Yüksek Mertebeden Türev
\( f \) fonksiyonunun türevi alındığında elde edilen \( f' \) fonksiyonuna \( f \) fonksiyonunun birinci türevi ya da birinci mertebeden türevi denir. \( f' \) de bir fonksiyon olduğu için aynı türev alma kuralları kullanılarak türevi alınabilir. \( f' \) fonksiyonunun türevi alındığında elde edilen fonksiyona \( f \) fonksiyonunun ikinci türevi ya da ikinci mertebeden türevi denir.
Bir fonksiyonun ikinci türevi aşağıdaki şekillerde gösterilir.
\( f \) fonksiyonunun birinci türevi:
\( f'(x) = \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{df(x)}{dx} \)
\( f \) fonksiyonunun ikinci türevi:
\( f''(x) = \dfrac{d^2y}{dx^2} = \dfrac{d}{dx} \left( \dfrac{dy}{dx} \right) \)
\( f(x) = 3x^6 - 5x^4 + 7 \)
\( f'(x) = 18x^5 - 20x^3 \)
\( f''(x) = 90x^4 - 60x^2 \)
\( g(x) = \sin(2x) + e^{-3x} \)
\( g'(x) = 2\cos(2x) - 3e^{-3x} \)
\( g''(x) = -4\sin(2x) + 9e^{-3x} \)
\( h(x) = x\ln{x} \)
\( h'(x) = (1)\ln{x} + x(\dfrac{1}{x}) = \ln{x} + 1 \)
\( h''(x) = \dfrac{1}{x} \)
Fonksiyonların daha yüksek mertebeden türevleri de benzer şekilde alınabilir.
| Fonksiyon | \( f \) Gösterimi | \( \frac{dy}{dx} \) Gösterimi |
|---|---|---|
| Ana fonksiyon | \( f(x) \) | |
| Birinci türev | \( f'(x) \) | \( \dfrac{dy}{dx} \) |
| İkinci türev | \( f''(x) \) | \( \dfrac{d^2y}{dx^2} \) |
| Üçüncü türev | \( f'''(x) \) | \( \dfrac{d^3y}{dx^3} \) |
| 10. türev | \( f^{(10)}(x) \) | \( \dfrac{d^{10}y}{dx^{10}} \) |
| n. türev | \( f^{(n)}(x) \) | \( \dfrac{d^ny}{dx^n} \) |
\( f(x) = 3x^4 - 5x^3 + 4x^2 - 2x + 1 \)
\( f'(x) = 12x^3 - 15x^2 + 8x - 2 \)
\( f''(x) = 36x^2 - 30x + 8 \)
\( f'''(x) = 72x - 30 \)
\( f^{(4)}(x) = 72 \)
\( f^{(5)}(x) = 0 \)
Bir fonksiyonun üçüncü türevi, birinci türevinin ikinci türevi ve ikinci türevinin birinci türevi aynı fonksiyonlara karşılık gelir.
\( f''' = (f')'' = (f'')' \)
Bir fonksiyonun birinci türevi ana fonksiyonun eğimini/anlık değişim oranını verdiği gibi, ikinci türevi de birinci türev fonksiyonunun eğimini/anlık değişim oranını verir. Benzer şekilde, üçüncü türev fonksiyonu da ikinci türev fonksiyonunun eğimini/anlık değişim oranını verir.
Katlı Köklerin Yüksek Mertebeden Türevi
Bir fonksiyonun bir \( x = a \) noktasında çift katlı bir kökü varsa fonksiyonun birinci türevi de bu noktada sıfır olur, dolayısıyla bu kök fonksiyonun birinci türevinin de bir kökü olur.
Bir fonksiyonun bir \( x = a \) noktasında üç katlı bir kökü varsa fonksiyonun birinci ve ikinci türevleri de bu noktada sıfır olur, dolayısıyla bu kök fonksiyonun birinci ve ikinci mertebeden türevlerinin de bir kökü olur.
Aşağıdaki fonksiyonların 4. mertebeden türevlerini bulunuz.
\( f(x) = 2x^6 + 5x^3 - 4x \)
\( g(x) = \sqrt[3]{x^2} \)
\( h(x) = e^x\sin{x} \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( f(x) = 2x^6 + 5x^3 - 4x \)
\( f'(x) = 12x^5 + 15x^2 - 4 \)
\( f''(x) = 60x^4 + 30x \)
\( f'''(x) = 240x^3 + 30 \)
\( f^{(4)}(x) = 720x^2 \)
(b) seçeneği:
\( g(x) = \sqrt[3]{x^2} = x^{\frac{2}{3}} \)
\( g'(x) = \dfrac{2}{3} \cdot x^{-\frac{1}{3}} \)
\( = \dfrac{2x^{-\frac{1}{3}}}{3} \)
\( g''(x) = -\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{2x^{-\frac{4}{3}}}{3} \)
\( = -\dfrac{2x^{-\frac{4}{3}}}{9} \)
\( g'''(x) = -\dfrac{4}{3} \cdot -\dfrac{2x^{-\frac{7}{3}}}{9} \)
\( = \dfrac{8x^{-\frac{7}{3}}}{27} \)
\( g^{(4)}(x) = -\dfrac{7}{3} \cdot \dfrac{8x^{-\frac{10}{3}}}{27} \)
\( = -\dfrac{56x^{-\frac{10}{3}}}{81} \)
\( = -\dfrac{56}{81\sqrt[3]{x^{10}}} \)
(c) seçeneği:
\( h(x) = e^x\sin{x} \)
İfadeye çarpma kuralını uygulayarak fonksiyonun birinci türevini bulalım.
\( h'(x) = (e^x)'\sin{x} + e^x(\sin{x})' \)
\( = e^x\sin{x} + e^x\cos{x} \)
İki terime ayrı ayrı çarpma kuralını uygulayarak fonksiyonun ikinci türevini bulalım.
\( h''(x) = [(e^x)'\sin{x} + e^x(\sin{x})'] + [(e^x)'\cos{x} + e^x(\cos{x})'] \)
\( = e^x\sin{x} + e^x\cos{x} + e^x\cos{x} + e^x(-\sin{x}) \)
\( = 2e^x\cos{x} \)
İfadeye çarpma kuralını uygulayarak fonksiyonun üçüncü türevini bulalım.
\( h'''(x) = (2e^x)'\cos{x} + 2e^x(\cos{x})' \)
\( = 2e^x\cos{x} + 2e^x(-\sin{x}) \)
\( = 2e^x\cos{x} - 2e^x\sin{x} \)
İki terime ayrı ayrı çarpma kuralını uygulayarak fonksiyonun dördüncü türevini bulalım.
\( h^{(4)}(x) = [(2e^x)'\cos{x} + 2e^x(\cos{x})'] - [(2e^x)'\sin{x} + 2e^x(\sin{x})'] \)
\( = (2e^x\cos{x} - 2e^x\sin{x}) - (2e^x\sin{x} + 2e^x\cos{x}) \)
\( = -4e^x\sin{x} \)
\( f(x) = x^2\ln{x} \) olduğuna göre,
\( \dfrac{d^3f(x)}{dx^3} \) ifadesinin eşiti nedir?
Çözümü Göster\( \dfrac{d^3f(x)}{dx^3} \) ifadesi \( f \) fonksiyonunun 3. mertebeden türevidir.
Çarpma kuralını kullanarak fonksiyonun birinci türevini alalım.
\( f'(x) = (x^2)'\ln{x} + x^2(\ln{x})' \)
\( = 2x\ln{x} + x^2\dfrac{1}{x} \)
\( = 2x\ln{x} + x \)
Fonksiyonun ikinci türevini alalım.
\( f''(x) = 2((x)'\ln{x} + x(\ln{x})') + 1 \)
\( = 2(\ln{x} + x\dfrac{1}{x}) + 1 \)
\( = 2\ln{x} + 3 \)
Fonksiyonun üçüncü türevini alalım.
\( f'''(x) = \dfrac{2}{x} \) bulunur.
\( f(x) = 3x^9 - 2\sqrt{x} - \cos(3x) + e^{-2x} \) olduğuna göre,
\( \dfrac{d^5y}{dx^5} \) ifadesinin sonucunu bulunuz.
Çözümü Göster\( f(x) = 3x^9 - 2x^{\frac{1}{2}} - \cos(3x) + e^{-2x} \)
Verilen ifadenin sırayla 1. mertebeden 5. mertebeden kadar türevini alalım.
\( \dfrac{dy}{dx} = 27x^8 - x^{-\frac{1}{2}} + 3\sin(3x) - 2e^{-2x} \)
\( \dfrac{d^2y}{dx^2} = 216x^7 + \dfrac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}} + 9\cos(3x) + 4e^{-2x} \)
\( \dfrac{d^3y}{dx^3} = 1512x^6 - \dfrac{3}{4}x^{-\frac{5}{2}} - 27\sin(3x) - 8e^{-2x} \)
\( \dfrac{d^4y}{dx^4} = 9072x^5 + \dfrac{15}{8}x^{-\frac{7}{2}} - 81\cos(3x) + 16e^{-2x} \)
\( \dfrac{d^5y}{dx^5} = 45360x^4 -\dfrac{105}{16}x^{-\frac{9}{2}} + 243\sin(3x) - 32e^{-2x} \)
\( = 45360x^4 -\dfrac{105}{16\sqrt{x^9}} + 243\sin(3x) - 32e^{-2x} \)
\( f(x) = \sin(-x) \) fonksiyonunun 199. mertebeden türevi nedir?
Çözümü GösterFonksiyonun birkaç kez türevini alarak bir örüntü yakalamaya çalışalım.
\( f(x) = \sin(-x) \)
\( f'(x) = -\cos(-x) \)
\( f''(x) = -\sin(-x) \)
\( f'''(x) = \cos(-x) \)
\( f^{(4)}(x) = \sin(-x) = f(x) \)
Fonksiyonun 4. mertebeden türevi kendisine eşit olduğuna göre, periyodik olarak her 4 türevde bir fonksiyon kendisine eşit olacaktır.
199'un 4'e bölümünden kalan 3'tür.
\( 199 = 4 \cdot 49 + 3 \)
\( f^{(199)}(x) = f'''(x) \)
\( = \cos(-x) \) bulunur.
\( n \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( y = n(2x + 1)^n \) için \( \dfrac{d^ny}{dx^n} \) ifadesinin sonucu nedir?
Çözümü Göster\( \frac{d^ny}{dx^n} \) ifadesi verilen fonksiyonun \( n \). mertebeden türevidir.
İfadenin birkaç kez türevini alarak bir örüntü yakalamaya çalışalım.
\( y' = n \cdot n(2x + 1)^{n - 1} \cdot 2 \)
\( y'' = n \cdot n(n - 1)(2x + 1)^{n - 2} \cdot 2^2 \)
\( y''' = n \cdot n(n - 1)(n - 2)(2x + 1)^{n - 3} \cdot 2^3 \)
İfadenin \( n \). mertebeden türevinde parantez içindeki ifade \( (2x + 1)^{n - n} = (2x + 1)^0 \) olur.
İfadenin \( n \). mertebeden türevinde parantezin üssünden \( n! \) çarpanı gelir.
İfadenin \( n \). mertebeden türevinde parantez içinin türevinden \( 2^n \) çarpanı gelir.
Buna göre ifadenin \( n \). mertebeden türevi aşağıdaki gibi olur.
\( y^{(n)} = n \cdot n!(2x + 1)^0 \cdot 2^n \)
\( = n \cdot n! \cdot 2^n \) bulunur.
\( \dfrac{d^{100}(\ln{x})}{dx^{100}} \) ifadesinin sonucunu bulunuz.
Çözümü Göster\( \ln{x} = y \) diyelim.
\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{x} \)
\( \dfrac{d^2y}{dx^2} = -\dfrac{1}{x^2} \)
\( \dfrac{d^3y}{dx^3} = \dfrac{2}{x^3} \)
\( \dfrac{d^4y}{dx^4} = -\dfrac{6}{x^4} \)
\( \dfrac{d^5y}{dx^5} = \dfrac{24}{x^5} \)
\( \vdots \)
Oluşan örüntüye göre çift sayı mertebeden türevlerin sonucu negatif, tek sayı mertebeden türevlerin sonucu pozitiftir.
Buna göre \( n \). mertebeden türev formülünde \( (-1)^{n - 1} \) çarpanı bulunmalıdır.
Ayrıca paydaki katsayı \( n \)'nin bir eksiğine kadarki pozitif tam sayıların çarpımıdır.
Buna göre \( n \). mertebeden türev formülünde paydaki katsayı \( (n - 1)! \) olur.
\( n \). mertebeden türevde paydadaki ifade \( x \)'in \( n \). üssü olur.
Buna göre verilen ifadenin \( n \). mertebeden türev formülü aşağıdaki gibi olur.
\( \dfrac{d^n(\ln{x})}{dx^n} = (-1)^{n - 1} \dfrac{(n - 1)!}{x^n} \)
Formülde \( n = 100 \) yazalım.
\( \dfrac{d^{100}(\ln{x})}{dx^{100}} = (-1)^{100 - 1} \dfrac{(100 - 1)!}{x^{100}} \)
\( = -\dfrac{99!}{x^{100}} \) bulunur.
\( n \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( \dfrac{d^n}{dx^n}(e\ln{x}) \) ifadesinin \( n \) cinsinden sonucu nedir?
Çözümü GösterVerilen ifadenin birkaç kez türevini alarak bir örüntü yakalamaya çalışalım.
\( \dfrac{d(e\ln{x})}{dx} = ex^{-1} \)
\( \dfrac{d^2(e\ln{x})}{dx^2} = (ex^{-1})' = -1ex^{-2} \)
\( \dfrac{d^3(e\ln{x})}{dx^3} = -1(-2)ex^{-3} \)
\( = (-1)^2(2!)ex^{-3} \)
\( \dfrac{d^4(e\ln{x})}{dx^4} = -1(-2)(-3)ex^{-4} \)
\( = (-1)^3(3!)ex^{-4} \)
Bu örüntüyü kullanarak ifadenin \( n \). mertebeden türev formülünü yazalım.
\( \dfrac{d^n(e\ln{x})}{dx^n} = (-1)^{n - 1}(n - 1)!ex^{-n} \)
\( = \dfrac{(-1)^{n - 1}(n - 1)!e}{x^{n}} \) bulunur.
\( f(x) = \dfrac{1}{7x + 1} \) olduğuna göre,
\( \dfrac{d^{64}f(x)}{dx^{64}} \) sonucu nedir?
Çözümü Gösterİstenen ifade \( f \) fonksiyonunun 64. mertebeden türevidir.
Verilen ifadenin birkaç kez türevini alarak bir örüntü yakalamaya çalışalım.
\( f(x) = \dfrac{1}{7x + 1} = (7x + 1)^{-1} \)
\( f'(x) = -1(7x + 1)^{-2} \cdot 7 \)
\( f''(x) = 2(7x + 1)^{-3} \cdot 7^2 \)
\( f'''(x) = -6(7x + 1)^{-4} \cdot 7^3 \)
\( f^{(4)}(x) = 24(7x + 1)^{-5} \cdot 7^4 \)
Buna göre fonksiyonun \( n \). mertebeden türevinde ilk çarpan \( n! \), parantez içindeki ifadenin üssü \( (-n - 1) \) ve son çarpan \( 7^n \) olmaktadır, ayrıca \( n \)'nin çift sayı değerlerinde ifade pozitif, tek sayı değerlerinde negatif olmaktadır.
Buna göre fonksiyonun \( n \). mertebeden türevinin formülü aşağıdaki gibi olur.
\( f^{(n)}(x) = (-1)^nn!(7x + 1)^{-n - 1} \cdot 7^n \)
Fonksiyonun 64. mertebeden türevi için formülde \( n = 64 \) koyalım.
\( f^{(64)}(x) = (-1)^{64}64!(7x + 1)^{-64 - 1} \cdot 7^{64} \)
\( = 64!\ 7^{64}\ (7x + 1)^{-65} \) bulunur.
\( f \) ve \( g \), 1. ve 2. mertebeden türevli fonksiyonlardır.
\( f(0) = 2, \quad f'(0) = 0, \quad f''(0) = 4 \)
\( g(0) = 1, \quad g'(0) = 1, \quad g''(0) = 2 \)
\( \frac{f(x)}{g(x)} \) fonksiyonunun ikinci mertebeden türevinin \( x = 0 \) noktasındaki değeri kaçtır?
Çözümü GösterTürev bölme kuralı ile ifadenin birinci mertebeden türevini alalım.
\( (\dfrac{f(x)}{g(x)})' = \dfrac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g^2(x)} \)
Türev bölme kuralı ile ifadenin ikinci mertebeden türevini alalım.
\( (\dfrac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g^2(x)})' = \dfrac{(f'(x)g(x) - f(x)g'(x))'g^2(x) - (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))(g^2(x))'}{g^4(x)} \)
Türev çarpma kuralını uygulayalım.
\( = \dfrac{(f''(x)g(x) + f'(x)g'(x) - (f'(x)g'(x) + f(x)g''(x)))g^2(x) - (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))2g(x)g'(x)}{g^4(x)} \)
Bu türev ifadesinin \( x = 0 \) noktasındaki değerini bulalım.
\( \dfrac{(f''(0)g(0) + f'(0)g'(0) - (f'(0)g'(0) + f(0)g''(0)))g^2(0) - (f'(0)g(0) - f(0)g'(0))2g(0)g'(0)}{g^4(0)} \)
Soruda verilen değerleri yerine koyalım.
\( = \dfrac{(4(1) + 0(1) - (0(1) + 2(2)))1^2 - (0(1) - 2(1))2(1)(1)}{1^4} \)
\( = \dfrac{(4 - 4)(1) - (-2)(2)}{1} \)
\( = 4 \) bulunur.
\( f(x) = 3x^3 + 5x^2 - 17 \) fonksiyonuna çizilen teğetlerden eğimi en küçük olanın eğimi kaçtır?
Çözümü Göster\( f \) fonksiyonunun belirli bir noktadaki eğimini bulmak için fonksiyonun türevini alalım.
\( f'(x) = 9x^2 + 10x \)
En küçük eğim değerini bulmak için birinci türev fonksiyonunun mutlak minimum noktasını bulmalıyız. Pozitif başkatsayılı (kolları yukarı yönlü) ikinci dereceden polinom fonksiyonu için bu nokta birinci türev grafiğinin eğiminin sıfır olduğu tepe noktasıdır.
Bu noktayı bulmak için ikinci türev fonksiyonunun sıfıra eşit olduğu noktayı bulalım.
\( f''(x) = 18x + 10 = 0 \)
\( x = -\dfrac{5}{9} \)
Eğimin en küçük değerini aldığı bu noktayı birinci türevde yerine yazıp eğim değerini bulalım.
\( f'(-\frac{5}{9}) = 9(-\frac{5}{9})^2 + 10(-\frac{5}{9}) \)
\( = -\dfrac{25}{9} \) bulunur.
\( f(x) \) bir polinom fonksiyonu olmak üzere,
\( f'(x) + f''(x) = 8x + 3 \)
\( f(2)f(3) \lt 0 \) olduğuna göre, \( f(1) \)'in alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?
Çözümü GösterBir polinom fonksiyonunun her türevi alındığında derecesi bir eksilir.
\( f \) fonksiyonunun birinci ve ikinci türevlerinin toplamının derecesi 1 olduğuna göre \( f \) fonksiyonunun derecesi 2'dir.
\( f(x) = ax^2 + bx + c \)
\( f'(x) = 2ax + b \)
\( f''(x) = 2a \)
\( f'(x) + f''(x) = 2ax + b + 2a = 8x + 3 \)
Birbirine eşit iki polinomun eşit dereceli terimlerinin katsayıları birbirine eşittir.
\( 2ax = 8x \Longrightarrow a = 4 \)
\( b + 2a = 3 \Longrightarrow b = -5 \)
\( f(x) \) fonksiyonunu yazalım.
\( f(x) = 4x^2 - 5x + c \)
Soruda aşağıdaki eşitsizlik veriliyor.
\( f(2)f(3) \lt 0 \)
\( f(2) = 4(2)^2 - 5(2) + c = 6 + c \)
\( f(3) = 4(3)^2 - 5(3) + c = 21 + c \)
\( (6 + c)(21 + c) \lt 0 \)
Bu eşitsizliğe göre \( c \) değer aralığı \( (-21, -6) \) açık aralığı olur.
\( f(1) = 4(1)^2 - 5(1) + c = c - 1 \)
Buna göre \( f(1) \)'in alabileceği en büyük tam sayı değeri \( -7 - 1 = -8 \) olur.
\( f(x) = \abs{x^2 + 6x} - 8x^3 \) olduğuna göre, \( f''(-1) \) kaçtır?
Çözümü GösterMutlak değer içindeki ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( f(x) = \abs{x(x + 6)} - 8x^3 \)
\( x = -1 \) mutlak değer ifadesinin bir kritik noktası olmadığı için fonksiyonun bu değerin bulunduğu aralıktaki tanımını bulalım.
\( (-6, 0) \) aralığında mutlak değer içindeki ifadenin değeri negatif olur, dolayısıyla mutlak değerden negatif işaretli olarak çıkar.
\( x \in (-6, 0) \) aralığı için:
\( f(x) = -(x^2 + 6x) - 8x^3 \)
\( f(x) = -8x^3 - x^2 - 6x \)
Bu aralıktaki fonksiyon tanımının birinci türevini alalım.
\( f'(x) = -24x^2 - 2x - 6 \)
Bu aralıktaki fonksiyon tanımının ikinci türevini alalım.
\( f''(x) = -48x - 2 \)
\( f''(-1) \) değerini bulmak için \( x = -1 \) yazalım.
\( f''(-1) = -48(-1) - 2 = 46 \) bulunur.