Trigonometrik Fonksiyonların Türevi

Türev fonksiyonunun limit tanımını yazalım.

$$ ifadesine sinüs toplam formülünü uygulayalım.

Terimleri düzenleyelim.

Toplama limit kuralı ile iki terimin toplamının limitini terimlerin limitinin toplamı şeklinde yazalım.

$$ cinsinden olan ifadeleri limitin dışına alalım.

Trigonometrik ifadelerin limiti bölümünde aşağıdaki iki limiti ispatlarıyla tanımlamıştık.

Bu limit değerlerini yerine koyalım.

Buna göre, $$ fonksiyonunun türevi $$ fonksiyonudur.

Türev fonksiyonunun limit tanımını yazalım.

$$ ifadesine kosinüs toplam formülünü uygulayalım.

Terimleri düzenleyelim.

Toplama limit kuralı ile iki terimin toplamının limitini terimlerin limitinin toplamı şeklinde yazalım.

$$ cinsinden olan ifadeleri limitin dışına alalım.

Trigonometrik ifadelerin limiti bölümünde aşağıdaki iki limiti ispatlarıyla tanımlamıştık.

Bu limit değerlerini yerine koyalım.

Buna göre, $$ fonksiyonunun türevi $$ fonksiyonudur.

Türev bölme kuralı ile ifadenin türevini alalım.

Paydaki ifade Pisagor özdeşliğine göre 1'e eşittir.

Kosinüs fonksiyonunun çarpmaya göre tersi sekant fonksiyonudur.

Buna göre, $$ fonksiyonunun türevi $$ fonksiyonudur.

Pisagor özdeşliğine göre $$ fonksiyonu aşağıdaki şekilde de yazılabilir.

Türev bölme kuralı ile ifadenin türevini alalım.

Paydaki parantez içindeki ifade Pisagor özdeşliğine göre 1'e eşittir.

Sinüs fonksiyonunun çarpmaya göre tersi kosekant fonksiyonudur.

Buna göre, $$ fonksiyonunun türevi $$ fonksiyonudur.

Pisagor özdeşliğine göre $$ fonksiyonu aşağıdaki şekilde de yazılabilir.

Türev bölme kuralı ile ifadenin türevini alalım.

İfadeye aşağıdaki iki dönüşümü uygulayalım.

Buna göre, $$ fonksiyonunun türevi $$ fonksiyonudur.

Türev bölme kuralı ile ifadenin türevini alalım.

İfadeye aşağıdaki iki dönüşümü uygulayalım.

Buna göre, $$ fonksiyonunun türevi $$ fonksiyonudur.

Arc sinüs fonksiyonu, sinüs değeri $$ olan bir açının ölçüsünü $$ değeri olarak verir.

$$ ve $$ arasındaki ilişki aşağıdaki dik üçgende gösterilmiştir.

Bu üçgende $$ açısının komşu kenarını Pisagor teoreminden aşağıdaki şekilde bulabiliriz.

Yukarıdaki $$ fonksiyonunun tersini alalım. Elde ettiğimiz fonksiyon, ölçüsü $$ olan açının sinüs trigonometrik oranını $$ olarak verir.

Bu eşitliğin iki tarafının $$'e göre türevini alalım. Zincir kuralı gereği, $$ değişkenine bağlı olan $$ fonksiyonunun türevini $$ ile de çarpmamız gerekir.

$$ yerine yukarıdaki dik üçgendeki karşılığını yazalım.

Buna göre, $$ fonksiyonunun türevi $$ fonksiyonudur.

Arc kosinüs fonksiyonu, kosinüs değeri $$ olan bir açının ölçüsünü $$ değeri olarak verir.

$$ ve $$ arasındaki ilişki aşağıdaki dik üçgende gösterilmiştir.

Bu üçgende $$ açısının karşı kenarını Pisagor teoreminden aşağıdaki şekilde bulabiliriz.

Yukarıdaki $$ fonksiyonunun tersini alalım. Elde ettiğimiz fonksiyon, ölçüsü $$ olan açının kosinüs trigonometrik oranını $$ olarak verir.

Bu eşitliğin iki tarafının $$'e göre türevini alalım. Zincir kuralı gereği, $$ değişkenine bağlı olan $$ fonksiyonunun türevini $$ ile de çarpmamız gerekir.

$$ yerine yukarıdaki dik üçgendeki karşılığını yazalım.

Buna göre, $$ fonksiyonunun türevi $$ fonksiyonudur.

Arc tanjant fonksiyonu, tanjant değeri $$ olan bir açının ölçüsünü $$ değeri olarak verir.

$$ ve $$ arasındaki ilişki aşağıdaki dik üçgende gösterilmiştir.

Bu üçgende hipotenüsü Pisagor teoreminden aşağıdaki şekilde bulabiliriz.

Yukarıdaki $$ fonksiyonunun tersini alalım. Elde ettiğimiz fonksiyon, ölçüsü $$ olan açının tanjant trigonometrik oranını $$ olarak verir.

Bu eşitliğin iki tarafının $$'e göre türevini alalım. Zincir kuralı gereği, $$ değişkenine bağlı olan $$ fonksiyonunun türevini $$ ile de çarpmamız gerekir.

$$ yerine yukarıdaki dik üçgendeki karşılığını yazalım.

Buna göre, $$ fonksiyonunun türevi $$ fonksiyonudur.

Arc kotanjant fonksiyonu, kotanjant değeri $$ olan bir açının ölçüsünü $$ değeri olarak verir.

$$ ve $$ arasındaki ilişki aşağıdaki dik üçgende gösterilmiştir.

Bu üçgende hipotenüsü Pisagor teoreminden aşağıdaki şekilde bulabiliriz.

Yukarıdaki $$ fonksiyonunun tersini alalım. Elde ettiğimiz fonksiyon, ölçüsü $$ olan açının kotanjant trigonometrik oranını $$ olarak verir.

Bu eşitliğin iki tarafının $$'e göre türevini alalım. Zincir kuralı gereği, $$ değişkenine bağlı olan $$ fonksiyonunun türevini $$ ile de çarpmamız gerekir.

$$ yerine yukarıdaki dik üçgendeki karşılığını yazalım.

Buna göre, $$ fonksiyonunun türevi $$ fonksiyonudur.

Arc sekant fonksiyonu, sekant değeri $$ olan bir açının ölçüsünü $$ değeri olarak verir.

$$ ve $$ arasındaki ilişki aşağıdaki dik üçgende gösterilmiştir.

Bu üçgende $$ açısının karşı kenarını Pisagor teoreminden aşağıdaki şekilde bulabiliriz.

Yukarıdaki $$ fonksiyonunun tersini alalım. Elde ettiğimiz fonksiyon, ölçüsü $$ olan açının sekant trigonometrik oranını $$ olarak verir.

Bu eşitliğin iki tarafının $$'e göre türevini alalım. Zincir kuralı gereği, $$ değişkenine bağlı olan $$ fonksiyonunun türevini $$ ile de çarpmamız gerekir.

$$ ve $$ yerine yukarıdaki dik üçgendeki karşılıklarını yazalım.

Arc sekant fonksiyonu tanım aralığı gereği girdi olarak hem pozitif hem de negatif trigonometrik değer alabilir, ancak aşağıdaki grafikte de görebileceğimiz gibi her iki durumda da fonksiyon grafiği artandır (mavi grafik), dolayısıyla türevi/eğimi her zaman pozitiftir. Bu yüzden arcsec türev fonksiyonunda $$ değişkeninin mutlak değeri alınır.

Buna göre, $$ fonksiyonunun türevi $$ fonksiyonudur.

Arc kosekant fonksiyonu, kosekant değeri $$ olan bir açının ölçüsünü $$ değeri olarak verir.

$$ ve $$ arasındaki ilişki aşağıdaki dik üçgende gösterilmiştir.

Bu üçgende $$ açısının komşu kenarını Pisagor teoreminden aşağıdaki şekilde bulabiliriz.

Yukarıdaki $$ fonksiyonunun tersini alalım. Elde ettiğimiz fonksiyon, ölçüsü $$ olan açının kosekant trigonometrik oranını $$ olarak verir.

Bu eşitliğin iki tarafının $$'e göre türevini alalım. Zincir kuralı gereği, $$ değişkenine bağlı olan $$ fonksiyonunun türevini $$ ile de çarpmamız gerekir.

$$ ve $$ yerine yukarıdaki dik üçgendeki karşılıklarını yazalım.

Arc kosekant fonksiyonu tanım aralığı gereği girdi olarak hem pozitif hem de negatif trigonometrik değer alabilir, ancak aşağıdaki grafikte de görebileceğimiz gibi her iki durumda da fonksiyon grafiği azalandır (mavi grafik), dolayısıyla türevi/eğimi her zaman negatiftir. Bu yüzden arccsc türev fonksiyonunun işareti zaten negatif olduğu için $$ değişkeninin mutlak değeri alınır.

Buna göre, $$ fonksiyonunun türevi $$ fonksiyonudur.