Trigonometrik İntegral Yöntemi
Konu tekrarı için: Trigonometrik Fonksiyonların İntegrali
Bu bölümde trigonometrik fonksiyonlar arasındaki farklı cebirsel işlemler sonucunda oluşan ifadelerin integralini almak için kullanılabilecek bazı yöntemleri inceleyeceğiz.
Sinüs/Kosinüs Kuvvetlerinin Çarpımı
Aşağıdaki formdaki trigonometrik fonksiyonların integrali trigonometrik özdeşlikler ve değişken değiştirme yöntemi yardımıyla alınabilir.
\( m, n \in \mathbb{N} \) olmak üzere,
\( \displaystyle\int {\sin^m{x}\cos^n{x}\ dx} \)
Bu ifadelerin integralini almak için izlenecek yöntem üslerin tek ya da çift olmasına göre farklılık gösterir.
m tek, n çift sayı
\( m \) bir tek sayı, \( n \) de sıfır dahil bir çift sayı olduğu durumda izlenecek yöntemi bir örnek üzerinde gösterelim.
\( \displaystyle\int {\sin^5{x}\cos^6{x}\ dx} \) ifadesinin integralini alalım.
Adım 1: Tek dereceli sinüs ifadesinin bir kuvveti ayrılır.
\( \displaystyle\int {\sin^4{x}\cos^6{x}\sin{x}\ dx} \)
Adım 2: Birinci sinüs çarpanı \( \sin^2{x} \) ifadesinin kuvveti biçiminde yazılır.
\( = \displaystyle\int {(\sin^2{x})^2\cos^6{x}\sin{x}\ dx} \)
Adım 3: Pisagor özdeşliği ile \( \sin^2{x} \) ifadesi \( \cos^2{x} \) cinsinden yazılır.
\( = \displaystyle\int {(1 - \cos^2{x})^2\cos^6{x}\sin{x}\ dx} \)
Adım 4: Elde edilen ifadeye aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulanır.
\( u = \cos{x}, \quad du = -\sin{x}\ dx \)
\( = -\displaystyle\int {(1 - u^2)^2u^6\ du} \)
Adım 5: Parantez içindeki ifadeler dağıtılır ve terimlerin ayrı ayrı integrali alınır.
\( = -\displaystyle\int {(1 - 2u^2 + u^4)u^6\ du} \)
\( = -\displaystyle\int {(u^6 - 2u^8 + u^{10})\ du} \)
\( = -\dfrac{u^7}{7} + \dfrac{2u^9}{9} - \dfrac{u^{11}}{11} + C \)
Adım 6: \( u \) değişkenleri tekrar \( x \) cinsinden yazılır.
\( = -\dfrac{\cos^7{x}}{7} + \dfrac{2\cos^9{x}}{9} - \dfrac{\cos^{11}{x}}{11} + C \)
m çift, n tek sayı
\( m \) sıfır dahil bir çift sayı, \( n \) de bir tek sayı olduğu durumda, yukarıdaki yöntem sinüs - kosinüs fonksiyonları aralarında yer değiştirerek uygulanır.
\( \displaystyle\int {\sin^4{x}\cos^7{x}\ dx} \) ifadesinin integralini alalım.
Adım 1: Tek dereceli kosinüs ifadesinin bir kuvveti ayrılır.
\( \displaystyle\int {\sin^4{x}\cos^6{x}\cos{x}\ dx} \)
Adım 2: Birinci kosinüs çarpanı \( \cos^2{x} \) ifadesinin kuvveti biçiminde yazılır.
\( = \displaystyle\int {\sin^4{x}(\cos^2{x})^3\cos{x}\ dx} \)
Adım 3: Pisagor özdeşliği ile \( \cos^2{x} \) ifadesi \( \sin^2{x} \) cinsinden yazılır.
\( = \displaystyle\int {\sin^4{x}(1 - \sin^2{x})^3\cos{x}\ dx} \)
Adım 4: Elde edilen ifadeye aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulanır.
\( u = \sin{x}, \quad du = \cos{x}\ dx \)
\( = \displaystyle\int {u^4(1 - u^2)^3\ du} \)
Adım 5: Parantez içindeki ifadeler dağıtılır ve terimlerin ayrı ayrı integrali alınır.
\( = \displaystyle\int {u^4(1 - 3u^2 + 3u^4 - u^6)\ du} \)
\( = \displaystyle\int {(u^4 - 3u^6 + 3u^8 - u^{10})\ du} \)
\( = \dfrac{u^5}{5} - \dfrac{3u^7}{7} + \dfrac{u^9}{3} - \dfrac{u^{11}}{11} + C \)
Adım 6: \( u \) değişkenleri tekrar \( x \) cinsinden yazılır.
\( = \dfrac{\sin^5{x}}{5} - \dfrac{3\sin^7{x}}{7} + \dfrac{\sin^9{x}}{3} - \dfrac{\sin^{11}{x}}{11} + C \)
m ve n tek sayı
\( m \) ve \( n \) birer tek sayı olduğu durumda yukarıdaki iki yöntemden herhangi biri uygulanabilir, ancak sinüs ifadesinin kuvveti daha küçük ise birinci yöntemin, kosinüs ifadesinin kuvveti daha küçük ise ikinci yöntemin kullanılması işlem kolaylığı sağlayacaktır.
m ve n çift sayı
\( m \) ve \( n \) sıfır dahil birer çift sayı olduğu durumda aşağıdaki iki özdeşlik kullanılarak ifadelerin derecesi düşürülür ve integrali alınabilir bir forma getirilir. İfade bir noktada yukarıdaki formlardan birine gelirse ilgili yöntem kullanılır.
\( \cos^2{x} = \dfrac{1}{2}(1 + \cos(2x)) \)
\( \sin^2{x} = \dfrac{1}{2}(1 - \cos(2x)) \)
\( \sin{x}\cos{x} = \dfrac{1}{2}\sin(2x) \)
Bu durumda izlenecek yöntemi bir örnek üzerinde gösterelim.
\( \displaystyle\int {\cos^6{x}\ dx} \) ifadesinin integralini alalım.
Kosinüs iki kat açı formülünü kullanalım.
\( \displaystyle\int {(\cos^2{x})^3\ dx} \)
\( = \displaystyle\int {(\dfrac{1}{2}(1 + \cos(2x)))^3\ dx} \)
\( = \dfrac{1}{8}\displaystyle\int {(1 + 3\cos(2x) + 3\cos^2(2x) + \cos^3(2x))\ dx} \)
Birinci terimin integralini alalım.
\( \displaystyle\int {1\ dx} = x + C \)
İkinci terimin integralini alalım.
\( \displaystyle\int {3\cos(2x)\ dx} = \dfrac{3\sin(2x)}{2} + C \)
Üçüncü terimin integralini alalım.
\( \displaystyle\int {3\cos^2(2x)\ dx} \)
\( = \displaystyle\int {3\dfrac{1}{2}(1 + \cos(4x))\ dx} \)
\( = \dfrac{3x}{2} + \dfrac{3\sin(4x)}{8} + C \)
Dördüncü terimin integralini alalım.
\( \displaystyle\int {\cos^3(2x)\ dx} \)
Yukarıda \( m \)'nin çift, \( n \)'nin tek olduğu durumda kullandığımız yöntemi değişken değiştirmeden kullanalım.
\( \displaystyle\int {\cos^2(2x)\cos(2x)\ dx} \)
\( = \displaystyle\int {(1 - \sin^2(2x))\cos(2x)\ dx} \)
\( = \displaystyle\int {(\cos(2x) - \sin^2(2x)\cos(2x))\ dx} \)
\( = \dfrac{\sin(2x)}{2} - \dfrac{\sin^3(2x)}{6} + C \)
Tüm terimleri birleştirelim.
\( \dfrac{1}{8}(x + \dfrac{3\sin(2x)}{2} + \dfrac{3x}{2} + \dfrac{3\sin(4x)}{8} + \dfrac{\sin(2x)}{2} - \dfrac{\sin^3(2x)}{6}) \)
\( = \dfrac{5x}{16} + \dfrac{\sin(2x)}{4} + \dfrac{3\sin(4x)}{64} - \dfrac{\sin^3(2x)}{48} + C \)
Tanjant/Sekant Kuvvetlerinin Çarpımı
Aşağıdaki formdaki trigonometrik fonksiyonların integrali trigonometrik özdeşlikler ve değişken değiştirme yöntemi yardımıyla alınabilir.
\( m, n \in \mathbb{N} \) olmak üzere,
\( \displaystyle\int {\tan^m{x}\sec^n{x}\ dx} \)
Bu ifadelerin integrali alınırken aşağıdaki trigonometrik özdeşlikler kullanılır. Bu formüllerin ispatı için trigonometrik özdeşlikler sayfasını inceleyebilirsiniz.
\( \tan^2{x} = \sec^2{x} - 1 \)
\( \sec^2{x} = \tan^2{x} + 1 \)
\( m \) ve \( n \) değerlerinin iki farklı durumu için izlenecek yöntem aşağıdaki gibidir.
m tek, n sıfırdan büyük sayı
\( m \) bir tek sayı, \( n \) de sıfırdan büyük herhangi bir sayı olduğu durumda izlenecek yöntemi bir örnek üzerinde gösterelim.
\( \displaystyle\int {\tan^5{x}\sec^5{x}\ dx} \) ifadesinin integralini alalım.
Adım 1: Tanjant ve sekant ifadelerinin birer kuvveti ayrılır.
\( \displaystyle\int {\tan^4{x}\sec^4{x}\tan{x}\sec{x}\ dx} \)
Adım 2: Birinci tanjant çarpanı \( \tan^2{x} \) ifadesinin kuvveti biçiminde yazılır.
\( = \displaystyle\int {(\tan^2{x})^2\sec^4{x}\tan{x}\sec{x}\ dx} \)
Adım 3: Pisagor özdeşliği ile \( \tan^2{x} \) ifadesi \( \sec^2{x} \) cinsinden yazılır.
\( \tan^2{x} = \sec^2{x} - 1 \)
\( = \displaystyle\int {(\sec^2{x} - 1)^2\sec^4{x}\tan{x}\sec{x}\ dx} \)
Adım 4: Elde edilen ifadeye aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulanır.
\( u = \sec{x}, \quad du = \tan{x}\sec{x}\ dx \)
\( = \displaystyle\int {(u^2 - 1)^2u^4\ du} \)
Adım 5: Parantez içindeki ifadeler dağıtılır ve terimlerin ayrı ayrı integrali alınır.
\( = \displaystyle\int {(u^4 - 2u^2 + 1)u^4\ du} \)
\( = \displaystyle\int {(u^8 - 2u^6 + u^4)\ du} \)
\( = \dfrac{u^9}{9} - \dfrac{2u^7}{7} + \dfrac{u^5}{5} + C \)
Adım 6: \( u \) değişkenleri tekrar \( x \) cinsinden yazılır.
\( = \dfrac{\sec^9{x}}{9} - \dfrac{2\sec^7{x}}{7} + \dfrac{\sec^5{x}}{5} + C \)
m sıfırdan büyük, n çift sayı
\( m \) sıfırdan büyük herhangi bir sayı, \( n \) de sıfırdan büyük herhangi bir çift sayı olduğu durumda izlenecek yöntemi bir örnek üzerinde gösterelim.
\( \displaystyle\int {\tan^4{x}\sec^8{x}\ dx} \) ifadesinin integralini alalım.
Adım 1: Sekant ifadesinin iki kuvveti ayrılır.
\( \displaystyle\int {\tan^4{x}\sec^6{x}\sec^2{x}\ dx} \)
Adım 2: Birinci sekant çarpanı \( \sec^2{x} \) ifadesinin kuvveti biçiminde yazılır.
\( = \displaystyle\int {\tan^4{x}(\sec^2{x})^3\sec^2{x}\ dx} \)
Adım 3: Pisagor özdeşliği ile \( \sec^2{x} \) ifadesi \( \tan^2{x} \) cinsinden yazılır.
\( \sec^2{x} = \tan^2{x} + 1 \)
\( = \displaystyle\int {\tan^4{x}(\tan^2{x} + 1)^3\sec^2{x}\ dx} \)
Adım 4: Elde edilen ifadeye aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulanır.
\( u = \tan{x}, \quad du = \sec^2{x}\ dx \)
\( = \displaystyle\int {u^4(u^2 + 1)^3\ du} \)
Adım 5: Parantez içindeki ifadeler dağıtılır ve terimlerin ayrı ayrı integrali alınır.
\( = \displaystyle\int {u^4(u^6 + 3u^4 + 3u^2 + 1)\ du} \)
\( = \displaystyle\int {(u^{10} + 3u^8 + 3u^6 + u^4)\ du} \)
\( = \dfrac{u^{11}}{11} + \dfrac{u^9}{3} + \dfrac{3u^7}{7} + \dfrac{u^5}{5} + C \)
Adım 6: \( u \) değişkenleri tekrar \( x \) cinsinden yazılır.
\( = \dfrac{\tan^{11}{x}}{11} + \dfrac{\tan^9{x}}{3} + \dfrac{3\tan^7{x}}{7} + \dfrac{\tan^5{x}}{5} + C \)
Sinüs/Kosinüs Farklı Açılarının Çarpımı
Aşağıdaki formdaki trigonometrik fonksiyonların integrali trigonometrik özdeşlikler ve değişken değiştirme yöntemi yardımıyla alınabilir.
\( a, b \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( \displaystyle\int {\sin(ax)\cos(bx)\ dx} \)
\( \displaystyle\int {\sin(ax)\sin(bx)\ dx} \)
\( \displaystyle\int {\cos(ax)\cos(bx)\ dx} \)
Bu ifadelerin integrali alınırken aşağıdaki trigonometrik ters dönüşüm formülleri kullanılır. Bu formüllerin ispatı için dönüşüm formülleri sayfasını inceleyebilirsiniz.
\( \sin{x}\cos{y} = \dfrac{1}{2}(\sin(x + y) + \sin(x - y)) \)
\( \sin{x}\sin{y} = -\dfrac{1}{2}(\cos(x + y) - \cos(x - y)) \)
\( \cos{x}\cos{y} = \dfrac{1}{2}(\cos(x + y) + \cos(x - y)) \)
Bu ifadelerin integralini alırken izlenecek yöntemi bir örnek üzerinde gösterelim.
\( \displaystyle\int {\cos(9x)\cos(6x)\ dx} \) ifadesinin integralini alalım.
Trigonometrik ters dönüşüm formülünü kullanalım.
\( \cos{x}\cos{y} = \dfrac{1}{2}(\cos(x + y) + \cos(x - y)) \)
\( \displaystyle\int {\dfrac{1}{2}(\cos(9x + 6x) + \cos(9x - 6x))\ dx} \)
\( = \displaystyle\int {(\dfrac{\cos(15x)}{2} + \dfrac{\cos(3x)}{2})\ dx} \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \dfrac{\sin(15x)}{30} + \dfrac{\sin(3x)}{6} + C \)
\( \displaystyle\int \cos^5{x}\ dx \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü GösterSinüs ifadesinin üssünün çift sayı (sıfır), kosinüs ifadesinin üssünün tek sayı olduğu durumda kullandığımız yöntemi uygulayalım.
Tek dereceli kosinüs ifadesinin bir kuvvetini ayıralım.
\( \displaystyle\int \cos^4{x}\cos{x}\ dx \)
Birinci kosinüs çarpanını \( \cos^2{x} \) ifadesinin kuvveti biçiminde yazalım.
\( = \displaystyle\int (\cos^2{x})^2\cos{x}\ dx \)
Pisagor özdeşliği ile \( \cos^2{x} \) ifadesini \( \sin^2{x} \) cinsinden yazalım.
\( = \displaystyle\int (1 - \sin^2{x})^2\cos{x}\ dx \)
Elde ettiğimiz ifadeye aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
\( u = \sin{x}, \quad du = \cos{x}\ dx \)
\( = \displaystyle\int (1 - u^2)^2\ du \)
Parantez içindeki ifadeleri dağıtalım ve terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.
\( = \displaystyle\int {(1 - 2u^2 + u^4)\ du} \)
\( = u - \dfrac{2u^3}{3} + \dfrac{u^5}{5} + C \)
\( u \) değişkenlerini tekrar \( x \) cinsinden yazalım.
\( = \sin{x} - \dfrac{2\sin^3{x}}{3} + \dfrac{\sin^5{x}}{5} + C \)
\( \displaystyle\int {\sin^5{x}\cos^4{x}\ dx} \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü GösterSinüs ifadesinin üssünün tek sayı, kosinüs ifadesinin üssünün çift sayı olduğu durumda kullandığımız yöntemi uygulayalım.
Tek dereceli sinüs ifadesinin bir kuvvetini ayıralım.
\( \displaystyle\int {\sin^5{x}\cos^4{x}\ dx} = \displaystyle\int {\sin^4{x}\cos^4{x}\sin{x}\ dx} \)
Birinci sinüs çarpanını \( \sin^2{x} \) ifadesinin kuvveti biçiminde yazalım.
\( = \displaystyle\int {(\sin^2{x})^2\cos^4{x}\sin{x}\ dx} \)
Pisagor özdeşliği ile \( \sin^2{x} \) ifadesini \( \cos^2{x} \) cinsinden yazalım.
\( = \displaystyle\int {(1 - \cos^2{x})^2\cos^4{x}\sin{x}\ dx} \)
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
\( u = \cos{x}, \quad du = -\sin{x}\ dx \)
\( = -\displaystyle\int {(1 - u^2)^2u^4\ du} \)
\( = -\displaystyle\int {(1 - 2u^2 + u^4)u^4\ du} \)
\( = -\displaystyle\int (u^4 - 2u^6 + u^8)\ du \)
Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.
\( = -\dfrac{u^5}{5} + \dfrac{2u^7}{7} - \dfrac{u^9}{9} + C \)
\( u \) değişkenlerini tekrar \( x \) cinsinden yazalım.
\( = -\dfrac{\cos^5{x}}{5} + \dfrac{2\cos^7{x}}{7} - \dfrac{\cos^9{x}}{9} + C \)
\( \displaystyle\int {\tan{x}\sec^4{x}\ dx} \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü GösterTanjant ifadesinin üssünün sıfırdan büyük, sekant ifadesinin üssünün çift sayı olduğu durumda kullandığımız yöntemi uygulayalım.
Sekant ifadesinin iki kuvvetini ayıralım.
\( \displaystyle\int {\tan{x}\sec^4{x}\ dx} = \displaystyle\int {\tan{x}\sec^2{x}\sec^2{x}\ dx} \)
Pisagor özdeşliği ile \( \sec^2{x} \) ifadesini \( \tan^2{x} \) cinsinden yazalım.
\( \sec^2{x} = \tan^2{x} + 1 \)
\( = \displaystyle\int {\tan{x}(\tan^2{x} + 1)\sec^2{x}\ dx} \)
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
\( u = \tan{x}, \quad du = \sec^2{x}\ dx \)
Son ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.
\( = \displaystyle\int {u(u^2 + 1)\ du} \)
\( = \displaystyle\int (u^3 + u)\ du \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \dfrac{u^4}{4} + \dfrac{u^2}{2} + C \)
\( u \) değişkenlerini tekrar \( x \) cinsinden yazalım.
\( = \dfrac{\tan^4{x}}{4} + \dfrac{\tan^2{x}}{2} + C \)
\( \displaystyle\int {\tan^3{x}\sec^7{x}\ dx} \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü GösterTanjant ifadesinin üssünün tek, sekant ifadesinin üssünün sıfırdan büyük olduğu durumda kullandığımız yöntemi uygulayalım.
Tanjant ve sekant ifadelerinin birer kuvvetini ayıralım.
\( \displaystyle\int {\tan^3{x}\sec^7{x}\ dx} = \displaystyle\int {\tan^2{x}\sec^6{x}\tan{x}\sec{x}\ dx} \)
Pisagor özdeşliği ile \( \tan^2{x} \) ifadesini \( \sec^2{x} \) cinsinden yazalım.
\( \tan^2{x} = \sec^2{x} - 1 \)
\( = \displaystyle\int {(\sec^2{x} - 1)\sec^6{x}\tan{x}\sec{x}\ dx} \)
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
\( u = \sec{x}, \quad du = \tan{x}\sec{x}\ dx \)
Son ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.
\( = \displaystyle\int {(u^2 - 1)u^6\ du} \)
\( = \displaystyle\int (u^8 - u^6)\ du \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \dfrac{u^9}{9} - \dfrac{u^7}{7} + C \)
\( u \) değişkenlerini tekrar \( x \) cinsinden yazalım.
\( = \dfrac{\sec^9{x}}{9} - \dfrac{\sec^7{x}}{7} + C \)
\( \displaystyle\int {\sin(5x)\cos(4x)\ dx} \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü GösterTrigonometrik ters dönüşüm formülünü kullanalım.
\( \sin{x}\cos{y} = \dfrac{1}{2}(\sin(x + y) + \sin(x - y)) \)
\( \displaystyle\int {\sin(5x)\cos(4x)\ dx} = \displaystyle\int \dfrac{1}{2}(\sin(5x + 4x) + \sin(5x - 4x))\ dx \)
\( = \displaystyle\int (\dfrac{\sin(9x)}{2} + \dfrac{\sin{x}}{2})\ dx \)
Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.
\( = -\dfrac{\cos(9x)}{18} - \dfrac{\cos{x}}{2} + C \)
\( \displaystyle\int {18\sin(6x)\sin(3x)\ dx} \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü GösterTrigonometrik ters dönüşüm formülünü kullanalım.
\( \sin{x}\sin{y} = -\dfrac{1}{2}(\cos(x + y) - \cos(x - y)) \)
\( \displaystyle\int {18\sin(6x)\sin(3x)\ dx} = 18\displaystyle\int {-\dfrac{1}{2}(\cos(6x + 3x) - \cos(6x - 3x))\ dx} \)
\( = 9\displaystyle\int (\cos(3x) - \cos(9x))\ dx \)
Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.
\( = 9(\dfrac{\sin(3x)}{3} - \dfrac{\sin(9x)}{9}) + C \)
\( = 3\sin(3x) - \sin(9x) + C \)
\( \displaystyle\int {2\cos(7x)\cos(6x)\ dx} \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü GösterTrigonometrik ters dönüşüm formülünü kullanalım.
\( \cos{x}\cos{y} = \dfrac{1}{2}(\cos(x + y) + \cos(x - y)) \)
\( \displaystyle\int {2\cos(7x)\cos(6x)\ dx} = 2\displaystyle\int {\dfrac{1}{2}(\cos(7x + 6x) + \cos(7x - 6x))\ dx} \)
\( = \displaystyle\int (\cos(13x) + \cos{x})\ dx \)
Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.
\( = \dfrac{\sin(13x)}{13} + \sin{x} + C \)
\( \displaystyle\int {\sin^7{x}\ dx} \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü GösterSinüs ifadesinin üssünün tek sayı, kosinüs ifadesinin üssünün çift sayı (sıfır) olduğu durumda kullandığımız yöntemi uygulayalım.
Tek dereceli sinüs ifadesinin bir kuvvetini ayıralım.
\( \displaystyle\int {\sin^7{x}\ dx} = \displaystyle\int {\sin^6{x}\sin{x}\ dx} \)
Birinci sinüs çarpanını \( \sin^2{x} \) ifadesinin kuvveti biçiminde yazalım.
\( = \displaystyle\int {(\sin^2{x})^3\sin{x}\ dx} \)
Pisagor özdeşliği ile \( \sin^2{x} \) ifadesini \( \cos^2{x} \) cinsinden yazalım.
\( = \displaystyle\int {(1 - \cos^2{x})^3\sin{x}\ dx} \)
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
\( u = \cos{x}, \quad du = -\sin{x}\ dx \)
\( = -\displaystyle\int {(1 - u^2)^3\ du} \)
\( = -\displaystyle\int (1 - 3u^2 + 3u^4 - u^6)\ du \)
Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.
\( = -u + u^3 - \dfrac{3u^5}{5} + \dfrac{u^7}{7} + C \)
\( u \) değişkenlerini tekrar \( x \) cinsinden yazalım.
\( = -\cos{x} + \cos^3{x} - \dfrac{3\cos^5{x}}{5} + \dfrac{\cos^7{x}}{7} + C \)
\( \displaystyle\int {\sin^5{x}\cos^3{x}\ dx} \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü GösterSinüs ve kosinüs ifadelerinin üssünün tek sayı olduğu durumda kullandığımız yöntemi uygulayalım.
Tek dereceli sinüs ifadesinin bir kuvvetini ayıralım.
\( \displaystyle\int {\sin^5{x}\cos^3{x}\ dx} = \displaystyle\int {\sin^4{x}\sin{x}\cos^3{x}\ dx} \)
Birinci sinüs çarpanını \( \sin^2{x} \) ifadesinin kuvveti biçiminde yazalım.
\( = \displaystyle\int {(\sin^2{x})^2\sin{x}\cos^3{x}\ dx} \)
Pisagor özdeşliği ile \( \sin^2{x} \) ifadesini \( \cos^2{x} \) cinsinden yazalım.
\( = \displaystyle\int {(1 - \cos^2{x})^2\sin{x}\cos^3{x}\ dx} \)
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
\( u = \cos{x}, \quad du = -\sin{x}\ dx \)
\( = -\displaystyle\int {(1 - u^2)^2u^3\ du} \)
\( = -\displaystyle\int {(1 - 2u^2 + u^4)u^3\ du} \)
\( = -\displaystyle\int (u^3 - 2u^5 + u^7)\ du \)
Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.
\( = -\dfrac{u^4}{4} + \dfrac{2u^6}{6} - \dfrac{u^8}{8} + C \)
\( = -\dfrac{u^4}{4} + \dfrac{u^6}{3} - \dfrac{u^8}{8} + C \)
\( u \) değişkenlerini tekrar \( x \) cinsinden yazalım.
\( = -\dfrac{\cos^4{x}}{4} + \dfrac{\cos^6{x}}{3} - \dfrac{\cos^8{x}}{8} + C \)
\( \displaystyle\int {\sin^4{x}\ dx} \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü GösterSinüs ifadesinin üssünün çift sayı, kosinüs ifadesinin üssünün çift sayı (sıfır) olduğu durumda kullandığımız yöntemi uygulayalım.
Çift dereceli sinüs ifadesini \( \sin^2{x} \) ifadesinin kuvveti biçiminde yazalım.
\( \displaystyle\int {\sin^4{x}\ dx} = \displaystyle\int {(\sin^2{x})^2\ dx} \)
Kosinüs iki kat açı formülü ile \( \sin^2{x} \) ifadesini \( \cos(2x) \) cinsinden yazalım.
\( = \displaystyle\int {(\dfrac{1 - \cos(2x)}{2})^2\ dx} \)
\( = \dfrac{1}{4}\displaystyle\int (1 - 2\cos(2x) + \cos^2(2x))\ dx \)
Kosinüs iki kat açı formülü ile \( \cos^2(2x) \) ifadesini \( \cos(4x) \) cinsinden yazalım.
\( = \dfrac{1}{4}\displaystyle\int (1 - 2 \cos(2x) + \dfrac{\cos(4x) + 1}{2})\ dx \)
\( = \dfrac{1}{4}\displaystyle\int (1 - 2 \cos(2x) + \dfrac{\cos(4x)}{2} + \dfrac{1}{2})\ dx \)
\( = \dfrac{1}{4}\displaystyle\int (\dfrac{3}{2} - 2 \cos(2x) + \dfrac{\cos(4x)}{2})\ dx \)
Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.
\( = \dfrac{1}{4}(\dfrac{3x}{2} - \sin(2x) + \dfrac{\sin(4x)}{8}) + C \)
\( = \dfrac{3x}{8} - \dfrac{\sin(2x)}{4} + \dfrac{\sin(4x)}{32} + C \)
\( \displaystyle\int {\tan^7{x}\ dx} \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Göster\( \tan^7{x} \) fonksiyonunun iki kuvvetini ayıralım.
\( \displaystyle\int {\tan^7{x}\ dx} = \displaystyle\int {\tan^5{x}\tan^2{x}\ dx} \)
Pisagor özdeşliği ile \( \tan^2{x} \) ifadesini \( \sec^2{x} \) cinsinden yazalım.
\( \tan^2{x} = \sec^2{x} - 1 \)
\( = \displaystyle\int {\tan^5{x}(\sec^2{x} - 1)\ dx} \)
\( = \displaystyle\int {(\tan^5{x}\sec^2{x}- \tan^5{x})\ dx} \)
\( = \displaystyle\int {\tan^5{x}\sec^2{x}\ dx} - \displaystyle\int {\tan^5{x}\ dx} \)
\( \displaystyle\int {\tan^5{x}\sec^2{x}\ dx} \) integralini hesaplayalım.
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
\( u = \tan{x}, \quad du = \sec^2{x}\ dx \)
Değişkenleri yerine koyalım.
\( = \displaystyle\int {u^5\ du} \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \dfrac{u^6}{6} + C \)
\( u \) değişkenini tekrar \( x \) cinsinden yazalım.
\( = \dfrac{\tan^6{x}}{6} + C \)
Elde ettiğimiz sonucu ilk integralde yerine yazalım.
\( \displaystyle\int {\tan^7{x}\ dx} = \dfrac{\tan^6{x}}{6} - \displaystyle\int {\tan^5{x}\ dx} + C \)
İntegral içerisindeki \( \tan^5{x} \) fonksiyonunun iki kuvvetini ayıralım.
\( = \dfrac{\tan^6{x}}{6} - \displaystyle\int {\tan^3{x}\tan^2{x}\ dx} + C \)
Pisagor özdeşliği ile \( \tan^2{x} \) ifadesini \( \sec^2{x} \) cinsinden yazalım.
\( = \dfrac{\tan^6{x}}{6} - \displaystyle\int {\tan^3{x}(\sec^2{x} - 1)\ dx} + C \)
\( = \dfrac{\tan^6{x}}{6} - \displaystyle\int {(\tan^3{x}\sec^2{x} - \tan^3{x})\ dx} + C \)
\( = \dfrac{\tan^6{x}}{6} - \displaystyle\int {\tan^3{x}\sec^2{x}\ dx} - \displaystyle\int {\tan^3{x}\ dx} + C \)
\( \displaystyle\int {\tan^3{x}\sec^2{x}\ dx} \) integralini yukarıda kullandığımız yöntemle hesapladığımızda aşağıdaki sonucu elde ederiz.
\( = \dfrac{\tan^6{x}}{6} - \dfrac{\tan^4{x}}{4} - \displaystyle\int {\tan^3{x}\ dx} + C \)
İntegral içerisindeki \( \tan^3{x} \) fonksiyonunun iki kuvvetini ayıralım.
\( = \dfrac{\tan^6{x}}{6} - \dfrac{\tan^4{x}}{4} - \displaystyle\int {\tan{x}\tan^2{x}\ dx} + C \)
Pisagor özdeşliği ile \( \tan^2{x} \) ifadesini \( \sec^2{x} \) cinsinden yazalım.
\( = \dfrac{\tan^6{x}}{6} - \dfrac{\tan^4{x}}{4} - \displaystyle\int {\tan{x}(\sec^2{x} - 1)\ dx} + C \)
\( = \dfrac{\tan^6{x}}{6} - \dfrac{\tan^4{x}}{4} - \displaystyle\int {(\tan{x}\sec^2{x} - \tan{x})\ dx} + C \)
\( = \dfrac{\tan^6{x}}{6} - \dfrac{\tan^4{x}}{4} - \displaystyle\int {\tan{x}\sec^2{x}\ dx} - \displaystyle\int {\tan{x}\ dx} + C \)
\( \displaystyle\int {\tan{x}\sec^2{x}\ dx} \) integralini yukarıda kullandığımız yöntemle hesapladığımızda aşağıdaki sonucu elde ederiz.
\( = \dfrac{\tan^6{x}}{6} - \dfrac{\tan^4{x}}{4} - \dfrac{\tan^2{x}}{2} - \displaystyle\int {\tan{x}\ dx} + C \)
Dördüncü terimin integralini alalım.
\( = \dfrac{\tan^6{x}}{6} - \dfrac{\tan^4{x}}{4} - \dfrac{\tan^2{x}}{2} - \ln{\abs{\sec{x}}} + C \)