Trigonometrik İntegral Yöntemi

Bu bölümde trigonometrik fonksiyonlar arasındaki farklı cebirsel işlemler sonucunda oluşan ifadelerin integralini almak için kullanılabilecek bazı yöntemleri inceleyeceğiz.

Sinüs/Kosinüs Kuvvetlerinin Çarpımı

Aşağıdaki formdaki trigonometrik fonksiyonların integrali trigonometrik özdeşlikler ve değişken değiştirme yöntemi yardımıyla alınabilir.

Bu ifadelerin integralini almak için izlenecek yöntem üslerin tek ya da çift olmasına göre farklılık gösterir.

m tek, n çift sayı

bir tek sayı, de sıfır dahil bir çift sayı olduğu durumda izlenecek yöntemi bir örnek üzerinde gösterelim.

m çift, n tek sayı

sıfır dahil bir çift sayı, de bir tek sayı olduğu durumda, yukarıdaki yöntem sinüs - kosinüs fonksiyonları aralarında yer değiştirerek uygulanır.

m ve n tek sayı

ve birer tek sayı olduğu durumda yukarıdaki iki yöntemden herhangi biri uygulanabilir, ancak sinüs ifadesinin kuvveti daha küçük ise birinci yöntemin, kosinüs ifadesinin kuvveti daha küçük ise ikinci yöntemin kullanılması işlem kolaylığı sağlayacaktır.

m ve n çift sayı

ve sıfır dahil birer çift sayı olduğu durumda aşağıdaki iki özdeşlik kullanılarak ifadelerin derecesi düşürülür ve integrali alınabilir bir forma getirilir. İfade bir noktada yukarıdaki formlardan birine gelirse ilgili yöntem kullanılır.

Bu durumda izlenecek yöntemi bir örnek üzerinde gösterelim.

Tanjant/Sekant Kuvvetlerinin Çarpımı

Aşağıdaki formdaki trigonometrik fonksiyonların integrali trigonometrik özdeşlikler ve değişken değiştirme yöntemi yardımıyla alınabilir.

Bu ifadelerin integrali alınırken aşağıdaki trigonometrik özdeşlikler kullanılır. Bu formüllerin ispatı için trigonometrik özdeşlikler sayfasını inceleyebilirsiniz.

ve değerlerinin iki farklı durumu için izlenecek yöntem aşağıdaki gibidir.

m tek, n sıfırdan büyük sayı

bir tek sayı, de sıfırdan büyük herhangi bir sayı olduğu durumda izlenecek yöntemi bir örnek üzerinde gösterelim.

m sıfırdan büyük, n çift sayı

sıfırdan büyük herhangi bir sayı, de sıfırdan büyük herhangi bir çift sayı olduğu durumda izlenecek yöntemi bir örnek üzerinde gösterelim.

Sinüs/Kosinüs Farklı Açılarının Çarpımı

Aşağıdaki formdaki trigonometrik fonksiyonların integrali trigonometrik özdeşlikler ve değişken değiştirme yöntemi yardımıyla alınabilir.

Bu ifadelerin integrali alınırken aşağıdaki trigonometrik ters dönüşüm formülleri kullanılır. Bu formüllerin ispatı için dönüşüm formülleri sayfasını inceleyebilirsiniz.

Bu ifadelerin integralini alırken izlenecek yöntemi bir örnek üzerinde gösterelim.

SORU 1 :

integralinin sonucu nedir?

Sinüs ifadesinin üssünün çift sayı (sıfır), kosinüs ifadesinin üssünün tek sayı olduğu durumda kullandığımız yöntemi uygulayalım.

Tek dereceli kosinüs ifadesinin bir kuvvetini ayıralım.

Birinci kosinüs çarpanını ifadesinin kuvveti biçiminde yazalım.

Pisagor özdeşliği ile ifadesini cinsinden yazalım.

Elde ettiğimiz ifadeye aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.

Parantez içindeki ifadeleri dağıtalım ve terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.

değişkenlerini tekrar cinsinden yazalım.

SORU 2 :

integralinin sonucu nedir?

Sinüs ifadesinin üssünün tek sayı, kosinüs ifadesinin üssünün çift sayı olduğu durumda kullandığımız yöntemi uygulayalım.

Tek dereceli sinüs ifadesinin bir kuvvetini ayıralım.

Birinci sinüs çarpanını ifadesinin kuvveti biçiminde yazalım.

Pisagor özdeşliği ile ifadesini cinsinden yazalım.

Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.

Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.

değişkenlerini tekrar cinsinden yazalım.

SORU 3 :

integralinin sonucu nedir?

Tanjant ifadesinin üssünün sıfırdan büyük, sekant ifadesinin üssünün çift sayı olduğu durumda kullandığımız yöntemi uygulayalım.

Sekant ifadesinin iki kuvvetini ayıralım.

Pisagor özdeşliği ile ifadesini cinsinden yazalım.

Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.

Son ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.

İfadenin integralini alalım.

değişkenlerini tekrar cinsinden yazalım.

SORU 4 :

integralinin sonucu nedir?

Tanjant ifadesinin üssünün tek, sekant ifadesinin üssünün sıfırdan büyük olduğu durumda kullandığımız yöntemi uygulayalım.

Tanjant ve sekant ifadelerinin birer kuvvetini ayıralım.

Pisagor özdeşliği ile ifadesini cinsinden yazalım.

Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.

Son ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.

İfadenin integralini alalım.

değişkenlerini tekrar cinsinden yazalım.

SORU 5 :

integralinin sonucu nedir?

Trigonometrik ters dönüşüm formülünü kullanalım.

Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.

SORU 6 :

integralinin sonucu nedir?

Trigonometrik ters dönüşüm formülünü kullanalım.

Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.

SORU 7 :

integralinin sonucu nedir?

Trigonometrik ters dönüşüm formülünü kullanalım.

Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.

SORU 8 :

integralinin sonucu nedir?

Sinüs ifadesinin üssünün tek sayı, kosinüs ifadesinin üssünün çift sayı (sıfır) olduğu durumda kullandığımız yöntemi uygulayalım.

Tek dereceli sinüs ifadesinin bir kuvvetini ayıralım.

Birinci sinüs çarpanını ifadesinin kuvveti biçiminde yazalım.

Pisagor özdeşliği ile ifadesini cinsinden yazalım.

Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.

Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.

değişkenlerini tekrar cinsinden yazalım.

SORU 9 :

integralinin sonucu nedir?

Sinüs ve kosinüs ifadelerinin üssünün tek sayı olduğu durumda kullandığımız yöntemi uygulayalım.

Tek dereceli sinüs ifadesinin bir kuvvetini ayıralım.

Birinci sinüs çarpanını ifadesinin kuvveti biçiminde yazalım.

Pisagor özdeşliği ile ifadesini cinsinden yazalım.

Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.

Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.

değişkenlerini tekrar cinsinden yazalım.

SORU 10 :

integralinin sonucu nedir?

Sinüs ifadesinin üssünün çift sayı, kosinüs ifadesinin üssünün çift sayı (sıfır) olduğu durumda kullandığımız yöntemi uygulayalım.

Çift dereceli sinüs ifadesini ifadesinin kuvveti biçiminde yazalım.

Kosinüs iki kat açı formülü ile ifadesini cinsinden yazalım.

Kosinüs iki kat açı formülü ile ifadesini cinsinden yazalım.

Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.

SORU 11 :

integralinin sonucu nedir?

fonksiyonunun iki kuvvetini ayıralım.

Pisagor özdeşliği ile ifadesini cinsinden yazalım.

integralini hesaplayalım.

Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.

Değişkenleri yerine koyalım.

İfadenin integralini alalım.

değişkenini tekrar cinsinden yazalım.

Elde ettiğimiz sonucu ilk integralde yerine yazalım.

İntegral içerisindeki fonksiyonunun iki kuvvetini ayıralım.

Pisagor özdeşliği ile ifadesini cinsinden yazalım.

integralini yukarıda kullandığımız yöntemle hesapladığımızda aşağıdaki sonucu elde ederiz.

İntegral içerisindeki fonksiyonunun iki kuvvetini ayıralım.

Pisagor özdeşliği ile ifadesini cinsinden yazalım.

integralini yukarıda kullandığımız yöntemle hesapladığımızda aşağıdaki sonucu elde ederiz.

Dördüncü terimin integralini alalım.

« Önceki
Basit Kesirlere Ayırma Yöntemi
Sonraki »
Trigonometrik Değişken Değiştirme Yöntemi

Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır