Zincir kuralı ile tarafların türevi alındığında değişkenlerin zamana bağlı değişim oranları arasında aşağıdaki ilişki elde edilir.
Elde edilen bu denklemde
İki ya da daha fazla değişken arasında tanımlı bir denklemin bir bağımsız değişkene göre türevi alındığında değişkenlerin değişim oranları arasında kurulan bu ilişkiye ilişkili oranlar denir.
Değişkenlerin değişim gösterdiği bağımsız değişken çoğu durumda zamandır.
Küre şeklinde bir balona saniyede 800 cm
Kürenin hacim formülünü yazalım.
Balonun hacmi ve yarıçapı zamana bağlı değişim gösteren değişkenlerdir.
Bu iki değişkenin zamana bağlı anlık değişim oranları arasındaki ilişkiyi bulmak için eşitliğin iki tarafının zamana göre türevini alalım.
Elde ettiğimiz bu denklem balonun hacmi ile yarıçapının zamana bağlı anlık değişim oranları arasındaki ilişkiyi vermektedir.
Soruda
Balona havanın üflenme hızı balonun hacminin anlık büyüme hızını verir.
Verilen değerleri ilişkili oran denkleminde yerine koyalım.
Buna göre
İlişkili oran problemlerinin çözümünde kullanılan yöntem aşağıdaki şekilde özetlenebilir.
Bir dikdörtgenin genişliği dakikada 5 cm artmakta, yüksekliği dakikada 2 cm azalmaktadır. Bu dikdörtgenin genişliği 20 cm, yüksekliği 12 cm olduğu andaki alanının değişim hızını bulalım.
Dikdörtgenin genişliğine
Dikdörtgenin alan formülünü yazalım.
Dikdörtgenin alanı, genişliği ve yüksekliği zamana bağlı değişim gösteren değişkenlerdir.
Bu üç değişkenin zamana bağlı değişim oranları arasındaki ilişkiyi bulmak için eşitliğin iki tarafının zamana göre türevini alalım.
Elde ettiğimiz bu denklem dikdörtgenin alanı, yüksekliği ile genişliğinin zamana bağlı anlık değişim oranları arasındaki ilişkiyi vermektedir.
Soruda
Dikdörtgenin genişliği dakikada 5 cm artmakta, yüksekliği dakikada 2 cm azalmaktadır.
Verilen değerleri ilişkili oran denkleminde yerine koyalım.
Buna göre dikdörtgenin alanı belirtilen anda
Araçlar 20 dakika sonra sırasıyla
Araçların katettikleri mesafelere sırasıyla
Oluşan dik üçgende Pisagor teoremini kullanarak
Üç kenar uzunluğu da zamana bağlı değişim gösteren değişkenlerdir.
Bu üç değişkenin zamana bağlı değişim oranları arasındaki ilişkiyi bulmak için eşitliğin iki tarafının zamana göre türevini alalım.
Eşitliğin taraflarını 2'ye bölelim.
Elde ettiğimiz bu denklem araçları konumları ile aralarındaki mesafenin anlık değişim oranları arasındaki ilişkiyi vermektedir.
Soruda araçlar
Araçların hızı her bir kenarın uzunluğunun anlık artış hızını verir.
Verilen ve bulduğumuz değerleri ilişkili oran denkleminde yerine koyalım.
Buna göre araçların arasındaki mesafe belirtilen anda
Yukarıdaki 2. örneği dikdörtgenin çevresi için çözünüz.
Bir dikdörtgenin genişliği dakikada 5 cm artmakta, yüksekliği dakikada 2 cm azalmaktadır. Bu dikdörtgenin genişliği 20 cm, yüksekliği 12 cm olduğu andaki çevresinin değişim hızı kaçtır?
Çözümü GösterDikdörtgenin çevre formülünü yazalım.
Dikdörtgenin çevresi, genişliği ve yüksekliği zamana bağlı değişim gösteren değişkenlerdir.
Bu üç değişkenin zamana bağlı değişim oranları arasındaki ilişkiyi bulmak için eşitliğin iki tarafının zamana göre türevini alalım.
Elde ettiğimiz bu denklem dikdörtgenin çevresi, yüksekliği ile genişliğinin zamana bağlı anlık değişim oranları arasındaki ilişkiyi vermektedir.
Soruda
Dikdörtgenin genişliği dakikada 5 cm artmakta, yüksekliği dakikada 2 cm azalmaktadır.
Verilen değerleri ilişkili oran denkleminde yerine koyalım.
Buna göre dikdörtgenin çevresi belirtilen anda
Dikkat edilirse çözümde dikdörtgenin değişim oranlarının sorulduğu andaki genişliğini ve yüksekliğini kullanmamıza gerek kalmadı. Bunun sebebi, çevre ve genişlik/yükseklik değişkenleri arasındaki ilişkinin doğrusal olması ve çevredeki değişim oranının genişlik ve yüksekliğin anlık değerlerine bağlı olmamasıdır.
Buna göre
Eşitliğin iki tarafının
Verilen ve bulduğumuz değerleri ilişkili oran denkleminde yerine koyalım.
Bir piston yarıçapı 6 cm olan bir krank miline 12 cm uzunluğunda bir çubukla şekilde gösterildiği gibi bağlanmıştır. Piston krank milinin dönme eksenine 10 cm uzaklıkta olduğu anda krank mili saniyede 40 radyan hızla saat yönünün tersine dönmektedir.
Buna göre belirtilen anda pistonun hareket hızı kaçtır?
Çözümü GösterKosinüs teoremini uygulayalım.
Pistonun dönme merkezine uzaklığı ve
Bu değişkenlerin zamana bağlı değişim oranları arasındaki ilişkiyi bulmak için eşitliğin iki tarafının zamana göre türevini alalım.
Krank milinin dönme eksenine uzaklığı
Belirtilen andaki krank milinin dönme hızı soruda verilmiştir.
Dönme hızı, fiziksel bir terim olarak birim zamanda taranan açı anlamına gelir.
Verilen ve bulduğumuz değerleri ilişkili oran denkleminde yerine koyalım.
Buna göre piston belirtilen anda saniyede
Bir kürenin hacmi zamana bağlı olarak artmaktadır. Kürenin hacminin artış hızının yarıçapının artış hızına oranı
Kürenin hacim formülünü yazalım.
Kürenin hacmi ve yarıçapı zamana bağlı değişim gösteren değişkenlerdir.
Bu değişkenlerin zamana bağlı değişim oranları arasındaki ilişkiyi bulmak için eşitliğin iki tarafının zamana göre türevini alalım.
Kürenin hacminin artış hızının yarıçapının artış hızına oranını alalım.
Kürenin hacminin artış hızının yarıçapının artış hızına oranı soruda verilmiştir.
Yarıçap uzunluğu negatif değer alamaz.
Buna göre belirtilen anda kürenin yarıçapı
Bir roket dikey olarak fırlatılıyor. Roketin yükselmeye devam ettiği bir anda roket, fırlatma noktasından 1200 metre uzaklıktaki bir gözlemciye 2000 metre uzaklıktadır. Roket ile gözlemci arasındaki uzaklık belirtilen anda saniyede 200 metre hızla artmaktadır.
Buna göre roketin belirtilen andaki dikey hızı kaçtır?
Çözümü GösterRoketin bulunduğu yüksekliğe
Fırlatma noktası, roket ve gözlemcinin oluşturduğu dik üçgende Pisagor teoremini uygulayalım.
Uçağın yüksekliği ve roket ile gözlemci arasındaki mesafe zamana bağlı değişim gösteren değişkenlerdir.
Bu değişkenlerin zamana bağlı değişim oranları arasındaki ilişkiyi bulmak için eşitliğin iki tarafının zamana göre türevini alalım.
Belirtilen anda roket ile gözlemci arasındaki uzaklığın değişim hızı soruda verilmiştir.
Verilen ve bulduğumuz değerleri ilişkili oran denkleminde yerine koyalım.
Buna göre belirtilen anda roketin yükselme hızı saniyede 250 metredir.
Buna göre,
Zincir kuralını uygulayalım.
Verilen birinci eşitliğin iki tarafının
Türevi alırken
Verilen ikinci eşitliğin iki tarafının
Türevi alırken
Bulduğumuz ifadeleri zincir kuralı formülünde yerine koyalım.
Buna göre,
Zincir kuralını uygulayalım.
Verilen birinci eşitliğin iki tarafının
Türevi alırken
Verilen ikinci eşitliğin iki tarafının
Türevi alırken
Bulduğumuz ifadeleri zincir kuralı formülünde yerine koyalım.
İkinci eşitliği kullanarak
Türev denklemini kullanarak
Buna göre
Bir parçacık
Hangi noktalarda parçacığın
Bu değişkenlerinn zamana bağlı değişim oranları arasındaki ilişkiyi bulmak için eşitliğin iki tarafının zamana göre türevini alalım.
Soruda parçacığın
Buna göre
Bir parçacık
Parçacık grafik üzerinde
Bu değişkenlerin zamana bağlı değişim oranları arasındaki ilişkiyi bulmak için eşitliğin iki tarafının zamana göre türevini alalım.
Parçacık
Verilen ve bulduğumuz değerleri ilişkili oran denkleminde yerine koyalım.
Bir parçacık
Bu değişkenlerin zamana bağlı değişim oranları arasındaki ilişkiyi bulmak için eşitliğin iki tarafının zamana göre türevini alalım.
Soruda
Kosinüs fonksiyonu
Bu iki değer için denklemin genel çözümünü bulalım.
Durum 1:
Durum 2:
Buna göre yukarıda bulduğumuz iki çözüm kümesinin birleşimi, parçacığın
Bir parçacık
Parçacığın
Bu değişkenlerin zamana bağlı değişim oranları arasındaki ilişkiyi bulmak için eşitliğin iki tarafının zamana göre türevini alalım.
Belirtilen anda parçacığın
Verilen ve bulduğumuz değerleri ilişkili oran denkleminde yerine koyalım.
Buna göre belirtilen anda parçacığın
Bir balon 3 m
Kürenin hacim formülünü yazalım.
Balonun hacmi ve yarıçap uzunluğu zamana bağlı değişim gösteren değişkenlerdir.
Bu değişkenlerin zamana bağlı değişim oranları arasındaki ilişkiyi bulmak için eşitliğin iki tarafının zamana göre türevini alalım.
Havanın balondan kaçış hızı soruda verilmiştir.
Verilen ve bulduğumuz değerleri ilişkili oran denkleminde yerine yazalım.
Buna göre belirtilen anda balonun yarıçapı
İnişe geçen bir uçak yerle 45° açı yapan bir doğru boyunca saatte 300 km hızla piste yaklaşmaktadır.
Bu uçağın yerden yüksekliğinin değişim hızı kaçtır?
Çözümü GösterUçağın yüksekliğine
İçler - dışlar çarpımı yapalım.
Uçağın yerden yüksekliği ve uçuş rotası boyunca yere olan uzaklığı zamana bağlı değişim gösteren değişkenlerdir.
Bu değişkenlerin zamana bağlı değişim oranları arasındaki ilişkiyi bulmak için eşitliğin iki tarafının zamana göre türevini alalım.
Uçağın hızı (yere olan uzaklığındaki değişim hızı) soruda verilmiştir.
Verilen değeri ilişkili oran denkleminde yerine koyalım.
Buna göre uçağın yerden yüksekliği saatte
Bir üçgenin iki kenarının uzunluğu 5 cm ve 8 cm'dir. Bu iki kenar arasındaki açı saniyede
Kenarlar arasındaki açı
Üçgenin kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi kosinüs teoremi ile kurabiliriz.
Karşı kenar uzunluğu ve
Bu iki değişkenin zamana bağlı değişim oranları arasındaki ilişkiyi bulmak için eşitliğin iki tarafının zamana göre türevini alalım.
Elde ettiğimiz bu denklem üçgenin kenar uzunlukları ile
Soruda
Verilen ve bulduğumuz değerleri ilişkili oran denkleminde yerine koyalım.
Buna göre karşı kenar uzunluğu belirtilen anda
Bir kürenin yarıçapı saniyede
Kürenin yüzey alan formülünü yazalım.
Kürenin yüzey alanı ve yarıçapı zamana bağlı değişim gösteren değişkenlerdir.
Bu değişkenlerin zamana bağlı değişim oranları arasındaki ilişkiyi bulmak için eşitliğin iki tarafının zamana göre türevini alalım.
Elde ettiğimiz bu denklem kürenin yüzey alanı ile yarıçapının zamana bağlı anlık değişim oranları arasındaki ilişkiyi vermektedir.
Kürenin yarıçapının artış hızı soruda verilmiştir.
Kürenin yüzey alan formülünü kullanarak bu
Verilen ve bulduğumuz değerleri ilişkili oran denkleminde yerine koyalım.
Buna göre kürenin yüzey alanı belirtilen anda 80 cm
Yerden yüksekliği 6 metre olan bir sokak lambası bir basketbol sahasını aydınlatmaktadır. Sahadaki basketbol potasının yüksekliği 4 metre olup sokak lambasından uzaklığı 5 metredir.
Potaya atılan bir basketbol topunun potadan geçtikten sonraki aşağı yönlü hareketi
Topun gölgesinin sokak lambasına olan uzaklığına
Üçgen benzerliğini kullanalım.
Bu değeri üçgen benzerliği denkleminde yerine koyalım.
İfadeyi düzenleyelim.
Eşitliğin iki tarafının zamana göre türevini alalım.
Üçgen benzerliği denklemini kullanarak
Verilen ve bulduğumuz değerleri ilişkili oran denkleminde yerine koyalım.
Buna göre belirtilen anda topun gölgesi saniyede
Bir uçak radar istasyonunun 8 km üstünde sabit yükseklikte uçmaktadır. Belirli bir anda şekildeki
Uçağın radar istasyonundan yatay uzaklığına
Uçağın aldığı yol ve
Bu değişkenlerin zamana bağlı değişim oranları arasındaki ilişkiyi bulmak için eşitliğin iki tarafının zamana göre türevini alalım.
Belirtilen andaki uçağın hızı soruda verilmiştir.
Verilen ve bulduğumuz değerleri ilişkili oran denkleminde yerine koyalım.
Açının değişim hızını dakika cinsinden yazalım.
Buna göre belirtilen anda
Mustafa sakızını nefesiyle saniyede 4 cm
Buna göre aşağıda belirtilen anlarda baloncuğun yarıçapının artış hızı nedir?
(a) Baloncuğun yarıçapı 2 cm olduğu anda
(b) Baloncuğun hacmi
(c) Sakızı şişirmeye başladıktan 9 saniye sonra
Çözümü GösterKürenin hacim formülünü yazalım.
Kürenin hacmi ve yarıçapı zamana bağlı değişim gösteren değişkenlerdir.
Bu iki değişkenin zamana bağlı değişim oranları arasındaki ilişkiyi bulmak için eşitliğin iki tarafının zamana göre türevini alalım.
Elde ettiğimiz bu denklem baloncuğun hacmi ile yarıçapının zamana bağlı anlık değişim oranları arasındaki ilişkiyi vermektedir.
Soruda baloncuğun yarıçapının belirli anlardaki artış hızı istenmektedir.
Baloncuğun hacminin artış hızı soruda verilmiştir.
Elde ettiğimiz bu denklem baloncuğun yarıçapının belirli bir
(a) seçeneği:
Soruda
Bu
Buna göre baloncuğun yarıçapı belirtilen anda
(b) seçeneği:
Soruda
Kürenin hacim formülünü kullanarak bu
Bu
Buna göre baloncuğun yarıçapı belirtilen anda
(c) seçeneği:
Soruda sakızı şişirmeye başladıktan 9 saniye sonraki baloncuğun yarıçapının artış hızı istenmektedir.
Baloncuğun hacminin artış hızı soruda verilmiştir.
Bu artış hızını kullanarak baloncuğun 9 saniye sonraki hacmini bulalım.
Kürenin hacim formülünü kullanarak bu
Bu
Buna göre baloncuğun yarıçapı belirtilen anda
Bir zemine 40 cm
Yığının yüksekliğine bağlı hacim formülü aşağıdaki gibi veriliyor.
Buna göre yığının yüksekliği 3 cm olduğu anda yüksekliğinin artış hızı kaçtır?
Çözümü GösterYığının hacmi ve yüksekliği zamana bağlı değişkenlerdir.
Bu değişkenlerin zamana bağlı değişim oranları arasındaki ilişkiyi bulmak için eşitliğin iki tarafının zamana göre türevini alalım.
Elde ettiğimiz bu denklem yığının hacmi ve yüksekliğinin zamana bağlı anlık değişim oranları arasındaki ilişkiyi vermektedir.
Soruda
Yığının hacminin artış hızı soruda verilmiştir.
Verilen değerleri ilişkili oran denkleminde yerine koyalım.
Buna göre yığının yüksekliği belirtilen anda
Dik bir duvara yaslanan 10 metre uzunluğundaki merdiven aşağı doğru 25 cm/sn hızla kaymaya başlıyor.
Merdivenin üst kısmının yere olan uzaklığı 6 metre olduğu anda merdivenin duvardan uzaklaşma hızı kaç cm/sn olur?
Çözümü GösterMerdivenin üst kısmının yerden yüksekliğine
Merdivenin oluşturduğu dik üçgene Pisagor teoremini uygulayalım.
Merdivenin üst kısmının yerden yüksekliği ve alt kısmının duvara olan uzaklığı zamana bağlı değişim gösteren değişkenlerdir.
Bu değişkenlerin zamana bağlı değişim oranları arasındaki ilişkiyi bulmak için eşitliğin iki tarafının zamana göre türevini alalım.
Merdivenin duvar boyunca kayma hızı soruda verilmiştir.
Merdivenin yere olan uzaklığı
Pisagor teoremini kullanarak
Verilen ve bulduğumuz değerleri ilişkili oran denkleminde yerine koyalım.
Buna göre mediven saniyede
Tabanı eşkenar olan üçgen prizma şeklinde bir kutunun yüksekliği saniyede 3 cm artarken hacmi saniyede
Buna göre prizmanın taban alanı
Prizmanın tabanı eşkenar üçgen olarak verilmiştir.
Prizmanın tabanının bir kenar uzunluğuna
Prizmanın taban alan formülünü
Prizmanın hacim formülünü yazalım.
Prizmanın hacmi, taban kenar uzunluğu ve yüksekliği zamana bağlı değişim gösteren değişkenlerdir.
Bu üç değişkenin zamana bağlı değişim oranları arasındaki ilişkiyi bulmak için eşitliğin iki tarafının zamana göre türevini alalım.
Elde ettiğimiz bu denklem prizmanın hacmi, taban kenar uzunluğu ve yüksekliğinin zamana bağlı anlık değişim oranları arasındaki ilişkiyi vermektedir.
Prizmanın hacminin ve yüksekliğinin anlık değişim oranları soruda verilmiştir.
Prizmanın anlık taban alanı soruda verilmiştir.
Prizmanın taban alan formülünü kullanarak bu
Verilen ve bulduğumuz değerleri ilişkili oran denkleminde yerine koyalım.
Buna göre prizmanın taban kenar uzunluğu belirtilen anda
Bir kamyon taşıdığı kumu inşaat alanına dökerken taban yarıçapı yüksekliğinin 3 katı olan koni şeklinde bir yığın oluşturuyor.
Kum dakikada 25 m
Koninin hacim formülünü yazalım.
Koninin taban yarıçapı yüksekliğinin 3 katı olarak verilmiştir.
Koninin hacmi ve taban yarıçapı zamana bağlı değişim gösteren değişkenlerdir.
Bu değişkenlerin zamana bağlı değişim oranları arasındaki ilişkiyi bulmak için eşitliğin iki tarafının zamana göre türevini alalım.
Yığının hacminin artış hızı soruda verilmiştir.
Verilen ve bulduğumuz değerleri ilişkili oran denkleminde yerine koyalım.
Buna göre yığının yarıçapı belirtilen anda
A ve B parçacıkları koordinat düzleminde bulundukları konumlardan ok yönünde hareketlerine başlıyorlar. İki parçacık uzunluğu 20 birim olan, her zaman gergin kalan bir ip ile birbirine bağlıdır ve ip
A parçacığı
Soruda ipin uzunluğu 20 birim olarak veriliyor.
A parçacığının
Bu değişkenlerin zamana bağlı değişim oranları arasındaki ilişkiyi bulmak için eşitliğin iki tarafının zamana göre türevini alalım.
Pisagor teoremini kullanarak
Belirtilen anda A parçacığının apsis değerindeki değişim hızı soruda verilmiştir.
Verilen ve bulduğumuz değerleri ilişkili oran denkleminde yerine koyalım.
Buna göre belirtilen anda B parçacığı saniyede 1,8 birim hızla orijine yaklaşmaktadır.
Bir kürenin hacmi dakikada 24 m
Kürenin yüzey alan formülünü yazalım.
Kürenin yüzey alanı ve yarıçap uzunluğu zamana bağlı değişim gösteren değişkenlerdir.
Bu değişkenlerin zamana bağlı değişim oranları arasındaki ilişkiyi bulmak için eşitliğin iki tarafının zamana göre türevini alalım.
Soruda
Kürenin hacim formülünü kullanarak
Kürenin hacim formülünü yazalım.
Kürenin hacmi ve yarıçap uzunluğu zamana bağlı değişim gösteren değişkenlerdir.
Bu değişkenlerin zamana bağlı değişim oranları arasındaki ilişkiyi bulmak için eşitliğin iki tarafının zamana göre türevini alalım.
Kürenin hacminin artış hızı soruda verilmiştir.
Verilen ve bulduğumuz değerleri hacmin ilişkili oran denkleminde yerine yazalım.
Verilen ve bulduğumuz değerleri yüzey alanın ilişkili oran denkleminde yerine yazalım.
Buna göre belirtilen anda kürenin yüzey alanı
Alanı 400 cm
(a) Dikdörtgenin genişliği saniyede 0,5 cm hızla azaldığı anda genişliği kaç cm olur?
(b) Dikdörtgenin genişliği 16 cm olduğu anda köşegen uzunluğunun değişim hızı kaç olur?
Çözümü GösterDikdörtgenin genişliğine
Dikdörtgenin alan formülünü yazalım.
Dikdörtgenin alanı, genişliği ve yüksekliği zamana bağlı değişim gösteren değişkenlerdir.
Bu değişkenlerin zamana bağlı değişim oranları arasındaki ilişkiyi bulmak için eşitliğin iki tarafının zamana göre türevini alalım.
Dikdörtgenin alanı sabit olduğu için değişim hızı, dolayısıyla türevi 0'dır.
Elde ettiğimiz bu denklem dikdörtgenin yüksekliği ile genişliğinin zamana bağlı anlık değişim oranları arasındaki ilişkiyi vermektedir.
(a) seçeneği:
Soruda dikdörtgenin genişliği saniyede 0,5 cm hızla azaldığı andaki dikdörtgenin genişliği istenmektedir.
Dikdörtgenin yüksekliğinin artış hızı soruda verilmiştir.
Verilen ve bulduğumuz değerleri ilişkili oran denkleminde yerine koyalım.
Bulduğumuz
Dikdörtgenin alanı soruda verilmiştir.
Genişlik negatif değer alamaz.
(b) seçeneği:
Soruda dikdörtgenin genişliği 16 cm olduğu andaki dikdörtgenin köşegen uzunluğunun değişim hızı istenmektedir.
Dikdörtgenin köşegen uzunluğuna
Dikdörtgenin köşegen uzunluğu Pisagor teoreminden bulunur.
Dikdörtgenin köşegeni, genişliği ve yüksekliği zamana bağlı değişim gösteren değişkenlerdir.
Bu üç değişkenin zamana bağlı değişim oranları arasındaki ilişkiyi bulmak için eşitliğin iki tarafının zamana göre türevini alalım.
Dikdörtgen alan formülünü kullanarak
Bulduğumuz
Dikdörtgenin alanı için ilişkili oran denklemini kullanarak
Dikdörtgenin uzunluğunun artış hızı soruda verilmiştir.
Verilen ve bulduğumuz değerleri ilişkili oran denkleminde yerine yazalım.
Buna göre belirtilen anda dikdörtgenin köşegen uzunluğu saniyede
2 metre boyundaki bir adam yerden 5 metre yükseklikte bulunan bir sokak lambasına doğru 9 m/sn hızla yürümektedir. Adamın yerdeki gölgesinin hareket hızı nedir?
Çözümü GösterAdamın sokak lambasına olan uzaklığına
Üçgen benzerliğini kullanalım.
İçler - dışlar çarpımı yapalım.
Bu değişkenlerin zamana bağlı değişim oranları arasındaki ilişkiyi bulmak için eşitliğin iki tarafının zamana göre türevini alalım.
Adamın hızı soruda verilmiştir.
Adam yürüdükçe
Verilen ve bulduğumuz değerleri ilişkili oran denkleminde yerine koyalım.
Buna göre yerdeki adamın gölgesinin ucu saniyede 15 m hızla hareket etmektedir.
Yol kenarında yüksekliği yarıçapının 5 katı uzunlukta olan bir trafik konisi ters çevrilmiş şekilde durmaktadır. Yağan yağmurla birlikte trafik konisine 38 cm
Su seviyesinin yüksekliği 15 cm olduğu anda su seviyesinin saniyede
Trafik konisinin şekli aşağıdaki gibidir.
Trafik konisi ve içindeki koni şeklindeki su için hacim formülünü yazalım.
Konilerin yüksekliği yarıçapın 5 katı uzunluktadır.
Bu
Koninin hacmi ve yüksekliği zamana bağlı değişim gösteren değişkenlerdir.
Bu değişkenlerin zamana bağlı değişim oranları arasındaki ilişkiyi bulmak için eşitliğin iki tarafının zamana göre türevini alalım.
Su seviyesi
Verilen ve bulduğumuz değerleri ilişkili oran denkleminde yerine koyalım.
Bulduğumuz
Soruda koniye yağmur suyunun dolma hızı 38 cm
Buna göre
Zincir kuralını uygulayalım.
Verilen birinci eşitliğin iki tarafının
Türevi alırken
Verilen ikinci eşitliğin iki tarafının
Türevi alırken
Bulduğumuz ifadeleri zincir kuralı formülünde yerine koyalım.
İkinci eşitliği kullanarak
Birinci eşitliği kullanarak
Bu iki
Buna göre
İki kenarının uzunluğu 6 cm ve 10 cm olan bir üçgenin bu iki kenarı arasındaki açı saniyede
Üçgenin alanının artış hızı 3 cm
Kenarlar arasındaki açıya
Üçgenin alan formülünü kullanalım.
Üçgenin alanı ve kenarlar arasındaki açı zamana bağlı değişim gösteren değişkenlerdir.
Bu değişkenlerin zamana bağlı değişim oranları arasındaki ilişkiyi bulmak için eşitliğin iki tarafının zamana göre türevini alalım.
Belirtilen anda üçgenin alanının artış hızı soruda verilmiştir.
İki kenar arasındaki açının artış hızı soruda verilmiştir.
Verilen ve bulduğumuz değerleri ilişkili oran denkleminde yerine koyalım.
Buna göre belirtilen anda bu kenarlar arasındaki açı
Uzunluğu
Havuza suyun akış hızı dakikada 18 m
Havuzun bir yan yüzey alanına
Üçgen prizmanın hacim formülünü yazalım.
Prizmanın yan yüzeyi eşkenar üçgen olarak verilmiştir.
Yan yüzeyin bir kenar uzunluğuna
Prizmanın kenar alan formülünü yazalım.
Bu değeri prizmanın kenar alan formülünde yerine koyalım.
Bu değeri prizmanın hacim formülünde yerine koyalım.
Üçgen prizmanın hacmi ve yüksekliği zamana bağlı değişim gösteren değişkenlerdir.
Bu değişkenlerin zamana bağlı değişim oranları arasındaki ilişkiyi bulmak için eşitliğin iki tarafının zamana göre türevini alalım.
Suyun akış hızı soruda verilmiştir.
Verilen ve bulduğumuz değerleri ilişkili oran denkleminde yerine yazalım.
Buna göre belirtilen anda su seviyesinin yüksekliği
Esra öğretmen fizik dersinde öğrencilerine genleşme konusunu anlatırken deney yapmak için sınıfa taban yarıçapı
Koninin taban alanının artış hızı 0,24 cm
Soruda önce taban alanının artış hızını kullanarak yarıçapın anlık değişim hızını bulalım, daha sonra bu değeri hacmin anlık artış hızını bulmak için kullanalım.
Koninin taban alan formülünü yazalım.
Koni tabanının alanı ve yarıçapı zamana bağlı değişim gösteren değişkenlerdir.
Bu değişkenlerin zamana bağlı değişim oranları arasındaki ilişkiyi bulmak için eşitliğin iki tarafının zamana göre türevini alalım.
Türevi alırken
Elde ettiğimiz bu denklem koni tabanının alanı ile yarıçapının zamana bağlı anlık değişim oranları arasındaki ilişkiyi vermektedir.
Koninin taban alanının artış hızı soruda verilmiştir.
Verilen ve bulduğumuz değerleri ilişkili oran denkleminde yerine koyalım.
Koni hacim formülünü yazalım.
Koninin yüksekliği soruda
Koninin hacmi ve yarıçapı zamana bağlı değişim gösteren değişkenlerdir.
Bu değişkenlerin zamana bağlı değişim oranları arasındaki ilişkiyi bulmak için eşitliğin iki tarafının zamana göre türevini alalım.
Elde ettiğimiz bu denklem koninin hacmi ile yarıçapının zamana bağlı anlık değişim oranları arasındaki ilişkiyi vermektedir.
Soruda
Verilen ve bulduğumuz değerleri ilişkili oran denkleminde yerine koyalım.
Buna göre koninin hacmi belirtilen anda