Üstel ve Logaritmik Fonksiyonların Türevi
Bu bölümde üstel ve trigonometrik fonksiyonların türev alma kurallarını inceleyeceğiz.
Üstel Fonksiyonlar
Üstel fonksiyonların türev alma kuralları aşağıdaki gibidir.
\( a \in \mathbb{R^+} - \{ 1 \} \) olmak üzere,
\( f(x) = a^x \)
\( f'(x) = a^x\ln{a} \)
\( f(x) = a^{g(x)} \)
\( f'(x) = a^{g(x)}\ln{a} \cdot g'(x) \)
\( f(x) = 2^x \)
\( f'(x) = 2^x\ln{2} \)
\( g(x) = 5^{3x^2 + x} \)
\( g'(x) = 5^{3x^2 + x}\ln{5} \cdot (3x^2 + x)' \)
\( = 5^{3x^2 + x}\ln{5} \cdot (6x + 1) \)
İSPATI GÖSTER
Türev fonksiyonunun limit tanımını yazalım.
\( f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} \)
\( f(x) = a^x \)
\( f(x + h) = a^{x + h} \)
\( f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{a^{x + h} - a^x}{h} \)
\( = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{a^xa^h - a^x}{h} \)
\( = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{a^x(a^h - 1)}{h} \)
\( a^x \) ifadesi \( h \) değişkeni içermediği için sabit sayı olarak limitin dışına alabiliriz.
\( = a^x\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{a^h - 1}{h} \)
Aşağıdaki limit \( \ln{a} \) formülüdür.
\( \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{a^h - 1}{h} = \ln{a} \)
\( = a^x\ln{a} \)
Buna göre, \( f(x) = a^x \) fonksiyonunun türevi \( f'(x) = a^x\ln{a} \) fonksiyonudur.
\( e \) tabanındaki üstel fonksiyonun türevi kendisine eşittir.
\( f(x) = e^x \)
\( f'(x) = e^x \)
\( f(x) = e^{g(x)} \)
\( f'(x) = e^{g(x)} \cdot g'(x) \)
\( f(x) = e^{2x^3 - x^2} \)
\( f'(x) = e^{2x^3 - x^2} \cdot (2x^3 - x^2)' \)
\( = e^{2x^3 - x^2} \cdot (6x^2 - 2x) \)
İSPATI GÖSTER
\( f(x) = a^x \) fonksiyonunda ve ispatını verdiğimiz türev fonksiyonunda \( a = e \) koyalım.
\( f(x) = e^x \)
\( f'(x) = e^x\ln{e} \)
\( = e^x(1) \)
\( = e^x \)
Buna göre, \( f(x) = e^x \) fonksiyonunun türevi \( f'(x) = e^x \) fonksiyonudur (yani fonksiyonun kendisidir).
Aşağıdaki fonksiyonların türevini bulunuz.
(a) \( f(x) = 3^{\sqrt{3x}} \)
(b) \( g(x) = e^{\sqrt{x}} - e^{-\sqrt{x}} \)
(c) \( h(x) = x^3e^{3x} \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( f(x) = 3^{\sqrt{3x}} \)
Zincir kuralını kullanarak bileşke fonksiyonun türevini alalım.
\( f'(x) = (3^{\sqrt{3x}})' \)
\( = 3^{\sqrt{3x}} \cdot \ln{3} \cdot (\sqrt{3x})' \)
\( = 3^{\sqrt{3x}} \cdot \ln{3} \cdot \dfrac{(3x)'}{2\sqrt{3x}} \)
\( = 3^{\sqrt{3x}} \cdot \ln{3} \cdot \dfrac{3}{2\sqrt{3x}} \)
(b) seçeneği:
\( g(x) = e^{\sqrt{x}} - e^{-\sqrt{x}} \)
\( g'(x) = (e^{\sqrt{x}} - e^{-\sqrt{x}})' \)
\( = (e^{\sqrt{x}})' - (e^{-\sqrt{x}})' \)
\( = e^{\sqrt{x}}(\sqrt{x})' - e^{-\sqrt{x}}(-\sqrt{x})' \)
\( = \dfrac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}} - \dfrac{e^{-\sqrt{x}}}{-2\sqrt{x}} \)
\( = \dfrac{e^{\sqrt{x}} + e^{-\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}} \)
(c) seçeneği:
\( h(x) = x^3e^{3x} \)
Çarpma kuralını kullanarak fonksiyonun türevini alalım.
\( h'(x) = (x^3)'e^{3x} + x^3(e^{3x})' \)
\( = 3x^2e^{3x} + x^3e^{3x}(3x)' \)
\( = 3x^2e^{3x} + 3x^3e^{3x} \)
\( = 3x^2e^{3x}(1 + x) \)
Aşağıdaki fonksiyonların türevini bulunuz.
(a) \( f(x) = (e^{2x} - e^{-2x})^6 \)
(b) \( g(x) = 5(x^2 + e^{\frac{1}{2x}})^4 \)
(c) \( h(x) = e^{{e^{e^x}}} \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( f(x) = (e^{2x} - e^{-2x})^6 \)
Zincir kuralını kullanarak bileşke fonksiyonun türevini alalım.
\( f'(x) = 6(e^{2x} - e^{-2x})^5(e^{2x} - e^{-2x})' \)
\( = 6(e^{2x} - e^{-2x})^5(e^{2x}(2x)' - e^{-2x}(-2x)') \)
\( = 6(e^{2x} - e^{-2x})^5(e^{2x}(2) - e^{-2x}(-2)) \)
\( = 12(e^{2x} - e^{-2x})^5(e^{2x} + e^{-2x}) \)
(b) seçeneği:
\( g(x) = 5(x^2 + e^{\frac{1}{2x}})^4 \)
Zincir kuralını kullanarak bileşke fonksiyonun türevini alalım.
\( g'(x) = 5 \cdot 4(x^2 + e^{\frac{1}{2x}})^3(x^2 + e^{\frac{1}{2x}})' \)
\( = 20(x^2 + e^{\frac{1}{2x}})^3(2x + e^{\frac{1}{2x}}(\dfrac{1}{2x})') \)
\( = 20(x^2 + e^{\frac{1}{2x}})^3(2x + e^{\frac{1}{2x}}(-\dfrac{1}{2x^2})) \)
\( = 20(x^2 + e^{\frac{1}{2x}})^3(2x - \dfrac{e^{\frac{1}{2x}}}{2x^2}) \)
(c) seçeneği:
\( h(x) = e^{{e^{e^x}}} \)
Zincir kuralını kullanarak bileşke fonksiyonun türevini alalım.
\( h'(x) = e^{{e^{e^x}}}(e^{e^x})' \)
İkinci çarpanın türevini aynı yöntemle alalım.
\( = e^{{e^{e^x}}}e^{e^x}(e^x)' \)
\( = e^{{e^{e^x}}}e^{e^x}e^x \)
\( = e^{e^{e^x} + e^x + x} \)
\( f(x) = x^2 \cdot 5^{x} \cdot \ln{x} \) olduğuna göre, \( f'(x) \) nedir?
Çözümü GösterÜç fonksiyonlu çarpma kuralını kullanarak fonksiyonun türevini alalım.
\( [f \cdot g \cdot h]' = f' \cdot g \cdot h \) \( + f \cdot g' \cdot h \) \( + f \cdot g \cdot h' \)
\( = (x^2)' \cdot 5^x \cdot \ln{x} \) \( + x^2 \cdot (5^x)' \cdot \ln{x} \) \( + x^2 \cdot 5^x \cdot (\ln{x})' \)
\( = 2x \cdot 5^x \cdot \ln{x} \) \( + x^2 \cdot 5^x\ln{5} \cdot \ln{x} \) \( + x^2 \cdot 5^x \cdot \dfrac{1}{x} \)
\( = 2x \cdot 5^x \cdot \ln{x} \) \( + x^2 \cdot 5^x\ln{5} \cdot \ln{x} \) \( + x \cdot 5^x \)
\( f(x) = 7^{\cos^2(3x)} \) olduğuna göre, \( f'(\frac{\pi}{12}) \) kaçtır?
Çözümü GösterZincir kuralını kullanarak bileşke fonksiyonun türevini alalım.
\( f'(x) = (7^{\cos^2(3x)})' \)
\( = 7^{\cos^2(3x)} \cdot \ln{7} \cdot (\cos^2(3x))' \)
\( = 7^{\cos^2(3x)} \cdot \ln{7} \cdot (2\cos(3x)) \cdot (\cos(3x))' \)
\( = 2 \cdot 7^{\cos^2(3x)} \cdot \ln{7} \cdot \cos(3x) \cdot (-\sin(3x)) \cdot (3x)' \)
\( = -2 \cdot 7^{\cos^2(3x)} \cdot \ln{7} \cdot \cos(3x) \cdot \sin(3x) \cdot (3) \)
\( = -6 \cdot 7^{\cos^2(3x)} \cdot \ln{7} \cdot \cos(3x) \cdot \sin(3x) \)
Sinüs iki kat açı formülünü kullanalım.
\( = -3 \cdot 7^{\cos^2(3x)} \cdot \ln{7} \cdot \sin(6x) \)
\( f'(\frac{\pi}{12}) \) değerini bulmak için \( x = \frac{\pi}{12} \) koyalım.
\( f'(\frac{\pi}{12}) = -3 \cdot 7^{\cos^2(3(\frac{\pi}{12}))} \cdot \ln{7} \cdot \sin(6(\frac{\pi}{12})) \)
\( = -3 \cdot 7^{\cos^2{\frac{\pi}{4}}} \cdot \ln{7} \cdot \sin{\frac{\pi}{2}} \)
\( = -3 \cdot 7^{\frac{1}{2}} \cdot \ln{7} \cdot 1 \)
\( = -3\sqrt{7}\ln{7} \) bulunur.
\( f(x) = (e^x)^{e^x} \) olduğuna göre, \( f'(x) \) nedir?
Çözümü Gösterİfadeyi düzenleyelim.
\( f(x) = (e^x)^{e^x} = e^{xe^x} \)
Zincir kuralını kullanarak fonksiyonun türevini alalım.
\( f'(x) = (e^{xe^x})' \)
\( = e^{xe^x}(xe^x)' \)
Çarpma kuralını kullanarak parantez içindeki ifadenin türevini alalım.
\( = e^{xe^x}(e^x + xe^x) \)
\( = e^{xe^x + x}(1 + x) \) bulunur.
\( f'(x) = f(x) \) eşitliğini sağlayan kaç tane fonksiyon vardır?
Çözümü Göster\( f(x) = e^x \) fonksiyonunun türevinin kendisine eşit olduğunu biliyoruz.
\( (e^x)' = e^x \)
Bu fonksiyonu bir \( k \) reel sayısı ile çarptığımızda elde edeceğimiz fonksiyonun da türevi kendisine eşit olur.
\( k \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( (ke^x)' = ke^x \)
Buna göre türevi kendisine eşit olan sonsuz sayıda fonksiyon vardır.
Yukarıdaki fonksiyonda \( k = 0 \) aldığımızda elde edeceğimiz \( f(x) = 0 \) sıfır fonksiyonu da türevi kendisine eşit olan bir fonksiyondur.
\( f(x) = \sqrt{g^2(x) + 9\ln{x}} \)
\( f'(e) = \dfrac{11}{2\sqrt{5}e} \) ve \( g(e) = 6 \) veriliyor.
Buna göre \( g'(e) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( f(x) \) fonksiyonunu üslü ifade şeklinde yazarak türevini alalım.
\( f(x) = (g^2(x) + 9\ln{x})^{\frac{1}{2}} \)
Zincir kuralını kullanarak bileşke fonksiyonun türevini alalım.
\( f'(x) = \dfrac{1}{2}(g^2(x) + 9\ln{x})^{-\frac{1}{2}}(g^2(x) + 9\ln{x})' \)
\( = \dfrac{1}{2}(g^2(x) + 9\ln{x})^{-\frac{1}{2}}(2g(x)g'(x) + \dfrac{9}{x}) \)
\( f'(e) \) değerini bulmak için \( x = e \) yazalım.
\( f'(e) = \dfrac{1}{2}(g^2(e) + 9\ln{e})^{-\frac{1}{2}} \cdot (2g(e)g'(e) + \dfrac{9}{e}) \)
Soruda verilen fonksiyon değerlerini yerlerine yazalım.
\( \dfrac{11}{2\sqrt{5}e} = \dfrac{1}{2}(6^2 + 9(1))^{-\frac{1}{2}} \cdot (2(6)g'(e) + \dfrac{9}{e}) \)
\( \dfrac{11}{2\sqrt{5}e} = \dfrac{1}{2}\dfrac{1}{\sqrt{45}}(12g'(e) + \dfrac{9}{e}) \)
\( \dfrac{11}{2\sqrt{5}e} = \dfrac{1}{6\sqrt{5}}(12g'(e) + \dfrac{9}{e}) \)
\( \dfrac{33}{e} = 12g'(e) + \dfrac{9}{e} \)
\( g'(e) = \dfrac{2}{e} \) bulunur.
\( \lim\limits_{h \to 0} {\dfrac{e^{(x + h)^2} - e^{x^2}}{h}} \) limitinin sonucu nedir?
Çözümü GösterAşağıdaki şekilde bir \( f \) fonksiyonu tanımlayalım.
\( f(x) = e^{x^2} \)
\( f(x + h) = e^{(x + h)^2} \)
Verilen limit ifadesini \( f \) fonksiyonu cinsinden yazalım.
\( \lim\limits_{h \to 0} {\dfrac{f(x + h) - f(x)}{h}} \)
Bu ifade \( f \) fonksiyonunun türevinin limit tanımıdır.
\( = f'(x) = (e^{x^2})' \)
\( = e^{x^2} \cdot (x^2)' \)
\( = 2xe^{x^2} \) bulunur.
Logaritmik Fonksiyonlar
Logaritmik fonksiyonların türevlenebilir oldukları aralıklarda türev alma kuralları aşağıdaki gibidir.
\( a \in \mathbb{R^+} - \{ 1 \} \) olmak üzere,
\( f(x) = \log_a{x} \)
\( f'(x) = \dfrac{1}{x\ln{a}} \)
\( f(x) = \log_a{g(x)} \)
\( f'(x) = \dfrac{g'(x)}{g(x)\ln{a}} \)
\( f(x) = \log_2{x} \)
\( f'(x) = \dfrac{1}{x\ln{2}} \)
\( g(x) = \log_5(4x^2 - 3x) \)
\( g'(x) = \dfrac{(4x^2 - 3x)'}{(4x^2 - 3x)\ln{5}} \)
\( = \dfrac{8x - 3}{(4x^2 - 3x)\ln{5}} \)
İSPATI GÖSTER
İspatı kapalı fonksiyonların türevi yöntemini kullanarak yapalım.
\( f(x) = y = \log_a{x} \)
\( x \)'i \( y \) cinsinden yazalım.
\( x = a^y \)
İki tarafın türevini alalım. \( y \) \( x \)'e bağlı bir fonksiyon olduğu için \( y \)'nin türevini \( \frac{dy}{dx} \) ile de çarpmamız gerekir.
\( \dfrac{d}{dx} (x) = \dfrac{d}{dx} (a^y) \)
\( 1 = a^y\ln{a} \cdot \dfrac{dy}{dx} \)
\( \dfrac{dy}{dx} \) türev ifadesini yalnız bırakalım.
\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{a^y\ln{a}} \)
\( x = a^y \) olduğu için \( a^y \) yerine \( x \) yazalım.
\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{x\ln{a}} \)
Buna göre, \( f(x) = \log_a{x} \) fonksiyonunun türevi \( f'(x) = \dfrac{1}{x\ln{a}} \) fonksiyonudur.
Doğal logaritmanın türevi aşağıdaki gibidir.
\( f(x) = \ln{x} \)
\( f'(x) = \dfrac{1}{x} \)
\( f(x) = \ln{g(x)} \)
\( f'(x) = \dfrac{g'(x)}{g(x)} \)
\( f(x) = \ln(3x^3 - 2x) \)
\( f'(x) = \dfrac{(3x^3 - 2x)'}{3x^3 - 2x} \)
\( = \dfrac{9x^2 - 2}{3x^3 - 2x} \)
İSPATI GÖSTER
\( f(x) = \log_a{x} \) fonksiyonunda ve ispatını verdiğimiz türev fonksiyonunda \( a = e \) koyalım.
\( f(x) = \log_e{x} = \ln{x} \)
\( f'(x) = \dfrac{1}{x\ln{a}} \)
\( = \dfrac{1}{x\ln{e}} = \dfrac{1}{x} \)
Buna göre, \( f(x) = \ln{x} \) fonksiyonunun türevi \( f'(x) = \dfrac{1}{x} \) fonksiyonudur.
Aşağıdaki fonksiyonların türevini bulunuz.
(a) \( f(x) = \log_5{\sqrt{x}} \)
(b) \( g(x) = \ln(\ln(\ln{x})) \)
(c) \( h(x) = \ln(e^{6 + \ln{5}} + 7\ln{4}) \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( f(x) = \log_5{\sqrt{x}} \)
Zincir kuralını kullanarak bileşke fonksiyonun türevini alalım.
\( f'(x) = \dfrac{(\sqrt{x})'}{\sqrt{x}\ln{5}} \)
\( = \dfrac{1}{2\sqrt{x}\sqrt{x}\ln{5}} \)
\( = \dfrac{1}{2x\ln{5}} \)
(b) seçeneği:
\( g(x) = \ln(\ln(\ln{x})) \)
Zincir kuralını kullanarak bileşke fonksiyonun türevini alalım.
\( g'(x) = \dfrac{1}{\ln(\ln{x})}(\ln(\ln{x}))' \)
\( = \dfrac{1}{\ln(\ln{x})}\dfrac{1}{\ln{x}}(\ln{x})' \)
\( = \dfrac{1}{\ln(\ln{x})}\dfrac{1}{\ln{x}}\dfrac{1}{x} \)
\( = \dfrac{1}{x\ln{x}\ln(\ln{x})} \)
(c) seçeneği:
\( h(x) = \ln(e^{6 + \ln{5}} + 7\ln{4}) \)
\( h(x) \) fonksiyonu sabit fonksiyondur.
Sabit fonksiyonların tüm noktalarda eğimi sabit ve sıfır olduğu için türevi de tüm noktalarda sıfırdır.
\( h'(x) = 0 \)
\( f(x) = \log_2(x^3 + 2x) \) olduğuna göre, \( f'(2) \) kaçtır?
Çözümü GösterZincir kuralını kullanarak fonksiyonun türevini alalım.
\( f'(x) = (\log_2(x^3 + 2x))' \)
\( = \dfrac{(x^3 + 2x)'}{(x^3 + 2x)\ln{2}} \)
\( = \dfrac{3x^2 + 2}{(x^3 + 2x)\ln{2}} \)
\( f'(2) \) değerini bulmak için \( x = 2 \) koyalım.
\( f'(2) = \dfrac{3(2)^2 + 2}{(2^3 + 2(2))\ln{2}} \)
\( = \dfrac{14}{12\ln{2}} = \dfrac{7}{6\ln{2}} \) bulunur.
\( y = \log_3(\sin^2{x}) \) olduğuna göre, \( y' \) nedir?
Çözümü GösterZincir kuralını kullanarak bileşke fonksiyonun türevini alalım.
\( y' = (\log_3(\sin^2{x}))' \)
\( = \dfrac{(\sin^2{x})'}{\sin^2{x} \cdot \ln{3}} \)
\( = \dfrac{2\sin{x}(\sin{x})'}{\sin^2{x} \cdot \ln{3}} \)
\( = \dfrac{2\sin{x}\cos{x}}{\sin^2{x} \cdot \ln{3}} \)
\( = \dfrac{2\cos{x}}{\sin{x} \cdot \ln{3}} \)
\( = \dfrac{2\cot{x}}{\ln{3}} \) bulunur.
\( f(x) = \ln(\sec{x} + \tan{x}) \) olduğuna göre, \( f'(x) \) fonksiyonunu bulunuz.
Çözümü GösterZincir kuralını kullanarak bileşke fonksiyonun türevini alalım.
\( f'(x) = \dfrac{(\sec{x} + \tan{x})'}{\sec{x} + \tan{x}} \)
\( = \dfrac{\tan{x}\sec{x} + \sec^2{x}}{\sec{x} + \tan{x}} \)
\( = \dfrac{\sec{x}(\tan{x} + \sec{x})}{\sec{x} + \tan{x}} \)
\( = \sec{x} \) bulunur.
\( f(x) = \ln(\cos^2(3x)) \) olduğuna göre, \( f'(x) \) nedir?
Çözümü GösterZincir kuralını kullanarak bileşke fonksiyonun türevini alalım.
\( f'(x) = (\ln(\cos^2(3x)))' \)
\( = \dfrac{(\cos^2(3x))'}{\cos^2(3x)} \)
\( = \dfrac{2\cos(3x)(\cos(3x))'}{\cos^2(3x)} \)
\( = \dfrac{2\cos(3x)(-\sin(3x))(3x)'}{\cos^2(3x)} \)
\( = -\dfrac{6\sin(3x)}{\cos(3x)} \)
\( = -6\tan(3x) \) bulunur.
\( f(x) = \log_2{x} + \log_x{2} \) fonksiyonunun türevi nedir?
Çözümü GösterLogaritma türev kuralını kullanabilmek için ikinci terime logaritma taban değiştirme kuralını uygulayalım.
\( f(x)= \log_2{x} + \dfrac{1}{\log_2{x}} \)
Fonksiyonun türevini alalım.
\( f'(x) = (\log_2{x})' + (\dfrac{1}{\log_2{x}})' \)
\( = \dfrac{1}{x\ln{2}} - \dfrac{(\log_2{x})'}{(\log_2{x})^2} \)
\( = \dfrac{1}{x\ln{2}} - \dfrac{1}{(\log_2{x})^2x\ln{2}} \)