Fonksiyonlarla İşlemlerin Türevi

Kuvvet fonksiyonunun türevini alırken değişkenin üssü terimin önüne katsayı olarak yazılır ve üs değerinden bir çıkarılır.

Bir fonksiyonun sabit bir sayı ile çarpımının türevi, fonksiyonun türevinin bu sayı ile çarpımına eşittir.

(a) seçeneği:

\( \dfrac{d}{dx}(\dfrac{5}{x^2}) = 5\dfrac{d}{dx}(x^{-2}) \)

\( = 5(-2x^{-2 - 1}) \)

\( = -10x^{-3} = -\dfrac{10}{x^3} \)

(b) seçeneği:

\( \dfrac{d}{dx}(-\dfrac{4\sqrt{x^3}}{3}) = -\dfrac{4}{3}\dfrac{d}{dx}(x^{\frac{3}{2}}) \)

\( = -\dfrac{4}{3}(\dfrac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1}) \)

\( = -2x^{\frac{1}{2}} = -2\sqrt{x} \)

(c) seçeneği:

\( \dfrac{d}{dt}(\dfrac{8}{9\sqrt[4]{t^3}}) = \dfrac{8}{9}\dfrac{d}{dt}(t^{-\frac{3}{4}}) \)

\( = \dfrac{8}{9}(-\dfrac{3}{4}t^{-\frac{3}{4} - 1}) \)

\( = -\dfrac{2}{3}t^{-\frac{7}{4}} = -\dfrac{2}{3\sqrt[4]{t^7}} \)

Sabit çarpım kuralını uygulayarak fonksiyonun türevini alalım.

\( f'(x) = (2x^4)' = 2(x^4)' \)

\( = 2(4x^3) = 8x^3 \)

Sorudaki fonksiyon değerlerini hesaplayalım.

\( f'(3) = 8(3)^3 = 216 \)

\( f'(-2) = 8(-2)^3 = -64 \)

\( f(-1) = 2(-1)^4 = 2 \)

Bu değerleri sorudaki ifadede yerine koyalım.

\( f'(3) - f'(-2)f(-1) = 216 - (-64)(2) \)

\( = 344 \) bulunur.

Verilen limit ifadesinin paydası sıfır ve sonucu bir reel sayı olduğuna göre limiti tanımlı bir ifadedir. Buna göre ifadede \( \frac{0}{0} \) belirsizliği olmalı, dolayısıyla pay sıfır olmalıdır.

\( f(1) - 5 = 0 \)

\( f(1) = 5 \)

Fonksiyonda \( x = 1 \) koyup \( a \) değerini bulalım.

\( f(1) = a(1)^n = 5 \Longrightarrow a = 5 \)

\( f(x) = 5x^n \)

Limiti verilen ifade aynı zamanda \( f \) fonksiyonunun \( x = 1 \) noktasındaki türevinin limit tanımıdır.

\( f'(1) = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{f(x) - f(1)}{x - 1} = 30 \)

Fonksiyonun türevini alalım.

\( f'(x) = 5nx^{n - 1} \)

\( x = 1 \) noktasındaki türev değerini limit değerine eşitleyelim.

\( f'(1) = 5n(1)^{n - 1} = 30 \)

\( n = 6 \)

Buna göre \( a + n = 5 + 6 = 11 \) bulunur.

Kuvvet fonksiyonlarının türevini alırken değişkenin üssü terimin önüne katsayı olarak yazılır ve üs değerinden bir çıkarılır.

İki fonksiyonun toplamının/farkının türevi, fonksiyonların türevlerinin toplamına/farkına eşittir.

(a) seçeneği:

\( \dfrac{d}{dx}(2x^3 - x^2 + \sqrt{3}x - 7) \)

\( = 6x^2 - 2x + \sqrt{3} \)

(b) seçeneği:

\( \dfrac{d}{dx}(-x^{72} - \dfrac{1}{3}x^{36} + 5x^{18}) \)

\( = -72x^{71} - 12x^{35} + 90x^{17} \)

(c) seçeneği:

\( \dfrac{d}{dx}(5x^5 - 4x^4 + 3x^3 - 2x^2 + x - 2) \)

\( = 25x^4 - 16x^3 + 9x^2 - 4x + 1 \)

Kuvvet fonksiyonlarının türevini alırken değişkenin üssü terimin önüne katsayı olarak yazılır ve üs değerinden bir çıkarılır.

İki fonksiyonun toplamının/farkının türevi, fonksiyonların türevlerinin toplamına/farkına eşittir.

(a) seçeneği:

\( \dfrac{d}{dx}(4x^{\frac{1}{2}} + 2x^{-3}) \)

\( = 4 \cdot \dfrac{1}{2}x^{\frac{1}{2} - 1} + 2 \cdot (-3)x^{-3 - 1} \)

\( = 2x^{-\frac{1}{2}} - 6x^{-4} \)

(b) seçeneği:

\( \dfrac{d}{dx}(3x^{\frac{4}{3}} - \dfrac{1}{2}x^2 + 5x^{\frac{2}{3}}) \)

\( = 3 \cdot \dfrac{4}{3}x^{\frac{4}{3} - 1} - \dfrac{1}{2} \cdot 2x^{2 - 1} + 5 \cdot \dfrac{2}{3}x^{\frac{2}{3} - 1} \)

\( = 4x^{\frac{1}{3}} - x + \dfrac{10}{3}x^{-\frac{1}{3}} \)

(c) seçeneği:

\( \dfrac{d}{dx}(\dfrac{1}{3}x^{\frac{1}{3}} + \dfrac{5}{6}x^{\frac{2}{5}} - \dfrac{1}{8}x^{\frac{4}{3}}) \)

\( = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{3}x^{\frac{1}{3} - 1} + \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{2}{5}x^{\frac{2}{5} - 1} - \dfrac{1}{8} \cdot \dfrac{4}{3}x^{\frac{4}{3} - 1} \)

\( = \dfrac{1}{9}x^{-\frac{2}{3}} + \dfrac{1}{3}x^{-\frac{3}{5}} - \dfrac{1}{6}x^{\frac{1}{3}} \)

Verilen limit ifadesi \( f \) fonksiyonunun türevinin limit tanımıdır.

\( f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} \)

\( f'(x) = 6x^2 - 3 \)

Verilen limit ifadesi \( f \) fonksiyonunun \( x = -3 \) noktasındaki türevinin limit tanımıdır.

\( f'(-3) = \lim\limits_{x \to -3} \dfrac{f(x) - f(-3)}{x - (-3)} \)

Fonksiyonun türevini alalım.

\( f'(x) = 4x + 4 \)

\( f'(-3) \) değerini bulmak için \( x = -3 \) koyalım.

\( f'(-3) = 4(-3) + 4 = -8 \) bulunur.

Kuvvet fonksiyonlarının türevini alırken değişkenin üssü terimin önüne katsayı olarak yazılır ve üs değerinden bir çıkarılır.

İki fonksiyonun toplamının/farkının türevi, fonksiyonların türevlerinin toplamına/farkına eşittir.

(a) seçeneği:

\( \dfrac{d}{dx}(\dfrac{\sqrt{2}}{x^2} - \dfrac{1}{3x^5} + 2\sqrt{3}x^3 - \dfrac{5}{4x^3}) \)

\( = \dfrac{d}{dx}(\sqrt{2}x^{-2} - \dfrac{1}{3}x^{-5} + 2\sqrt{3}x^3 - \dfrac{5}{4}x^{-3}) \)

\( = \sqrt{2} \cdot (-2)x^{-2 - 1} - \dfrac{1}{3} \cdot (-5)x^{-5 - 1} + 2\sqrt{3} \cdot 3x^{3 - 1} - \dfrac{5}{4} \cdot (-3)x^{-3 - 1} \)

\( = -2\sqrt{2}x^{-3} + \dfrac{5}{3}x^{-6} + 6\sqrt{3}x^2 + \dfrac{15}{4}x^{-4} \)

\( = -\dfrac{2\sqrt{2}}{x^3} + \dfrac{5}{3x^6} + 6\sqrt{3}x^2 + \dfrac{15}{4x^4} \)

(b) seçeneği:

\( \dfrac{d}{dx}(4\sqrt{x} - \dfrac{1}{2\sqrt{x}} - \dfrac{10\sqrt{5}}{3}\sqrt[5]{x^3} + \dfrac{8\sqrt{2}}{3}\sqrt[4]{x^3}) \)

\( = \dfrac{d}{dx}(4x^{\frac{1}{2}} - \dfrac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} - \dfrac{10\sqrt{5}}{3}x^{\frac{3}{5}} + \dfrac{8\sqrt{2}}{3}x^{\frac{3}{4}}) \)

\( = 4 \cdot \dfrac{1}{2}x^{\frac{1}{2} - 1} - \dfrac{1}{2} \cdot (-\dfrac{1}{2})x^{-\frac{1}{2} - 1} - \dfrac{10\sqrt{5}}{3} \cdot \dfrac{3}{5}x^{\frac{3}{5} - 1} + \dfrac{8\sqrt{2}}{3} \cdot \dfrac{3}{4}x^{\frac{3}{4} - 1} \)

\( = 2x^{-\frac{1}{2}} + \dfrac{1}{4}x^{-\frac{3}{2}} - 2\sqrt{5}x^{-\frac{2}{5}} + 2\sqrt{2}x^{-\frac{1}{4}} \)

\( = \dfrac{2}{\sqrt{x}} + \dfrac{1}{4\sqrt{x^3}} - \dfrac{2\sqrt{5}}{\sqrt[5]{x^2}} + \dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt[4]{x}} \)

(c) seçeneği:

\( \dfrac{d}{dx}(\dfrac{1}{3\sqrt{x}} - \dfrac{4\sqrt{3}}{5\sqrt{x^3}} + \sqrt[7]{x^8} - \sqrt[8]{x^7} + 18) \)

\( = \dfrac{d}{dx}(\dfrac{1}{3}x^{-\frac{1}{2}} - \dfrac{4\sqrt{3}}{5}x^{-\frac{3}{2}} + x^{\frac{8}{7}} - x^{\frac{7}{8}} + 18) \)

Sabit fonksiyonların tüm noktalarda eğimi sabit ve sıfır olduğu için türevi de tüm noktalarda sabit ve sıfırdır.

\( = \dfrac{1}{3} \cdot (-\dfrac{1}{2})x^{-\frac{1}{2} - 1} - \dfrac{4\sqrt{3}}{5} \cdot (-\dfrac{3}{2})x^{-\frac{3}{2} - 1} + \dfrac{8}{7}x^{\frac{8}{7} - 1} - \dfrac{7}{8}x^{\frac{7}{8} - 1} + 0 \)

\( = -\dfrac{1}{6}x^{-\frac{3}{2}} + \dfrac{6\sqrt{3}}{5}x^{-\frac{5}{2}} + \dfrac{8}{7}x^{\frac{1}{7}} - \dfrac{7}{8}x^{-\frac{1}{8}} \)

\( = -\dfrac{1}{6\sqrt{x^3}} + \dfrac{6\sqrt{3}}{5\sqrt{x^5}} + \dfrac{8}{7}\sqrt[7]{x} - \dfrac{7}{8\sqrt[8]{x}} \)

Kuvvet fonksiyonlarının türevini alırken değişkenin üssü terimin önüne katsayı olarak yazılır ve üs değerinden bir çıkarılır.

İki fonksiyonun toplamının/farkının türevi, fonksiyonların türevlerinin toplamına/farkına eşittir.

(a) seçeneği:

\( \dfrac{d}{dx}(x^{\sqrt{2} + 1} - \dfrac{1}{x} - \sqrt{3}x^{2\sqrt{3}}) \)

\( = \dfrac{d}{dx}(x^{\sqrt{2} + 1} - x^{-1} - \sqrt{3}x^{2\sqrt{3}}) \)

\( = (\sqrt{2} + 1)x^{\sqrt{2} + 1 - 1} - (-1)x^{-1 - 1} - \sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3}x^{2\sqrt{3} - 1} \)

\( = (\sqrt{2} + 1)x^{\sqrt{2}} + x^{-2} - 6x^{2\sqrt{3} - 1} \)

\( = (\sqrt{2} + 1)x^{\sqrt{2}} + \dfrac{1}{x^2} - 6x^{2\sqrt{3} - 1} \)

(b) seçeneği:

\( \dfrac{d}{dx}(x^{\pi} + x^{\pi^{e}} - \pi^{e}) \)

Sabit fonksiyonların tüm noktalarda eğimi sabit ve sıfır olduğu için türevi de tüm noktalarda sabit ve sıfırdır.

\( = \pi x^{\pi - 1} + \pi^{e} x^{\pi^{e} - 1} - 0 \)

\( = \pi x^{\pi - 1} + \pi^{e} x^{\pi^{e} - 1} \)

(c) seçeneği:

\( \dfrac{d}{dx}(x^{e^2 + 1} + \dfrac{2e}{5}x^{\frac{10}{e}} - 2\sqrt{x^e}) \)

\( = \dfrac{d}{dx}(x^{e^2 + 1} + \dfrac{2e}{5}x^{\frac{10}{e}} - 2x^{\frac{e}{2}}) \)

\( = (e^2 + 1)x^{e^2 + 1 - 1} + \dfrac{2e}{5} \cdot \dfrac{10}{e}x^{\frac{10}{e} - 1} - 2 \cdot \dfrac{e}{2}x^{\frac{e}{2} - 1} \)

\( = (e^2 + 1)x^{e^2} + 4x^{\frac{10 - e}{e}} - ex^{\frac{e - 2}{2}} \)

Kuvvet fonksiyonlarının türevini alırken değişkenin üssü terimin önüne katsayı olarak yazılır ve üs değerinden bir çıkarılır.

İki fonksiyonun toplamının/farkının türevi, fonksiyonların türevlerinin toplamına/farkına eşittir.

(a) seçeneği:

\( \dfrac{d}{dt}(t^2 - xt + t^{x + 1}) \)

İfadenin \( t \) değişkenine göre türevi istendiği için türev alırken \( x \) ifadeleri birer sabit olarak kabul edilir.

\( = 2t^{2 - 1} - xt^{1 - 1} + (x + 1)t^{x + 1 - 1} \)

\( = 2t - x + (x + 1)t^x \)

(b) seçeneği:

\( \dfrac{d}{dz}(e^x - 3\sqrt{x} + 5y) \)

İfadenin \( z \) değişkenine göre türevi istendiği için türev alırken \( x \) ve \( y \) ifadeleri birer sabit olarak kabul edilir.

Verilen ifade \( z \) değişkeni içermediği için tüm ifade sabit terim olarak kabul edilir.

Sabit fonksiyonların tüm noktalarda eğimi sabit ve sıfır olduğu için türevi de tüm noktalarda sabit ve sıfırdır.

\( = 0 \)

(c) seçeneği:

\( \dfrac{d}{dw}(w^z + wz - \dfrac{1}{wz}) \)

\( = \dfrac{d}{dw}(w^z + zw - \dfrac{1}{z}w^{-1}) \)

İfadenin \( w \) değişkenine göre türevi istendiği için türev alırken \( z \) ifadeleri birer sabit olarak kabul edilir.

\( = zw^{z - 1} + zw^{1 - 1} - \dfrac{1}{z} \cdot (-1)w^{-1 - 1} \)

\( = zw^{z - 1} + z + \dfrac{1}{z}w^{-2} \)

\( = zw^{z - 1} + z + \dfrac{1}{zw^2} \)

Kuvvet fonksiyonlarının türevini alırken değişkenin üssü terimin önüne katsayı olarak yazılır ve üs değerinden bir çıkarılır.

İki fonksiyonun toplamının/farkının türevi, fonksiyonların türevlerinin toplamına/farkına eşittir.

(a) seçeneği:

\( y = \dfrac{x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{3}}}{x^{\frac{1}{6}}} \)

Verilen ifadenin türevini almadan önce ifadeyi düzenleyelim.

\( = \dfrac{x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{6}}} + \dfrac{x^{\frac{5}{3}}}{x^{\frac{1}{6}}} \)

\( = x^{\frac{3}{2} - \frac{1}{6}} + x^{\frac{5}{3} - \frac{1}{6}} \)

\( = x^{\frac{4}{3}} + x^{\frac{3}{2}} \)

\( y' = (x^{\frac{4}{3}} + x^{\frac{3}{2}})' \)

\( = \dfrac{4}{3}x^{\frac{4}{3} - 1} + \dfrac{3}{2}x^{\frac{3}{2} - 1} \)

\( = \dfrac{4}{3}x^{\frac{1}{3}} + \dfrac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} \)

(b) seçeneği:

\( y = \dfrac{4\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x^3}} \)

Verilen ifadenin türevini almadan önce ifadeyi düzenleyelim.

\( = \dfrac{4x^{\frac{1}{2}} - 2}{x^{\frac{3}{2}}} \)

\( = \dfrac{4x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}} - \dfrac{2}{x^{\frac{3}{2}}} \)

\( = 4x^{\frac{1}{2} - \frac{3}{2}} - 2x^{-\frac{3}{2}} \)

\( = 4x^{-1} - 2x^{-\frac{3}{2}} \)

\( y' = (4x^{-1} - 2x^{-\frac{3}{2}})' \)

\( = 4 \cdot (-1)x^{-1 - 1} - 2 \cdot (-\dfrac{3}{2}) x^{-\frac{3}{2} - 1} \)

\( = -4x^{-2} + 3x^{-\frac{5}{2}} \)

\( = -\dfrac{4}{x^2} + \dfrac{3}{\sqrt{x^5}} \)

(c) seçeneği:

\( y = \dfrac{(2 + 5\sqrt{x})^2}{10x} \)

Verilen ifadenin türevini almadan önce ifadeyi düzenleyelim.

\( = \dfrac{2^2 + 20\sqrt{x} + (5\sqrt{x})^2}{10x} \)

\( = \dfrac{4}{10x} + \dfrac{20\sqrt{x}}{10x} + \dfrac{25x}{10x} \)

\( = \dfrac{2}{5}x^{-1} + 2x^{-\frac{1}{2}} + \dfrac{5}{2} \)

\( y' = (\dfrac{2}{5}x^{-1} + 2x^{-\frac{1}{2}} + \dfrac{5}{2})' \)

Sabit fonksiyonların tüm noktalarda eğimi sabit ve sıfır olduğu için türevi de tüm noktalarda sabit ve sıfırdır.

\( = \dfrac{2}{5} \cdot (-1)x^{-1 - 1} + 2 \cdot (-\dfrac{1}{2})x^{-\frac{1}{2} - 1} + 0 \)

\( = -\dfrac{2}{5}x^{-2} - x^{-\frac{3}{2}} \)

\( = -\dfrac{2}{5x^2} - \dfrac{1}{\sqrt{x^3}} \)

Kuvvet fonksiyonlarının türevini alırken değişkenin üssü terimin önüne katsayı olarak yazılır ve üs değerinden bir çıkarılır.

İki fonksiyonun toplamının/farkının türevi, fonksiyonların türevlerinin toplamına/farkına eşittir.

(a) seçeneği:

\( y = \dfrac{(3x + \sqrt{x})(4 + 2\sqrt{x})}{x\sqrt{x}} \)

Verilen ifadenin türevini almadan önce ifadeyi düzenleyelim.

\( = \dfrac{12x + 6x\sqrt{x} + 4\sqrt{x} + 2x}{x\sqrt{x}} \)

\( = \dfrac{14x + 6x\sqrt{x} + 4\sqrt{x}}{x\sqrt{x}} \)

\( = \dfrac{14}{\sqrt{x}} + 6 + \dfrac{4}{x} \)

\( = 14x^{-\frac{1}{2}} + 6 + 4x^{-1} \)

\( y' = (14x^{-\frac{1}{2}} + 6 + 4x^{-1})' \)

Sabit fonksiyonların tüm noktalarda eğimi sabit ve sıfır olduğu için türevi de tüm noktalarda sabit ve sıfırdır.

\( = 14 \cdot (-\dfrac{1}{2})x^{-\frac{1}{2} - 1} + 0 + 4 \cdot (-1)x^{-1 - 1} \)

\( = -7x^{-\frac{3}{2}} - 4x^{-2} \)

\( = -\dfrac{7}{\sqrt{x^3}} - \dfrac{4}{x^2} \)

(b) seçeneği:

\( y = \dfrac{(3x + 1)(2x + 4)}{2\sqrt{x^5}} \)

Verilen ifadenin türevini almadan önce ifadeyi düzenleyelim.

\( = \dfrac{6x^2 + 12x + 2x + 4}{2x^{\frac{5}{2}}} \)

\( = \dfrac{6x^2 + 14x + 4}{2x^{\frac{5}{2}}} \)

\( = \dfrac{6x^2}{2x^{\frac{5}{2}}} + \dfrac{14x}{2x^{\frac{5}{2}}} + \dfrac{4}{2x^{\frac{5}{2}}} \)

\( = 3x^{2 - \frac{5}{2}} + 7x^{1 - \frac{5}{2}} + 2x^{-\frac{5}{2}} \)

\( = 3x^{-\frac{1}{2}} + 7x^{-\frac{3}{2}} + 2x^{-\frac{5}{2}} \)

\( y' = (3x^{-\frac{1}{2}} + 7x^{-\frac{3}{2}} + 2x^{-\frac{5}{2}})' \)

\( = 3 \cdot (-\dfrac{1}{2})x^{-\frac{1}{2} - 1} + 7 \cdot (-\dfrac{3}{2})x^{-\frac{3}{2} - 1} + 2 \cdot (-\dfrac{5}{2})x^{-\frac{5}{2} - 1} \)

\( = -\dfrac{3}{2}x^{-\frac{3}{2}} - \dfrac{21}{2}x^{-\frac{5}{2}} - 5x^{-\frac{7}{2}} \)

\( = -\dfrac{3}{2\sqrt{x^3}} - \dfrac{21}{2\sqrt{x^5}} - \dfrac{5}{\sqrt{x^7}} \)

(c) seçeneği:

\( y = \dfrac{(x^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{1}{4}})(x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{4}})}{x^{\frac{1}{2}}} \)

Verilen ifadenin türevini almadan önce ifadeyi düzenleyelim.

Paydaki ifadede kare farkı özdeşliğini kullanalım.

\( = \dfrac{(x^{\frac{1}{3}})^2 - (x^{\frac{1}{4}})^2}{x^{\frac{1}{2}}} \)

\( = \dfrac{x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} \)

\( = \dfrac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{1}{2}}} - \dfrac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} \)

\( = x^{\frac{2}{3} - \frac{1}{2}} - 1 \)

\( = x^{\frac{1}{6}} - 1 \)

\( y' = (x^{\frac{1}{6}} - 1)' \)

Sabit fonksiyonların tüm noktalarda eğimi sabit ve sıfır olduğu için türevi de tüm noktalarda sabit ve sıfırdır.

\( = \dfrac{1}{6}x^{\frac{1}{6} - 1} - 0 \)

\( = \dfrac{1}{6}x^{-\frac{5}{6}} \)

\( = \dfrac{1}{6x^{\frac{5}{6}}} \)

Kuvvet fonksiyonlarının türevini alırken değişkenin üssü terimin önüne katsayı olarak yazılır ve üs değerinden bir çıkarılır.

İki fonksiyonun toplamının/farkının türevi, fonksiyonların türevlerinin toplamına/farkına eşittir.

(a) seçeneği:

\( y = \dfrac{\sqrt[7]{x^4} - 2x^2\sqrt{x}}{4x} \)

Verilen ifadenin türevini almadan önce ifadeyi düzenleyelim.

\( = \dfrac{x^{\frac{4}{7}} - 2x^{\frac{5}{2}}}{4x} \)

\( = \dfrac{x^{\frac{4}{7}}}{4x} - \dfrac{2x^{\frac{5}{2}}}{4x} \)

\( = \dfrac{1}{4}x^{\frac{4}{7} - 1} - \dfrac{1}{2}x^{\frac{5}{2} - 1} \)

\( = \dfrac{1}{4}x^{-\frac{3}{7}} - \dfrac{1}{2}x^{\frac{3}{2}} \)

\( y' = (\dfrac{1}{4}x^{-\frac{3}{7}} - \dfrac{1}{2}x^{\frac{3}{2}})' \)

\( = \dfrac{1}{4} \cdot (-\dfrac{3}{7})x^{-\frac{3}{7} - 1} - \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{2}x^{\frac{3}{2} - 1} \)

\( = -\dfrac{3}{28}x^{-\frac{10}{7}} - \dfrac{3}{4}x^{\frac{1}{2}} \)

\( = -\dfrac{3}{28\sqrt[7]{x^{10}}} - \dfrac{3}{4}\sqrt{x} \)

(b) seçeneği:

\( y = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}(\dfrac{3}{5x} - 4) \)

Verilen ifadenin türevini almadan önce ifadeyi düzenleyelim.

\( = \dfrac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}(\dfrac{3}{5}x^{-1} - 4) \)

\( = \dfrac{3}{10}x^{-\frac{1}{2} - 1} - 2x^{-\frac{1}{2}} \)

\( = \dfrac{3}{10}x^{-\frac{3}{2}} - 2x^{-\frac{1}{2}} \)

\( y' = (\dfrac{3}{10}x^{-\frac{3}{2}} - 2x^{-\frac{1}{2}})' \)

\( = \dfrac{3}{10} \cdot (-\dfrac{3}{2})x^{-\frac{3}{2} - 1} - 2 \cdot (-\dfrac{1}{2})x^{-\frac{1}{2} - 1} \)

\( = -\dfrac{9}{20}x^{-\frac{5}{2}} + x^{-\frac{3}{2}} \)

\( = -\dfrac{9}{20\sqrt{x^5}} + \dfrac{1}{\sqrt{x^3}} \)

(c) seçeneği:

\( y = 3x^3\sqrt{x}(\dfrac{3}{x^2} - \dfrac{6}{\sqrt{x}}) \)

Verilen ifadenin türevini almadan önce ifadeyi düzenleyelim.

\( = 3\sqrt{x^7}(\dfrac{3}{x^2} - \dfrac{6}{\sqrt{x}}) \)

\( = 3x^{\frac{7}{2}}(3x^{-2} - 6x^{-\frac{1}{2}}) \)

\( = 9x^{\frac{7}{2} - 2} - 18x^{\frac{7}{2} - {\frac{1}{2}}} \)

\( = 9x^{\frac{3}{2}} - 18x^3 \)

\( y' = (9x^{\frac{3}{2}} - 18x^3)' \)

\( = 9 \cdot \dfrac{3}{2}x^{\frac{3}{2} - 1} - 18 \cdot 3x^{3 - 1} \)

\( = \dfrac{27}{2}x^{\frac{1}{2}} - 54x^2 \)

\( = \dfrac{27}{2}\sqrt{x} - 54x^2 \)

\( f(x) = (x - \dfrac{1}{x})^3 \)

Parantez küpü ifadesinin açılımını yazalım.

\( f(x) = x^3 - 3x^2\dfrac{1}{x} + 3x\dfrac{1}{x^2} - \dfrac{1}{x^3} \)

\( = x^3 - 3x + \dfrac{3}{x} - \dfrac{1}{x^3} \)

\( = x^3 - 3x + 3x^{-1} - x^{-3} \)

Fonksiyonun türevini alalım.

\( f'(x) = (x^3 - 3x + 3x^{-1} - x^{-3})' \)

\( = 3x^2 - 3 - 3x^{-2} + 3x^{-4} \)

\( f'(x) = 3x^2 - 3 - \dfrac{3}{x^2} + \dfrac{3}{x^4} \)

\( f(x) = 3(x - 2)(x + 2)(2x - 1) \)

Parantezleri genişleterek fonksiyonu açık haliyle yazalım.

\( f(x) = (3x^2 - 12)(2x - 1) \)

\( = 6x^3 - 3x^2 - 24x + 12 \)

Fonksiyonun türevini alalım.

\( f'(x) = (6x^3 - 3x^2 - 24x + 12)' \)

\( = 18x^2 - 6x - 24 \)

Türev fonksiyonunda \( x = 2 \) yazarak \( f'(2) \) değerini bulalım.

\( f'(2) = 18(2)^2 - 6(2) - 24 = 36 \) bulunur.

\( \frac{d f(t)}{dt} \) ifadesi \( f \) fonksiyonunun \( t \) değişkenine göre türevidir.

Fonksiyonun terimlerini üslü ifade şeklinde yazalım.

\( f \) fonksiyonu \( t \) değişkenine bağlı bir fonksiyon olarak tanımlandığı için \( a \), \( b \) ve \( c \) ifadelerini sabit birer değer olarak düşünebiliriz.

\( f(t) = at^3 - bt^{\frac{2}{5}} + ct^{-\frac{1}{3}} \)

Fonksiyonun türevini alalım.

\( f'(t) = 3at^2 - \dfrac{2}{5}bt^{\frac{2}{5} - 1} + (-\dfrac{1}{3})ct^{-\frac{1}{3} - 1} \)

\( = 3at^2 - \dfrac{2}{5}bt^{-\frac{3}{5}} - \dfrac{1}{3}ct^{-\frac{4}{3}} \)

\( = 3at^2 - \dfrac{2b}{5\sqrt[5]{t^3}} - \dfrac{c}{3\sqrt[3]{t^4}} \)

\( f \) fonksiyonunu türev toplama ve çıkarma kurallarını kullanabileceğimiz şekilde üslü ifadelerin toplamı/farkı formuna getirelim.

\( f(x) = \dfrac{2x^2\sqrt{x} - 2x^2\frac{3}{\sqrt{x}}}{\sqrt[3]{x^2}} \)

\( = \dfrac{2x^2x^{\frac{1}{2}} - 6x^2x^{-\frac{1}{2}}}{x^{\frac{2}{3}}} \)

\( = \dfrac{2x^{2 + \frac{1}{2}} - 6x^{2 -\frac{1}{2}}}{x^{\frac{2}{3}}} \)

\( = \dfrac{2x^{\frac{5}{2}} - 6x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{2}{3}}} \)

Kesirli ifadeyi iki kesirin farkı şeklinde yazalım.

\( = \dfrac{2x^{\frac{5}{2}}}{x^{\frac{2}{3}}} - \dfrac{6x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{2}{3}}} \)

\( = 2x^{\frac{5}{2} - \frac{2}{3}} - 6x^{\frac{3}{2} - \frac{2}{3}} \)

\( = 2x^{\frac{11}{6}} - 6x^{\frac{5}{6}} \)

Fonksiyonun türevini alalım.

\( f'(x) = 2 \cdot \dfrac{11}{6}x^{\frac{11}{6} - 1} - 6 \cdot \dfrac{5}{6}x^{\frac{5}{6} - 1} \)

\( = \dfrac{11}{3}x^{\frac{5}{6}} - 5x^{-\frac{1}{6}} \)

Üsleri kesirli olan ifadeleri köklü ifadeye çevirelim.

\( = \dfrac{11\sqrt[6]{x^5}}{3} - \dfrac{5}{\sqrt[6]{x}} \) bulunur.

Çarpma kuralını kullanarak fonksiyonun türevini alalım.

\( f'(x) = (\sqrt{x})'\sqrt[3]{x} + \sqrt{x}(\sqrt[3]{x})' \)

\( = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\sqrt[3]{x} + \sqrt{x}\dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} \)

\( f'(64) \) değerini bulmak için \( x = 64 \) koyalım.

\( f'(64) = \dfrac{1}{2\sqrt{64}}\sqrt[3]{64} + \sqrt{64}\dfrac{1}{3\sqrt[3]{64^2}} \)

\( = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{12} \) bulunur.

Çarpma kuralını kullanarak fonksiyonların çarpımının türevini alalım.

\( (f \cdot g)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) \)

\( = (2x^2 + x + 3)'(4x + 4) + (2x^2 + x + 3)(4x + 4)' \)

\( = (4x + 1)(4x + 4) + (2x^2 + x + 3)4 \)

\( = 16x^2 + 20x + 4 + 8x^2 + 4x + 12 \)

\( = 24x^2 + 24x + 16 \)

\( (f \cdot g)'(3) \) değerini bulmak için \( x = 3 \) koyalım.

\( (f \cdot g)'(3) = 24(3)^2 + 24(3) + 16 \)

\( = 216 + 72 + 16 = 304 \) bulunur.

1. yöntem:

Parantezleri genişleterek ifadenin açılımını yazalım.

\( f(x) = 8x^2 + 14x + 3 \)

Fonksiyonun türevini alalım.

\( f'(x) = 16x + 14 \)

\( f'(2) \) değerini bulmak için \( x = 2 \) koyalım.

\( f'(2) = 16(2) + 14 = 46 \)

2. yöntem:

Çarpma kuralını kullanarak fonksiyonun türevini alalım.

\( f'(x) = [(4x + 1)(2x + 3)]' \)

\( = (4x + 1)'(2x + 3) + (4x + 1)(2x + 3)' \)

\( = 4(2x + 3) + (4x + 1)2 \)

\( = 8x + 12 + 8x + 2 \)

\( = 16x + 14 \)

\( f'(2) \) değerini bulmak için \( x = 2 \) koyalım.

\( f'(2) = 16(2) + 14 = 46 \)

Çarpma kuralını kullanarak fonksiyonların türevini alalım.

(a) seçeneği:

\( f(x) = x^3\cos{x} \)

Fonksiyonun çarpanlarını aşağıdaki şekilde belirleyelim.

\( g(x) = x^3, \quad h(x) = \cos{x} \)

\( f(x) = g(x) \cdot h(x) \)

\( f'(x) = [g(x) \cdot h(x)]' \)

\( = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x) \)

\( = (x^3)' \cdot \cos{x} + x^3 \cdot (\cos{x})' \)

\( = 3x^2\cos{x} + x^3(-\sin{x}) \)

\( = 3x^2\cos{x} - x^3\sin{x} \)

(b) seçeneği:

\( f(x) = x^2\ln{x} \)

Fonksiyonun çarpanlarını aşağıdaki şekilde belirleyelim.

\( g(x) = x^2, \quad h(x) = \ln{x} \)

\( f(x) = g(x) \cdot h(x) \)

\( f'(x) = [g(x) \cdot h(x)]' \)

\( = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x) \)

\( = (x^2)' \cdot \ln{x} + x^2 \cdot (\ln{x})' \)

\( = 2x\ln{x} + x^2 \cdot \dfrac{1}{x} \)

\( = 2x\ln{x} + x \)

(c) seçeneği:

\( f(x) = e^x(\sin{x} + \cos{x}) \)

Fonksiyonun çarpanlarını aşağıdaki şekilde belirleyelim.

\( g(x) = e^x, \quad h(x) = \sin{x} + \cos{x} \)

\( f(x) = g(x) \cdot h(x) \)

\( f'(x) = [g(x) \cdot h(x)]' \)

\( = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x) \)

\( = (e^x)' \cdot (\sin{x} + \cos{x}) + e^x \cdot (\sin{x} + \cos{x})' \)

\( = e^x \cdot (\sin{x} + \cos{x}) + e^x \cdot (\cos{x} - \sin{x}) \)

\( = e^x\sin{x} + e^x\cos{x} + e^x\cos{x} - e^x\sin{x} \)

\( = 2e^x\cos{x} \)

Çarpma kuralını kullanarak \( f \) fonksiyonunun türevini alalım.

\( f'(x) = (x^3)' \cdot g(x) + x^3 \cdot g'(x) \)

\( f'(x) = 3x^2 \cdot g(x) + x^3 \cdot g'(x) \)

\( f'(2) \) değerini bulmak için \( x = 2 \) koyalım.

\( f'(2) = 3(2)^2 \cdot g(2) + 2^3 \cdot g'(2) \)

Soruda verilen değerleri yerine koyalım.

\( = 12 \cdot 4 + 8 \cdot 3 \)

\( = 72 \) bulunur.

Bölme kuralını kullanarak fonksiyonların türevini alalım.

(a) seçeneği:

\( f(x) = \dfrac{3x}{x^2 + x} \)

\( f'(x) = \dfrac{(3x)' \cdot (x^2 + x) - 3x \cdot (x^2 + x)'}{(x^2 + x)^2} \)

\( = \dfrac{3 \cdot (x^2 + x) - 3x \cdot (2x + 1)}{(x^2 + x)^2} \)

\( = \dfrac{3x^2 + 3x - 6x^2 - 3x}{(x^2 + x)^2} \)

\( = -\dfrac{3x^2}{(x^2 + x)^2} \)

(b) seçeneği:

\( g(x) = \dfrac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt{x}} \)

\( g'(x) = \dfrac{(\sqrt[3]{x})' \cdot \sqrt{x} - \sqrt[3]{x} \cdot (\sqrt{x})'}{(\sqrt{x})^2} \)

\( = \dfrac{\dfrac{\sqrt{x}}{3\sqrt[3]{x^2}} - \dfrac{\sqrt[3]{x}}{2\sqrt{x}}}{x} \)

Payı ve paydayı 6 ile çarpalım.

\( = \dfrac{2x^{\frac{1}{2}}x^{-\frac{2}{3}} - 3x^{\frac{1}{3}}x^{-\frac{1}{2}}}{6x} \)

\( = \dfrac{2x^{-\frac{1}{6}} - 3x^{-\frac{1}{6}}}{6x} \)

\( = -\dfrac{x^{-\frac{1}{6}}}{6x} \)

\( = -\dfrac{1}{6x\sqrt[6]{x}} \)

(c) seçeneği:

\( h(x) = \dfrac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} \)

\( h'(x) = \dfrac{(\sqrt{x} + 1)' \cdot (\sqrt{x} - 1) - (\sqrt{x} + 1) \cdot (\sqrt{x} - 1)'}{(\sqrt{x} - 1)^2} \)

\( = \dfrac{\frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot (\sqrt{x} - 1) - (\sqrt{x} + 1) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}{(\sqrt{x} - 1)^2} \)

\( = -\dfrac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)^2} \)

(a) seçeneği:

\( f(x) = \dfrac{\sin{x}}{x^2} \)

Bölme kuralını kullanarak fonksiyonun türevini alalım.

\( f'(x) = \dfrac{(\sin{x})' \cdot x^2 - \sin{x} \cdot (x^2)'}{(x^2)^2} \)

\( = \dfrac{\cos{x} \cdot x^2 - \sin{x} \cdot 2x}{x^4} \)

\( = \dfrac{x\cos{x} - 2\sin{x}}{x^3} \)

(b) seçeneği:

\( g(x) = \dfrac{1 - \cos{x}}{1 + \sin{x}} \)

Bölme kuralını kullanarak fonksiyonun türevini alalım.

\( g'(x) = \dfrac{(1 - \cos{x})' \cdot (1 + \sin{x}) - (1 - \cos{x}) \cdot (1 + \sin{x})'}{(1 + \sin{x})^2} \)

\( = \dfrac{\sin{x} \cdot (1 + \sin{x}) - (1 - \cos{x}) \cdot \cos{x}}{(1 + \sin{x})^2} \)

\( = \dfrac{\sin{x} + \sin^2{x} - \cos{x} + \cos^2{x}}{(1 + \sin{x})^2} \)

\( = \dfrac{1 + \sin{x} - \cos{x}}{(1 + \sin{x})^2} \)

(c) seçeneği:

\( h(x) = \dfrac{e^x + 5}{e^x - 5} \)

Bölme kuralını kullanarak fonksiyonun türevini alalım.

\( h'(x) = \dfrac{(e^x + 5)' \cdot (e^x - 5) - (e^x + 5) \cdot (e^x - 5)'}{(e^x - 5)^2} \)

\( = \dfrac{e^x \cdot (e^x - 5) - (e^x + 5) \cdot e^x}{(e^x - 5)^2} \)

\( = \dfrac{e^x(e^x - 5 - (e^x + 5))}{(e^x - 5)^2} \)

\( = -\dfrac{10e^x}{(e^x - 5)^2} \)

Bölme kuralını kullanarak fonksiyonun türevini alalım.

\( f'(x) = \dfrac{(\ln{x})' \cdot (1 - \ln{x}) - \ln{x} \cdot (1 - \ln{x})'}{(1 - \ln{x})^2} \)

\( = \dfrac{\frac{1}{x} \cdot (1 - \ln{x}) - \ln{x} \cdot (-\frac{1}{x})}{(1 - \ln{x})^2} \)

\( = \dfrac{\frac{1}{x} - \frac{\ln{x}}{x} + \frac{\ln{x}}{x}}{(1 - \ln{x})^2} \)

\( = \dfrac{1}{x(1 - \ln{x})^2} \) bulunur.

Eşitliğin iki tarafını \( g^2(x) \)'ye bölelim.

\( \dfrac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{g^2(x)} = x^2 - 4x + 13 \)

Eşitliğin sol tarafı iki fonksiyonun bölümünün türevinin formülüdür.

\( (\dfrac{f}{g})'(x) = x^2 - 4x + 13 \)

\( x = 2 \) koyarak istenen türev değerini bulalım.

\( (\dfrac{f}{g})'(2) = 2^2 - 4(2) + 13 \)

\( = 9 \) bulunur.

\( f(1) \) değerini bulmak için \( x = 1 \) koyalım.

\( f(1) = \dfrac{1^2 + m(1)}{3 - 1} \)

\( = \dfrac{1 + m}{2} \)

Bölme kuralını kullanarak fonksiyonun türevini alalım.

\( f'(x) = \dfrac{(x^2 + mx)'(3 - x) - (x^2 + mx)(3 - x)'}{(3 - x)^2} \)

\( = \dfrac{(2x + m)(3 - x) - (x^2 + mx)(-1)}{(3 - x)^2} \)

\( = \dfrac{(2x + m)(3 - x) + (x^2 + mx)}{(3 - x)^2} \)

\( f'(2) \) değerini bulmak için \( x = 2 \) koyalım.

\( f'(2) = \dfrac{(2(2) + m)(3 - 2) + (2^2 + m(2))}{(3 - 2)^2} \)

\( = (4 + m) + (4 + 2m) \)

\( = 3m + 8 \)

Bulduğumuz değerleri verilen eşitlikte yerine yazalım.

\( f(1) + f'(2) = \dfrac{3}{2} \)

\( \dfrac{1 + m}{2} + 3m + 8 = \dfrac{3}{2} \)

\( 1 + m + 6m + 16 = 3 \)

\( 7m = -14 \)

\( m = -2 \) bulunur.

Bölme kuralını kullanarak \( f \) fonksiyonunun türevini alalım.

\( f'(x) = \dfrac{(x^2)' \cdot (g(x) + 1) - x^2 \cdot (g(x) + 1)'}{(g(x) + 1)^2} \)

\( = \dfrac{2x \cdot (g(x) + 1) - x^2 \cdot g'(x)}{(g(x) + 1)^2} \)

\( f'(2) \) değerini bulmak için \( x = 2 \) koyalım.

\( f'(2) = \dfrac{2(2) \cdot (g(2) + 1) - 2^2 \cdot g'(2)}{(g(2) + 1)^2} \)

Soruda verilen değerleri yerine koyalım.

\( = \dfrac{4 \cdot (3 + 1) - 4 \cdot 2}{(3 + 1)^2} \)

\( = \dfrac{16 - 8}{16} = \dfrac{1}{2} \) bulunur.

\( \frac{df}{dx} \) ifadesi fonksiyonun \( x \)'e göre birinci türevidir.

Fonksiyondaki köklü ifadeleri üslü ifadeye çevirelim.

\( f(x) = x^{\frac{1}{2}} - 2x^{\frac{1}{3}} + 3x^{\frac{2}{3}} \)

Fonksiyonun türevini alalım.

\( f'(x) = \dfrac{1}{2}x^{\frac{1}{2} - 1} - 2 \cdot \dfrac{1}{3}x^{\frac{1}{3} - 1} + 3 \cdot \dfrac{2}{3}x^{\frac{2}{3} - 1} \)

\( = \dfrac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} - \dfrac{2}{3}x^{-\frac{2}{3}} + 2x^{-\frac{1}{3}} \)

\( = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} - \dfrac{2}{3\sqrt[3]{x^2}} + \dfrac{2}{\sqrt[3]{x}} \)

\( f'(64) \) değerini bulmak için \( x = 64 \) koyalım.

\( f'(64) = \dfrac{1}{2\sqrt{64}} - \dfrac{2}{3\sqrt[3]{64^2}} + \dfrac{2}{\sqrt[3]{64}} \)

\( = \dfrac{1}{16} - \dfrac{2}{48} + \dfrac{2}{4} \)

\( = \dfrac{25}{48} \) bulunur.

Bölme kuralını kullanarak \( \frac{f + g}{f \cdot g} \) fonksiyonunun türevini alalım.

\( (\dfrac{f + g}{f \cdot g})' = \dfrac{(f + g)' \cdot (f \cdot g) - (f + g) \cdot (f \cdot g)'}{(f \cdot g)^2} \)

Türev toplama ve çarpma kurallarını kullanarak türevi parantez içine dağıtalım.

\( = \dfrac{(f' + g') \cdot (f \cdot g) - (f + g) \cdot (f' \cdot g + f \cdot g')}{(f \cdot g)^2} \)

Soruda verilen değerleri yerine koyalım.

\( (\dfrac{f + g}{f \cdot g})'(2) = \dfrac{(f'(2) + g'(2)) \cdot f(2) \cdot g(2) - (f(2) + g(2)) \cdot (f'(2) \cdot g(2) + f(2) \cdot g'(2))}{(f(2) \cdot g(2))^2} \)

\( = \dfrac{(-1 + 4) \cdot 3 \cdot 2 - (3 + 2) \cdot (-1 \cdot 2 + 3 \cdot 4)}{(3 \cdot 2)^2} \)

\( = \dfrac{18 - 50}{36} = -\dfrac{8}{9} \) bulunur.

\( f(x) \) bir polinom fonksiyonu olduğu için \( f'(x) \) fonksiyonunun derecesi \( f(x) \) fonksiyonunun derecesinden 1 eksik olur.

Buna göre \( f(x) + f'(x) \) fonksiyonu 2. dereceden ise \( f(x) \) de \( 2. \) dereceden olmalıdır.

\( f(x) = ax^2 + bx + c \)

\( f'(x) = 2ax + b \)

\( f(x) + f'(x) = 2x^2 + 8x + 6 \)

\( ax^2 + bx + c + 2ax + b = 2x^2 + 8x + 6 \)

\( ax^2 + (2a + b)x + b + c = 2x^2 + 8x + 6 \)

İki polinomun eşitliğinde aynı dereceli terimlerin katsayıları birbirine eşit olur.

\( a = 2 \)

\( 2a + b = 8 \Longrightarrow b = 4 \)

\( b + c = 6 \Longrightarrow c = 2 \)

\( f(x) = 2x^2 + 4x + 2 \)

\( f(0) \) değerini bulmak için \( x = 0 \) koyalım.

\( f(0) = 2(0)^2 + 4(0) + 2 = 2 \) bulunur.

5. dereceden \( f(x) \) polinom fonksiyonunun 5 farklı noktadaki değeri aynı ve 14 olduğu için, fonksiyonu kökleri bu 5 nokta olan bir fonksiyonun 14 birim yukarı ötelenmiş hali olarak düşünebiliriz.

\( f(x) = a(x + 2)(x + 1)(x - 1)(x - 2)(x - 3) + 14 \)

Fonksiyonun türevini çarpma kuralını kullanarak alırken ilk terimde \( (x - 3) \) çarpanının türevini alalım. Bu durumda kalan 4 terimde bu çarpanın türevi alınmayacağı için \( (x - 3) \) şeklinde bulunacaktır.

\( f'(x) = a(x + 2)(x + 1)(x - 1)(x - 2)(x - 3)' + \ldots \)

\( = a(x + 2)(x + 1)(x - 1)(x - 2) + \ldots \)

\( f'(3) \) değerini bulmak için \( x = 3 \) koyalım. İlk terimden sonraki 4 terim \( (x - 3) \) çarpanını içerdiği için bu terimler 0 olacaktır.

\( f'(3) = a(3 + 2)(3 + 1)(3 - 1)(3 - 2) + 0 = 80 \)

\( = a(5)(4)(2)(1) = 80 \)

\( a = 2 \)

\( f \) fonksiyonu aşağıdaki gibi olur.

\( f(x) = 2(x + 2)(x + 1)(x - 1)(x - 2)(x - 3) + 14 \)

\( f(0) \) değerini bulmak için \( x = 0 \) koyalım.

\( f(0) = 2(0 + 2)(0 + 1)(0 - 1)(0 - 2)(0 - 3) + 14 \)

\( = -10 \) bulunur.

Türev çarpma kuralı üç fonksiyonun çarpımına aşağıdaki şekilde uygulanabilir.

\( (fgh)' = f'gh + fg'h + fgh' \)

Türev değeri istenen nokta (\( x = -1 \)) bu fonksiyonlardan birini (örneğin \( h \) fonksiyonu) sıfır yapıyorsa (\( h(-1) = 0 \)) çarpım kuralında bu fonksiyonun türevinin alındığı terim hariç diğer terimler sıfır olur, dolayısıyla çarpma kuralı formülünü sadece bu fonksiyonun türevinin alındığı terimi içerecek şekilde aşağıdaki şekilde yazabiliriz.

\( (fgh)' = f'g(0) + fg'(0) + fgh' \)

\( (fgh)' = fgh' \)

Sorudaki fonksiyonları incelediğimizde \( x = -1 \) noktasının \( h \) fonksiyonunu sıfır yaptığını görüyoruz.

\( h(-1) = (-1)^3 + 1 = 0 \)

Bu kısa çözümü üç fonksiyonunun çarpımının türevine uygulayalım.

\( (f \cdot g \cdot h)'(x) = x^2(x^4 + 1) (x^3 + 1)' + \ldots \)

\( = x^2(x^4 + 1)3x^2 + \ldots \)

\( (f \cdot g \cdot h)'(-1) \) değerini bulmak için \( x = -1 \) koyalım.

\( (f \cdot g \cdot h)'(-1) = (-1)^2((-1)^4 + 1)3(-1)^2 + 0 \)

\( = 1(2)(3) = 6 \) bulunur.