Delta sembolü (
Bir ağacın iki farklı zamanda ölçülen boyu sırasıyla
Değişim oranı ya da bir diğer ifadeyle değişim hızı ise bir değişkendeki değişimin diğer bir değişkendeki değişime oranıdır. İki farklı değişim oranından bahsedebiliriz.
Bu iki değişim oranını incelemeden önce, bir fonksiyon grafiği üzerinde çizilebilecek iki farklı doğru tipini kısaca tanımlamamız faydalı olacaktır.
Bir fonksiyon grafiğini iki (ya da daha fazla) noktada kesen doğruya kesen doğru denir. Bir fonksiyon grafiğini belirli bir nokta civarında bir kez kesen ve fonksiyonun bu nokta civarındaki davranışını en doğru şekilde temsil eden doğruya ise teğet doğru denir. Bu tanım teğet doğrunun en doğru tanımı olmayıp gerçek tanımı türeve dayanmaktadır.
Aşağıdaki şekilde bir fonksiyon grafiğine çizilen iki teğet ve iki kesen doğru gösterilmiştir.
Bir fonksiyonun iki farklı noktası arasındaki ortalama değişim oranı, fonksiyonun bu iki nokta arasında çıktı değişkenindeki değişimin (
Yukarıdaki örnekteki ağacın boyu
Buna göre ağacın boyunun 2. ve 5. yıllar arasında yılda ortalama 70 cm değiştiğini/uzadığını söyleyebiliriz.
Doğrusal fonksiyonlarda ortalama değişim oranı tüm doğru boyunca sabittir ve doğrunun eğimine eşittir.
Doğrusal olmayan fonksiyonlarda ise ortalama değişim oranı fonksiyonun farklı aralıklarında farklı değerlere sahip olabilir. Örneğin aşağıda grafiği verilen fonksiyon üç farklı aralıkta üç farklı değişim oranına sahiptir (grafikte sağa doğru ilerledikçe
İki nokta arasındaki ortalama değişim oranı sadece bu iki noktanın ordinat ve apsis değerlerine bağlıdır, fonksiyonun iki nokta arasındaki davranışını dikkate almaz. Örneğin aşağıdaki grafikteki dört fonksiyon
Değişim oranı pozitif, negatif ya da sıfır olabilir. Analitik düzlemde bu üç durum aşağıdaki şekillerde olabilir.
Ortalama değişim oranına aşağıdaki örnekleri verebiliriz.
1. yöntem:
Verilen fonksiyon doğrusal olduğu için denklemini aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
Bir doğrunun değişim oranı seçilen her aralıkta sabittir ve doğrunun eğimine, yani doğru denkleminde
Fonksiyonun istenen değerlerini bulalım.
İstenen ifadenin değerini bulalım.
2. yöntem:
Bir doğrunun değişim oranı
Verilen aralıkta
Hareketli bir aracın
Bu aracın 1. ve 5. dakikalar arasındaki ortalama hızı kaçtır?
Çözümü GösterAracın
Fonksiyonun
Fonksiyonun
Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisinin
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Bir
(a) seçeneği:
(b) seçeneği:
(c) seçeneği:
(d) seçeneği:
(e) seçeneği:
Buna göre (d) seçeneğindeki fonksiyon en büyük ortalama değişim oranına sahiptir.
Bir fonksiyonun belirli bir aralıktaki ortalama değişim oranı faydalı bir bilgi olsa da fonksiyonun belirli bir noktadaki davranışını açıklamaz. Örneğin bir otomobilin iki şehir arasındaki ortalama hızını 90 km/s olarak hesaplayabiliriz, ancak bu değer yolculuğun belirli bir anındaki hız hakkında bilgi vermez. Bu sebeple bir aralıktaki ortalama değişim oranına ek olarak belirli bir andaki değişim oranı da ek bir bilgi ihtiyacı olarak karşımıza çıkmaktadır. Bir fonksiyonun belirli bir noktadaki değişim oranına o noktadaki anlık değişim oranı denir.
Bir fonksiyonun belirli bir noktadaki anlık değişim oranı, fonksiyona o noktada çizilen teğet doğrunun eğimine eşittir. Örneğin aşağıda grafiği verilen fonksiyonun
Önümüzdeki bölümlerde inceleyeceğimiz üzere, türevin ana amacı bir fonksiyonun belirli bir noktadaki anlık değişim oranını ve bu orana eşit olan fonksiyona bu noktada teğet olan doğrunun eğimini hesaplamaktır.