Maksimum - Minimum Problemleri
Maksimum - minimum (optimizasyon) problemleri, belirli koşulları sağlayan pek çok olası çözüm içinde en iyi çözümü bulmayı hedefleyen problemlerdir. Bu "en iyi çözüm" bazı problemlerde bir fonksiyonun belirli bir aralıkta alabileceği en büyük değer, bazılarında ise en küçük değer olmaktadır.
Bu bölümde tek değişkenli maksimum - minimum problemlerini inceleyeceğiz.
Maksimum - minimum problemlerinin çözümünde aşağıdaki üç adımlı yöntem kullanılabilir.
- Problem tanımı: Tüm değişkenler belirlenir ve en büyük/en küçük değeri bulunmak istenen değişken tanımlanır.
- Amaç fonksiyonu: Değişkenlerin tanım aralıkları ve değişkenler arasındaki kısıtlar belirlenir. Tüm değişkenlerin tek bir değişken cinsinden ifade edildiği amaç fonksiyonu yazılır.
- Problem çözümü: Amaç fonksiyonunun tanımlı olduğu aralıkta alabileceği en büyük/en küçük değer bulunur. Bu değer bulunurken önceki bölümlerde gördüğümüz mutlak ve yerel minimum/maksimum nokta bulma yöntemleri kullanılır.
Bu adımlar uygulanırken aşağıdaki noktalara dikkat edilmelidir.
- Değişkenlerin değer aralıkları problemde belirtilebileceği gibi değişkenlerin doğasından gelen ve özellikle belirtilmeyen kısıtlar da söz konusu olabilir (uzunluk sıfırdan büyüktür gibi).
- Bulunan en iyi çözüm değerleri değişkenlerin değer aralıkları ile kontrol edilmeli, tanım aralığı dışında kalan değerler çözümün dışında bırakılmalıdır.
- Bulunan çözüm değerinin belirtilen aralıktaki en büyük değer mi en küçük değer mi olduğundan emin olunmalıdır.
Genişliği ve yüksekliği arasında aşağıdaki ilişki bulunan tüm dikdörtgenler içinde alanı en büyük olan dikdörtgenin alanını bulalım.
\( \dfrac{x}{4} + 2y = 48 \)
1. Problem tanımı:
\( x, y \): Dikdörtgenin genişliği ve yüksekliği
\( A \): Dikdörtgenin alanı
Problemde aşağıdaki formülle ifade edebileceğimiz dikdörtgenin alanının en büyük değeri istenmektedir.
\( A = xy \)
2. Amaç fonksiyonu:
Dikdörtgenin genişliği, yüksekliği ve alanı pozitif büyüklüklerdir.
\( x, y, A \in \mathbb{R^+} \)
Dikdörtgenin genişliği ve yüksekliği arasında aşağıdaki kısıt veriliyor.
\( \dfrac{x}{4} + 2y = 48 \)
Bu eşitlikte \( y \) değişkenini yalnız bırakalım.
\( y = 24 - \dfrac{x}{8} \)
\( y \) değerini alan formülünde yerine koyduğumuzda sadece \( x \) değişkenine bağlı olan amaç fonksiyonunu elde ederiz.
\( A = xy \)
\( A(x) = x(24 - \dfrac{x}{8}) \)
\( = 24x - \dfrac{x^2}{8} \)
\( y \in \mathbb{R^+} \) bilgisini kullanarak \( x \) tanım aralığını bulalım.
\( y = 24 - \dfrac{x}{8} \gt 0 \)
\( x \lt 192 \)
Buna göre amaç fonksiyonu aşağıdaki şekilde tanımlıdır.
\( A: (0, 192) \to \mathbb{R^+} \)
\( A(x) = 24x - \dfrac{x^2}{8} \)
3. Problem çözümü:
\( A \) fonksiyonunun alabileceği en büyük değeri bulalım.
\( A \) fonksiyonu ikinci dereceden bir polinom fonksiyonudur ve tüm reel sayılarda tanımlı ve süreklidir.
\( A \) fonksiyonu negatif başkatsayılı, dolayısıyla kolları aşağı yönlü bir parabol olduğu için en büyük değerini birinci türevinin sıfır olduğu yerel maksimum noktasında alır.
\( A'(x) = 24 - \dfrac{x}{4} \)
Yerel extremum noktasını bulmak için birinci türevi sıfıra eşitleyelim.
\( 24 - \dfrac{x}{4} = 0 \)
\( x = 96 \)
Bu değer \( (0, 192) \) aralığında olduğu için amaç fonksiyonunun tanım kümesi içinde bir değerdir.
Buna göre \( A \) fonksiyonu en büyük değerini \( x = 96 \) noktasında alır.
\( x = 96 \) için \( A \) değerini bulalım.
\( A(96) = 24(96) - \dfrac{96^2}{8} \)
\( = 1152 \) bulunur.
Bir kenarında duvar örülü olan bir arsanın bir bölümü tel ile çevrilerek dikdörtgen şeklinde bir bahçe oluşturulmak isteniyor.
Toplam 300 m tel bulunduğuna ve duvar boyunca tel çekilmesine gerek olmadığına göre, oluşturulabilecek en büyük alanlı bahçe kaç metrekare olur?
1. Problem tanımı:
\( a \): Bahçenin duvara paralel kenarının uzunluğu
\( b \): Bahçenin duvara dik kenarının uzunluğu
\( A \): Bahçenin alanı
Problemde aşağıdaki formülle ifade edebileceğimiz dikdörtgenin alanının en büyük değeri istenmektedir.
\( A = ab \)
2. Amaç fonksiyonu:
Dikdörtgenin genişliği, yüksekliği ve alanı pozitif büyüklüklerdir.
\( a, b, A \in \mathbb{R^+} \)
Bahçenin üç kenarı için kullanılacak toplam tel uzunluğu 300 m'dir.
\( a + 2b = 300 \)
Bu eşitlikte \( a \) değişkenini yalnız bırakalım.
\( a = 300 - 2b \)
\( a \) değerini alan formülünde yerine koyduğumuzda sadece \( b \) değişkenine bağlı olan amaç fonksiyonunu elde ederiz.
\( A = ab \)
\( A(b) = (300 - 2b)b \)
\( = 300b - 2b^2 \)
\( a \in \mathbb{R^+} \) bilgisini kullanarak \( b \) tanım aralığını bulalım.
\( a = 300 - 2b \gt 0 \)
\( b \lt 150 \)
Buna göre amaç fonksiyonu aşağıdaki şekilde tanımlıdır.
\( A: (0, 150) \to \mathbb{R^+} \)
\( A(b) = 300b - 2b^2 \)
3. Problem çözümü:
\( A \) fonksiyonunun alabileceği en büyük değeri bulalım.
\( A \) fonksiyonu ikinci dereceden bir polinom fonksiyonudur ve tüm reel sayılarda tanımlı ve süreklidir.
\( A \) fonksiyonu negatif başkatsayılı, dolayısıyla kolları aşağı yönlü bir parabol olduğu için en büyük değerini birinci türevinin sıfır olduğu yerel maksimum noktasında alır.
\( A'(b) = 300 - 4b \)
Yerel extremum noktasını bulmak için birinci türevi sıfıra eşitleyelim.
\( 300 - 4b = 0 \)
\( b = 75 \) m
Bu değer \( (0, 150) \) aralığında olduğu için amaç fonksiyonunun tanım kümesi içinde bir değerdir.
Buna göre \( A \) fonksiyonu en büyük değerini \( b = 75 \) noktasında alır.
\( b = 75 \) için \( A \) değerini bulalım.
\( A(75) = 300(75) - 2(75)^2 \)
\( = 11250 \) metrekare bulunur.
Bulduğumuz bu sonucu aşağıdaki fonksiyon grafiği üzerinde yorumlayalım.
Fonksiyon grafiği kolları aşağı yönlü bir paraboldür ve alan değeri en büyük değerini (\( A = 11250 \)) parabolün tepe noktasında, yani \( b = 75 \) değerinde alır.
\( b \in (0, 150) \) aralığı dışında bahçenin alanı sıfır ya da negatif olmaktadır, dolayısıyla uyguladığımız çözümdeki gibi amaç fonksiyonunun tanım kümesi dışında bırakılmaları gerekmektedir.
Kenar uzunlukları 36 cm ve 96 cm olan dikdörtgen şeklindeki bir kartonun köşelerinden kenarları \( a \) cm uzunluğunda kareler kesilip geriye kalan kartonun yan yüzleri katlanarak dikdörtgen prizma şeklinde üstü açık bir kutu yapılacaktır.
En büyük hacimli kutu oluşturulmak istendiğine göre, \( a \) uzunluğu kaç cm olmalıdır?
1. Problem tanımı:
\( a \): Kesilen parçaların bir kenar uzunluğu
\( V \): Oluşturulan kutunun hacmi
Kartonun köşeleri kesildikten sonra geriye kalan şekildeki kenar uzunlukları aşağıdaki şekildeki gibidir. Bu şeklin katlanmasıyla elde edilecek kutunun hacmi aşağıdaki formülle hesaplanır.
V = Taban uzunluğu x Taban genişliği x Yükseklik
\( 96 - 2a \): Kutunun taban uzunluğu
\( 36 - 2a \): Kutunun taban genişliği
\( a \): Kutunun yüksekliği
Problemde aşağıdaki formülle ifade edebileceğimiz kutunun hacminin en büyük değeri istenmektedir.
\( V = (96 - 2a)(36 - 2a)a \)
2. Amaç fonksiyonu:
Kenar uzunluğu ve hacim pozitif büyüklüklerdir.
\( a, V \in \mathbb{R^+} \)
\( a \) değeri cinsinden bulduğumuz ifade amaç fonksiyonudur.
\( V(a) = (96 - 2a)(36 - 2a)a \)
\( = 3456a - 264a^2 + 4a^3 \)
Kesilen parçaların uzunluğu kartonun kısa kenarının uzunluğundan küçük olmalıdır.
\( 2a \lt 36 \)
\( a \lt 18 \)
Buna göre amaç fonksiyonu aşağıdaki şekilde tanımlıdır.
\( V: (0, 18) \to \mathbb{R^+} \)
\( V(a) = 3456a - 264a^2 + 4a^3 \)
3. Problem çözümü:
\( V \) fonksiyonunun alabileceği en büyük değeri bulalım.
\( V \) fonksiyonu üçüncü dereceden bir polinom fonksiyonudur ve tüm reel sayılarda tanımlı ve süreklidir.
\( V \) fonksiyonunun birinci türevini alalım.
\( V'(a) = 3456 - 528a + 12a^2 \)
\( = 12(a^2 - 44a - 288) \)
\( = 12(a - 8)(a - 36) \)
Yerel extremum noktalarını bulmak için birinci türevi sıfıra eşitleyelim.
\( 12(a - 8)(a - 36) = 0 \)
Buna göre fonksiyonun \( a = 8 \) ve \( a = 36 \) noktalarında yerel ekstremum noktaları vardır.
Bu iki değerden sadece \( a = 8 \) amaç fonksiyonunun tanım kümesi içindedir.
\( a = 8 \) noktasının bir yerel minimum noktası mı yerel maksimum noktası mı olduğunu bulmak için birinci türev için işaret tablosu hazırlayalım.
Fonksiyonun birinci türevi \( a = 8 \) noktasında pozitiften negatife döndüğü için bu noktada bir yerel maksimum noktası vardır.
İşaret tablosunu incelediğimizde tanım aralığının uç noktalarında (\( a = 0 \) ve \( a = 18 \)) fonksiyonun \( a = 8 \) noktasındaki değerinden daha büyük değer alamayacağını görebiliriz, dolayısıyla bu iki noktadaki fonksiyon değerini kontrol etmemize gerek yoktur.
Buna göre \( V \) fonksiyonu tanım kümesi içindeki en büyük değerini \( a = 8 \) noktasında alır.
\( a = 8 \) için \( V \) değerini bulalım.
\( V(8) = (96 - 2a)(36 - 2a)a \)
\( = (96 - 16)(36 - 16)8 \)
\( = 80 \cdot 20 \cdot 8 \)
\( = 12.800 \) cm3
Bulduğumuz bu sonucu aşağıdaki fonksiyon grafiği üzerinde yorumlayalım.
Görebileceğimiz gibi fonksiyonun \( a = 8 \) noktasında yerel maksimum noktası vardır ve fonksiyon bu noktada \( (0, 18) \) aralığındaki en büyük değerini almaktadır.
Tanım kümesi olan \( a \in (0, 18) \) aralığı dışında fonksiyon değeri ya negatif olmaktadır ya da bu \( a \) değerlerinde kesilen parçalar kartonun kenar uzunluğundan büyük olduğu için istendiği gibi bir kutu oluşmamaktadır.
Şekildeki \( ABCD \) dikdörtgeninin \( [AD] \) kenarı \( y \) ekseni, \( [DC] \) kenarı \( y = 12 \) doğrusu, \( B \) köşesi de \( y = x^2 \) parabolü üzerindedir.
Buna göre \( ABCD \) dikdörtgeninin alanı en fazla kaç birimkare olabilir?
Çözümü GösterAdım 1: Problem tanımı
\( a \): Dikdörtgenin genişliği
\( \abs{AB} = \abs{DC} = a \)
\( b \): Dikdörtgenin yüksekliği
\( \abs{AD} = \abs{BC} = b \)
\( A \): Dikdörtgenin alanı
Problemde aşağıdaki formülle ifade edebileceğimiz dikdörtgenin alanının en büyük değeri istenmektedir.
\( A = ab \)
Adım 2: Amaç fonksiyonu
Dikdörtgenin genişliği, yüksekliği ve alanı pozitif büyüklüklerdir.
\( a, b, A \in \mathbb{R^+} \)
\( B \) noktasının \( a \) cinsinden koordinatlarını yazalım.
\( B(a, a^2) \)
Alan formülünü tek bir değişken cinsinden yazabilmek için \( a \) ve \( b \) değişkenleri arasında bir ilişki kurmaya çalışalım.
\( B \) noktasının ordinat değeri ile dikdörtgenin yüksekliği \( y = 12 \) doğrusunun ordinat değerine eşittir.
\( a^2 + b = 12 \)
Bu eşitlikte \( b \) değişkenini yalnız bırakalım.
\( b = 12 - a^2 \)
\( b \) değerini alan formülünde yerine koyduğumuzda sadece \( a \) değişkenine bağlı olan amaç fonksiyonunu elde ederiz.
\( A = ab \)
\( A(a) = a(12 - a^2) \)
\( = 12a - a^3 \)
Belirtilen bölgede bir dikdörtgen oluşması için \( a \) uzunluğu \( y = 12 \) doğrusu ile parabolün kesiştiği noktanın apsis değerinden küçük olmalıdır.
\( a \lt \sqrt{12} \)
Buna göre amaç fonksiyonu aşağıdaki şekilde tanımlıdır.
\( A: (0, \sqrt{12}) \to \mathbb{R^+} \)
\( A(a) = 12a - a^3 \)
Adım 3: Problem çözümü
\( A \) fonksiyonunun alabileceği en büyük değeri bulalım.
\( A \) fonksiyonu üçüncü dereceden bir polinom fonksiyonudur ve tüm reel sayılarda tanımlı ve süreklidir.
\( A \) fonksiyonunun birinci türevini alalım.
\( A'(a) = 12 - 3a^2 \)
\( = 3(2 - a)(2 + a) \)
Yerel extremum noktalarını bulmak için birinci türevi sıfıra eşitleyelim.
\( 3(2 - a)(2 + a) = 0 \)
Buna göre fonksiyonun \( a = -2 \) ve \( a = 2 \) noktalarında yerel ekstremum noktaları vardır.
Bu iki değerden sadece \( a = 2 \) amaç fonksiyonunun tanım kümesi içindedir.
\( a = 2 \) noktasının bir yerel minimum noktası mı yerel maksimum noktası mı olduğunu bulmak için birinci türev için işaret tablosu hazırlayalım.
Fonksiyonun birinci türevi \( a = 2 \) noktasında pozitiften negatife döndüğü için bu noktada bir yerel maksimum noktası vardır.
İşaret tablosunu incelediğimizde tanım aralığının uç noktalarında (\( a = 0 \) ve \( a = \sqrt{12} \)) fonksiyonun \( a = 2 \) noktasındaki değerinden daha büyük değer alamayacağını görebiliriz, dolayısıyla bu iki noktadaki fonksiyon değerini kontrol etmemize gerek yoktur.
Buna göre \( A \) fonksiyonu tanım kümesi içindeki en büyük değerini \( a = 2 \) noktasında alır.
\( a = 2 \) için \( A \) değerini bulalım.
\( A(2) = 12(2) - 2^3 \)
\( = 24 - 8 = 16 \) birimkare bulunur.
Yarıçapı 1 br olan bir kürenin içine yerleştirilebilecek en büyük hacimli dik silindirin hacmi nedir?
Çözümü GösterKürenin ve içine yerleştirilen silindirin iki boyutlu görüntüsü aşağıdaki gibidir.
Adım 1: Problem tanımı
\( r \): Silindirin taban yarıçapı
\( h \): Silindirin yüksekliği
\( V \): Silindirin hacmi
Problemde aşağıdaki formülle ifade edebileceğimiz silindirin hacminin en büyük değeri istenmektedir.
\( V = \pi r^2h \)
Adım 2: Amaç fonksiyonu
Uzunluk ve hacim pozitif büyüklüklerdir.
\( r, h, V \in \mathbb{R^+} \)
Hacim formülünü tek bir değişken cinsinden yazabilmek için \( r \) ve \( h \) değişkenleri arasında bir ilişki kurmaya çalışalım.
Silindirin yüksekliğinin yarısı ve taban yarıçapı, hipotenüsü kürenin yarıçapı olan bir dik üçgen oluştururlar.
Bu üçgene Pisagor teoremini uygulayalım.
\( r^2 + (\frac{h}{2})^2 = 1 \)
Bu eşitlikte \( h \) değişkenini yalnız bırakalım.
\( h = 2\sqrt{1 - r^2} \)
\( h \) değerini hacim formülünde yerine koyduğumuzda sadece \( r \) değişkenine bağlı olan amaç fonksiyonunu elde ederiz.
\( V(r) = 2\pi r^2\sqrt{1 - r^2} \)
Kürenin içinde bir silindirin oluşabilmesi için taban yarıçapı kürenin yarıçapından küçük olmalıdır.
\( r \lt 1 \)
Buna göre amaç fonksiyonu aşağıdaki şekilde tanımlıdır.
\( V: (0, 1) \to \mathbb{R^+} \)
\( V(r) = 2\pi r^2\sqrt{1 - r^2} \)
Adım 3: Problem çözümü
\( V \) fonksiyonunun alabileceği en büyük değeri bulalım.
\( V \) fonksiyonu iki sürekli fonksiyonun (kuvvet ve karekök) çarpımından oluştuğu için tanım kümesi içinde süreklidir.
\( V \) fonksiyonunun yerel extremum noktalarında birinci türevi sıfır olur.
Çarpma kuralı ile fonksiyonun birinci türevini alalım.
\( V'(r) = 2\pi(2r\sqrt{1 - r^2} - \dfrac{r^3}{\sqrt{1 - r^2}}) \)
Yerel extremum noktasını bulmak için birinci türevi sıfıra eşitleyelim.
\( 2\pi(2r\sqrt{1 - r^2} - \dfrac{r^3}{\sqrt{1 - r^2}}) = 0 \)
\( 2r\sqrt{1 - r^2} = \dfrac{r^3}{\sqrt{1 - r^2}} \)
\( r \gt 0 \) olduğu için \( r \)'ler sadeleşir.
\( 2(1 - r^2) = r^2 \)
\( (r + \sqrt{\dfrac{2}{3}})(r - \sqrt{\dfrac{2}{3}}) = 0 \)
Buna göre fonksiyonun \( r = -\sqrt{\frac{2}{3}} \) ve \( r = \sqrt{\frac{2}{3}} \) noktalarında yerel ekstremum noktaları vardır.
Bu iki değerden sadece \( r = \sqrt{\frac{2}{3}} \) amaç fonksiyonunun tanım kümesi içindedir.
\( r = \sqrt{\frac{2}{3}} \) noktasının bir yerel minimum noktası mı yerel maksimum noktası mı olduğunu bulmak için birinci türev için işaret tablosu hazırlayalım.
Birinci türev fonksiyonunu düzenleyelim.
\( V'(r) = 2\pi(\dfrac{2r - 3r^3}{\sqrt{1 - r^2}}) \)
\( V'(r) = 6\pi(\dfrac{r(\frac{2}{3} + r)(\frac{2}{3} - r)}{\sqrt{1 - r^2}}) \)
Fonksiyonun birinci türevi \( r = \sqrt{\frac{2}{3}} \) noktasında pozitiften negatife döndüğü için bu noktada bir yerel maksimum noktası vardır.
Buna göre \( V \) fonksiyonu tanım kümesi içindeki en büyük değerini \( r = \sqrt{\frac{2}{3}} \) noktasında alır.
\( r = \sqrt{\frac{2}{3}} \) için \( V \) değerini bulalım.
\( V(\sqrt{\frac{2}{3}}) = 2\pi (\sqrt{\frac{2}{3}})^2\sqrt{1 - (\sqrt{\frac{2}{3}})^2} \)
\( = 2\pi \dfrac{2}{3}\sqrt{1 - \frac{2}{3}} \)
\( = \dfrac{4\sqrt{3}\pi}{9} \text{ br}^3 \) bulunur.
Bir sinema salonunda zemin seviyesinde oturan bir seyirci perdede oynayan filmi izlemektedir. Perdenin en alt noktası zeminden 3 metre, en üst noktası ise 9 metre yüksektedir.
Seyircinin perdeyi görüş açısı olan \( \alpha \) değerinin en büyük olması için seyirci ile perdenin bulunduğu duvar arasındaki \( a \) uzaklığı kaç metre olmalıdır?
Çözümü Göster
Adım 1: Problem tanımı
\( a \): Seyirci ile duvar arasındaki mesafe
\( x \): Perdenin en üst noktası ile zemin arasındaki uzunluğu gören açı
\( y \): Perdenin en alt noktası ile zemin arasındaki uzunluğu gören açı
\( \alpha \): Seyircinin perdeyi görüş açısı
Problemde \( \alpha \) açısını en büyük yapan \( a \) değeri istenmektedir.
Adım 2: Amaç fonksiyonu
Uzaklık ve açı pozitif büyüklüklerdir.
\( a, x, y, \alpha \in \mathbb{R^+} \)
\( \alpha \) açısı \( x \) ve \( y \) açılarının farkına eşittir.
\( \alpha = x - y \)
\( \alpha \) açısını tek bir değişken cinsinden ifade etmeye çalışalım.
Eşitliğin iki tarafının tanjantını alalım.
\( \tan{\alpha} = \tan(x - y) \)
Tanjant fark formülünü kullanalım.
\( \tan{\alpha} = \dfrac{\tan{x} - \tan{y}}{1 + \tan{x}\tan{y}} \)
\( \tan{x} = \dfrac{9}{a}, \quad \tan{y} = \dfrac{3}{a} \)
Değerleri tanjant fark formülünde yerine koyalım.
\( \tan{\alpha} = \dfrac{\frac{9}{a} - \frac{3}{a}}{1 + \frac{9}{a}\frac{3}{a}} \)
\( \tan{\alpha} = \dfrac{\frac{6}{a}}{1 + \frac{27}{a^2}} \)
\( \tan{\alpha} = \dfrac{6a}{a^2 + 27} \)
Bu eşitlikte \( \alpha \) açısını yalnız bıraktığımızda sadece \( a \) değişkenine bağlı olan amaç fonksiyonunu elde ederiz.
\( \alpha(a) = \arctan{\dfrac{6a}{a^2 + 27}} \)
\( a \) herhangi bir pozitif reel sayı değeri alabilir.
Buna göre amaç fonksiyonu aşağıdaki şekilde tanımlıdır.
\( \alpha: \mathbb{R^+} \to \mathbb{R^+} \)
\( \alpha(a) = \arctan{\dfrac{6a}{a^2 + 27}} \)
Adım 3: Problem çözümü
\( \alpha \) fonksiyonunun en büyük değerini aldığı \( a \) değerini bulalım.
\( \alpha \) fonksiyonunun yerel extremum noktalarında birinci türevi sıfır olur.
\( \alpha'(a) = [\arctan{\dfrac{6a}{a^2 + 27}}]' \)
\( \arctan{x} \) fonksiyonunun türevini hatırlayalım.
\( (\arctan{x})' = \dfrac{1}{1 + x^2} \)
\( \alpha'(a) = \dfrac{1}{1 + (\frac{6a}{a^2 + 27})^2} \cdot (\dfrac{6a}{a^2 + 27})' \)
Türev bölme kuralını kullanalım.
\( \alpha'(a) = \dfrac{1}{1 + (\frac{6a}{a^2 + 27})^2} \cdot \dfrac{6(a^2 + 27) - 6a \cdot 2a}{(a^2 + 27)^2} \)
\( \alpha'(a) = \dfrac{1}{1 + (\frac{6a}{a^2 + 27})^2} \cdot \dfrac{6(27 - a^2)}{(a^2 + 27)^2} \)
\( \alpha'(a) = \dfrac{1}{1 + (\frac{6a}{a^2 + 27})^2} \cdot \dfrac{6(3\sqrt{3} - a)(3\sqrt{3} + a)}{(a^2 + 27)^2} \)
Yerel extremum noktasını bulmak için birinci türevi sıfıra eşitleyelim.
Paydadaki ifadeler her \( a \) değeri için pozitif olduğu için payı sıfıra eşitleyebiliriz.
\( 6(3\sqrt{3} - a)(3\sqrt{3} + a) = 0 \)
Buna göre fonksiyonun \( a = -3\sqrt{3} \) ve \( a = 3\sqrt{3} \) noktalarında yerel ekstremum noktaları vardır.
Bu iki değerden sadece \( a = 3\sqrt{3} \) amaç fonksiyonunun tanım kümesi içindedir.
\( a = 3\sqrt{3} \) noktasının bir yerel minimum noktası mı yerel maksimum noktası mı olduğunu bulmak için birinci türev için işaret tablosu hazırlayalım.
Fonksiyonun birinci türevi \( a = 3\sqrt{3} \) noktasında pozitiften negatife döndüğü için bu noktada bir yerel maksimum noktası vardır.
Buna göre \( \alpha \) fonksiyonu tanım kümesi içindeki en büyük değerini \( a = 3\sqrt{3} \) noktasında alır.
Dolayısıyla seyircinin görüş açısı en büyük değerini \( a = 3\sqrt{3} \) metre olduğunda alır.