Büküm Noktaları

Büküm Noktası Tanımı

Bir fonksiyonun grafiğinin konveks/konkav olma durumunun değiştiği, yani konveks iken konkav olduğu ya da konkav iken konveks olduğu noktalara büküm noktası ya da dönüm noktası denir.

Büküm noktaları, bir fonksiyonun grafiğinde eğimin (yani birinci türevinin) artarken azalmaya ya da azalırken artmaya başladığı noktalardır. Ayrıca bir fonksiyonun grafiği büküm noktalarında o noktadaki teğet çizgisinin bir tarafından diğer tarafına geçer.

Büküm noktaları, yatay (durağan) ve durağan olmayan olmak üzere iki tiptir.

Yatay (Durağan) Büküm Noktaları

Bu büküm noktalarında birinci türev (eğim) sıfıra eşittir. Aşağıdaki grafikteki \( a \) ve \( b \) noktaları yatay (durağan) büküm noktalarıdır.

Yatay (durağan) büküm noktaları
Yatay (durağan) büküm noktaları

Durağan Olmayan Büküm Noktaları

Bu büküm noktalarında birinci türev (eğim) sıfırdan farklıdır. Aşağıdaki grafikteki \( a \) ve \( b \) noktaları durağan olmayan büküm noktalarıdır.

Durağan olmayan büküm noktaları
Durağan olmayan büküm noktaları

Büküm noktalarının ortak özelliği bu noktalarda birinci türevin bir yerel minimum ya da maksimum değere ulaşması, dolayısıyla ikinci türevin sıfır olması, ayrıca ikinci türevin bu noktada işaret değiştirmesidir.

Büküm Noktalarının Bulunması

Aşağıdaki tabloda önceki bölümlerde gördüğümüz durağan noktaların, türevlenebilir ekstremum noktaların ve büküm noktalarının bir özeti verilmiştir.

Durağan, ektremum ve büküm noktaları
Durağan, ektremum ve büküm noktaları

Bir büküm noktası fonksiyonun birinci türevinin (eğiminin) artarken azalmaya ya da azalırken artmaya başladığı nokta olduğu için, bu noktada fonksiyonun birinci türevi aynı zamanda türevlenebilir bir yerel minimum ya da maksimum noktası olur.

Buna göre bir noktanın büküm noktası olup olmadığını anlamak için ana fonksiyonun yerel minimum/maksimum noktalarını bulmak için kullandığımız yöntemi fonksiyonun birinci türevine uygulayabiliriz.

Bir fonksiyonun belirli bir noktada ikinci türevinin işaret değiştirip değiştirmediğini yerel minimum/maksimum noktalarını bulmak için kullandığımız iki yöntemle kontrol edebiliriz.

Birinci yöntemde ikinci türevin bu noktanın solundaki ve sağındaki işaretleri karşılaştırılır.

İkinci yöntemde ise fonksiyonun bu noktadaki üçüncü türevine bakılır.

Yukarıdaki koşulları sağlayan bir büküm noktasının yatay (durağan) bir büküm noktası olması için, ek olarak fonksiyonun birinci türevi sıfıra eşit olmalıdır. Bu koşul sağlanmıyorsa bu büküm noktası durağan olmayan bir büküm noktasıdır.

SORU 1 :

\( f(x) = 2x^3 + ax^2 - bx + 4 \)

fonksiyonunun \( x = 1 \) noktasında yerel maksimum noktası ve \( x = -2 \) noktasında büküm noktası olduğuna göre, \( f(-1) \) kaçtır?

\( f \) bir polinom fonksiyonu olduğu için tüm reel sayılarda türevlenebilirdir.

Fonksiyonun türevlenebilir olduğu \( x = 1 \) noktasında yerel maksimum noktası olduğuna göre, bu noktada birinci türevi sıfır olmalıdır.

\( f'(x) = 6x^2 + 2ax - b \)

\( f'(1) = 0 \)

\( 6(1)^2 + 2a(1) - b = 0 \)

\( 2a - b = -6 \)

Fonksiyonun \( x = -2 \) noktasında büküm noktası olduğuna göre, bu noktada ikinci türevi sıfır olmalıdır.

\( f''(x) = 12x + 2a \)

\( f''(-2) = 0 \)

\( 12(-2) + 2a = 0 \)

\( a = 12 \)

\( 2a - b = -6 \Longrightarrow b = 30 \)

Buna göre \( f \) fonksiyonunun tanımı aşağıdaki gibidir.

\( f(x) = 2x^3 + 12x^2 - 30x + 4 \)

\( f(-1) = 2(-1)^3 + 12(-1)^2 - 30(-1) + 4 \)

\( = -2 + 12 + 30 + 4 = 44 \) bulunur.


« Önceki
Mutlak Minimum ve Maksimum Noktaları
Sonraki »
Türev Grafik Yorumu


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır