İlişkili Oranlar

Dikdörtgenin çevre formülünü yazalım.

\( P = 2x + 2y \)

Dikdörtgenin çevresi, genişliği ve yüksekliği zamana bağlı değişim gösteren değişkenlerdir.

\( P(t) = 2x(t) + 2y(t) \)

Bu üç değişkenin zamana bağlı değişim oranları arasındaki ilişkiyi bulmak için eşitliğin iki tarafının zamana göre türevini alalım.

\( \dfrac{dP}{dt} = 2\dfrac{dx}{dt} + 2\dfrac{dy}{dt} \)

Elde ettiğimiz bu denklem dikdörtgenin çevresi, yüksekliği ile genişliğinin zamana bağlı anlık değişim oranları arasındaki ilişkiyi vermektedir.

Soruda \( x = 20 \) cm ve \( y = 12 \) cm olduğu andaki dikdörtgenin çevresinin değişim hızı istenmektedir.

\( \dfrac{dP}{dt} = ? \)

Dikdörtgenin genişliği dakikada 5 cm artmakta, yüksekliği dakikada 2 cm azalmaktadır.

\( \dfrac{dx}{dt} = 5 \) cm/dk

\( \dfrac{dy}{dt} = -2 \) cm/dk

Verilen değerleri ilişkili oran denkleminde yerine koyalım.

\( \dfrac{dP}{dt} = 2\dfrac{dx}{dt} + 2\dfrac{dy}{dt} \)

\( = 2 \cdot 5 + 2 \cdot (-2) \)

\( = 6 \) cm/dk

Buna göre dikdörtgenin çevresi belirtilen anda \( 6 \) cm/dk hızla artmaktadır.

Dikkat edilirse çözümde dikdörtgenin değişim oranlarının sorulduğu andaki genişliğini ve yüksekliğini kullanmamıza gerek kalmadı. Bunun sebebi, çevre ve genişlik/yükseklik değişkenleri arasındaki ilişkinin doğrusal olması ve çevredeki değişim oranının genişlik ve yüksekliğin anlık değerlerine bağlı olmamasıdır.

Eşitliğin iki tarafının \( t \)'ye göre türevini alalım.

\( \dfrac{x^4}{4}\dfrac{dx}{dt} = 2y\dfrac{dy}{dt} + 3z^2\dfrac{dz}{dt} \)

\( x = 2 \) ve \( y = 1 \) için \( z \) değerini bulalım.

\( \dfrac{x^5}{20} = y^2 + z^3 \)

\( \dfrac{2^5}{20} = 1^2 + z^3 \)

\( z^3 = \dfrac{12}{20} = \dfrac{3}{5} \)

\( z = \sqrt[3]{\dfrac{3}{5}} \)

\( x \) ve \( y \) değişkenlerinin sabit değişim hızları sırasıyla 5 ve 3 olarak veriliyor.

\( \dfrac{dx}{dt} = 5, \quad \dfrac{dy}{dt} = 3 \)

Verilen ve bulduğumuz değerleri ilişkili oran denkleminde yerine koyalım.

\( \dfrac{2^4}{4}(5) = 2(1)(3) + 3(\sqrt[3]{\frac{3}{5}})^2\dfrac{dz}{dt} \)

\( 20 = 6 + 3(\sqrt[3]{\frac{3}{5}})^2\dfrac{dz}{dt} \)

\( \dfrac{dz}{dt} = \dfrac{70\sqrt[3]{\frac{3}{5}}}{9} \) bulunur.

Kosinüs teoremini uygulayalım.

\( 12^2 = 6^2 + a^2 - 2(6)(a)\cos{\alpha} \)

\( 144 = 36 + a^2 - 12a\cos{\alpha} \)

Pistonun dönme merkezine uzaklığı ve \( \alpha \) açısı zamana bağlı değişim gösteren değişkenlerdir.

\( 144 = 36 + [a(t)]^2 - 12a(t)\cos(\alpha(t)) \)

Bu değişkenlerin zamana bağlı değişim oranları arasındaki ilişkiyi bulmak için eşitliğin iki tarafının zamana göre türevini alalım.

\( 0 = 2a\dfrac{da}{dt} - (12\dfrac{da}{dt}\cos{\alpha} - 12a\sin{\alpha}\dfrac{d\alpha}{dt}) \)

\( 0 = 2a\dfrac{da}{dt} - 12\dfrac{da}{dt}\cos{\alpha} + 12a\sin{\alpha}\dfrac{d\alpha}{dt} \)

Krank milinin dönme eksenine uzaklığı \( a = 10 \) cm olduğu anda pistonun hızı istenmektedir.

\( \dfrac{da}{dt} = ? \)

Belirtilen andaki krank milinin dönme hızı soruda verilmiştir.

Dönme hızı, fiziksel bir terim olarak birim zamanda taranan açı anlamına gelir.

\( \dfrac{d\alpha}{dt} = 40 \) radyan/sn

\( a = 10 \) değerini kosinüs teoreminde yerine koyalım.

\( 144 = 36 + 10^2 - 12(10)\cos{\alpha} \)

\( \cos{\alpha} = -\dfrac{1}{15} \)

\( \alpha \) açısı bir üçgenin iç açısı olduğu için II. bölgede olur. Sinüs fonksiyonu 2. bölgede pozitiftir.

\( \sin{\alpha} = \dfrac{4\sqrt{14}}{15} \)

Verilen ve bulduğumuz değerleri ilişkili oran denkleminde yerine koyalım.

\( 0 = 2a\dfrac{da}{dt} - 12\dfrac{da}{dt}\cos{\alpha} + 12a\sin{\alpha}\dfrac{d\alpha}{dt} \)

\( 0 = 2(10)\dfrac{da}{dt} - 12\dfrac{da}{dt}(-\dfrac{1}{15}) + 12(10)(\dfrac{4\sqrt{14}}{15})(40) \)

\( 0 = 20\dfrac{da}{dt} + \dfrac{4}{5}\dfrac{da}{dt} + 1280\sqrt{14} \)

\( \dfrac{da}{dt} = -\dfrac{800\sqrt{14}}{13} \) cm/sn

Buna göre piston belirtilen anda saniyede \( \frac{800\sqrt{14}}{13} \) cm hızla krank milinin dönme merkezine yaklaşmaktadır.

Kürenin hacim formülünü yazalım.

\( V = \dfrac{4}{3}\pi r^3 \)

Kürenin hacmi ve yarıçapı zamana bağlı değişim gösteren değişkenlerdir.

\( V(t) = \dfrac{4}{3}\pi [r(t)]^3 \)

Bu değişkenlerin zamana bağlı değişim oranları arasındaki ilişkiyi bulmak için eşitliğin iki tarafının zamana göre türevini alalım.

\( \dfrac{dV}{dt} = 4\pi r^2\dfrac{dr}{dt} \)

Kürenin hacminin artış hızının yarıçapının artış hızına oranını alalım.

\( \dfrac{\frac{dV}{dt}}{\frac{dr}{dt}} = 4\pi r^2 \)

Kürenin hacminin artış hızının yarıçapının artış hızına oranı soruda verilmiştir.

\( \dfrac{\frac{dV}{dt}}{\frac{dr}{dt}} = \dfrac{16\pi}{9} \)

\( \dfrac{16\pi}{9} = 4\pi r^2 \)

\( r^2 = \dfrac{4}{9} \)

Yarıçap uzunluğu negatif değer alamaz.

\( r = \dfrac{2}{3} \) cm

Buna göre belirtilen anda kürenin yarıçapı \( r = \frac{2}{3} \) cm uzunluğundadır.

Roketin bulunduğu yüksekliğe \( h \), gözlemcinin rokete uzaklığına \( z \) diyelim.

Fırlatma noktası, roket ve gözlemcinin oluşturduğu dik üçgende Pisagor teoremini uygulayalım.

\( z^2 = h^2 + 1200^2 \)

Uçağın yüksekliği ve roket ile gözlemci arasındaki mesafe zamana bağlı değişim gösteren değişkenlerdir.

\( [z(t)]^2 = [h(t)]^2 + 1200^2 \)

Bu değişkenlerin zamana bağlı değişim oranları arasındaki ilişkiyi bulmak için eşitliğin iki tarafının zamana göre türevini alalım.

\( 2z\dfrac{dz}{dt} = 2h\dfrac{dh}{dt} + 0 \)

\( z\dfrac{dz}{dt} = h\dfrac{dh}{dt} \)

\( z = 2000 \) m olduğu andaki roketin dikey hızı istenmektedir.

\( \dfrac{dh}{dt} = ? \)

\( z \) değerini Pisagor teoreminde yerine koyarak bu andaki \( h \) değerini bulalım.

\( 2000^2 = h^2 + 1200^2 \)

\( h = 1600 \) m

Belirtilen anda roket ile gözlemci arasındaki uzaklığın değişim hızı soruda verilmiştir.

\( \dfrac{dz}{dt} = 200 \) m/sn

Verilen ve bulduğumuz değerleri ilişkili oran denkleminde yerine koyalım.

\( z\dfrac{dz}{dt} = h\dfrac{dh}{dt} \)

\( 2000(200) = 1600\dfrac{dh}{dt} \)

\( \dfrac{dh}{dt} = 250 \) m/sn

Buna göre belirtilen anda roketin yükselme hızı saniyede 250 metredir.

Zincir kuralını uygulayalım.

\( \dfrac{dy}{dt} = \dfrac{dy}{dx} \cdot \dfrac{dx}{dt} \)

Verilen birinci eşitliğin iki tarafının \( x \)'e göre türevini alalım.

Türevi alırken \( y \) değişkeninin \( x \)'e bağlı bir fonksiyon olduğunu dikkate almalıyız.

\( \dfrac{d}{dx}(2y) = \dfrac{d}{dx}(\dfrac{2}{(x + 1)^3} - \dfrac{1}{2}) \)

\( 2\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{6}{(x + 1)^4} \)

\( \frac{dy}{dx} \) ifadesini yalnız bırakalım.

\( \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{3}{(x + 1)^4} \)

Verilen ikinci eşitliğin iki tarafının \( t \)'ye göre türevini alalım.

Türevi alırken \( x \) değişkeninin \( t \)'ye bağlı bir fonksiyon olduğunu dikkate almalıyız.

\( \dfrac{d}{dt}(\ln(2x^2)) = \dfrac{d}{dt}(\dfrac{t}{2}) \)

\( \dfrac{(2x^2)'}{2x^2} = \dfrac{1}{2} \)

\( \dfrac{4x}{2x^2}\dfrac{dx}{dt} = \dfrac{1}{2} \)

\( \frac{dx}{dt} \) ifadesini yalnız bırakalım.

\( \dfrac{dx}{dt} = \dfrac{x}{4} \)

Bulduğumuz ifadeleri zincir kuralı formülünde yerine koyalım.

\( \dfrac{dy}{dt} = \dfrac{dy}{dx} \cdot \dfrac{dx}{dt} \)

\( = -\dfrac{3}{(x + 1)^4} \cdot \dfrac{x}{4} \)

\( = -\dfrac{3x}{4(x + 1)^4} \)

\( x = 1 \) için türev değerini bulalım.

\( \dfrac{dy}{dt}|_{x=1} = -\dfrac{3(1)}{4(1 + 1)^4} \)

\( = -\dfrac{3}{64} \) bulunur.

Zincir kuralını uygulayalım.

\( \dfrac{dy}{dt} = \dfrac{dy}{dx} \cdot \dfrac{dx}{dt} \)

Verilen birinci eşitliğin iki tarafının \( x \)'e göre türevini alalım.

Türevi alırken \( y \) değişkeninin \( x \)'e bağlı bir fonksiyon olduğunu dikkate almalıyız.

\( \dfrac{d}{dx}(\dfrac{y}{3}) = \dfrac{d}{dx}(30e^{\frac{1}{3} + \frac{x}{10}}) \)

\( \dfrac{1}{3}\dfrac{dy}{dx} = 30e^{\frac{1}{3} + \frac{x}{10}}\dfrac{1}{10} \)

\( \frac{dy}{dx} \) ifadesini yalnız bırakalım.

\( \dfrac{dy}{dx} = 9e^{\frac{1}{3} + \frac{x}{10}} \)

Verilen ikinci eşitliğin iki tarafının \( t \)'ye göre türevini alalım.

Türevi alırken \( x \) değişkeninin \( t \)'ye bağlı bir fonksiyon olduğunu dikkate almalıyız.

\( \dfrac{d}{dt}(\dfrac{x}{2}) = \dfrac{d}{dt}(6\sqrt{t + 2}) \)

\( \dfrac{1}{2}\dfrac{dx}{dt} = \dfrac{3}{\sqrt{t + 2}} \)

\( \frac{dx}{dt} \) ifadesini yalnız bırakalım.

\( \dfrac{dx}{dt} = \dfrac{6}{\sqrt{t + 2}} \)

Bulduğumuz ifadeleri zincir kuralı formülünde yerine koyalım.

\( \dfrac{dy}{dt} = \dfrac{dy}{dx} \cdot \dfrac{dx}{dt} \)

\( = 9e^{\frac{1}{3} + \frac{x}{10}}\dfrac{6}{\sqrt{t + 2}} \)

\( = \dfrac{54e^{\frac{1}{3} + \frac{x}{10}}}{\sqrt{t + 2}} \)

İkinci eşitliği kullanarak \( t = 2 \) için \( x \) değerini bulalım.

\( \dfrac{x}{2} = 6\sqrt{t + 2} \)

\( \dfrac{x}{2} = 6\sqrt{2 + 2} \)

\( x = 24 \)

Türev denklemini kullanarak \( t = 2 \) ve \( x = 24 \) için \( \frac{dy}{dt} \) değerini bulalım.

\( \dfrac{dy}{dt}|_{t=2, x=24} = \dfrac{54e^{\frac{1}{3} + \frac{24}{10}}}{\sqrt{2 + 2}} \)

\( = 27e^{\frac{41}{15}} \)

Buna göre \( t = 2 \) için \( \frac{dy}{dt} \) değeri \( 27e^{\frac{41}{15}} \) olarak bulunur.

\( x \) ve \( y \) zamana bağlı değişim gösteren değişkenlerdir.

\( y(t) = \dfrac{2[x(t)]^3}{3} + 1 \)

Bu değişkenlerinn zamana bağlı değişim oranları arasındaki ilişkiyi bulmak için eşitliğin iki tarafının zamana göre türevini alalım.

\( \dfrac{dy}{dt} = 2x^2\dfrac{dx}{dt} \)

Soruda parçacığın \( y \) koordinatının değişim hızının \( x \) koordinatının değişim hızının 18 katı olduğu noktalar istenmektedir.

\( \dfrac{dy}{dt} = 18\dfrac{dx}{dt} \)

\( \frac{dy}{dt} \) ifadesini ilişkili oran denkleminde \( \frac{dx}{dt} \) cinsinden yazalım.

\( 18\dfrac{dx}{dt} = 2x^2\dfrac{dx}{dt} \)

\( 9 = x^2 \)

\( x = 3 \) ya da \( x = -3 \)

\( x \) değerlerini grafik denkleminde yerine koyalım.

\( x = 3 \) için:

\( y = \dfrac{2(3)^3}{3} + 1 = 19 \)

\( x = -3 \) için:

\( y = \dfrac{2(-3)^3}{3} + 1 = -17 \)

Buna göre \( (3, 19) \) ve \( (-3, -17) \) noktalarında parçacığın \( y \) koordinatının değişim hızı \( x \) koordinatının değişim hızının 18 katıdır.

\( x \) ve \( y \) zamana bağlı değişim gösteren değişkenlerdir.

\( y(t) = 5[x(t)]^2 + 2x(t) + 1 \)

Bu değişkenlerin zamana bağlı değişim oranları arasındaki ilişkiyi bulmak için eşitliğin iki tarafının zamana göre türevini alalım.

\( \dfrac{dy}{dt} = 10x\dfrac{dx}{dt} + 2\dfrac{dx}{dt} \)

\( = \dfrac{dx}{dt}(10x + 2) \)

Parçacık \( x = 2 \) noktasında iken \( x \) koordinatının değişim hızı soruda verilmiştir.

\( \dfrac{dx}{dt} = 5 \) birim/sn

Verilen ve bulduğumuz değerleri ilişkili oran denkleminde yerine koyalım.

\( \dfrac{dy}{dt} = 5(10(2) + 2) \)

\( \dfrac{dy}{dt} = 110 \) birim/sn olarak bulunur.

\( x \) ve \( y \) zamana bağlı değişim gösteren değişkenlerdir.

\( y(t) = \sin(2x(t)) \)

Bu değişkenlerin zamana bağlı değişim oranları arasındaki ilişkiyi bulmak için eşitliğin iki tarafının zamana göre türevini alalım.

\( \dfrac{dy}{dt} = 2\cos(2x)\dfrac{dx}{dt} \)

\( y \) koordinatındaki anlık değişimin \( x \) koordinatındaki anlık değişime oranını alalım.

\( \dfrac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = 2\cos(2x) \)

Soruda \( y \) koordinatının değişim hızının \( x \) koordinatının değişim hızına eşit olduğu noktalar istenmektedir.

\( \dfrac{dy}{dt} = \dfrac{dx}{dt}\)

\( \dfrac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = 1 \)

\( \cos(2x) = \dfrac{1}{2} \)

Kosinüs fonksiyonu \( [0, 2\pi] \) aralığında \( x = \frac{\pi}{3} \) ve \( x = \frac{5\pi}{3} \) noktalarında \( \frac{1}{2} \) değerini alır.

Bu iki değer için denklemin genel çözümünü bulalım.

Durum 1: \( x = \frac{\pi}{3} \)

\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,

\( 2x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \)

\( x = \frac{\pi}{6} + \pi k \)

Durum 2: \( x = \frac{5\pi}{3} \)

\( 2x = \frac{5\pi}{3} + 2\pi k \)

\( x = \frac{5\pi}{6} + \pi k \)

Buna göre yukarıda bulduğumuz iki çözüm kümesinin birleşimi, parçacığın \( x \) ve \( y \) koordinatlarının aynı oranda değiştiği noktaları içerir.

Parçacığın \( x \) ve \( y \) koordinatları zamana bağlı değişim gösteren değişkenlerdir.

\( y(t) = f(x(t)) \)

Bu değişkenlerin zamana bağlı değişim oranları arasındaki ilişkiyi bulmak için eşitliğin iki tarafının zamana göre türevini alalım.

\( \dfrac{dy}{dt} = f'(x)\dfrac{dx}{dt} \)

\( f'(x) \) eğim fonksiyonudur ve belirtilen anda eğrinin eğimi soruda verilmiştir.

\( f'(x) = \dfrac{2}{3} \)

Belirtilen anda parçacığın \( y \) koordinatının değişim hızı soruda verilmiştir.

\( \dfrac{dy}{dt} = 4 \)

Verilen ve bulduğumuz değerleri ilişkili oran denkleminde yerine koyalım.

\( \dfrac{dy}{dt} = f'(x)\dfrac{dx}{dt} \)

\( 4 = \dfrac{2}{3}\dfrac{dx}{dt} \)

\( \dfrac{dx}{dt} = 6 \) birim/sn

Buna göre belirtilen anda parçacığın \( x \) koordinatının değişim hızı saniyede 6 birimdir.

Kürenin hacim formülünü yazalım.

\( V = \dfrac{4}{3}\pi r^3 \)

Balonun hacmi ve yarıçap uzunluğu zamana bağlı değişim gösteren değişkenlerdir.

\( V(t) = \dfrac{4}{3}\pi [r(t)]^3 \)

Bu değişkenlerin zamana bağlı değişim oranları arasındaki ilişkiyi bulmak için eşitliğin iki tarafının zamana göre türevini alalım.

\( \dfrac{dV}{dt} = 4\pi r^2\dfrac{dr}{dt} \)

Havanın balondan kaçış hızı soruda verilmiştir.

\( \dfrac{dV}{dt} = -3 \) m\( ^3 \)/s

\( r = \frac{1}{2} \) olduğu andaki balonun yarıçapının artış hızı istenmektedir.

\( \dfrac{dr}{dt} = ? \)

Verilen ve bulduğumuz değerleri ilişkili oran denkleminde yerine yazalım.

\( \dfrac{dV}{dt} = 4\pi r^2\dfrac{dr}{dt} \)

\( -3 = 4\pi (\dfrac{1}{2})^2\dfrac{dr}{dt} \)

\( \dfrac{dr}{dt} = -\dfrac{3}{\pi} \) m/s

Buna göre belirtilen anda balonun yarıçapı \( \frac{3}{\pi} \) m/s hızla azalmaktadır.

Uçağın yüksekliğine \( h \), uçuş yönünde yere uzaklığına \( d \) diyelim.

\( \dfrac{h}{d} = \sin{45°} \)

\( \dfrac{h}{d} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \)

İçler - dışlar çarpımı yapalım.

\( 2h = \sqrt{2}d \)

Uçağın yerden yüksekliği ve uçuş rotası boyunca yere olan uzaklığı zamana bağlı değişim gösteren değişkenlerdir.

\( 2h(t) = \sqrt{2}d(t) \)

Bu değişkenlerin zamana bağlı değişim oranları arasındaki ilişkiyi bulmak için eşitliğin iki tarafının zamana göre türevini alalım.

\( 2\dfrac{dh}{dt} = \sqrt{2}\dfrac{dd}{dt} \)

Uçağın hızı (yere olan uzaklığındaki değişim hızı) soruda verilmiştir.

\( \dfrac{dd}{dt} = -300 \) km/sa

Verilen değeri ilişkili oran denkleminde yerine koyalım.

\( 2\dfrac{dh}{dt} = \sqrt{2}(-300) \)

\( \dfrac{dh}{dt} = -150\sqrt{2} \)

Buna göre uçağın yerden yüksekliği saatte \( 150\sqrt{2} \) km hızla azalmaktadır.

Üçgenin kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi kosinüs teoremi ile kurabiliriz.

\( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos{\alpha} \)

Karşı kenar uzunluğu ve \( \alpha \) açısı zamana bağlı değişim gösteren değişkenlerdir. \( a \) ve \( b \) kenar uzunlukları ise sabittir.

\( [c(t)]^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos{\alpha(t)} \)

Bu iki değişkenin zamana bağlı değişim oranları arasındaki ilişkiyi bulmak için eşitliğin iki tarafının zamana göre türevini alalım.

\( \dfrac{d(c^2)}{dt} = \dfrac{d(a^2)}{dt} + \dfrac{d(b^2)}{dt} - \dfrac{d(2ab\cos{\alpha})}{dt} \)

\( a \) ve \( b \) birer sabit olduğu için türevleri sıfırdır.

\( 2c\dfrac{dc}{dt} = -2ab(-\sin{\alpha})\dfrac{d\alpha}{dt} \)

\( c\dfrac{dc}{dt} = ab\sin{\alpha}\dfrac{d\alpha}{dt} \)

Elde ettiğimiz bu denklem üçgenin kenar uzunlukları ile \( \alpha \) açısının zamana bağlı anlık değişim oranları arasındaki ilişkiyi vermektedir.

Soruda \( \alpha = 60° \) olduğu andaki \( c \) kenar uzunluğunun artış hızı istenmektedir.

\( \dfrac{dc}{dt} = ? \)

\( \alpha \) açısının artış hızı soruda verilmiştir.

\( \dfrac{d\alpha}{dt} = 2° \) /sn

\( c \) kenar uzunluğunun anlık değerini kosinüs teoremi ile hesaplayabiliriz.

\( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos{\alpha} \)

\( c^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos{60°} \)

\( c^2 = 25 + 64 - 40 \)

\( c = 7 \) cm

Verilen ve bulduğumuz değerleri ilişkili oran denkleminde yerine koyalım.

\( c\dfrac{dc}{dt} = ab\sin{\alpha}\dfrac{d\alpha}{dt} \)

\( 7\dfrac{dc}{dt} = 5 \cdot 8 \cdot \sin{60°} \cdot 2 \)

\( \dfrac{dc}{dt} = \dfrac{40\sqrt{3}}{7} \) cm/sn

Buna göre karşı kenar uzunluğu belirtilen anda \( \frac{40\sqrt{3}}{7} \) cm/sn hızla artmaktadır.

Kürenin yüzey alan formülünü yazalım.

\( A = 4\pi r^2 \)

Kürenin yüzey alanı ve yarıçapı zamana bağlı değişim gösteren değişkenlerdir.

\( A(t) = 4\pi [r(t)]^2 \)

Bu değişkenlerin zamana bağlı değişim oranları arasındaki ilişkiyi bulmak için eşitliğin iki tarafının zamana göre türevini alalım.

\( \dfrac{dA}{dt} = 8\pi r\dfrac{dr}{dt} \)

Elde ettiğimiz bu denklem kürenin yüzey alanı ile yarıçapının zamana bağlı anlık değişim oranları arasındaki ilişkiyi vermektedir.

Kürenin yarıçapının artış hızı soruda verilmiştir.

\( \dfrac{dr}{dt} = \dfrac{2}{\sqrt{\pi}} \) cm/sn

\( A = 100 \) cm\( ^2 \) olduğu andaki kürenin yüzey alanının artış hızı istenmektedir.

\( \dfrac{dA}{dt} = ? \)

Kürenin yüzey alan formülünü kullanarak bu \( A \) değerindeki yarıçap değerini bulalım.

\( A = 4\pi r^2 \)

\( 100 = 4\pi r^2 \)

\( r = \dfrac{5}{\sqrt{\pi}} \) cm

Verilen ve bulduğumuz değerleri ilişkili oran denkleminde yerine koyalım.

\( \dfrac{dA}{dt} = 8\pi r\dfrac{dr}{dt} \)

\( = 8\pi \dfrac{5}{\sqrt{\pi}}\dfrac{2}{\sqrt{\pi}} \)

\( = 80 \) cm\( ^2 \)/sn

Buna göre kürenin yüzey alanı belirtilen anda 80 cm\( ^2 \)/sn hızla artmaktadır.

Topun gölgesinin sokak lambasına olan uzaklığına \( x \), topun 1 sn sonra yerden yüksekliğine \( y \) diyelim.

Üçgen benzerliğini kullanalım.

\( \dfrac{y}{6} = \dfrac{x - 5}{x} \)

\( h + y = 4 \)

\( y = 4 - h \)

\( h = 2t^2 \) olarak veriliyor.

\( y = 4 - 2t^2 \)

Bu değeri üçgen benzerliği denkleminde yerine koyalım.

\( \dfrac{4 - 2t^2}{6} = \dfrac{x - 5}{x} \)

İfadeyi düzenleyelim.

\( \dfrac{4}{6} -\dfrac{2t^2}{6} = 1 - \dfrac{5}{x} \)

\( \dfrac{2}{3} -\dfrac{t^2}{3} = 1 - \dfrac{5}{x} \)

\( x \) zamana bağlı değişim gösteren bir değişkendir.

\( \dfrac{2}{3} -\dfrac{t^2}{3} = 1 - \dfrac{5}{x(t)} \)

Eşitliğin iki tarafının zamana göre türevini alalım.

\( -\dfrac{2t}{3} = \dfrac{5}{x^2}\dfrac{dx}{dt} \)

Üçgen benzerliği denklemini kullanarak \( t = 1 \) anındaki \( x \) değerini bulalım.

\( \dfrac{4 - 2(1)^2}{6} = \dfrac{x - 5}{x} \)

\( \dfrac{2}{6} = \dfrac{x - 5}{x} \)

\( x = \dfrac{15}{2} \) m

Verilen ve bulduğumuz değerleri ilişkili oran denkleminde yerine koyalım.

\( -\dfrac{2(1)}{3} = \dfrac{5}{(\frac{15}{2})^2}\dfrac{dx}{dt} \)

\( \dfrac{dx}{dt} = -\dfrac{15}{2} \) m/sn

Buna göre belirtilen anda topun gölgesi saniyede \( \frac{15}{2} \) metre hızla basket potasına doğru yaklaşmaktadır.

Uçağın radar istasyonundan yatay uzaklığına \( x \) km diyelim.

\( \tan{\alpha} = \dfrac{x}{8} \)

Uçağın aldığı yol ve \( \alpha \) açısı zamana bağlı değişim gösteren değişkenlerdir.

\( \tan(\alpha(t)) = \dfrac{x(t)}{8} \)

Bu değişkenlerin zamana bağlı değişim oranları arasındaki ilişkiyi bulmak için eşitliğin iki tarafının zamana göre türevini alalım.

\( \sec^2{\alpha}\dfrac{d\alpha}{dt} = \dfrac{1}{8}\dfrac{dx}{dt} \)

\( \alpha = \frac{\pi}{6} \) radyan olduğu anda \( \alpha \) açısının değişim hızı istenmektedir.

\( \dfrac{d\alpha}{dt} = ? \)

Belirtilen andaki uçağın hızı soruda verilmiştir.

\( \dfrac{dx}{dt} = 320 \) km/sa

Verilen ve bulduğumuz değerleri ilişkili oran denkleminde yerine koyalım.

\( \sec^2{\alpha}\dfrac{d\alpha}{dt} = \dfrac{1}{8}\dfrac{dx}{dt} \)

\( \sec^2{\dfrac{\pi}{6}}\dfrac{d\alpha}{dt} = \dfrac{1}{8}320 \)

\( \sec{\dfrac{\pi}{6}} = \dfrac{2}{\sqrt{3}} \)

\( \dfrac{d\alpha}{dt} = 30 \) radyan/sa

Açının değişim hızını dakika cinsinden yazalım.

\( \dfrac{d\alpha}{dt} = \dfrac{1}{2} \) radyan/dk

Buna göre belirtilen anda \( \alpha \) açısı dakikada \( \frac{1}{2} \) radyan hızla artmaktadır.

Kürenin hacim formülünü yazalım.

\( V = \dfrac{4}{3}\pi r^3 \)

Kürenin hacmi ve yarıçapı zamana bağlı değişim gösteren değişkenlerdir.

\( V(t) = \dfrac{4}{3}\pi [r(t)]^3 \)

Bu iki değişkenin zamana bağlı değişim oranları arasındaki ilişkiyi bulmak için eşitliğin iki tarafının zamana göre türevini alalım.

\( \dfrac{dV}{dt} = 4\pi r^2\dfrac{dr}{dt} \)

Elde ettiğimiz bu denklem baloncuğun hacmi ile yarıçapının zamana bağlı anlık değişim oranları arasındaki ilişkiyi vermektedir.

Soruda baloncuğun yarıçapının belirli anlardaki artış hızı istenmektedir.

\( \dfrac{dr}{dt} = ? \)

Baloncuğun hacminin artış hızı soruda verilmiştir.

\( \dfrac{dV}{dt} = 4 \) cm\( ^3 \)/sn

\( \dfrac{dV}{dt} \) değerini ilişkili oran denkleminde yerine koyalım.

\( 4 = 4\pi r^2\dfrac{dr}{dt} \)

\( \dfrac{dr}{dt} = \dfrac{1}{\pi r^2} \) cm/sn

Elde ettiğimiz bu denklem baloncuğun yarıçapının belirli bir \( r \) değerindeki anlık artış hızını verir.

(a) seçeneği:

Soruda \( r = 2 \) cm anındaki baloncuğun yarıçapının artış hızı istenmektedir.

Bu \( r \) değerini yarıçapın artış hızı denkleminde yerine koyalım.

\( \dfrac{dr}{dt} = \dfrac{1}{\pi r^2} \)

\( = \dfrac{1}{\pi 2^2} = \dfrac{1}{4\pi} \) cm/sn

Buna göre baloncuğun yarıçapı belirtilen anda \( \frac{1}{4\pi} \) cm/sn hızla artmaktadır.

(b) seçeneği:

Soruda \( V = 36\pi \) cm\( ^3 \) anındaki baloncuğun yarıçapının artış hızı istenmektedir.

Kürenin hacim formülünü kullanarak bu \( V \) değerindeki yarıçap değerini bulalım.

\( 36\pi = \dfrac{4}{3}\pi r^3 \)

\( r = 3 \) cm

Bu \( r \) değerini yarıçapın artış hızı denkleminde yerine koyalım.

\( \dfrac{dr}{dt} = \dfrac{1}{\pi r^2} \)

\( = \dfrac{1}{\pi 3^2} = \dfrac{1}{9\pi} \) cm/sn

Buna göre baloncuğun yarıçapı belirtilen anda \( \frac{1}{9\pi} \) cm/sn hızla artmaktadır.

(c) seçeneği:

Soruda sakızı şişirmeye başladıktan 9 saniye sonraki baloncuğun yarıçapının artış hızı istenmektedir.

Baloncuğun hacminin artış hızı soruda verilmiştir.

\( \dfrac{dV}{dt} = 4 \) cm\( ^3 \)/sn

Bu artış hızını kullanarak baloncuğun 9 saniye sonraki hacmini bulalım.

\( V = 9 \cdot 4 = 36 \) cm\( ^3 \)

Kürenin hacim formülünü kullanarak bu \( V \) değerindeki yarıçap değerini bulalım.

\( 36 = \dfrac{4}{3}\pi r^3 \)

\( r = \dfrac{3}{\sqrt[3]{\pi}} \) cm

Bu \( r \) değerini yarıçapın artış hızı denkleminde yerine koyalım.

\( \dfrac{dr}{dt} = \dfrac{1}{\pi r^2} \)

\( = \dfrac{1}{\pi (\dfrac{3}{\sqrt[3]{\pi}})^2} \)

\(= \dfrac{1}{9\sqrt[3]{\pi}} \) cm/sn

Buna göre baloncuğun yarıçapı belirtilen anda \( \frac{1}{9\sqrt[3]{\pi}} \) cm/sn hızla artmaktadır.

Yığının hacmi ve yüksekliği zamana bağlı değişkenlerdir.

\( V(t) = 2h(t) + \sqrt{[h(t)]^3 + 22} \)

Bu değişkenlerin zamana bağlı değişim oranları arasındaki ilişkiyi bulmak için eşitliğin iki tarafının zamana göre türevini alalım.

\( \dfrac{dV}{dt} = 2\dfrac{dh}{dt} + \dfrac{3h^2}{2\sqrt{h^3 + 22}}\dfrac{dh}{dt} \)

\( = \dfrac{dh}{dt}(2 + \dfrac{3h^2}{2\sqrt{h^3 + 22}}) \)

Elde ettiğimiz bu denklem yığının hacmi ve yüksekliğinin zamana bağlı anlık değişim oranları arasındaki ilişkiyi vermektedir.

Soruda \( h = 3 \) cm olduğu andaki yüksekliğin artış hızı istenmektedir.

\( \dfrac{dh}{dt} = ? \)

Yığının hacminin artış hızı soruda verilmiştir.

\( \dfrac{dV}{dt} = 40 \) cm\( ^3 \)/sn

Verilen değerleri ilişkili oran denkleminde yerine koyalım.

\( \dfrac{dV}{dt} = \dfrac{dh}{dt}(2 + \dfrac{3h^2}{2\sqrt{h^3 + 22}}) \)

\( 40 = \dfrac{dh}{dt}(2 + \dfrac{3(3)^2}{2\sqrt{3^3 + 22}}) \)

\( 40 = \dfrac{dh}{dt}(2 + \dfrac{27}{14}) \)

\( 40 = \dfrac{dh}{dt}\dfrac{55}{14} \)

\( \dfrac{dh}{dt} = \dfrac{112}{11} \) cm/sn

Buna göre yığının yüksekliği belirtilen anda \( \frac{112}{11} \) cm/sn hızla artmaktadır.

Merdivenin üst kısmının yerden yüksekliğine \( y \), alt kısmının duvardan uzaklığına \( x \) diyelim.

Merdivenin oluşturduğu dik üçgene Pisagor teoremini uygulayalım.

\( 10^2 = y^2 + x^2 \)

Merdivenin üst kısmının yerden yüksekliği ve alt kısmının duvara olan uzaklığı zamana bağlı değişim gösteren değişkenlerdir.

\( 10^2 = [y(t)]^2 + [x(t)]^2 \)

Bu değişkenlerin zamana bağlı değişim oranları arasındaki ilişkiyi bulmak için eşitliğin iki tarafının zamana göre türevini alalım.

\( 0 = 2y\dfrac{dy}{dt} + 2x\dfrac{dx}{dt} \)

\( 0 = y\dfrac{dy}{dt} + x\dfrac{dx}{dt} \)

Merdivenin duvar boyunca kayma hızı soruda verilmiştir.

\( \dfrac{dy}{dt} = -25 \) cm/sn

\( \dfrac{dy}{dt} = -\dfrac{1}{4} \) m/sn

Merdivenin yere olan uzaklığı \( y = 6 \) metre olduğu andaki duvardan uzaklaşma hızı istenmektedir.

\( \dfrac{dx}{dt} = ? \)

Pisagor teoremini kullanarak \( y = 6 \) olduğu andaki \( x \) değerini bulalım.

\( 10^2 = 6^2 + x^2 \)

\( x = 8 \) m

Verilen ve bulduğumuz değerleri ilişkili oran denkleminde yerine koyalım.

\( 0 = y\dfrac{dy}{dt} + x\dfrac{dx}{dt} \)

\( 0 = 6(-\dfrac{1}{4}) + 8\dfrac{dx}{dt} \)

\( \dfrac{dx}{dt} = \dfrac{3}{16} \) m/sn

\( \dfrac{dx}{dt} = \dfrac{300}{16} = \dfrac{75}{4} \) cm/sn

Buna göre mediven saniyede \( \frac{75}{4} \) cm hızla duvardan uzaklaşmaktadır.

Prizmanın tabanı eşkenar üçgen olarak verilmiştir.

Prizmanın tabanının bir kenar uzunluğuna \( a \), alanına \( A \), yüksekliğine \( h \) diyelim.

Prizmanın taban alan formülünü \( a \) cinsinden yazalım.

\( A = \dfrac{\sqrt{3}a^2}{4} \)

Prizmanın hacim formülünü yazalım.

\( V = Ah = \dfrac{\sqrt{3}a^2h}{4} \)

Prizmanın hacmi, taban kenar uzunluğu ve yüksekliği zamana bağlı değişim gösteren değişkenlerdir.

\( V(t) = \dfrac{\sqrt{3}[a(t)]^2h(t)}{4} \)

Bu üç değişkenin zamana bağlı değişim oranları arasındaki ilişkiyi bulmak için eşitliğin iki tarafının zamana göre türevini alalım.

\( a \) ve \( h \) zamana bağlı değişim gösteren değişkenler oldukları için, çarpımlarının türevini alırken çarpma kuralı kullanılır.

\( \dfrac{dV}{dt} = \dfrac{\sqrt{3}}{4}(2a\dfrac{da}{dt})h + \dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2\dfrac{dh}{dt} \)

\( = \dfrac{\sqrt{3}}{2}ah\dfrac{da}{dt} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2\dfrac{dh}{dt} \)

Elde ettiğimiz bu denklem prizmanın hacmi, taban kenar uzunluğu ve yüksekliğinin zamana bağlı anlık değişim oranları arasındaki ilişkiyi vermektedir.

Prizmanın hacminin ve yüksekliğinin anlık değişim oranları soruda verilmiştir.

\( \dfrac{dV}{dt} = -\sqrt{3} \) cm\( ^3 \)/sn

\( \dfrac{dh}{dt} = 3 \) cm/sn

Prizmanın anlık taban alanı soruda verilmiştir.

\( A = 9\sqrt{3} \) cm\( ^2 \)

Prizmanın taban alan formülünü kullanarak bu \( A \) değerindeki taban kenar uzunluğunu bulalım.

\( A = \dfrac{\sqrt{3}a^2}{4} \)

\( 9\sqrt{3} = \dfrac{\sqrt{3}a^2}{4} \)

\( a = 6 \) cm

\( A = 9\sqrt{3} \) ve \( h = 7 \) olduğu andaki prizmanın taban kenar uzunluğunun değişim hızı istenmektedir.

\( \dfrac{da}{dt} = ? \)

Verilen ve bulduğumuz değerleri ilişkili oran denkleminde yerine koyalım.

\( \dfrac{dV}{dt} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}ah\dfrac{da}{dt} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2\dfrac{dh}{dt} \)

\( -\sqrt{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}(6)(7)\dfrac{da}{dt} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}6^2(3) \)

\( -\sqrt{3} = 21\sqrt{3}\dfrac{da}{dt} + 27\sqrt{3} \)

\( \dfrac{da}{dt} = -\dfrac{4}{3} \) cm/sn

Buna göre prizmanın taban kenar uzunluğu belirtilen anda \( \frac{4}{3} \) m/sn hızla azalmaktadır.

Koninin hacim formülünü yazalım.

\( V = \dfrac{1}{3}\pi r^2h \)

Koninin taban yarıçapı yüksekliğinin 3 katı olarak verilmiştir.

\( r = 3h \)

\( h = \dfrac{r}{3} \)

\( h \) değerini koni hacim formülünde yerine yazalım.

\( V = \dfrac{1}{3}\pi r^2(\dfrac{r}{3}) \)

\( = \dfrac{1}{9}\pi r^3 \)

Koninin hacmi ve taban yarıçapı zamana bağlı değişim gösteren değişkenlerdir.

\( V(t) = \dfrac{1}{9}\pi[r(t)]^3 \)

Bu değişkenlerin zamana bağlı değişim oranları arasındaki ilişkiyi bulmak için eşitliğin iki tarafının zamana göre türevini alalım.

\( \dfrac{dV}{dt} = \dfrac{1}{3}\pi r^2\dfrac{dr}{dt} \)

Yığının hacminin artış hızı soruda verilmiştir.

\( \dfrac{dV}{dt} = 25 \) m\( ^3 \)/dk

\( h = 5 \) olduğu andaki yığının yarıçapının artış hızı istenmektedir.

\( \dfrac{dr}{dt} = ? \)

\( h = 5 \) olduğu andaki yığının yarıçapını bulalım.

\( r = 3h \)

\( = 3(5) = 15 \) m

Verilen ve bulduğumuz değerleri ilişkili oran denkleminde yerine koyalım.

\( \dfrac{dV}{dt} = \dfrac{1}{3}\pi r^2\dfrac{dr}{dt} \)

\( 25 = \dfrac{1}{3}\pi(15)^2\dfrac{dr}{dt} \)

\( \dfrac{dr}{dt} = \dfrac{1}{3\pi} \) m/dk

Buna göre yığının yarıçapı belirtilen anda \( \frac{1}{3\pi} \) m/dk hızla artmaktadır.

\( \abs{BP} = y - (-4) = y + 4 \)

Soruda ipin uzunluğu 20 birim olarak veriliyor.

\( \abs{PA} = 20 - (y + 4) \)

\( = 16 - y \)

\( x \) ekseninin altında kalan dik üçgene Pisagor teoremini uygulayalım.

\( \abs{PA}^2 = \abs{OP}^2 + \abs{OA}^2 \)

\( (16 - y)^2 = x^2 + 4^2 \)

A parçacığının \( x \) koordinatı ve B parçacığının \( y \) koordinatı zamana bağlı değişim gösteren değişkenlerdir.

\( (16 - y(t))^2 = [x(t)]^2 + 4^2 \)

Bu değişkenlerin zamana bağlı değişim oranları arasındaki ilişkiyi bulmak için eşitliğin iki tarafının zamana göre türevini alalım.

\( -2(16 - y)\dfrac{dy}{dt} = 2x\dfrac{dx}{dt} \)

\( \frac{dy}{dt} \) ifadesini yalnız bırakalım.

\( \dfrac{dy}{dt} = -\dfrac{x}{16 - y}\dfrac{dx}{dt} \)

\( x = 3 \) birim olduğu anda B parçacığının ordinat değerindeki değişim hızı istenmektedir.

\( \dfrac{dy}{dt} = ? \)

Pisagor teoremini kullanarak \( x = 3 \) anındaki \( y \) değerini bulalım.

\( (16 - y)^2 = x^2 + 4^2 \)

\( (16 - y)^2 = 3^2 + 4^2 \)

\( y = 11 \) birim

Belirtilen anda A parçacığının apsis değerindeki değişim hızı soruda verilmiştir.

\( \dfrac{dx}{dt} = 3 \) birim/sn

Verilen ve bulduğumuz değerleri ilişkili oran denkleminde yerine koyalım.

\( \dfrac{dy}{dt} = -\dfrac{3}{16 - 11}(3) \)

\( = -1,8 \) birim/sn

Buna göre belirtilen anda B parçacığı saniyede 1,8 birim hızla orijine yaklaşmaktadır.

Kürenin yüzey alan formülünü yazalım.

\( A = 4\pi r^2 \)

Kürenin yüzey alanı ve yarıçap uzunluğu zamana bağlı değişim gösteren değişkenlerdir.

\( A(t) = 4\pi [r(t)]^2 \)

Bu değişkenlerin zamana bağlı değişim oranları arasındaki ilişkiyi bulmak için eşitliğin iki tarafının zamana göre türevini alalım.

\( \dfrac{dA}{dt} = 8\pi r\dfrac{dr}{dt} \)

Soruda \( r = 3 \) m olduğu andaki kürenin yüzey alanının artış hızı istenmektedir.

\( \dfrac{dA}{dt} = ? \)

Kürenin hacim formülünü kullanarak \( r = 3 \) olduğu andaki kürenin yarıçapının artış hızını bulalım.

Kürenin hacim formülünü yazalım.

\( V = \dfrac{4}{3}\pi r^3 \)

Kürenin hacmi ve yarıçap uzunluğu zamana bağlı değişim gösteren değişkenlerdir.

\( V(t) = \dfrac{4}{3}\pi [r(t)]^3 \)

Bu değişkenlerin zamana bağlı değişim oranları arasındaki ilişkiyi bulmak için eşitliğin iki tarafının zamana göre türevini alalım.

\( \dfrac{dV}{dt} = 4\pi r^2\dfrac{dr}{dt} \)

Kürenin hacminin artış hızı soruda verilmiştir.

\( \dfrac{dV}{dt} = 24 \) m\( ^3 \)/dk

\( r = 3 \) m olduğu andaki kürenin yarıçapının artış hızını bulalım.

\( \dfrac{dr}{dt} = ? \)

Verilen ve bulduğumuz değerleri hacmin ilişkili oran denkleminde yerine yazalım.

\( \dfrac{dV}{dt} = 4\pi r^2\dfrac{dr}{dt} \)

\( 24 = 4\pi (3^2)\dfrac{dr}{dt} \)

\( \dfrac{dr}{dt} = \dfrac{2}{3\pi} \) m/dk

Verilen ve bulduğumuz değerleri yüzey alanın ilişkili oran denkleminde yerine yazalım.

\( \dfrac{dA}{dt} = 8\pi r\dfrac{dr}{dt} \)

\( = 8 \pi (3)\dfrac{2}{3\pi} \)

\( = 16 \) m\( ^2 \)/dk

Buna göre belirtilen anda kürenin yüzey alanı \( 16 \) m\( ^2 \)/dk hızla artmaktadır.

Dikdörtgenin genişliğine \( x \), yüksekliğine \( y \) diyelim.

Dikdörtgenin alan formülünü yazalım.

\( A = xy \)

Dikdörtgenin alanı, genişliği ve yüksekliği zamana bağlı değişim gösteren değişkenlerdir.

\( A(t) = x(t)y(t) \)

Bu değişkenlerin zamana bağlı değişim oranları arasındaki ilişkiyi bulmak için eşitliğin iki tarafının zamana göre türevini alalım.

\( x \) ve \( y \) zamana bağlı değişim gösteren değişkenler oldukları için, çarpımlarının türevini alırken çarpım kuralı kullanılır.

\( \dfrac{dA}{dt} = \dfrac{dx}{dt}y + x\dfrac{dy}{dt} \)

Dikdörtgenin alanı sabit olduğu için değişim hızı, dolayısıyla türevi 0'dır.

\( 0 = \dfrac{dx}{dt}y + x\dfrac{dy}{dt} \)

Elde ettiğimiz bu denklem dikdörtgenin yüksekliği ile genişliğinin zamana bağlı anlık değişim oranları arasındaki ilişkiyi vermektedir.

(a) seçeneği:

Soruda dikdörtgenin genişliği saniyede 0,5 cm hızla azaldığı andaki dikdörtgenin genişliği istenmektedir.

\( x = ? \)

\( \dfrac{dx}{dt} = -0.5 \) cm/sn

Dikdörtgenin yüksekliğinin artış hızı soruda verilmiştir.

\( \dfrac{dy}{dt} = 2 \) cm/sn

Verilen ve bulduğumuz değerleri ilişkili oran denkleminde yerine koyalım.

\( 0 = \dfrac{dx}{dt}y + x\dfrac{dy}{dt} \)

\( 0 = -0,5y + x(2) \)

\( 0,5y = 2x \)

\( y = 4x \)

Bulduğumuz \( y \) değerini dikdörtgenin alan formülünde yerine yazalım.

\( A = xy \)

Dikdörtgenin alanı soruda verilmiştir.

\( A = 400 \) cm\( ^2 \)

\( 400 = x(4x) \)

Genişlik negatif değer alamaz.

\( x = 10 \) cm

(b) seçeneği:

Soruda dikdörtgenin genişliği 16 cm olduğu andaki dikdörtgenin köşegen uzunluğunun değişim hızı istenmektedir.

Dikdörtgenin köşegen uzunluğuna \( q \) diyelim.

\( \dfrac{dq}{dt} = ? \)

Dikdörtgenin köşegen uzunluğu Pisagor teoreminden bulunur.

\( q^2 = x^2 + y^2 \)

Dikdörtgenin köşegeni, genişliği ve yüksekliği zamana bağlı değişim gösteren değişkenlerdir.

\( [q(t)]^2 = [x(t)]^2 + [y(t)]^2 \)

Bu üç değişkenin zamana bağlı değişim oranları arasındaki ilişkiyi bulmak için eşitliğin iki tarafının zamana göre türevini alalım.

\( 2q\dfrac{dq}{dt} = 2x\dfrac{dx}{dt} + 2y\dfrac{dy}{dt} \)

\( q\dfrac{dq}{dt} = x\dfrac{dx}{dt} + y\dfrac{dy}{dt} \)

Dikdörtgen alan formülünü kullanarak \( x = 16 \) anındaki \( y \) değerini bulalım.

\( 400 = 16y \)

\( y = 25 \) cm

Bulduğumuz \( x, y \) değerlerini köşegen formülünde yerine koyalım.

\( q^2 = x^2 + y^2 \)

\( q^2 = 16^2 + 25^2 \)

\( q = \sqrt{881} \) cm

Dikdörtgenin alanı için ilişkili oran denklemini kullanarak \( x = 16 \) ve \( y = 25 \) olduğu anda dikdörtgenin genişliğinin artış hızını bulalım.

Dikdörtgenin uzunluğunun artış hızı soruda verilmiştir.

\( \dfrac{dy}{dt} = 2 \) cm/sn

\( \dfrac{dA}{dt} = \dfrac{dx}{dt}y + x\dfrac{dy}{dt} \)

\( 0 = \dfrac{dx}{dt}(25) + 16(2) \)

\( \dfrac{dx}{dt} = -\dfrac{32}{25} \)

Verilen ve bulduğumuz değerleri ilişkili oran denkleminde yerine yazalım.

\( q\dfrac{dq}{dt} = x\dfrac{dx}{dt} + y\dfrac{dy}{dt} \)

\( \sqrt{881}\dfrac{dq}{dt} = 16(-\dfrac{32}{25}) + 25(2) \)

\( \dfrac{dq}{dt} = \dfrac{738}{25\sqrt{881}} \) cm/sn

Buna göre belirtilen anda dikdörtgenin köşegen uzunluğu saniyede \( \frac{738}{25\sqrt{881}} \) cm hızla artmaktadır.

Adamın sokak lambasına olan uzaklığına \( x \), gölgesinin ucunun sokak lambasına olan uzaklığına \( y \) diyelim.

Üçgen benzerliğini kullanalım.

\( \dfrac{2}{5} = \dfrac{y - x}{y} \)

İçler - dışlar çarpımı yapalım.

\( 2y = 5(y - x) \)

\( 3y = 5x \)

\( x \) ve \( y \) değerleri zamana bağlı değişim gösteren değişenlerdir.

\( 3y(t) = 5x(t) \)

Bu değişkenlerin zamana bağlı değişim oranları arasındaki ilişkiyi bulmak için eşitliğin iki tarafının zamana göre türevini alalım.

\( 3\dfrac{dy}{dt} = 5\dfrac{dx}{dt} \)

Adamın hızı soruda verilmiştir.

Adam yürüdükçe \( x \) uzaklığı azalmaktadır, dolayısıyla \( x \)'teki değişim hızı negatif olur.

\( \dfrac{dx}{dt} = -9 \) m/sn

Verilen ve bulduğumuz değerleri ilişkili oran denkleminde yerine koyalım.

\( 3\dfrac{dy}{dt} = 5(-9) \)

\( \dfrac{dy}{dt} = -15 \) m/sn

Buna göre yerdeki adamın gölgesinin ucu saniyede 15 m hızla hareket etmektedir.

Trafik konisinin şekli aşağıdaki gibidir.

Trafik konisi ve içindeki koni şeklindeki su için hacim formülünü yazalım.

\( V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h \)

Konilerin yüksekliği yarıçapın 5 katı uzunluktadır.

\( h = 5r \)

\( r = \dfrac{h}{5} \)

Bu \( r \) değerini koni hacim formülünde yerine yazalım.

\( V = \dfrac{1}{3}\pi(\dfrac{h}{5})^2h \)

\( = \dfrac{1}{75}\pi h^3 \)

Koninin hacmi ve yüksekliği zamana bağlı değişim gösteren değişkenlerdir.

\( V(t) = \dfrac{1}{75}\pi[h(t)]^3 \)

Bu değişkenlerin zamana bağlı değişim oranları arasındaki ilişkiyi bulmak için eşitliğin iki tarafının zamana göre türevini alalım.

\( \dfrac{dV}{dt} = \dfrac{1}{25}\pi h^2\dfrac{dh}{dt} \)

Su seviyesi \( h = 15 \) cm iken su seviyesinin yükselme hızı soruda verilmiştir.

\( \dfrac{dh}{dt} = \dfrac{4}{\pi} \) cm/sn

Verilen ve bulduğumuz değerleri ilişkili oran denkleminde yerine koyalım.

\( \dfrac{dV}{dt} = \dfrac{1}{25}\pi (15^2)\dfrac{4}{\pi} \)

\( = 36 \) cm\( ^3 \)/sn

Bulduğumuz \( \frac{dV}{dt} = 36 \) cm\( ^3 \)/sn değeri trafik konisi içinde su miktarının artış hızıdır.

Soruda koniye yağmur suyunun dolma hızı 38 cm\( ^3 \)/sn olarak verilmiştir. O halde aradaki fark koniden sızan yağmur suyunun hızıdır.

\( 38 - 36 = 2 \) cm\( ^3 \)/sn

Zincir kuralını uygulayalım.

\( \dfrac{dy}{dt} = \dfrac{dy}{dx} \cdot \dfrac{dx}{dt} \)

Verilen birinci eşitliğin iki tarafının \( x \)'e göre türevini alalım.

Türevi alırken \( y \) değişkeninin \( x \)'e bağlı bir fonksiyon olduğunu dikkate almalıyız.

\( \dfrac{d(y^2 + 2y + 2x - x^3)}{dx} = \dfrac{d(3)}{dx} \)

\( 2y\dfrac{dy}{dx} + 2\dfrac{dy}{dx} + 2 - 3x^2 = 0 \)

\( \frac{dy}{dx} \) ifadesini yalnız bırakalım.

\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{3x^2 - 2}{2y + 2} \)

Verilen ikinci eşitliğin iki tarafının \( t \)'ye göre türevini alalım.

Türevi alırken \( x \) değişkeninin \( t \)'ye bağlı bir fonksiyon olduğunu dikkate almalıyız.

\( \dfrac{d(x^3)}{dt} = \dfrac{d(3t)}{dt} \)

\( 3x^2\dfrac{dx}{dt} = 3 \)

\( \frac{dx}{dt} \) ifadesini yalnız bırakalım.

\( \dfrac{dx}{dt} = \dfrac{1}{x^2} \)

Bulduğumuz ifadeleri zincir kuralı formülünde yerine koyalım.

\( \dfrac{dy}{dt} = \dfrac{dy}{dx} \cdot \dfrac{dx}{dt} \)

\( = \dfrac{3x^2 - 2}{2y + 2} \cdot \dfrac{1}{x^2} \)

İkinci eşitliği kullanarak \( t = 9 \) için \( x \) değerini bulalım.

\( x^3 = 3(9) \)

\( x = 3 \)

Birinci eşitliği kullanarak \( x = 3 \) için \( y \) değerini bulalım.

\( y^2 + 2y + 2(3) - 3^3 = 3 \)

\( y^2 + 2y - 24 = 0 \)

\( (y + 6)(y - 4) = 0 \)

\( y = -6 \) ya da \( y = 4 \)

Bu iki \( y \) değeri için ayrı ayrı \( \frac{dy}{dt} \) türevinin değerini bulalım.

\( \dfrac{dy}{dt} = \dfrac{3x^2 - 2}{2y + 2} \cdot \dfrac{1}{x^2} \)

\( \dfrac{dy}{dt}|_{y=-6, x=3} = \dfrac{3(3)^2 - 2}{2(-6) + 2} \cdot \dfrac{1}{3^2} \)

\( = -\dfrac{5}{18} \)

\( \dfrac{dy}{dt}|_{y=4, x=3} = \dfrac{3(3)^2 - 2}{2(4) + 2} \cdot \dfrac{1}{3^2} \)

\( = \dfrac{5}{18} \)

Buna göre \( t = 9 \) için \( \frac{dy}{dt} \) türevi \( \{-\frac{5}{18}, \frac{5}{18} \} \) değerlerini alır.

Kenarlar arasındaki açıya \( \alpha \), 10 cm uzunluğundaki tabana ait yüksekliğe \( h \) diyelim.

\( \sin{\alpha} = \dfrac{h}{6} \)

\( h = 6\sin{\alpha} \)

Üçgenin alan formülünü kullanalım.

\( A = \dfrac{10h}{2} = 5h \)

\( h \) değerini formülde yerine koyalım.

\( A = 5(6\sin{\alpha}) = 30\sin{\alpha} \)

Üçgenin alanı ve kenarlar arasındaki açı zamana bağlı değişim gösteren değişkenlerdir.

\( A(t) = 30\sin(\alpha(t)) \)

Bu değişkenlerin zamana bağlı değişim oranları arasındaki ilişkiyi bulmak için eşitliğin iki tarafının zamana göre türevini alalım.

\( \dfrac{dA}{dt} = 30\cos{\alpha}\dfrac{d\alpha}{dt} \)

Belirtilen anda üçgenin alanının artış hızı soruda verilmiştir.

\( \dfrac{dA}{dt} = 3 \) cm\( ^2 \)/sn

İki kenar arasındaki açının artış hızı soruda verilmiştir.

\( \dfrac{d\alpha}{dt} = \dfrac{1}{5} \) rad/sn

Verilen ve bulduğumuz değerleri ilişkili oran denkleminde yerine koyalım.

\( \dfrac{dA}{dt} = 30\cos{\alpha}\dfrac{d\alpha}{dt} \)

\( 3 = 30\cos{\alpha}\dfrac{1}{5} \)

\( \cos{\alpha} = \dfrac{1}{2} \)

\( \alpha = \dfrac{\pi}{3} \) radyan

Buna göre belirtilen anda bu kenarlar arasındaki açı \( \frac{\pi}{3} \) radyandır.

Havuzun bir yan yüzey alanına \( A \) diyelim.

Üçgen prizmanın hacim formülünü yazalım.

\( V = 8\sqrt{3}A \)

Prizmanın yan yüzeyi eşkenar üçgen olarak verilmiştir.

Yan yüzeyin bir kenar uzunluğuna \( a \), yüksekliğine \( h \) diyelim.

Prizmanın kenar alan formülünü yazalım.

\( A = \dfrac{ah}{2} \)

\( \cos{30°} = \dfrac{h}{a} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \)

\( a = \dfrac{2h}{\sqrt{3}} \)

Bu değeri prizmanın kenar alan formülünde yerine koyalım.

\( A = \dfrac{\frac{2h}{\sqrt{3}}h}{2} \)

\( = \dfrac{h^2}{\sqrt{3}} \)

Bu değeri prizmanın hacim formülünde yerine koyalım.

\( V = 8\sqrt{3}A \)

\( = 8\sqrt{3}\dfrac{h^2}{\sqrt{3}} \)

\( = 8h^2 \)

Üçgen prizmanın hacmi ve yüksekliği zamana bağlı değişim gösteren değişkenlerdir.

\( V(t) = 8[h(t)]^2 \)

Bu değişkenlerin zamana bağlı değişim oranları arasındaki ilişkiyi bulmak için eşitliğin iki tarafının zamana göre türevini alalım.

\( \dfrac{dV}{dt} = 16h\dfrac{dh}{dt} \)

Suyun akış hızı soruda verilmiştir.

\( \dfrac{dV}{dt} = 18 \) m\( ^3 \)/dk

\( h = 1 \) m olduğu andaki havuzun yüksekliğinin artış hızı istenmektedir.

\( \dfrac{dh}{dt} = ? \)

Verilen ve bulduğumuz değerleri ilişkili oran denkleminde yerine yazalım.

\( \dfrac{dV}{dt} = 16h\dfrac{dh}{dt} \)

\( 18 = 16(1)\dfrac{dh}{dt} \)

\( \dfrac{dh}{dt} = \dfrac{9}{8} \) m/dk

Buna göre belirtilen anda su seviyesinin yüksekliği \( \frac{9}{8} \) m/sdk hızla artmaktadır.

Soruda önce taban alanının artış hızını kullanarak yarıçapın anlık değişim hızını bulalım, daha sonra bu değeri hacmin anlık artış hızını bulmak için kullanalım.

Koninin taban alan formülünü yazalım.

\( A = \pi r^2 \)

Koni tabanının alanı ve yarıçapı zamana bağlı değişim gösteren değişkenlerdir.

\( A(t) = \pi[r(t)]^2 \)

Bu değişkenlerin zamana bağlı değişim oranları arasındaki ilişkiyi bulmak için eşitliğin iki tarafının zamana göre türevini alalım.

Türevi alırken \( r \) değişkeninin \( t \)'ye bağlı bir fonksiyon olduğunu dikkate almalıyız.

\( \dfrac{dA}{dt} = 2\pi r\dfrac{dr}{dt} \)

Elde ettiğimiz bu denklem koni tabanının alanı ile yarıçapının zamana bağlı anlık değişim oranları arasındaki ilişkiyi vermektedir.

Koninin taban alanının artış hızı soruda verilmiştir.

\( \dfrac{dA}{dt} = 0,24 \) cm\( ^2 \)/sn

\( r = 3 \) olduğu andaki yarıçapın artış hızını bulalım.

\( \dfrac{dr}{dt} = ? \)

Verilen ve bulduğumuz değerleri ilişkili oran denkleminde yerine koyalım.

\( \dfrac{dA}{dt} = 2\pi r\dfrac{dr}{dt} \)

\( 0,24 = 2\pi (3)\dfrac{dr}{dt} \)

\( \dfrac{dr}{dt} = \dfrac{1}{25\pi} \) cm/sn

Koni hacim formülünü yazalım.

\( V = \dfrac{1}{3}\pi r^2h \)

Koninin yüksekliği soruda \( h = 5r \) olarak verilmiştir.

\( V = \dfrac{1}{3}\pi r^2(5r) \)

\( = \dfrac{5}{3}\pi r^3 \)

Koninin hacmi ve yarıçapı zamana bağlı değişim gösteren değişkenlerdir.

\( V(t) = \dfrac{5}{3}\pi[r(t)]^3 \)

Bu değişkenlerin zamana bağlı değişim oranları arasındaki ilişkiyi bulmak için eşitliğin iki tarafının zamana göre türevini alalım.

\( \dfrac{dV}{dt} = 5\pi r^2\dfrac{dr}{dt} \)

Elde ettiğimiz bu denklem koninin hacmi ile yarıçapının zamana bağlı anlık değişim oranları arasındaki ilişkiyi vermektedir.

Soruda \( r = 3 \) cm olduğu andaki koninin hacminin artış hızı istenmektedir.

\( \dfrac{dV}{dt} = ? \)

Verilen ve bulduğumuz değerleri ilişkili oran denkleminde yerine koyalım.

\( \dfrac{dV}{dt} = 5\pi r^2\dfrac{dr}{dt} \)

\( = 5\pi (3)^2\dfrac{1}{25\pi} \)

\( = \dfrac{9}{5} \) cm\( ^3 \)/sn

Buna göre koninin hacmi belirtilen anda \( \frac{9}{5} \) cm\( ^3 \)/sn hızla artmaktadır.