Rolle ve ortalama değer teoremleri analizin önemli teoremlerindendir ve ileriki konularda karşılaşacağımız diğer bazı teoremlerin ispatında kullanılırlar.
Rolle Teoremi
Rolle teoremine göre, iki farklı noktada aynı değere sahip türevlenebilir bir fonksiyonda bu iki nokta arasında türevi sıfır olan en az bir nokta bulunur.
Rolle teoremi
Rolle teoreminin tanımı aşağıdaki gibidir.
ROLLE TEOREMİ:
fonksiyonu aralığında sürekli, aralığında türevlenebilir olmak üzere,
ise,
aralığında türevi sıfır olan en az bir noktası vardır.
Rolle teoreminin ispatını fonksiyonun aralığında sahip olabileceği üç farklı davranış için ayrı ayrı yapalım.
olmak üzere,
Durum 1: Tüm noktaları için
Bu durumda fonksiyon aralığında sabit fonksiyondur.
Fonksiyon aralığında sabit olduğu için bu aralıktaki her nokta için olur, dolayısıyla Rolle teoremi sağlanır.
Durum 2: Bazı noktaları için
Bu durumda fonksiyon aralığında bazı noktalarda değerinden büyük değerler alır.
fonksiyonu aralığında sürekli olduğu için, uç değer teoremine göre bu aralıkta bir mutlak minimum ve maksimum noktasına sahiptir.
Bu aralıkta olan bir nokta bulunduğu için fonksiyonun mutlak maksimum noktasındaki değeri değerinden büyük olmalıdır, dolayısıyla mutlak maksimum noktası kapalı aralığının uç noktalarında olamaz.
Bunun bir sonucu olarak mutlak maksimum noktası açık aralığında bir nokta olmalıdır.
fonksiyonu açık aralığında türevlenebilir olduğu için, bu aralıkta bulunan mutlak maksimum noktasında türevi sıfır olur, dolayısıyla Rolle teoremi sağlanır.
Durum 3: Bazı noktaları için
Bu durumda fonksiyon aralığında bazı noktalarda değerinden küçük değerler alır.
Durum 2'deki ispatın bir benzeri bu durum için de yapılabilir.
Aşağıdaki şekildeki fonksiyon noktasında türevlenebilir olmadığı için Rolle teoremi koşulunu sağlamaz, dolayısıyla bu aralıkta türevi sıfır olan bir nokta bulunmaması teoreme aykırı bir durum oluşturmaz.
Rolle teoremi koşulunu sağlamayan fonksiyon
ÖRNEK 1:
fonksiyonu için aralığında Rolle teoremini sağlayan en az bir nokta bulunduğunu gösterelim.
bir polinom fonksiyonu olduğu için tüm reel sayılarda sürekli ve türevlenebilirdir, dolayısıyla verilen aralıkta Rolle teoremi koşullarını sağlar.
Fonksiyonun verilen aralığın uç noktalarındaki değerini bulalım.
Fonksiyonun bu iki noktadaki değeri birbirine eşittir.
Fonksiyonun türevini alalım.
Verilen aralıkta türevi sıfıra eşit olan değer ya da değerlerini bulalım.
Bu iki değerden verilen aralığındadır.
Buna göre aralığında türevi sıfır olan en az bir nokta bulunduğunu göstermiş olduk.
Bu sonucu grafiksel olarak aşağıdaki şekilde görebiliriz.
ÖRNEK 2:
fonksiyonu için aralığında Rolle teoremini sağlayan bir değeri bulunup bulunmadığını inceleyelim.
Fonksiyonun verilen aralığın uç noktalarındaki değerini bulalım.
Fonksiyonun verilen aralığın uç noktalarındaki değeri birbirine eşittir, ancak Rolle teoremini kullanabilmemiz için fonksiyon verilen aralıkta sürekli ve türevlenebilir olmalıdır.
fonksiyonu verilen aralıktaki ve noktalarında tanımsızdır, dolayısıyla bu noktalarda sürekli ve türevlenebilir değildir.
Bu durumda Rolle teoremini verilen fonksiyon ve aralıkta kullanamayız.
Ortalama Değer Teoremi
Ortalama değer teoremine göre, bir aralığında türevi ve noktalarını birleştiren doğrunun eğimine eşit olan en az bir nokta bulunur. Bu iki noktayı birleştiren doğrunun eğimi aynı zamanda fonksiyonun bu aralıktaki ortalama değişim oranına eşittir.
Ortalama değer teoremi
Ortalama değer teoreminin tanımı aşağıdaki gibidir.
ORTALAMA DEĞER TEOREMİ:
fonksiyonu aralığında sürekli, aralığında türevlenebilir olmak üzere,
aralığında türevi bu aralıktaki ortalama değişim oranına eşit olan en az bir noktası vardır.
Bu doğrunun eğimini aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
noktasından geçen ve eğimi bu değer olan doğrunun denklemi aşağıdaki gibidir.
fonksiyonu ve doğrusunun denklemlerinin farkını veren bir fonksiyonu tanımlayalım.
Bu fonksiyon her değeri için iki grafik arasındaki dikey mesafeyi verir. Bu dikey mesafeler yukarıdaki grafikte yeşil oklarla belirtilmiştir.
fonksiyonu ve doğrusu ve noktalarında kesiştikleri için bu iki noktada bu dikey mesafeler sıfır olur.
fonksiyonu ve doğrusu aralığında sürekli oldukları için fonksiyonu da bu aralıkta süreklidir.
fonksiyonu ve doğrusu aralığında türevlenebilir oldukları için fonksiyonu da bu aralıkta türevlenebilirdir.
Buna göre fonksiyonu Rolle teoreminin süreklilik ve türevlenebilirlik koşullarını sağlar ve ayrıca aralığın uç noktalarındaki fonksiyon değerleri birbirine eşittir.
Buna göre Rolle teoremine göre fonksiyonu için aralığında aşağıdaki koşulu sağlayan en az bir noktası vardır.
Yukarıdaki fonksiyon tanımını kullanarak türevini alalım.
noktası için fonksiyonu sıfıra eşitleyelim
Buna göre aralığında en az bir noktanın türevi bu aralıktaki ortalama değişim oranına eşittir.
Bu teoreme Lagrange'ın ortalama değer teoremi de denir. Teoremin adındaki "ortalama" ifadesi fonksiyonun verilen aralıktaki "ortalama" değişim oranına işaret etmektedir.
Ortalama değer teoremi şu şekilde de ifade edilebilir: aralığında anlık değişim oranı bu aralıktaki ortalama değişim oranına eşit olan en az bir nokta vardır. Örneğin, iki şehir arasında ortalama 90 km/saat hızla seyahat eden bir aracın anlık hızı yolculuk sırasında en az bir kez 90 km/saat olmak zorundadır.
İki teoremi karşılaştırdığımızda Rolle teoreminin ortalama değer teoreminin koşulunu içeren özel bir durumu olduğunu ve ortalama değer teoreminin Rolle teoremini de kapsadığını söyleyebiliriz.
Her iki teorem de aralığında verilen koşulları sağlayan en az bir noktasının var olduğunu söyler, ancak bu noktanın konumunu vermez.
ÖRNEK 3:
fonksiyonu için aralığında ortalama değer teoremini sağlayan en az bir nokta bulunduğunu gösterelim.
bir polinom fonksiyonu olduğu için tüm reel sayılarda sürekli ve türevlenebilirdir, dolayısıyla verilen aralıkta ortalama değer teoremi koşullarını sağlar.
Fonksiyonun aralığındaki ortalama değişim oranını bulalım.
Fonksiyonun verilen aralığın uç noktalarındaki değerini bulalım.
Bu değerleri ortalama değişim oranı formülünde yerine koyalım.
Buna göre fonksiyonun aralığındaki ortalama değişim oranı 3'tür.
Fonksiyonun türevini alalım.
Verilen aralıkta türev değeri 3'e eşit olan değer ya da değerlerini bulalım.
Her iki değer de aralığındadır.
Buna göre aralığında türevi bu aralıktaki ortalama değişim oranına eşit olan en az bir nokta bulunduğunu göstermiş olduk.
Bu iki nokta aşağıdaki şekilde fonksiyonun grafiği üzerinde gösterilmiştir.
ÖRNEK 4:
fonksiyonu için aralığında ortalama değer teoremini sağlayan bir değeri bulunup bulunmadığını inceleyelim.
Ortalama değer teoremini kullanabilmemiz için fonksiyon verilen aralıkta sürekli ve türevlenebilir olmalıdır.
fonksiyonu verilen aralıktaki noktasında tanımsızdır, dolayısıyla bu noktada sürekli ve türevlenebilir değildir.
Bu durumda ortalama değer teoremini verilen fonksiyon ve aralıkta kullanamayız.
Ortalama değer teoreminden çıkarılabilecek üç sonuç aşağıdaki gibidir.
Sonuç 1: Sabit Fonksiyon
Bir sabit fonksiyonun türevinin sıfır olduğunu biliyoruz. Ortalama değer teoremine göre bunun karşıtı da doğrudur, yani belirli bir aralıkta türevi sıfır olan bir fonksiyon bu aralıkta sabit fonksiyondur.
