Kısmi İntegral Alma Yöntemi

Kısmi integral alma yöntemi, iki ya da daha fazla ifadenin çarpımı şeklinde yazabildiğimiz fonksiyonların integralini bulmada kullanılır. Bu yöntemde amaç integrali kolay alınamayan bir ifadeyi integrali kolay alınabilecek bir ifadeye dönüştürmektir.

Kısmi integral alma yöntemi türevde gördüğümüz çarpma kuralına dayanır.

İki fonksiyon arasındaki türev çarpma kuralını yazalım.

Tarafların integralini alalım.

İntegral türevin ters işlemi olduğu için eşitliğin sol tarafı sadeleşir.

Buna göre, integrali kolay bir şekilde alınamayan bir ifadeyi kırmızı ifadeye benzetebiliyorsak ve bu doğrultuda (birinci çarpanın türevini ve ikinci çarpanın integralini alarak) oluşan mavi ifadenin integrali kolay bir şekilde alınabiliyorsa kırmızı ifadenin integralini aşağıdaki formülle, kırmızı ifade yerine mavi ifadenin integralini alarak bulabiliriz.

Yöntemin Adımları

Kısmi integral alma yönteminin adımlarını bir örnek üzerinden inceleyelim.

Aşağıdaki integral işleminin sonucunu bulalım.

Adım 1: İfadeyi oluşturan iki fonksiyon belirlenir.

İşlemde çarpımı alınan ifadeler ve fonksiyonlarıdır.

Adım 2: Fonksiyonlardan hangisinin , hangisinin olacağına karar verilir.

Bu kararı verirken amacımız, fonksiyonunun türevini, fonksiyonunun integralini aldığımızda elde edeceğimiz ifadesini integrali kolay alınabilir bir forma getirmek ve ifadesi yerine bu ifadenin integralini almaktır.

ve seçimini aşağıdaki gibi yapalım.

Adım 3: fonksiyonunun türevi alınarak fonksiyonu, fonksiyonunun integrali alınarak fonksiyonu bulunur.

ve fonksiyonlarını bulalım.

Bu yöntemin son adımında integral sabitini ekleyeceğimiz için bu adımda fonksiyonunun sonuna integral sabitini eklemiyoruz.

Adım 4: Tüm fonksiyonlar kısmi integral formülünde yerine konur ve integral işlemi yapılır.

Görebileceğimiz gibi, bir integral işleminin sonucunu diğer bir ifadenin integralini alarak bulmuş olduk.

Fonksiyonların Seçim Kriteri

Fonksiyonlardan hangisinin , hangisinin olarak seçileceği değerlendirilirken kullanılabilecek öncelik sırası aşağıdaki gibidir. Buna göre listede daha üstte olan fonksiyonlar , daha altta olan fonksiyonlar ise olmaya daha uygun fonksiyonlardır. Bu listenin bir öneri olup her zaman doğru sonuç vermeyebileceği akılda tutulmalıdır.

Logaritma fonksiyonları ()
Ters trigonometrik fonksiyonlar
Kuvvet fonksiyonları ()
Trigonometrik fonksiyonlar
Üstel fonksiyonlar ()

Kısmi integral alma yöntemi formülünü aşağıdaki gibi daha sade şekilde de ifade edebiliriz.

İSPATI GÖSTER

Yukarıdaki formüle aşağıdaki değişken değiştirmeleri uygulayalım.

Bu değişkenleri formülde yerine koyalım.

İspatta hata bildirin

Kısmi integral alma yöntemini kullanabileceğimiz birkaç örnek yapalım.

ÖRNEK 1:

ifadesinin integralini bulalım.

ve ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.

Buna göre ve aşağıdaki gibi olur.

Değişkenleri kısmi integral formülünde yerine koyalım.

Son terimin integralini alalım.

ÖRNEK 2:

ifadesinin integralini bulalım.

ve ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.

Buna göre ve aşağıdaki gibi olur.

Değişkenleri kısmi integral formülünde yerine koyalım.

Son terimin integralini alalım.

Belirli İntegralde Kısmi İntegral Alma

Kısmi integral alma yöntemi belirli integrale aşağıdaki şekilde uygulanabilir.

Kısmi integral alma yöntemini belirli integrale uygulayacağımız bir örnek yapalım.

ÖRNEK 3:

ifadesinin değerini bulalım.

ifadesinin belirsiz integralini aşağıdaki şekilde bulmuştuk.

Bu formülü belirli integrale aşağıdaki şekilde uyarlayabiliriz.

Tekrarlı Kısmi İntegral Alma

Bazı ifadelere kısmi integral alma yöntemi birden fazla kez uygulanarak ifadenin integrali alınabilir.

Derece İndirgeme

şeklinde bir çarpan içeren aşağıdaki formdaki ifadelere kısmi integral yöntemi her uygulandığında 'in derecesi bir eksilir ve yöntem toplam kez uygulandığında çarpanı tamamen kaybolur ve diğer çarpanın integrali alınır.

Yöntemin bu formdaki ifadelere uygulanmasına bir örnek verelim.

ÖRNEK 4:

ifadesinin integralini bulalım.

ve ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.

Buna göre ve aşağıdaki gibi olur.

Değişkenleri kısmi integral formülünde yerine koyalım.

İntegralini almamız gereken kırmızı ifadede 'in derecesi bir eksilmiş olsa da hala integralini alabileceğimiz bir formda değildir. Aynı yöntemi tekrar uygulayarak ifadeyi daha da sadeleştirebiliriz.

Bu ifadenin yukarıda yine kısmi integral alma yöntemiyle bulduğumuz integralini kullanalım.

İntegral sabitini de eklediğimizde aşağıdaki sonucu elde ederiz.

Tekrarla Aynı İfadeyi Elde Etme

Aşağıdaki formdaki diğer bazı ifadelere kısmi integral alma yöntemi tekrarlı uygulandığında ifade integrali alınabilir bir forma gelmez, ancak ikinci uygulamada cevabı aranan integral ifadesi tekrar elde edilir ve bu şekilde ifadenin integralini almaya gerek kalmadan ifade yalnız bırakılarak sonuç bulunur.

Yöntemin bu tip ifadelere uygulanmasına bir örnek verelim.

ÖRNEK 5:

ifadesinin integralini bulalım.

ve ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.

Buna göre ve aşağıdaki gibi olur.

Değişkenleri kısmi integral formülünde yerine koyalım.

İntegralini almamız gereken kırmızı ifade hala integralini alabileceğimiz bir formda değildir. Aynı yöntemi kırmızı ifadeye tekrar uygulayalım.

ve ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.

Buna göre ve aşağıdaki gibi olur.

Değişkenleri kısmi integral formülünde yerine koyalım.

İntegralini bulmak istediğimiz orijinal ifade için elde ettiğimiz tüm formülü yazalım.

İntegralini bulmak istediğimiz ifadenin eşitliğin her iki tarafında da bulunduğunu görebiliriz. Bu iki ifadeyi tek tarafta toplayalım.

Tarafları ikiye böldüğümüzde istediğimiz sonucu integral işlemine gerek kalmadan buluruz.

Birden Fazla Yöntemle İntegral

Bazı ifadelerin integrali kısmi integral alma yöntemi ile birlikte diğer yöntemlerle de bulunabilir, ancak farklı yöntemlerle alınan integraller farklı sonuç verebilir. Bu bölümde bu farklı sonuçların aslında eşit olduklarını ve birbirlerinden sadece integral sabiti kadar farklılaşabileceklerini göstereceğiz.

Önce bir örnek fonksiyonun integralini kısmi integral alma yöntemi ile bulalım.

ÖRNEK 6:

ifadesinin integralini kısmi integral alma yöntemi ile bulalım.

ve ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.

Buna göre ve aşağıdaki gibi olur.

Değişkenleri kısmi integral formülünde yerine koyalım.

Son terimin integralini alalım.

Şimdi aynı fonksiyonun integralini değişken değiştirme yöntemi ile bulalım.

ÖRNEK 7:

ifadesinin integralini değişken değiştirme yöntemi ile bulalım.

İfadeye aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.

İfadenin integralini alalım.

değişkeni yerine yazalım.

Bulduğumuz iki sonuç farklı gözükseler de birbirine eşit olduklarını gösterelim.

İlk yöntemle bulduğumuz sonucu parantezine alalım.

İkinci yöntemle bulduğumuz sonucu da parantezine alalım.

Her ne kadar bu örnekte birebir aynı iki sonucu elde etmiş olsak da, farklı örneklerde bulacağımız sonuçlar sabit bir terim (integral sabiti) kadar birbirinden farklı çıkabilir.

Üç Çarpanlı Fonksiyonlar

Türev çarpma kuralının üç fonksiyonun çarpımına aşağıdaki şekilde uygulanabileceğini görmüştük.

Üç fonksiyon arasındaki türev çarpma kuralını yazalım.

Tarafların integralini alalım.

İntegral türevin ters işlemi olduğu için eşitliğin sol tarafı sadeleşir.

Buna göre, integrali kolay bir şekilde alınamayan üç çarpanlı bir ifadeyi kırmızı ifadeye benzetebiliyorsak ve bu doğrultuda oluşan mavi ifadelerin integrali kolay bir şekilde alınabiliyorsa kırmızı ifadenin integralini aşağıdaki formülle, kırmızı ifade yerine mavi ifadelerin integralini alarak bulabiliriz.

SORU 1 :

integralinin sonucu nedir?