Üstel ve Logaritmik Fonksiyonların İntegrali
İntegrali üstel fonksiyonlar olan ifadeler aşağıdaki gibidir.
\( a \gt 0, \quad a \ne 1 \) olmak üzere,
\( \displaystyle\int {e^x\ dx} = e^x + C \)
\( \displaystyle\int {a^x\ dx} = \dfrac{a^x}{\ln{a}} + C \)
\( \displaystyle\int {3e^{2x}\ dx} = \dfrac{3}{2}e^{2x} + C \)
İntegrali logaritma fonksiyonu olan ifadeler aşağıdaki gibidir.
\( a \gt 0, \quad a \ne 1 \) olmak üzere,
\( \displaystyle\int {\ln{x}\ dx} = x\ln{x} - x + C \)
\( \displaystyle\int {\log_a{x}\ dx} = x\log_a{x} - \dfrac{x}{\ln{a}} + C \)
\( \displaystyle\int {\ln(3x)\ dx} = x\ln(3x) - x + C \)
\( \displaystyle\int {3\log_2(5x)\ dx} = 3x\log_2(5x) \) \( - \dfrac{3x}{\ln{2}} + C \)
İSPATI GÖSTER
İfadenin integralini almak için kısmi integral alma yöntemini kullanalım.
\( u \) ve \( dv \) ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.
\( u = \ln{x}, \quad dv = dx \)
Buna göre \( du \) ve \( v \) aşağıdaki gibi olur.
\( du = \dfrac{1}{x}\ dx, \quad v = x \)
Değişkenleri kısmi integral formülünde yerine koyalım.
\( \displaystyle\int {u\ dv} = u\ v - \displaystyle\int {v\ du} \)
\( \displaystyle\int {\ln{x}\ dx} = x\ln{x} - \displaystyle\int {x\dfrac{1}{x}\ dx} \)
\( \displaystyle\int {\ln{x}\ dx} = x\ln{x} - \displaystyle\int {dx} \)
Son terimin integralini alalım.
\( = x\ln{x} - x + C \)
Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
(a) \( \displaystyle\int (\dfrac{4}{3x} + \dfrac{2}{5x - 1})\ dx \)
(b) \( \displaystyle\int (\dfrac{4}{3x - 1} - \dfrac{2}{(1 - x)^2})\ dx \)
(c) \( \displaystyle\int (\dfrac{2}{1 - 4x} + \dfrac{12}{(1 + 5x)^3})\ dx \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( \displaystyle\int (\dfrac{4}{3x} + \dfrac{2}{5x - 1})\ dx \)
Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.
\( = \dfrac{4}{3}\ln{\abs{x}} + \dfrac{2}{5}\ln{\abs{5x - 1}} + C \)
(b) seçeneği:
\( \displaystyle\int (\dfrac{4}{3x - 1} - \dfrac{2}{(1 - x)^2})\ dx \)
Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.
\( = \dfrac{4}{3}\ln{\abs{3x - 1}} - \dfrac{2}{1 - x} + C \)
(c) seçeneği:
\( \displaystyle\int (\dfrac{2}{1 - 4x} + \dfrac{12}{(1 + 5x)^3})\ dx \)
Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.
\( = \dfrac{2}{-4}\ln{\abs{1 - 4x}} + \dfrac{12}{-2 \cdot 5 \cdot (1 + 5x)^2} + C \)
\( = -\dfrac{1}{2}\ln{\abs{1 - 4x}} - \dfrac{6}{5(1 + 5x)^2} + C \)
\( \displaystyle\int {3x^2\ e^5\ dx} \) integralinin sonucunu bulunuz.
Çözümü Göster\( e^5 \) ifadesi sabittir.
\( \displaystyle\int {3x^2\ e^5\ dx} = 3e^5\displaystyle\int {x^2\ dx} \)
İfadenin integralini alalım.
\( = 3e^5 \cdot \dfrac{x^3}{3} + C \)
\( = e^5\ x^3 + C \)
\( \displaystyle\int (2e^{5x} + 3e^{7x})\ dx \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü GösterTerimlerin ayrı ayrı integralini alalım.
\( \dfrac{2e^{5x}}{5} + \dfrac{3e^{7x}}{7} + C \)
\( \displaystyle\int {2^{2x}\ 3^x\ dx} \) integralinin sonucunu bulunuz.
Çözümü Göster\( \displaystyle\int {2^{2x}\ 3^x\ dx} = \displaystyle\int {4^x\ 3^x\ dx} \)
\( = \displaystyle\int {12^x\ dx} \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \dfrac{12^x}{\ln{12}} + C \)
\( \displaystyle\int \dfrac{5^{x + 1} - 3^{x + 2}}{15^x}\ dx \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Gösterİfadeyi ayrı kesirlere ayıralım.
\( \displaystyle\int (\dfrac{5^{x + 1}}{15^x} - \dfrac{3^{x + 2}}{15^x})\ dx \)
İfadeyi düzenleyelim.
\( = \displaystyle\int (\dfrac{5 \cdot 5^x}{3^x \cdot 5^x} - \dfrac{9 \cdot 3^x}{3^x \cdot 5^x})\ dx \)
\( = \displaystyle\int (\dfrac{5}{3^x} - \dfrac{9}{5^x})\ dx \)
\( = \displaystyle\int (5 \cdot 3^{-x} - 9 \cdot 5^{-x})\ dx \)
Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.
\( = -\dfrac{5 \cdot 3^{-x}}{\ln{3}} + \dfrac{9 \cdot 5^{-x}}{\ln{5}} + C \)
\( = -\dfrac{5}{3^x \cdot \ln{3}} + \dfrac{9}{5^x \cdot \ln{5}} + C \)
\( \displaystyle\int_0^1 {e(e^{2x} - 3x)(e^{2x} + 3x)}\ dx \) integralinin değeri nedir?
Çözümü GösterParantez içindeki iki çarpan için kare farkı özdeşliğini kullanalım.
\( \displaystyle\int_0^1 {e(e^{4x} - 9x^2)}\ dx \)
\( e \)'yi parantez içine alalım.
\( = \displaystyle\int_0^1 (e^{4x+1} - 9ex^2)\ dx \)
İfadenin integralini alalım.
\( = (\dfrac{e^{4x+1}}{4} - 3ex^3)|_0^1 \)
\( = (\dfrac{e^{4(1)+1}}{4} - 3e(1)^3) - (\dfrac{e^{4(0)+1}}{4} - 3e(0)^3) \)
\( = (\dfrac{e^5}{4} - 3e) - (\dfrac{e}{4} - 0) \)
\( = \dfrac{e^5 - 13e}{4} \) bulunur.
\( \displaystyle\int {(2e^x + 4e^{-2x})^2\ dx} \) integralinin sonucunu bulunuz.
Çözümü GösterParantez karesi ifadesinin açılımını yazalım.
\( \displaystyle\int {(2e^x + 4e^{-2x})^2\ dx} = \displaystyle\int {((2e^x)^2 + 2(2e^x)(4e^{-2x}) + (4e^{-2x})^2)\ dx} \)
\( = \displaystyle\int {(4e^{2x} + 16e^{-x} + 16e^{-4x})\ dx} \)
Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.
\( = \dfrac{4e^{2x}}{2} + \dfrac{16e^{-x}}{-1} + \dfrac{16e^{-4x}}{-4} + C \)
\( = 2e^{2x} - 16e^{-x} - 4e^{-4x} + C \)
\( \displaystyle\int {\dfrac{15x}{3x + 1}\ dx} \) integralinin sonucunu bulunuz.
Çözümü GösterPaydaki ifadeyi paydadaki ifadenin bir katı şeklinde yazalım.
\( \displaystyle\int {\dfrac{15x}{3x + 1}\ dx} = \displaystyle\int {\dfrac{15x + 5 - 5}{3x + 1}\ dx} \)
\( = \displaystyle\int {\dfrac{5(3x + 1) - 5}{3x + 1}\ dx} \)
\( = \displaystyle\int (\dfrac{5(3x + 1)}{3x + 1} - \dfrac{5}{3x + 1})\ dx \)
\( = 5\displaystyle\int {dx} - 5\displaystyle\int {\dfrac{1}{3x + 1}\ dx} \)
Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.
\( = 5x - \dfrac{5}{3}\ln{\abs{3x + 1}} + C \)
\( \displaystyle\int {\dfrac{2e^{2x}}{e^{2x} + 5}\ dx} \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü GösterAşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
\( u = e^{2x} + 5 \)
\( du = 2e^{2x}\ dx \)
\( x \) değişkenlerinin \( u \) karşılıklarını yazalım.
\( \displaystyle\int {\dfrac{2e^{2x}}{e^{2x} + 5}\ dx} = \displaystyle\int {\dfrac{1}{u}\ du} \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \ln{\abs{u}} + C \)
\( u \) değişkenlerini tekrar \( x \) cinsinden yazalım.
\( = \ln{\abs{e^{2x} + 5}} + C \)
\( \displaystyle\int{\dfrac{1}{\log_{\sqrt[3]{x}}7}}\ dx \) integralinin eşitini bulunuz.
Çözümü GösterLogaritma ifadesini integralini daha kolay alabileceğimiz forma getirelim.
\( \dfrac{1}{\log_{\sqrt[3]{x}}{7}} = \dfrac{1}{\log_{x^{\frac{1}{3}}}{7}} \)
\( = \dfrac{1}{3\log_x{7}} \)
Bir logaritma ifadesinin çarpmaya göre tersi alındığında tabanı ve logaritma içi aralarında yer değiştirir.
\( = \dfrac{\log_7{x}}{3} \)
Bu ifadeyi verilen integral ifadesinde yerine koyalım.
\( \displaystyle\int{\dfrac{1}{\log_{\sqrt[3]{x}}7}}\ dx = \displaystyle\int{\dfrac{\log_7{x}}{3}}\ dx \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \dfrac{1}{3}(x\log_7{x} - \dfrac{x}{\ln{7}}) + C \)
\( = \dfrac{x\log_7{x}}{3} - \dfrac{x}{3\ln{7}} + C \)
\( \displaystyle\int {\dfrac{1}{\sin{x}\cos{x}}\ dx} \) integralinin sonucunu bulunuz.
Çözümü GösterPayda \( 1 = \sin^2{x} + \cos^2{x} \) özdeşliğini kullanalım.
\( \displaystyle\int {\dfrac{1}{\sin{x}\cos{x}}\ dx} = \displaystyle\int {\dfrac{\sin^2{x} + \cos^2{x}}{\sin{x}\cos{x}}\ dx} \)
\( = \displaystyle\int {\dfrac{\sin^2{x}}{\sin{x}\cos{x}}\ dx} + \displaystyle\int {\dfrac{\cos^2{x}}{\sin{x}\cos{x}}\ dx} \)
\( = \displaystyle\int {\dfrac{\sin{x}}{\cos{x}}\ dx} + \displaystyle\int {\dfrac{\cos{x}}{\sin{x}}\ dx} \)
Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.
\( = -\ln{\abs{\cos{x}}} + \ln{\abs{\sin{x}}} + C \)
\( = \ln{\abs{\sin{x}}} - \ln{\abs{\cos{x}}} + C \)
\( = \ln{\abs{\frac{\sin{x}}{\cos{x}}}} + C \)
\( \displaystyle\int {\dfrac{3^x}{3^x + 1}\ dx} \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü GösterAşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
\( u = 3^x + 1 \)
\( \Longrightarrow 3^x = u - 1 \)
\( du = 3^x\ln{3}\ dx \)
\( \Longrightarrow dx = \dfrac{du}{3^x\ln{3}} \)
\( \Longrightarrow dx = \dfrac{du}{(u - 1)\ln{3}} \)
\( x \) değişkenlerinin \( u \) karşılıklarını yazalım.
\( \displaystyle\int {\dfrac{3^x}{3^x + 1}\ dx} = \displaystyle\int {\dfrac{u - 1}{u} \cdot \dfrac{du}{(u - 1)\ln{3}}} \)
\( = \dfrac{1}{\ln{3}}\displaystyle\int {\dfrac{1}{u}\ du} \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \dfrac{\ln{\abs{u}}}{\ln{3}} + C \)
\( u \) değişkenlerini tekrar \( x \) cinsinden yazalım.
\( = \dfrac{\ln{\abs{3^x + 1}}}{\ln{3}} + C \)
\( \displaystyle\int {\dfrac{\ln{x^3}}{x}\ dx} \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü GösterLogaritma üs kuralını uygulayalım.
\( \displaystyle\int {\dfrac{\ln{x^3}}{x}\ dx} = \displaystyle\int {\dfrac{3\ln{x}}{x}\ dx} \)
\( = 3\displaystyle\int {\dfrac{\ln{x}}{x}\ dx} \)
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
\( u = \ln{x} \)
\( du = \dfrac{dx}{x} \)
\( x \) değişkenlerinin \( u \) karşılıklarını yazalım.
\( = 3\displaystyle\int {u\ du} \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \dfrac{3u^2}{2} + C \)
\( u \) değişkenlerini tekrar \( x \) cinsinden yazalım.
\( = \dfrac{3(\ln{x})^2}{2} + C \)
\( \displaystyle\int_{25}^{125} \dfrac{\log_x{5}}{x\ln{x}}\ dx \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Göster\( \log_x{5} \) ifadesine taban değiştirme uygulayalım.
\( \log_x{5} = \dfrac{\log_e{5}}{\log_e{x}} = \dfrac{\ln{5}}{\ln{x}} \)
\( \displaystyle\int_{25}^{125} \dfrac{\log_x{5}}{x\ln{x}}\ dx = \displaystyle\int_{25}^{125} \dfrac{\ln{5}}{x(\ln{x})^2}\ dx \)
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
\( u = \ln{x} \)
\( \Longrightarrow du = \dfrac{dx}{x} \)
\( u \) değişkeni için integralin sınır değerlerini bulalım.
\( u(25) = \ln{25} = \ln{5^2} = 2\ln{5} \)
\( u(125) = \ln{125} = \ln{5^3} = 3\ln{5} \)
\( x \) değişkenlerinin \( u \) karşılıklarını yazalım.
\( = \displaystyle\int_{2\ln{5}}^{3\ln{5}} \dfrac{\ln{5}}{u^2}\ du \)
İfadenin integralini alalım.
\( = (-\dfrac{\ln{5}}{u})|_{2\ln{5}}^{3\ln{5}} \)
\( = (-\dfrac{\ln{5}}{3\ln{5}} - (-\dfrac{\ln{5}}{2\ln{5}})) \)
\( = -\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{6} \) bulunur.
\( \displaystyle\int {e^{x + e^x + e^{e^x}}\ dx} \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü GösterVerilen integrali, üslü ifadenin tabanı ve üslerin toplamı aynı kalacak şekilde düzenleyelim.
\( \displaystyle\int {e^{x}e^{e^x}e^{e^{e^x}}\ dx} \)
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
\( u = e^{e^x} \)
\( du = e^xe^{e^x}dx \)
\( x \) değişkenlerinin \( u \) karşılıklarını yazalım.
\( = \displaystyle\int {e^u\ du} \)
İfadenin integralini alalım.
\( = e^u + C \)
\( u \) değişkenlerini tekrar \( x \) cinsinden yazalım.
\( = e^{e^{e^x}} + C \)