Zincir Kuralı

Çoğu zaman türevini almak istediğimiz fonksiyon bir bileşke fonksiyon şeklinde karşımıza çıkabilmektedir. Aşağıdaki tabloda örnek bazı bileşke fonksiyonlar (\( f \circ g \)) ve bileşeni olan fonksiyonlar (\( f \) ve \( g \)) verilmiştir.

\( (f \circ g)(x) \) \( f(x) \) \( g(x) \)
\( (2x^3 - 4x)^5 \) \( x^5 \) \( 2x^3 - 4x \)
\( \sqrt{3x^2 + 1} \) \( \sqrt{x} \) \( 3x^2 + 1 \)
\( \sin(-4x^3) \) \( \sin{x} \) \( -4x^3 \)
\( e^{2\sqrt{x}} \) \( e^x \) \( 2\sqrt{x} \)
\( \log_2(x^2 - 8) \) \( \log_2{x} \) \( x^2 - 8 \)

Zincir kuralı ile bir bileşke fonksiyonun türevi, bileşeni olan fonksiyonların türevi cinsinden ifade edilebilir. Zincir kuralı iki farklı formda karşımıza çıkmaktadır.

Zincir Kuralı: Form 1

İki Fonksiyonun Bileşkesi

Buna göre, \( f \circ g \) bileşke fonksiyonunun türevi aşağıdaki iki fonksiyonun çarpımına eşittir.

  • \( f'(g(x)) \): Dıştaki \( f \) fonksiyonunun türevinin içteki \( g \) fonksiyonu ile bileşkesi
  • \( g'(x) \): İçteki \( g \) fonksiyonunun türevi

Zincir kuralı türev işlem kuralları ile karıştırılmamalıdır. \( f \pm g \), \( f \cdot g \) ya da \( f \div g \) şeklinde ifade edilebilen fonksiyonların türevi zincir kuralına ihtiyaç duyulmadan türev işlem kuralları ile alınabilir.

Bununla birlikte zincir kuralı türev işlem kuralları ile birlikte kullanılabilir.

Zincir kuralı bir fonksiyonun kuvvetine aşağıdaki şekilde uygulanabilir.

Bileşke fonksiyonların türevini alırken aşağıdaki iki gösterim arasındaki ayrıma dikkat edilmelidir.

SORU 1 :

Aşağıdaki fonksiyonların türevini bulunuz.

(a) \( f(x) = \dfrac{5}{3\sqrt{2x + 5}} \)

(b) \( g(x) = \dfrac{3}{2(x^2 + 5x - 3)^6} \)

(c) \( h(x) = (\sqrt[3]{x} - 3\sqrt[6]{x})^{12} \)

(a) seçeneği:

\( f(x) = \dfrac{5}{3\sqrt{2x + 5}} \)

\( = \dfrac{5}{3}(2x + 5)^{-\frac{1}{2}} \)

Zincir kuralını kullanarak bileşke fonksiyonun türevini alalım.

\( f'(x) = \dfrac{5}{3}(-\dfrac{1}{2})(2x + 5)^{-\frac{3}{2}}(2x + 5)' \)

\( = -\dfrac{5}{6}(2x + 5)^{-\frac{3}{2}}(2) \)

\( = -\dfrac{5}{3}(2x + 5)^{-\frac{3}{2}} \)

\( = -\dfrac{5}{3\sqrt{(2x + 5)^3}} \)

(b) seçeneği:

\( g(x) = \dfrac{3}{2(x^2 + 5x - 3)^6} \)

\( = \dfrac{3}{2}(x^2 + 5x - 3)^{-6} \)

Zincir kuralını kullanarak bileşke fonksiyonun türevini alalım.

\( g'(x) = \dfrac{3}{2}(-6)(x^2 + 5x - 3)^{-7}(x^2 + 5x - 3)' \)

\( = -9(x^2 + 5x - 3)^{-7}(2x + 5) \)

\( = -\dfrac{9(2x + 5)}{(x^2 + 5x - 3)^7} \)

(c) seçeneği:

\( h(x) = (\sqrt[3]{x} - 3\sqrt[6]{x})^{12} \)

\( = (x^{\frac{1}{3}} - 3x^{\frac{1}{6}})^{12} \)

Zincir kuralını kullanarak bileşke fonksiyonun türevini alalım.

\( h'(x) = 12(x^{\frac{1}{3}} - 3x^{\frac{1}{6}})^{11}(x^{\frac{1}{3}} - 3x^{\frac{1}{6}})' \)

\( = 12(x^{\frac{1}{3}} - 3x^{\frac{1}{6}})^{11}(\dfrac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} - \dfrac{3}{6}x^{-\frac{5}{6}}) \)

\( = (x^{\frac{1}{3}} - 3x^{\frac{1}{6}})^{11}(4x^{-\frac{2}{3}} - 6x^{-\frac{5}{6}}) \)

\( = (\sqrt[3]{x} - 3\sqrt[6]{x})^{11}(\dfrac{4}{\sqrt[3]{x^2}} - \dfrac{6}{\sqrt[6]{x^5}}) \)


SORU 2 :

\( f(x) = 2x^3 \)

\( g(x) = x^5 \)

\( h(x) = \sqrt[3]{x^2} \)

olduğuna göre, aşağıdaki bileşke fonksiyonlarının türevlerini zincir kuralını kullanarak bulunuz.

(a) \( k(x) = (f \circ g)(x) \)

(b) \( l(x) = (g \circ f)(x) \)

(c) \( m(x) = (f \circ h)(x) \)

(d) \( n(x) = (h \circ f)(x) \)

(e) \( s(x) = (h \circ g)(x) \)

(f) \( t(x) = (g \circ h)(x) \)

(a) seçeneği:

\( k(x) = (f \circ g)(x) \)

\( f(x) = 2x^3, \quad g(x) = x^5 \)

\( k'(x) = (f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) \)

\( = 6[g(x)]^2 \cdot (x^5)' \)

\( = 6(x^5)^2 \cdot 5x^4 \)

\( = 30x^{14} \)

(b) seçeneği:

\( l(x) = (g \circ f)(x) \)

\( f(x) = 2x^3, \quad g(x) = x^5 \)

\( l'(x) = (g \circ f)'(x) = g'(f(x)) \cdot f'(x) \)

\( = 5[f(x)]^4 \cdot (2x^3)' \)

\( = 5(2x^3)^4 \cdot 6x^2 \)

\( = 480x^{14} \)

(c) seçeneği:

\( m(x) = (f \circ h)(x) \)

\( f(x) = 2x^3, \quad h(x) = \sqrt[3]{x^2} \)

\( m'(x) = (f \circ h)'(x) = f'(h(x)) \cdot h'(x) \)

\( = 6[h(x)]^2 \cdot (\sqrt[3]{x^2})' \)

\( = 6(\sqrt[3]{x^2})^2 \cdot \dfrac{2}{3\sqrt[3]{x}} \)

\( = 6\sqrt[3]{x^4} \cdot \dfrac{2}{3\sqrt[3]{x}} \)

\( = 4x \)

(d) seçeneği:

\( n(x) = (h \circ f)(x) \)

\( f(x) = 2x^3, \quad h(x) = \sqrt[3]{x^2} \)

\( n'(x) = (h \circ f)'(x) = h'(f(x)) \cdot f'(x) \)

\( = \dfrac{2}{3\sqrt[3]{f(x)}} \cdot (2x^3)' \)

\( = \dfrac{2}{3\sqrt[3]{2x^3}} \cdot 6x^2 \)

\( = \dfrac{4x^2}{x\sqrt[3]{2}} \)

\( = \dfrac{4x}{\sqrt[3]{2}} \)

\( = 2\sqrt[3]{4}x \)

(e) seçeneği:

\( s(x) = (h \circ g)(x) \)

\( g(x) = x^5, \quad h(x) = \sqrt[3]{x^2} \)

\( s'(x) = (h \circ g)'(x) = h'(g(x)) \cdot g'(x) \)

\( = \dfrac{2}{3\sqrt[3]{g(x)}} \cdot (x^5)' \)

\( = \dfrac{2}{3\sqrt[3]{x^5}} \cdot 5x^4 \)

\( = \dfrac{10\sqrt[3]{x^7}}{3} \)

(f) seçeneği:

\( t(x) = (g \circ h)(x) \)

\( g(x) = x^5, \quad h(x) = \sqrt[3]{x^2} \)

\( t'(x) = (g \circ h)'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) \)

\( = 5[h(x)]^4 \cdot (\sqrt[3]{x^2})' \)

\( = 5[\sqrt[3]{x^2}]^4 \cdot \dfrac{2}{3\sqrt[3]{x}} \)

\( = 5\sqrt[3]{x^8} \cdot \dfrac{2}{3\sqrt[3]{x}} \)

\( = \dfrac{10\sqrt[3]{x^7}}{3} \)


SORU 3 :

\( f \) ve \( g \) reel sayılarda türevlenebilir fonksiyonlardır.

\( f(2) = 3, \quad f'(2) = 4 , \quad g'(3) = 6 \) ise,

\( (g \circ f)'(2) \) kaçtır?

Bileşke fonksiyonun türevi için zincir kuralı formülünü yazalım.

\( (g \circ f)'(x) = g'(f(x))f'(x) \)

\( (g \circ f)'(2) \) değeri \( x = 2 \) yazalım.

\( (g \circ f)'(2) = g'(f(2))f'(2) \)

İfadelerin değerlerini yerine koyalım.

\( = g'(3) \cdot 4 = 6 \cdot 4 = 24 \) bulunur.


SORU 4 :

\( f(x) = 2x - 1 \) ve \( g(x) = 3x^2 + 5x \) olduğuna göre,

\( (g \circ f)'(x) \) ifadesini bulunuz.

Bileşke fonksiyonun türevi istendiği için zincir kuralını uygulayalım.

\( (g \circ f)'(x) = g'(f(x))f'(x) \)

Formüldeki ifadeleri bulalım.

\( g'(x) = (3x^2 + 5x)' = 6x + 5 \)

\( g'(f(x)) = 6(2x - 1) + 5 \)

\( = 12x - 1 \)

\( f'(x) = (2x - 1)' = 2 \)

Bulduğumuz ifadeleri yerine koyalım.

\( (g \circ f)'(x) = (12x - 1)2 = 24x - 2 \) bulunur.


SORU 5 :

Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini bulunuz.

(a) \( f(x) = (5x^3 + 3x^2 + 7x)^5 \)

(b) \( f(x) = (\ln{x} + e^x)^7 \)

(c) \( f(x) = \sqrt{x - \cos{x}} \)

(a) seçeneği:

\( f(x) = (5x^3 + 3x^2 + 7x)^5 \)

\( f \) fonksiyonunu iki fonksiyonun bileşkesi şeklinde yazalım.

\( f(x) = (h \circ g)(x) = h(g(x)) \)

\( h(x) = x^5 \)

\( g(x) = 5x^3 + 3x^2 + 7x \)

Zincir kuralı ile \( f \) fonksiyonunun türevini alalım.

\( f'(x) = (h \circ g)'(x) = h'(g(x)) \cdot g'(x) \)

\( = 5[g(x)]^4 \cdot (5x^3 + 3x^2 + 7x)' \)

\( = 5(5x^3 + 3x^2 + 7x)^4 \cdot (15x^2 + 6x + 7) \)

(b) seçeneği:

\( f(x) = (\ln{x} + e^x)^7 \)

\( f \) fonksiyonunu iki fonksiyonun bileşkesi şeklinde yazalım.

\( f(x) = (h \circ g)(x) = h(g(x)) \)

\( h(x) = x^7 \)

\( g(x) = \ln{x} + e^x \)

Zincir kuralı ile \( f \) fonksiyonunun türevini alalım.

\( f'(x) = (h \circ g)'(x) = h'(g(x)) \cdot g'(x) \)

\( = 7[g(x)]^6 \cdot (\ln{x} + e^x)' \)

\( = 7(\ln{x} + e^x)^6 \cdot (\dfrac{1}{x} + e^x) \)

(c) seçeneği:

\( f(x) = \sqrt{x - \cos{x}} \)

\( f \) fonksiyonunu iki fonksiyonun bileşkesi şeklinde yazalım.

\( f(x) = (h \circ g)(x) = h(g(x)) \)

\( h(x) = \sqrt{x} \)

\( g(x) = x - \cos{x} \)

Zincir kuralı ile \( f \) fonksiyonunun türevini alalım.

\( f'(x) = (h \circ g)'(x) = h'(g(x)) \cdot g'(x) \)

\( = \dfrac{1}{2\sqrt{g(x)}} \cdot (x - \cos{x})' \)

\( = \dfrac{1}{2\sqrt{x - \cos{x}}} \cdot (1 + \sin{x}) \)


SORU 6 :

Aşağıdaki fonksiyonların türevini bulunuz.

(a) \( f(x) = (2x - 1)^3\sqrt{x} \)

(b) \( g(x) = 4x^5(3x + 5)^4 \)

(c) \( h(x) = \sqrt[3]{(3x + 1)^4}\sqrt{8x - 3} \)

(a) seçeneği:

\( f(x) = (2x - 1)^3\sqrt{x} \)

Çarpma ve zincir kurallarını kullanarak fonksiyonun türevini alalım.

\( f'(x) = ((2x - 1)^3)'\sqrt{x} + (2x - 1)^3(\sqrt{x})' \)

\( = 3(2x - 1)^2(2x - 1)'\sqrt{x} + (2x - 1)^3\dfrac{1}{2\sqrt{x}} \)

\( = 3(2x - 1)^2(2)\sqrt{x} + (2x - 1)^3\dfrac{1}{2\sqrt{x}} \)

\( = 6(2x - 1)^2\sqrt{x} + (2x - 1)^3\dfrac{1}{2\sqrt{x}} \)

(b) seçeneği:

\( g(x) = 4x^5(3x + 5)^4 \)

Çarpma ve zincir kurallarını kullanarak fonksiyonun türevini alalım.

\( g'(x) = (4x^5)'(3x + 5)^4 + 4x^5((3x + 5)^4)' \)

\( = (20x^4)(3x + 5)^4 + 4x^5(4(3x + 5)^3)(3x + 5)' \)

\( = 20x^4(3x + 5)^4 + 16x^5(3x + 5)^3(3) \)

\( = 20x^4(3x + 5)^4 + 48x^5(3x + 5)^3 \)

(c) seçeneği:

\( h(x) = \sqrt[3]{(3x + 1)^4}\sqrt{8x - 3} \)

Çarpma ve zincir kurallarını kullanarak fonksiyonun türevini alalım.

\( h'(x) = (\sqrt[3]{(3x + 1)^4})'\sqrt{8x - 3} + \sqrt[3]{(3x + 1)^4}(\sqrt{8x - 3})' \)

\( = \dfrac{4}{3}\sqrt[3]{3x + 1}(3x + 1)'\sqrt{8x - 3} + \sqrt[3]{(3x + 1)^4}\dfrac{1}{2\sqrt{8x - 3}}(8x - 3)' \)

\( = \dfrac{4}{3}\sqrt[3]{3x + 1}(3)\sqrt{8x - 3} + \sqrt[3]{(3x + 1)^4}\dfrac{1}{2\sqrt{8x - 3}}(8) \)

\( = 4\sqrt[3]{3x + 1}\sqrt{8x - 3} + \dfrac{4\sqrt[3]{(3x + 1)^4}}{\sqrt{8x - 3}} \)


SORU 7 :

Aşağıdaki fonksiyonların belirtilen noktalardaki türev değerini bulunuz.

(a) \( f(x) = \sqrt{x^2 + 4x + 7} \quad (x = 4) \)

(b) \( g(x) = (x^2 + 8x + 1)^{21} \quad (x = -8) \)

(c) \( h(x) = \dfrac{2}{(x^2 + 1)^3} \quad (x = -1) \)

(a) seçeneği:

\( f(x) = \sqrt{x^2 + 4x + 7} \)

Zincir kuralını kullanarak bileşke fonksiyonun türevini alalım.

\( f'(x) = (\sqrt{x^2 + 4x + 7})' \)

\( = \dfrac{(x^2 + 4x + 7)'}{2\sqrt{x^2 + 4x + 7}} \)

\( = \dfrac{2x + 4}{2\sqrt{x^2 + 4x + 7}} \)

\( = \dfrac{x + 2}{\sqrt{x^2 + 4x + 7}} \)

\( f'(4) \) değerini bulmak için \( x = 4 \) koyalım.

\( f'(4) = \dfrac{4 + 2}{\sqrt{4^2 + 4(4) + 7}} \)

\( = \dfrac{6}{\sqrt{39}} = \dfrac{2\sqrt{39}}{13} \)

(b) seçeneği:

\( g(x) = (x^2 + 8x + 1)^{21} \)

Zincir kuralını kullanarak bileşke fonksiyonun türevini alalım.

\( g'(x) = ((x^2 + 8x + 1)^{21})' \)

\( = 21(x^2 + 8x + 1)^{20}(x^2 + 8x + 1)' \)

\( = 21(x^2 + 8x + 1)^{20}(2x + 8) \)

\( g'(-8) \) değerini bulmak için \( x = -8 \) koyalım.

\( g'(-8) = 21((-8)^2 + 8(-8) + 1)^{20}(2(-8) + 8) \)

\( = 21(1)^{20}(-8) \)

\( = -168 \)

(c) seçeneği:

\( h(x) = \dfrac{2}{(x^2 + 1)^3} \)

\( = 2(x^2 + 1)^{-3} \)

Zincir kuralını kullanarak bileşke fonksiyonun türevini alalım.

\( h'(x) = 2(-3)(x^2 + 1)^{-4}(x^2 + 1)' \)

\( = -6(x^2 + 1)^{-4}(2x) \)

\( = -\dfrac{12x}{(x^2 + 1)^4} \)

\( h'(-1) \) değerini bulmak için \( x = -1 \) koyalım.

\( h'(-1) = -\dfrac{12(-1)}{((-1)^2 + 1)^4} \)

\( = -\dfrac{-12}{16} = \dfrac{3}{4} \)


SORU 8 :

\( f(5x) = 6x^2 + 8x - 1 \) olduğuna göre,

\( f'(10) \) ifadesinin değeri kaçtır?

Verilen eşitlikte iki tarafın türevini alalım. Zincir kuralına göre, bileşke fonksiyonun türevi dıştaki fonksiyonun türevinin içteki fonksiyonla bileşkesi ile içteki fonksiyonun türevinin çarpımına eşittir.

\( (f(5x))' = (6x^2 + 8x - 1)' \)

\( f'(5x)(5x)' = 12x + 8 \)

\( f'(5x)(5) = 12x + 8 \)

\( f'(5x) = \dfrac{12x + 8}{5} \)

\( f'(10) \) değerini bulmak için \( x = 2 \) koyalım.

\( f'(5(2)) = \dfrac{12(2) + 8}{5} \)

\( f'(10) = \dfrac{32}{5} \) bulunur.


SORU 9 :

\( f(2x) = \dfrac{3x - 1}{2x + 1} \) olduğuna göre,

\( f'(-10) \) ifadesinin değeri kaçtır?

Verilen eşitlikte iki tarafın türevini alalım. Zincir kuralına göre, bileşke fonksiyonun türevi dıştaki fonksiyonun türevinin içteki fonksiyonla bileşkesi ile içteki fonksiyonun türevinin çarpımına eşittir.

\( (f(2x))' = (\dfrac{3x - 1}{2x + 1})' \)

Eşitliğin sağ tarafına bölme kuralını uygulayalım.

\( f'(2x)(2x)' = \dfrac{3(2x + 1) - (3x - 1)2}{(2x + 1)^2} \)

\( f'(2x)(2) = \dfrac{6x + 3 - 6x + 2}{(2x + 1)^2} \)

\( f'(2x) = \dfrac{5}{2(2x + 1)^2} \)

\( f'(-10) \) değerini bulmak için \( x = -5 \) koyalım.

\( f'(2(-5)) = \dfrac{5}{2(2(-5) + 1)^2} \)

\( f'(-10) = \dfrac{5}{162} \) bulunur.


SORU 10 :

\( f: \mathbb{R^+} \to \mathbb{R} \) olmak üzere,

\( f(x^2 + x) = x^3 - 3x^2 - 2x + 5 \)

olduğuna göre, \( f'(12) \) ifadesinin değeri kaçtır?

Verilen eşitlikte iki tarafın türevini alalım. Zincir kuralına göre, bileşke fonksiyonun türevi dıştaki fonksiyonun türevinin içteki fonksiyonla bileşkesi ile içteki fonksiyonun türevinin çarpımına eşittir.

\( (f(x^2 + x))' = (x^3 - 3x^2 - 2x + 5)' \)

\( f'(x^2 + x)(x^2 + x)' = 3x^2 - 6x - 2 \)

\( f'(x^2 + x)(2x + 1) = 3x^2 - 6x - 2 \)

\( f'(x^2 + x) = \dfrac{3x^2 - 6x - 2}{2x + 1} \)

\( x^2 + x \) ifadesini 12 yapan \( x \) değerini bulalım.

\( x^2 + x = 12 \)

\( x^2 + x - 12 = 0 \)

\( (x + 4)(x - 3) = 0 \)

\( f \) fonksiyonu pozitif reel sayılarda tanımlı olduğu için \( f'(12) \) değerini bulmak için \( x = 3 \) koyalım.

\( f'(3^2 + 3) = \dfrac{3(3)^2 - 6(3) - 2}{2(3) + 1} \)

\( f'(12) = \dfrac{7}{7} = 1 \) bulunur.


SORU 11 :

\( g \) ve \( h \) türevlenebilir fonksiyonlar olmak üzere,

\( g(x) = h(x - h(g(x))) \) eşitliği veriliyor.

\( h(1) = 2, \quad h'(1) = 3, \quad g(3) = 1 \)

olduğuna göre, \( g'(3) \) değerini bulunuz.

Zincir kuralını kullanarak bileşke fonksiyonun türevini alalım.

\( g'(x) = h'(x - h(g(x))) \cdot (x - h(g(x)))' \)

\( = h'(x - h(g(x))) \cdot (1 - h'(g(x))g'(x)) \)

\( g'(3) \) değerini bulmak için \( x = 3 \) yazalım.

\( g'(3) = h'(3 - h(g(3))) \cdot (1 - h'(g(3))g'(3)) \)

Soruda verilen değerleri yerine koyalım.

\( = h'(3 - h(1))) \cdot (1 - h'(1)g'(3)) \)

\( = h'(3 - 2)(1 - 3g'(3)) \)

\( = h'(1)(1 - 3g'(3)) \)

\( = 3(1 - 3g'(3)) \)

\( g'(3) = 3 - 9g'(3) \)

\( 10g'(3) = 3 \)

\( g'(3) = \dfrac{3}{10} \) bulunur.

Üç Fonksiyonun Bileşkesi

Üç fonksiyonun bileşkesinin türevi aşağıdaki formül kullanılarak alınabilir.

Buna göre, \( f \circ g \circ h \) bileşke fonksiyonunun türevi aşağıdaki üç fonksiyonun çarpımına eşittir.

  • \( f'((g \circ h)(x)) \): En dıştaki \( f \) fonksiyonunun türevinin \( g \circ h \) fonksiyonu ile bileşkesi
  • \( g'(h(x)) \): \( g \) fonksiyonunun türevinin en içteki \( h \) fonksiyonu ile bileşkesi
  • \( h'(x) \): En içteki \( h \) fonksiyonunun türevi
SORU 12 :

Aşağıdaki fonksiyonların türevini bulunuz.

(a) \( f(x) = e^{4\tan(3x)} \)

(b) \( g(x) = \cos^5{e^{2x}} \)

(c) \( h(x) = \sin(\ln(2x^2 + 3x + 1)) \)

(a) seçeneği:

\( f(x) = e^{4\tan(3x)} \)

\( f \) fonksiyonunu üç fonksiyonun bileşkesi şeklinde yazalım.

\( g(x) = e^x \)

\( h(x) = 4\tan{x} \)

\( k(x) = 3x \)

\( h(k(x)) = 4\tan(3x) \)

\( f(x) = g(h(k(x))) = e^{4\tan(3x)} \)

Zincir kuralını kullanarak bileşke fonksiyonun türevini alalım.

\( f'(x) = (g(h(k(x))))' \)

\( = g'(h(k(x))) \cdot (h(k(x)))' \)

\( = g'(h(k(x))) \cdot h'(k(x)) \cdot k'(x) \)

\( = e^{4\tan(3x)} \cdot (4\tan(3x))' \)

\( = e^{4\tan(3x)} \cdot (4\sec^2(3x)) \cdot (3x)' \)

\( = 4e^{4\tan(3x)} \cdot \sec^2(3x) \cdot 3 \)

\( = 12e^{4\tan(3x)} \cdot \sec^2(3x) \)

(b) seçeneği:

\( g(x) = \cos^5{e^{2x}} \)

Zincir kuralını kullanarak bileşke fonksiyonun türevini alalım.

\( g'(x) = (\cos^5{e^{2x}})' \)

\( = 5\cos^4{e^{2x}} \cdot (\cos{e^{2x}})' \)

\( = 5\cos^4{e^{2x}} \cdot (-\sin{e^{2x}}) \cdot (e^{2x})' \)

\( = -5\cos^4{e^{2x}} \cdot \sin{e^{2x}} \cdot e^{2x} \cdot (2x)' \)

\( = -10\cos^4{e^{2x}} \cdot \sin{e^{2x}} \cdot e^{2x} \)

(c) seçeneği:

\( h(x) = \sin(\ln(2x^2 + 3x + 1)) \)

Zincir kuralını kullanarak bileşke fonksiyonun türevini alalım.

\( h'(x) = (\sin(\ln(2x^2 + 3x + 1)))' \)

\( = \cos(\ln(2x^2 + 3x + 1)) \cdot (\ln(2x^2 + 3x + 1))' \)

\( = \cos(\ln(2x^2 + 3x + 1)) \cdot \dfrac{(2x^2 + 3x + 1)'}{2x^2 + 3x + 1} \)

\( = \dfrac{\cos(\ln(2x^2 + 3x + 1))(4x + 3)}{2x^2 + 3x + 1} \)


SORU 13 :

Aşağıdaki fonksiyonların türevini bulunuz.

(a) \( f(x) = \sqrt{1 + 3e^{2x^2}} \)

(b) \( g(x) = (x^3 - \cos(2x))^{12} \)

(c) \( h(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x^3 + \sqrt{x^2 + 3}}} \)

(a) seçeneği:

\( f(x) = \sqrt{1 + 3e^{2x^2}} \)

Zincir kuralını kullanarak bileşke fonksiyonun türevini alalım.

\( f'(x) = (\sqrt{1 + 3e^{2x^2}})' \)

\( = \dfrac{(1 + 3e^{2x^2})'}{2\sqrt{1 + 3e^{2x^2}}} \)

\( = \dfrac{3e^{2x^2} \cdot (2x^2)'}{2\sqrt{1 + 3e^{2x^2}}} \)

\( = \dfrac{3e^{2x^2} \cdot 4x}{2\sqrt{1 + 3e^{2x^2}}} \)

\( = \dfrac{6xe^{2x^2}}{\sqrt{1 + 3e^{2x^2}}} \)

(b) seçeneği:

\( g(x) = (x^3 - \cos(2x))^{12} \)

Zincir kuralını kullanarak bileşke fonksiyonun türevini alalım.

\( g'(x) = ((x^3 - \cos(2x))^{12})' \)

\( = 12(x^3 - \cos(2x))^{11}(x^3 - \cos(2x))' \)

\( = 12(x^3 - \cos(2x))^{11}((x^3)' - (\cos(2x))') \)

\( = 12(x^3 - \cos(2x))^{11}(3x^2 - (-\sin(2x))(2x)') \)

\( = 12(x^3 - \cos(2x))^{11}(3x^2 + 2\sin(2x)) \)

(c) seçeneği:

\( h(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x^3 + \sqrt{x^2 + 3}}} \)

Zincir kuralını kullanarak bileşke fonksiyonun türevini alalım.

\( h'(x) = (\dfrac{1}{\sqrt{x^3 + \sqrt{x^2 + 3}}})' \)

\( = -\dfrac{({x^3 + \sqrt{x^2 + 3}})'}{2\sqrt{(x^3 + \sqrt{x^2 + 3})^3}} \)

\( = -\dfrac{3x^2 + \frac{(x^2 + 3)'}{2\sqrt{x^2 + 3}}}{2\sqrt{(x^3 + \sqrt{x^2 + 3})^3}} \)

\( = -\dfrac{3x^2 + \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 3}}}{2\sqrt{(x^3 + \sqrt{x^2 + 3})^3}} \)

\( = -\dfrac{3x^2\sqrt{x^2 + 3} + x}{2\sqrt{x^2 + 3}\sqrt{(x^3 + \sqrt{x^2 + 3})^3}} \)


SORU 14 :

\( f \) fonksiyonu için \( f(7) = 7 \) ve \( f'(7) = 3 \) veriliyor.

\( f(f(f(x))) \) bileşke fonksiyonunun türevinin \( x = 7 \) noktasında değeri kaçtır?

Bileşke fonksiyonunun türevini bulmak için zincir kuralını uygulayalım.

\( (f(f(f(x))))' = f'(f(f(x))) \cdot f'(f(x)) \cdot f'(x) \)

Eşitlikte \( x = 7 \) koyalım.

\( (f(f(f(7))))' = f'(f(f(7))) \cdot f'(f(7)) \cdot f'(7) \)

\( = f'(f(7)) \cdot f'(7) \cdot 3 \)

\( = f'(7) \cdot 3 \cdot 3 \)

\( = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27 \) bulunur.


SORU 15 :

\( f \), \( g \) ve \( h \) birer fonksiyon olmak üzere,

\( f(8) = 6, \quad f'(8) = 5 \)

\( h(2) = 7, \quad h'(2) = 4 \)

\( g(7) = 8, \quad g'(4) = 11, \quad g'(7) = 3 \)

olduğuna göre, \( (f \circ g \circ h)'(2) \) değeri kaçtır?

Üç fonksiyondan oluşan bileşke fonksiyonun türevi için zincir kuralını kullanalım.

\( (f \circ g \circ h)'(x) = f'(g(h(x))) \cdot g'(h(x)) \cdot h'(x) \)

\( x = 2 \) koyalım.

\( (f \circ g \circ h)'(2) = f'(g(h(2))) \cdot g'(h(2)) \cdot h'(2) \)

Verilen değerleri ifadede yerine koyalım.

\( = f'(g(7)) \cdot g'(7) \cdot 4 \)

\( = f'(8) \cdot 3 \cdot 4 \)

\( = 5 \cdot 3 \cdot 4 = 60 \) bulunur.


SORU 16 :

\( f \), \( g \) ve \( h \) birer fonksiyon olmak üzere,

\( f(7) = 5, \quad f'(7) = 3 \)

\( h(1) = 0, \quad h'(1) = 1 \)

\( g(0) = 7, \quad g'(0) = 2 \)

olduğuna göre, \( (f \circ g \circ h)'(1) \) değeri kaçtır?

Üç fonksiyondan oluşan bileşke fonksiyonun türevi için zincir kuralını kullanalım.

\( (f \circ g \circ h)'(1) = f'(g(h(x)) \cdot g'(h(x)) \cdot h'(x) \)

\( x = 1 \) koyalım.

\( (f \circ g \circ h)'(1) = f'(g(h(1)) \cdot g'(h(1)) \cdot h'(1) \)

Verilen değerleri ifadede yerine koyalım.

\( = f'(g(0)) \cdot g'(0) \cdot 1 \)

\( = f'(7) \cdot 2 \cdot 1 \)

\( = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 \) bulunur.

Zincir Kuralı: Form 2

Zincir kuralı aşağıdaki şekilde de ifade edilebilir.

SORU 17 :

\( y = x^5 - x^3 \)

\( x = t^3 + 2t \)

olduğuna göre, \( \dfrac{dy}{dt} \) ifadesinin eşiti nedir?

Zincir kuralını uygulayalım.

\( \dfrac{dy}{dt} = \dfrac{dy}{dx} \cdot \dfrac{dx}{dt} \)

\( = \dfrac{d(x^5 - x^3)}{dx} \cdot \dfrac{d(t^3 + 2t)}{dt} \)

\( = (5x^4 - 3x^2)(3t^2 + 2) \)

İstenirse ifadede \( x = t^3 + 2t \) konarak cevap sadece \( t \) cinsinden elde edilebilir.

\( = (5(t^3 + 2t)^4 - 3(t^3 + 2t)^2)(3t^2 + 2) \)


SORU 18 :

\( y = x^2 - 2x - 1 \)

\( x = 5z^2 - 3 \)

\( z = 4 - 2t \)

olduğuna göre, \( \dfrac{dy}{dt}|_{t=3} \) işleminin sonucu kaçtır?

Zincir kuralını uygulayalım.

\( \dfrac{dy}{dt} = \dfrac{dy}{dx} \cdot \dfrac{dx}{dz} \cdot \dfrac{dz}{dt} \)

\( \dfrac{dy}{dx} = (x^2 - 2x - 1)' \)

\( = 2x - 2 \)

\( \dfrac{dx}{dz} = (5z^2 - 3)' \)

\( = 10z \)

\( \dfrac{dz}{dt} = (4 - 2t)' \)

\( = -2 \)

Zincir kuralı formülünde ifadeleri yerine koyalım.

\( \dfrac{dy}{dt} = (2x - 2) \cdot 10z \cdot (-2) \)

\( t = 3 \) değeri için \( z \) değerini hesaplayalım.

\( z = 4 - 2t = 4 - 2(3) = -2 \)

\( z = -2 \) değeri için \( x \) değerini hesaplayalım.

\( x = 5z^2 - 3 = 5(-2)^2 - 3 = 17 \)

Bulduğumuz değerleri yerine koyalım.

\( \dfrac{dy}{dt}|_{t=3} = (2x - 2) \cdot 10z \cdot (-2) \)

\( = (2(17) - 2) \cdot 10(-2) \cdot (-2) \)

\( = 1280 \) bulunur.


SORU 19 :

\( y = 3x^2 \) ve \( x = \cos(2\alpha) \) olduğuna göre,

\( \dfrac{dy}{d \alpha} \) ifadesinin \( \alpha = \frac{\pi}{6} \) noktasındaki değeri kaçtır?

Zincir kuralını uygulayalım.

\( \dfrac{dy}{d \alpha} = \dfrac{dy}{dx} \cdot \dfrac{dx}{d \alpha} \)

\( = \dfrac{d(3x^2)}{dx} \cdot \dfrac{d(\cos(2\alpha))}{d \alpha} \)

\( = 6x \cdot (-\sin(2\alpha)) \cdot (2\alpha)' \)

\( = 6x \cdot (-\sin(2\alpha)) \cdot 2 \)

\( = -12x\sin(2\alpha) \)

\( \alpha = \frac{\pi}{6} \) için \( x \) değerini bulalım.

\( x = \cos(2 \cdot \frac{\pi}{6}) = \dfrac{1}{2} \)

Bulduğumuz türev ifadesinin \( \alpha = \frac{\pi}{6} \) ve \( x = \frac{1}{2} \) için değerini bulalım.

\( \dfrac{dy}{d \alpha} = -12(\dfrac{1}{2})\sin(2 \cdot \frac{\pi}{6}) \)

\( = -6 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = -3\sqrt{3} \) bulunur.


« Önceki
Fonksiyonlarla İşlemlerin Türevi
Sonraki »
Trigonometrik Fonksiyonların Türevi


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır