Konu tekrarı için: Trigonometrik Fonksiyonların İntegrali
Bu bölümde trigonometrik fonksiyonlar arasındaki farklı cebirsel işlemler sonucunda oluşan ifadelerin integralini almak için kullanılabilecek bazı yöntemleri inceleyeceğiz.
Aşağıdaki formdaki trigonometrik fonksiyonların integrali trigonometrik özdeşlikler ve değişken değiştirme yöntemi yardımıyla alınabilir.
Bu ifadelerin integralini almak için izlenecek yöntem üslerin tek ya da çift olmasına göre farklılık gösterir.
Adım 1: Tek dereceli sinüs ifadesinin bir kuvveti ayrılır.
Adım 2: Birinci sinüs çarpanı
Adım 3: Pisagor özdeşliği ile
Adım 4: Elde edilen ifadeye aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulanır.
Adım 5: Parantez içindeki ifadeler dağıtılır ve terimlerin ayrı ayrı integrali alınır.
Adım 6:
Adım 1: Tek dereceli kosinüs ifadesinin bir kuvveti ayrılır.
Adım 2: Birinci kosinüs çarpanı
Adım 3: Pisagor özdeşliği ile
Adım 4: Elde edilen ifadeye aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulanır.
Adım 5: Parantez içindeki ifadeler dağıtılır ve terimlerin ayrı ayrı integrali alınır.
Adım 6:
Bu durumda izlenecek yöntemi bir örnek üzerinde gösterelim.
Kosinüs iki kat açı formülünü kullanalım.
Birinci terimin integralini alalım.
İkinci terimin integralini alalım.
Üçüncü terimin integralini alalım.
Dördüncü terimin integralini alalım.
Yukarıda
Tüm terimleri birleştirelim.
Aşağıdaki formdaki trigonometrik fonksiyonların integrali trigonometrik özdeşlikler ve değişken değiştirme yöntemi yardımıyla alınabilir.
Bu ifadelerin integrali alınırken aşağıdaki trigonometrik özdeşlikler kullanılır. Bu formüllerin ispatı için trigonometrik özdeşlikler sayfasını inceleyebilirsiniz.
Adım 1: Tanjant ve sekant ifadelerinin birer kuvveti ayrılır.
Adım 2: Birinci tanjant çarpanı
Adım 3: Pisagor özdeşliği ile
Adım 4: Elde edilen ifadeye aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulanır.
Adım 5: Parantez içindeki ifadeler dağıtılır ve terimlerin ayrı ayrı integrali alınır.
Adım 6:
Adım 1: Sekant ifadesinin iki kuvveti ayrılır.
Adım 2: Birinci sekant çarpanı
Adım 3: Pisagor özdeşliği ile
Adım 4: Elde edilen ifadeye aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulanır.
Adım 5: Parantez içindeki ifadeler dağıtılır ve terimlerin ayrı ayrı integrali alınır.
Adım 6:
Aşağıdaki formdaki trigonometrik fonksiyonların integrali trigonometrik özdeşlikler ve değişken değiştirme yöntemi yardımıyla alınabilir.
Bu ifadelerin integrali alınırken aşağıdaki trigonometrik ters dönüşüm formülleri kullanılır. Bu formüllerin ispatı için dönüşüm formülleri sayfasını inceleyebilirsiniz.
Bu ifadelerin integralini alırken izlenecek yöntemi bir örnek üzerinde gösterelim.
Trigonometrik ters dönüşüm formülünü kullanalım.
İfadenin integralini alalım.
Sinüs ifadesinin üssünün çift sayı (sıfır), kosinüs ifadesinin üssünün tek sayı olduğu durumda kullandığımız yöntemi uygulayalım.
Tek dereceli kosinüs ifadesinin bir kuvvetini ayıralım.
Birinci kosinüs çarpanını
Pisagor özdeşliği ile
Elde ettiğimiz ifadeye aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
Parantez içindeki ifadeleri dağıtalım ve terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.
Sinüs ifadesinin üssünün tek sayı, kosinüs ifadesinin üssünün çift sayı olduğu durumda kullandığımız yöntemi uygulayalım.
Tek dereceli sinüs ifadesinin bir kuvvetini ayıralım.
Birinci sinüs çarpanını
Pisagor özdeşliği ile
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.
Tanjant ifadesinin üssünün sıfırdan büyük, sekant ifadesinin üssünün çift sayı olduğu durumda kullandığımız yöntemi uygulayalım.
Sekant ifadesinin iki kuvvetini ayıralım.
Pisagor özdeşliği ile
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
Son ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.
İfadenin integralini alalım.
Tanjant ifadesinin üssünün tek, sekant ifadesinin üssünün sıfırdan büyük olduğu durumda kullandığımız yöntemi uygulayalım.
Tanjant ve sekant ifadelerinin birer kuvvetini ayıralım.
Pisagor özdeşliği ile
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
Son ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.
İfadenin integralini alalım.
Trigonometrik ters dönüşüm formülünü kullanalım.
Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.
Trigonometrik ters dönüşüm formülünü kullanalım.
Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.
Trigonometrik ters dönüşüm formülünü kullanalım.
Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.
Sinüs ifadesinin üssünün tek sayı, kosinüs ifadesinin üssünün çift sayı (sıfır) olduğu durumda kullandığımız yöntemi uygulayalım.
Tek dereceli sinüs ifadesinin bir kuvvetini ayıralım.
Birinci sinüs çarpanını
Pisagor özdeşliği ile
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.
Sinüs ve kosinüs ifadelerinin üssünün tek sayı olduğu durumda kullandığımız yöntemi uygulayalım.
Tek dereceli sinüs ifadesinin bir kuvvetini ayıralım.
Birinci sinüs çarpanını
Pisagor özdeşliği ile
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.
Sinüs ifadesinin üssünün çift sayı, kosinüs ifadesinin üssünün çift sayı (sıfır) olduğu durumda kullandığımız yöntemi uygulayalım.
Çift dereceli sinüs ifadesini
Kosinüs iki kat açı formülü ile
Kosinüs iki kat açı formülü ile
Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.
Pisagor özdeşliği ile
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
Değişkenleri yerine koyalım.
İfadenin integralini alalım.
Elde ettiğimiz sonucu ilk integralde yerine yazalım.
İntegral içerisindeki
Pisagor özdeşliği ile
İntegral içerisindeki
Pisagor özdeşliği ile
Dördüncü terimin integralini alalım.