Logaritma ile Türev Alma
Logaritma işlem özellikleri kullanılarak logaritma içermeyen üç farklı formdaki fonksiyonun türevi daha kolay bir şekilde alınabilir.
\( f(x)g(x) \) Formundaki Fonksiyonlar
Logaritma çarpma kuralı ile iki (ya da daha fazla) fonksiyonun çarpımı fonksiyonların toplamına dönüştürülebilir ve sonrasında türevleri daha kolay bir şekilde alınabilir.
Bu yöntemi bir örnek üzerinde gösterelim.
\( y = (x^3 - 4x)^9(x^2 + 5)^7 \) fonksiyonunun türevini alalım.
Eşitliğin iki tarafının doğal logaritmasını alalım.
\( \ln{y} = \ln[(x^3 - 4x)^9(x^2 + 5)^7] \)
Logaritma çarpma kuralı ile çarpımın logaritmasını logaritmaların toplamı şeklinde yazalım.
\( \ln{y} = \ln(x^3 - 4x)^9 + \ln(x^2 + 5)^7 \)
Logaritma üs kuralı ile logaritma içlerinin üslerini logaritma önüne katsayı olarak alalım.
\( \ln{y} = 9\ln(x^3 - 4x) + 7\ln(x^2 + 5) \)
Eşitliğin iki tarafının türevini alalım.
\( \dfrac{y'}{y} = 9\dfrac{(x^3 - 4x)'}{x^3 - 4x} + 7\dfrac{(x^2 + 5)'}{x^2 + 5} \)
\( \dfrac{y'}{y} = \dfrac{9(3x^2 - 4)}{x^3 - 4x} + \dfrac{7 \cdot 2x}{x^2 + 5} \)
\( y' \) ifadesini yalnız bırakalım.
\( y' = y(\dfrac{9(3x^2 - 4)}{x^3 - 4x} + \dfrac{14x}{x^2 + 5}) \)
\( y \) yerine fonksiyon tanımını yazalım.
\( y' = (x^3 - 4x)^9(x^2 + 5)^7(\dfrac{9(3x^2 - 4)}{x^3 - 4x} + \dfrac{14x}{x^2 + 5}) \)
Dikkat edilirse \( y = f(x)g(x) \) formundaki fonksiyonların türevi çarpma kuralı ile de alınabilir, ancak çarpımı oluşturan fonksiyonlar karmaşıklaştıkça logaritma yönteminin daha hızlı ve az işlem gerektiren bir yöntem olduğu görülecektir.
Bu yöntem \( y = f(x)g(x) \) formundaki fonksiyonlara aşağıdaki adımlar takip edilerek uygulanabilir.
\( y = f(x)g(x) \) olmak üzere,
Adım 1: Eşitliğin iki tarafının doğal logaritması alınır.
\( \ln{y} = \ln(f(x)g(x)) \)
Adım 2: Logaritma çarpma ve üs kuralı ile fonksiyon logaritmaların toplamı şeklinde yazılır ve sadeleştirilir.
\( \ln{y} = \ln{f(x)} + \ln{g(x)} \)
Adım 3: Eşitliğin iki tarafının türevi alınır. \( y \) değişkeninin \( x \)'e göre türevi alınırken türev zincir kuralı kullanılır.
\( \dfrac{y'}{y} = \dfrac{f'(x)}{f(x)} + \dfrac{g'(x)}{g(x)} \)
Adım 4: \( y' \) ifadesi yalnız bırakılır.
\( y' = y(\dfrac{f'(x)}{f(x)} + \dfrac{g'(x)}{g(x)}) \)
Adım 5: \( y \) yerine fonksiyon tanımı yazılır.
\( y' = f(x)g(x)(\dfrac{f'(x)}{f(x)} + \dfrac{g'(x)}{g(x)}) \)
Son adımdaki ifadede \( f(x)g(x) \) ifadesi parantez içine dağıtıldığında türev çarpma kuralı formülü elde edilir.
\( y' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) \)
\( \frac{f(x)}{g(x)} \) Formundaki Fonksiyonlar
Logaritma bölme kuralı ile iki fonksiyonun bölümü fonksiyonların farkına dönüştürülebilir ve sonrasında türevleri daha kolay bir şekilde alınabilir.
Bu yöntemi bir örnek üzerinde gösterelim.
\( y = \dfrac{(x^4 + 3x^3)^8}{(2x^3 - 7x)^5} \) fonksiyonunun türevini alalım.
Eşitliğin iki tarafının doğal logaritmasını alalım.
\( \ln{y} = \ln{\dfrac{(x^4 + 3x^3)^8}{(2x^3 - 7x)^5}} \)
Logaritma bölme kuralı ile bölümün logaritmasını logaritmaların farkı şeklinde yazalım.
\( \ln{y} = \ln(x^4 + 3x^3)^8 - \ln(2x^3 - 7x)^5 \)
Logaritma üs kuralı ile logaritma içlerinin üslerini logaritma önüne katsayı olarak alalım.
\( \ln{y} = 8\ln(x^4 + 3x^3) - 5\ln(2x^3 - 7x) \)
Eşitliğin iki tarafının türevini alalım.
\( \dfrac{y'}{y} = 8\dfrac{(x^4 + 3x^3)'}{x^4 + 3x^3} - 5\dfrac{(2x^3 - 7x)'}{2x^3 - 7x} \)
\( \dfrac{y'}{y} = \dfrac{8(4x^3 + 9x^2)}{x^4 + 3x^3} - \dfrac{5(6x^2 - 7)}{2x^3 - 7x} \)
\( y' \) ifadesini yalnız bırakalım.
\( y' = y(\dfrac{8(4x^3 + 9x^2)}{x^4 + 3x^3} - \dfrac{5(6x^2 - 7)}{2x^3 - 7x}) \)
\( y \) yerine fonksiyon tanımını yazalım.
\( y' = \dfrac{(x^4 + 3x^3)^8}{(2x^3 - 7x)^5}(\dfrac{8(4x^3 + 9x^2)}{x^4 + 3x^3} - \dfrac{5(6x^2 - 7)}{2x^3 - 7x}) \)
Dikkat edilirse \( y = \frac{f(x)}{g(x)} \) formundaki fonksiyonların türevi bölme kuralı ile de alınabilir, ancak bölümü oluşturan fonksiyonlar karmaşıklaştıkça logaritma yönteminin daha hızlı ve az işlem gerektiren bir yöntem olduğu görülecektir.
Bu yöntem \( y = \frac{f(x)}{g(x)} \) formundaki fonksiyonlara aşağıdaki adımlar takip edilerek uygulanabilir.
\( y = \dfrac{f(x)}{g(x)} \) olmak üzere,
Adım 1: Eşitliğin iki tarafının doğal logaritması alınır.
\( \ln{y} = \ln{\dfrac{f(x)}{g(x)}} \)
Adım 2: Logaritma bölme ve üs kuralı ile fonksiyon logaritmaların farkı şeklinde yazılır ve sadeleştirilir.
\( \ln{y} = \ln{f(x)} - \ln{g(x)} \)
Adım 3: Eşitliğin iki tarafının türevi alınır. \( y \) değişkeninin \( x \)'e göre türevi alınırken türev zincir kuralı kullanılır.
\( \dfrac{y'}{y} = \dfrac{f'(x)}{f(x)} - \dfrac{g'(x)}{g(x)} \)
Adım 4: \( y' \) ifadesi yalnız bırakılır.
\( y' = y(\dfrac{f'(x)}{f(x)} - \dfrac{g'(x)}{g(x)}) \)
Adım 5: \( y \) yerine fonksiyon tanımı yazılır.
\( y' = \dfrac{f(x)}{g(x)}(\dfrac{f'(x)}{f(x)} - \dfrac{g'(x)}{g(x)}) \)
Son adımdaki ifadede \( \frac{f(x)}{g(x)} \) ifadesi parantez içine dağıtıldığında türev bölme kuralı formülü elde edilir.
\( y' = \dfrac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} \)
\( f(x)^{g(x)} \) Formundaki Fonksiyonlar
Logaritma üs kuralı ile hem tabanı hem de üssü değişken içeren fonksiyonların üssü katsayı olarak logaritma önüne alınabilir ve sonrasında türevi alınabilir.
Bu yöntemi bir örnek üzerinde gösterelim.
\( y = x^{\ln{x}} \) fonksiyonunun türevini alalım.
Eşitliğin iki tarafının doğal logaritmasını alalım.
\( \ln{y} = \ln{x^{\ln{x}}} \)
Logaritma üs kuralı ile logaritma içinin üssünü logaritma önüne katsayı olarak alalım.
\( \ln{y} = \ln{x}\ln{x} = (\ln{x})^2 \)
Eşitliğin iki tarafının türevini alalım.
\( \dfrac{y'}{y} = 2\ln{x}(\ln{x})' = \dfrac{2\ln{x}}{x} \)
\( y' \) ifadesini yalnız bırakalım.
\( y' = y\dfrac{2\ln{x}}{x} \)
\( y \) yerine fonksiyon tanımını yazalım.
\( y' = x^{\ln{x}}\dfrac{2\ln{x}}{x} \)
\( = 2x^{\ln{x} - 1}\ln{x} \)
Bu formdaki fonksiyonlar için kullanılabilecek ikinci bir yöntemde, aşağıdaki logaritma işlem özelliği kullanılarak tabandaki değişkenden kurtulunur ve normal üstel fonksiyon türev alma kuralları ile fonksiyonun türevi alınır.
\( f(x)^{g(x)} = e^{g(x)\ln{f(x)}} \)
İSPATI GÖSTER
\( y = f(x)^{g(x)} \)
Logaritma tanımı gereği bu ifadeyi \( e \) tabanında aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( y = e^{\ln {f(x)^{g(x)}}} \)
Üsteki logaritma ifadesine üs kuralını uygulayalım.
\( y = e^{g(x) \cdot \ln {f(x)}} \)
Bu yöntemi bir örnek üzerinde gösterelim.
\( y = x^{\ln{x}} \) fonksiyonunun türevini alalım.
Fonksiyonu üstel fonksiyon şeklinde yazalım.
\( y = x^{\ln{x}} = e^{\ln{x}\ln{x}} \)
\( = e^{(\ln{x})^2} \)
Eşitliğin iki tarafının türevini alalım.
\( y' = e^{(\ln{x})^2}((\ln{x})^2)' \)
\( = e^{(\ln{x})^2} \cdot 2\ln{x}(\ln{x})' \)
\( = (e^{\ln{x}})^{\ln{x}} \cdot \dfrac{2\ln{x}}{x} \)
Logaritma tanımı gereği \( e^{\ln{x}}= x \) olur.
\( y' = x^{\ln{x}}\dfrac{2\ln{x}}{x} \)
\( = 2x^{\ln{x} - 1}\ln{x} \)
Yukarıdaki iki yöntemin bir sonucu olan aşağıdaki yöntem de pratik bir alternatif olarak kullanılabilir.
\( y = f(x)^{g(x)} \) olmak üzere,
\( y'_1 \): tabanı sabit olarak düşünerek fonksiyonun bir üstel fonksiyon (\( a^{g(x)} \)) olarak türevi
\( y'_2 \): üssü sabit olarak düşünerek fonksiyonun bir kuvvet fonksiyonu (\( f(x)^a \)) olarak türevi
\( y' = y'_1 + y'_2 \)
\( y = x^{\ln{x}} \) fonksiyonunun türevini alalım.
Tabanı sabit olarak düşünerek fonksiyonun bir üstel fonksiyon (\( a^{g(x)} \)) olarak türevini alalım.
\( y'_1 = x^{\ln{x}}\ln{x}(\ln{x})' \)
\( = x^{\ln{x}}\ln{x}\dfrac{1}{x} \)
\( = x^{\ln{x} - 1}\ln{x} \)
Üssü sabit olarak düşünerek fonksiyonun bir kuvvet fonksiyonu (\( f(x)^a \)) olarak türevini alalım.
\( y'_2 = \ln{x} \cdot x^{\ln{x} - 1} \)
Bu iki türevin toplamı fonksiyonun türevini verir.
\( y' = y'_1 + y'_2 \)
\( = 2x^{\ln{x} - 1}\ln{x} \)
\( f(x) = x^x \) fonksiyonunun türevini bulunuz.
Çözümü GösterEşitliğin iki tarafının doğal logaritmasını alalım.
\( \ln{y} = \ln{x^x} \)
Logaritma üs kuralı ile logaritma içinin üssünü logaritma önüne katsayı olarak alalım.
\( \ln{y} = x\ln{x} \)
Eşitliğin iki tarafının türevini alalım.
\( \dfrac{y'}{y} = (x)'\ln{x} + x(\ln{x})' \)
\( = \ln{x} + x\dfrac{1}{x} \)
\( = \ln{x} + 1 \)
\( y' \) ifadesini yalnız bırakalım.
\( y' = y(\ln{x} + 1) \)
\( y \) yerine fonksiyon tanımını yazalım.
\( = x^x(\ln{x} + 1) \)
\( f(x) = (\cos{x})^{x^2} \) fonksiyonunun türevini bulunuz.
Çözümü GösterEşitliğin iki tarafının doğal logaritmasını alalım.
\( \ln{y} = \ln{(\cos{x})^{x^2}} \)
Logaritma üs kuralı ile logaritma içinin üssünü logaritma önüne katsayı olarak alalım.
\( \ln{y} = x^2\ln{\cos{x}} \)
Eşitliğin iki tarafının türevini alalım.
\( \dfrac{y'}{y} = (x^2)'\ln{\cos{x}} + x^2(\ln{\cos{x}})' \)
\( = 2x\ln{\cos{x}} + x^2\dfrac{(\cos{x})'}{\cos{x}} \)
\( = 2x\ln{\cos{x}} - \dfrac{x^2\sin{x}}{\cos{x}} \)
\( = 2x\ln{\cos{x}} - x^2\tan{x} \)
\( y' \) ifadesini yalnız bırakalım.
\( y' = y(2x\ln{\cos{x}} - x^2\tan{x}) \)
\( y \) yerine fonksiyon tanımını yazalım.
\( = (\cos{x})^{x^2}(2x\ln{\cos{x}} - x^2\tan{x}) \) bulunur.
\( f(x) = 3x^{\ln{x}}e^{x^2} \)
olduğuna göre, \( f'(e) \) kaçtır?
Çözümü GösterTürev çarpma kuralını kullanalım.
\( f'(x) = (3x^{\ln{x}})'e^{x^2} + 3x^{\ln{x}}(e^{x^2})' \)
\( = (3x^{\ln{x}})'e^{x^2} + 3x^{\ln{x}}e^{x^2}(x^2)' \)
\( = (3x^{\ln{x}})'e^{x^2} + 3x^{\ln{x}}e^{x^2}(2x) \)
\( = 3(x^{\ln{x}})'e^{x^2} + 6x^{\ln{x}+1}e^{x^2} \)
Parantez içindeki ifadenin türevini logaritma kullanarak aşağıdaki şekilde bulmuştuk.
\( y' = 2x^{\ln{x} - 1}\ln{x} \)
Bu ifadeyi yerine koyalım.
\( f'(x) = 6x^{\ln{x} - 1}\ln{x}e^{x^2} + 6x^{\ln{x}+1}e^{x^2} \)
\( f'(e) \) değerini bulmak için \( x = e \) yazalım.
\( f'(e) = 6e^{\ln{e} - 1}\ln{e}e^{e^2} + 6e^{\ln{e}+1}e^{e^2} \)
İfadeyi düzenleyelim.
\( = 6e^0(1)e^{e^2} + 6e^2e^{e^2} \)
\( = 6e^{e^2} + 6e^2e^{e^2} \)
\( = 6e^{e^2}(1 + e^2) \) bulunur.
\( x \gt 0 \) olmak üzere,
\( f(x) = x^{\log_3{x}} \) fonksiyonu veriliyor.
\( f(x)\log_3{x} = f'(x) \) denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü Göster\( y = f(x) = x^{\log_3{x}} \)
Eşitliğin iki tarafının doğal logaritmasını alalım.
\( \ln{y} = \ln{x^{\log_3{x}}} \)
Logaritma üs kuralı ile logaritma içinin üssünü logaritma önüne katsayı olarak alalım.
\( \ln{y} = \log_3{x}\ln{x} \)
Eşitliğin iki tarafının türevini alalım.
\( \dfrac{y'}{y} = (\log_3{x})'\ln{x} + \log_3{x}(\ln{x})' \)
\( = \dfrac{1}{x\ln{3}}\ln{x} + \log_3{x}\dfrac{1}{x} \)
\( \dfrac{\ln{x}}{\ln{3}} = \log_3{x} \) olarak yazılabilir.
\( = \dfrac{\log_3{x}}{x} + \dfrac{\log_3{x}}{x} \)
\( = \dfrac{2\log_3{x}}{x} \)
\( y' \) ifadesini yalnız bırakalım.
\( y' = y\dfrac{2\log_3{x}}{x} \)
Bulduğumuz ifadeleri verilen denklemde yerine koyalım.
\( f(x)\log_3{x} = f'(x) \)
\( y\log_3{x} = y' \)
\( y\log_3{x} = y\dfrac{2\log_3{x}}{x} \)
\( x \gt 0 \) olduğu için ve \( y = x^{\log_3{x}} \) ifadesi sıfır olamayacağı için \( y \)'ler birbirini götürebilir.
\( \log_3{x} = \dfrac{2\log_3{x}}{x}\)
Bu eşitlik iki durumda sağlanır.
Durum 1: \( \log_3{x} = 0 \)
\( \log_3{x} = 0 \)
\( x = 3^0 = 1 \)
Durum 2: \( \log_3{x} \ne 0 \)
Bu durumda logaritmalar birbirini götürür.
\( 1 = \dfrac{2}{x}\)
\( x = 2 \)
Bulduğumuz iki \( x \) değeri de sıfırdan büyük olduğu için geçerli birer çözümdür.
Çözüm kümesi: \( x \in \{1, 2\} \)