfadenin integralini almak için kısmi integral alma yöntemini kullanalım.
\( u \) ve \( dv \) ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.
\( u = xe^x \)
\( dv = \dfrac{1}{(x + 1)^2}\ dx \)
Buna göre \( du \) ve \( v \) aşağıdaki gibi olur.
\( du = (e^x + xe^x)\ dx = (x + 1)e^x\ dx \)
\( v = -\dfrac{1}{x + 1} \)
Değişkenleri kısmi integral formülünde yerine koyalım.
\( \displaystyle\int_a^b {u\ dv} = u\ v|_a^b - \displaystyle\int_a^b {v\ du} \)
\( \displaystyle\int_0^1 \dfrac{xe^x}{(x + 1)^2}\ dx \)
\( = (-\dfrac{xe^x}{x + 1})|_0^1 - \displaystyle\int_0^1 -\dfrac{1}{x + 1} \cdot (x + 1) \cdot e^x\ dx \)
\( = (-\dfrac{xe^x}{x + 1})|_0^1 + \displaystyle\int_0^1 e^x\ dx \)
\( = (-\dfrac{xe^x}{x + 1})|_0^1 + e^x|_0^1 \)
Sınır değerlerini yerine koyarak belirli integral değerini bulalım.
\( = [-\dfrac{1e^1}{1 + 1} + \dfrac{0e^0}{1 + 0}] + [e^1 - e^0] \)
\( = -\dfrac{e}{2} + 0 + e - 1 \)
\( = \dfrac{e}{2} - 1 \) bulunur.
\( \displaystyle\int \dfrac{2x\sin{x}}{\cos^3{x}}\ dx \) ifadesinin integrali nedir?
Çözümü Gösterİfadenin integralini almak için kısmi integral alma yöntemini kullanalım.
\( u \) ve \( dv \) ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.
\( u = x, \quad dv = \dfrac{2\sin{x}}{\cos^3{x}}\ dx \)
Buna göre \( du \) ve \( v \) aşağıdaki gibi olur.
\( du = \ dx, \quad v = \dfrac{1}{\cos^2{x}} \)
Değişkenleri kısmi integral formülünde yerine koyalım.
\( \displaystyle\int {u\ dv} = u\ v - \displaystyle\int {v\ du} \)
\( \displaystyle\int \dfrac{2x\sin{x}}{\cos^3{x}}\ dx = \dfrac{x}{\cos^2{x}} \) \( - \displaystyle\int \dfrac{1}{\cos^2{x}}\ dx \)
Son terimin integralini alalım.
\( = \dfrac{x}{\cos^2{x}} \) \( - \displaystyle\int {\sec^2{x}}\ dx \)
\( = \dfrac{x}{\cos^2{x}} - \tan{x} + C \)
\( \displaystyle\int \sin(\sqrt{x})\cos(\sqrt{x})\ dx \) ifadesinin integrali nedir?
Çözümü Göster\( \displaystyle\int \sin(\sqrt{x})\cos(\sqrt{x})\ dx \)
Sinüs iki kat açı formülünü kullanalım.
\( = \displaystyle\int \dfrac{\sin(2\sqrt{x})}{2}\ dx \)
Değişken değiştirme uygulayalım.
\( t = \sqrt{x} \)
Her iki tarafın diferansiyelini alalım.
\( dt = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\ dx \)
\( 2t\ dt = dx \)
İntegral ifadesini \( t \) cinsinden yazalım.
\( = \displaystyle\int t\sin(2t)\ dt \)
Bu ifadenin integralini almak için kısmi integral yöntemini kullanalım.
\( u \) ve \( dv \) ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.
\( u = t, \quad dv = \sin(2t)\ dt \)
Buna göre \( du \) ve \( v \) aşağıdaki gibi olur.
\( du = dt, \quad v = -\dfrac{\cos(2t)}{2} \)
Değişkenleri kısmi integral formülünde yerine koyalım.
\( \displaystyle\int {u\ dv} = u\ v - \displaystyle\int {v\ du} \)
\( \displaystyle\int {t\sin(2t)\ dt} \) \( = -\dfrac{t\cos(2t)}{2} - \displaystyle\int {-\dfrac{\cos(2t)}{2}\ dt} \)
Son terimin integralini alalım.
\( = -\dfrac{t\cos(2t)}{2} + \dfrac{\sin(2t)}{4} + C \)
İfadede \( t = \sqrt{x} \) yazdığımızda verilen ifadenin integralini bulmuş oluruz.
\( = -\dfrac{\sqrt{x}\cos(2\sqrt{x})}{2} + \dfrac{\sin(2\sqrt{x})}{4} + C \)
\( \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{x}{\cos^2{x}} \ dx \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Gösterİfadenin integralini almak için kısmi integral alma yöntemini kullanalım.
\( u \) ve \( dv \) ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.
\( u = x \)
\( dv = \dfrac{1}{\cos^2{x}}\ dx = \sec^2{x}\ dx \)
Buna göre \( du \) ve \( v \) aşağıdaki gibi olur.
\( du = dx \)
\( v = \tan{x} \)
Değişkenleri kısmı integral formülünde yerine koyalım.
\( \displaystyle\int {u\ dv} = u\ v - \displaystyle\int {v\ du} \)
\( \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}} {\dfrac{x}{\cos^2{x}}}\ dx = (x\tan{x})|_0^{\frac{\pi}{4}} - \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}} {\tan{x}}\ dx \)
\( = (\dfrac{\pi}{4}\tan{\frac{\pi}{4}} - (0)\tan{0}) - \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}} {\tan{x}}\ dx \)
\( = \dfrac{\pi}{4} - \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}} {\tan{x}}\ dx \)
Son terimin integralini alalım.
\( = \dfrac{\pi}{4} - (\ln{\abs{\sec{x}}})|_0^{\frac{\pi}{4}} \)
\( = \dfrac{\pi}{4} - (\ln{\abs{\sec{\frac{\pi}{4}}}} - \ln{\abs{\sec{0}}}) \)
\( = \dfrac{\pi}{4} - (\ln{\sqrt{2}} - \ln{1}) \)
\( = \dfrac{\pi}{4} - (\ln{2^{\frac{1}{2}}} - 0) \)
\( = \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\ln{2}}{2} \)
\( = \dfrac{\pi - 2\ln{2}}{4} \) bulunur.
\( \displaystyle\int {\tan^2{x}\sec{x}\ dx} \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü GösterPisagor özdeşliği ile \( \tan^2{x} \) ifadesini \( \sec^2{x} \) cinsinden yazalım.
\( \tan^2{x} = \sec^2{x} - 1 \)
\( = \displaystyle\int {(\sec^2{x} - 1)\sec{x}\ dx} \)
\( = \displaystyle\int (\sec^3{x} - \sec{x})\ dx \)
\( = \displaystyle\int {\sec^3{x}\ dx} - \displaystyle\int {\sec{x}\ dx} \)
İkinci terimin integralini alalım.
\( = \displaystyle\int {\sec^3{x}\ dx} - \ln{\abs{\sec{x} + \tan{x}}} + C \)
Birinci terime \( I \) diyelim.
\( I = \displaystyle\int {\sec^3{x}\ dx} \)
Sekant fonksiyonunun bir kuvvetini ayıralım.
\( = \displaystyle\int {\sec{x}\sec^2{x}\ dx} \)
İfadenin integralini almak için kısmi integral alma yöntemini kullanalım.
\( u \) ve \( dv \) ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.
\( u = \sec{x} \)
\( dv = \sec^2{x}\ dx \)
Buna göre \( du \) ve \( v \) aşağıdaki gibi olur.
\( du = \sec{x}\tan{x}\ dx \)
\( v = \tan{x} \)
Değişkenleri kısmi integral formülünde yerine koyalım.
\( = \sec{x}\tan{x} - \displaystyle\int {\tan{x}\sec{x}\tan{x}\ dx} \)
\( = \sec{x}\tan{x} - \displaystyle\int {\tan^2{x}\sec{x}\ dx} \)
Bu ifadeyi soruda değeri istenen ifadede yerine koyalım.
\( \displaystyle\int {\tan^2{x}\sec{x}\ dx} = I - \ln{\abs{\sec{x} + \tan{x}}} + C \)
Bulduğumuz \( I \) değerini yazalım.
\( \displaystyle\int {\tan^2{x}\sec{x}\ dx} = \sec{x}\tan{x} - \displaystyle\int {\tan^2{x}\sec{x}\ dx} - \ln{\abs{\sec{x} + \tan{x}}} + C \)
İkinci terim soruda değeri istenen ifadeye eşittir.
\( 2\displaystyle\int {\tan^2{x}\sec{x}\ dx} = \sec{x}\tan{x} - \ln{\abs{\sec{x} + \tan{x}}} + C \)
Eşitliğin her iki tarafını 2'ye bölelim.
\( \displaystyle\int {\tan^2{x}\sec{x}\ dx} = \dfrac{1}{2}\sec{x}\tan{x} - \dfrac{1}{2}\ln{\abs{\tan{x} + \sec{x}}} + C \)
\( \displaystyle\int {(2x + e^x)^2\ dx} \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Göster\( \displaystyle\int {(2x + e^x)^2\ dx} \)
Üslü ifadenin açılımını yazalım.
\( = \displaystyle\int (4x^2 + 4xe^x + e^{2x})\ dx \)
Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.
\( = \dfrac{4x^3}{3} + \underbrace{\displaystyle\int {4xe^x\ dx}}_{I} + \dfrac{e^{2x}}{2} + C \)
\( I \) integralini hesaplayalım.
\( I = \displaystyle\int {4xe^x\ dx} \)
İfadenin integralini almak için kısmi integral alma yöntemini kullanalım.
\( u \) ve \( dv \) ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.
\( u = 4x \)
\( dv = e^x\ dx \)
Buna göre \( du \) ve \( v \) aşağıdaki gibi olur.
\( du = 4\ dx \)
\( v = e^x \)
Değişkenleri kısmi integral formülünde yerine koyalım.
\( \displaystyle\int {u\ dv} = u\ v - \displaystyle\int {v\ du} \)
\( \displaystyle\int {4xe^x\ dx} = 4xe^x - \displaystyle\int {e^x4\ dx} \)
Son terimin integralini alalım.
\( = 4xe^x - 4e^x + C \)
\( I \) ifadesini yerine yazarak istenen integrali bulalım.
\( \dfrac{4x^3}{3} + \underbrace{\displaystyle\int {4xe^x\ dx}}_\text{I} + \dfrac{e^{2x}}{2} + C \)
\( = \dfrac{4x^3}{3} + 4xe^x - 4e^x + \dfrac{e^{2x}}{2} + C \)
\( \displaystyle\int_0^2 {e^{\sqrt{4x + 1}}\ dx} \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü GösterAşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
\( t = \sqrt{4x + 1} \)
\( dt = \dfrac{2\ dx}{\sqrt{4x + 1}} \)
\( \Longrightarrow dx = \dfrac{\sqrt{4x + 1}\ dt}{2} \)
\( \Longrightarrow dx = \dfrac{t\ dt}{2} \)
Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.
\( \displaystyle\int_{x=0}^{x=2} {e^t \cdot\ \dfrac{t\ dt}{2}} \)
\( = \dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{x=0}^{x=2} {te^t\ dt} \)
Belirli integralin \( t \) için sınır değerlerini bulalım.
\( t(0) = \sqrt{4 \cdot 0 + 1} = 1 \)
\( t(2) = \sqrt{4 \cdot 2 + 1} = 3 \)
\( = \dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{t=1}^{t=3} {te^t\ dt} \)
İfadenin integralini almak için kısmi integral alma yöntemini kullanalım.
\( u \) ve \( dv \) ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.
\( u = t \)
\( dv = \ e^t\ dt \)
Buna göre \( du \) ve \( v \) aşağıdaki gibi olur.
\( du = \ dt \)
\( v = e^t \)
Değişkenleri kısmi integral formülünde yerine koyalım.
\( \displaystyle\int_a^b {u\ dv} = uv - \displaystyle\int_a^b {v\ du} \)
\( = \dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{1}^{3} {te^t\ dt} = \dfrac{1}{2}(te^t)|_1^3 - \dfrac{1}{2}\displaystyle\int_1^3 {e^t\ dt} \)
\( = \dfrac{3e^3 - e}{2} - \dfrac{1}{2}(e^t)|_1^3 \)
\( = \dfrac{3e^3 - e}{2} - \dfrac{e^3 - e}{2} \)
\( = \dfrac{3e^3 - e - e^3 + e}{2} \)
\( = e^3 \) bulunur.