Minimum ve Maksimum Noktaları
Yerel Minimum ve Maksimum Noktaları
Bir noktadaki fonksiyon değeri bu noktanın hemen solundaki ve sağındaki noktaların fonksiyon değerinden küçük ya da onlara eşit ise bu noktaya yerel minimum noktası denir.
Benzer şekilde, bir noktadaki fonksiyon değeri bu noktanın hemen solundaki ve sağındaki noktaların fonksiyon değerinden büyük ya da onlara eşit ise bu noktaya yerel maksimum noktası denir.
Bir fonksiyonun yerel minimum ve maksimum noktalarına genel bir terim olarak ekstremum noktaları da denir.
Yerel minimum ve maksimum noktalarının matematiksel tanımını aşağıdaki şekilde yapabiliriz.
\( f: A \to \mathbb{R} \) ve \( \epsilon \) (epsilon) sıfırdan büyük ve çok küçük bir reel sayı olmak üzere,
Bir \( a \in A \) noktası çevresinde \( I = (a - \epsilon, a + \epsilon) \cap A \) şeklinde bir aralık tanımlayalım.
Tüm \( x \in I \) noktaları için \( f(a) \le f(x) \) oluyorsa \( x = a \) noktası bu fonksiyonun bir yerel minimum noktasıdır.
Tüm \( x \in I \) noktaları için \( f(a) \ge f(x) \) oluyorsa \( x = a \) noktası bu fonksiyonun bir yerel maksimum noktasıdır.
Bu tanıma göre, bir fonksiyonun tanım aralığının kapalı uç noktaları aynı zamanda birer yerel minimum ya da yerel maksimum noktasıdır, tanım aralığının açık uç noktaları ise değildir. Buna göre \( [a, d) \) aralığında tanımlı aşağıdaki \( f \) fonksiyonunda \( x = a \) bir yerel maksimum noktasıdır, ancak \( x = d \) bir yerel minimum noktası değildir.
Bir fonksiyonun sabit olduğu bir açık aralıktaki tüm noktalar yukarıdaki tanımı sağladığı için hem yerel minimum hem de yerel maksimum noktalarıdır. Buna göre aşağıdaki \( f \) fonksiyonunda \( x = a \) bir yerel maksimum noktası, \( x = b \) bir yerel minimum noktasıdır, \( (a, b) \) açık aralığındaki tüm noktalar da hem yerel minimum hem de yerel maksimum noktalarıdır.
Ekstremum Noktaların Türevi
Ekstremum noktaların türevlenebilir olma zorunluluğu yoktur. Aşağıda \( (a, d) \) aralığında tanımlı bir fonksiyonun türevlenebilir olmayan iki ekstremum noktası gösterilmiştir.
Bir ekstremum nokta türevlenebilir ise birinci türevi sıfırdır. Ancak bir sonraki bölümde göreceğimiz gibi birinci türevin sıfır olduğu her nokta ekstremum nokta olmak zorunda değildir.
Aşağıda farklı grafiklerin \( x = a \) noktasının yerel minimum olma durumları incelenmiştir. Benzer grafikleri yerel maksimum noktaları için de çizebiliriz.
| Grafik | Açıklama |
|---|---|
|
Fonksiyon \( x = a \) noktasının hemen solundaki ve sağındaki noktalar içindeki en küçük değerini \( x = a \) noktasında almaz, bu yüzden bu nokta bir yerel minimum noktası değildir. |
|
Fonksiyon \( x = a \) noktasının hemen solundaki ve sağındaki noktalar içindeki en küçük değerini \( x = a \) noktasında alır, bu yüzden bu nokta bir yerel minimum noktasıdır. |
|
Fonksiyon \( x = a \) noktasının hemen solundaki ve sağındaki noktalar içindeki en küçük değerini \( x = a \) noktasında alır, bu yüzden bu nokta bir yerel minimum noktasıdır. |
Mutlak Minimum ve Maksimum Noktaları
Bir fonksiyonun tanım aralığında aldığı en küçük değere o fonksiyonun mutlak minimum değeri, bu değeri aldığı nokta ya da noktalara da mutlak minimum noktası denir.
Bir fonksiyonun tanım aralığında aldığı en büyük değere o fonksiyonun mutlak maksimum değeri, bu değeri aldığı nokta ya da noktalara da mutlak maksimum noktası denir.
Bir fonksiyonun mutlak minimum (ya da maksimum) değerini aldığı birden fazla nokta varsa bu noktaların tümü birer mutlak minimum (ya da maksimum) noktasıdır.
Bir noktanın mutlak minimum ya da mutlak maksimum noktası olabilmesi için fonksiyonun o noktadaki değerinin bir reel sayı olması gerekir. Bunun bir sonucu olarak aşağıdaki yorumları yapabiliriz.
- Fonksiyon değeri negatif sonsuza giden fonksiyonların mutlak minimum, pozitif sonsuza giden fonksiyonların mutlak maksimum noktaları yoktur.
- Bir fonksiyonun yerel minimum (maksimum) noktalarının olması mutlak minimum (maksimum) noktalarının olmasını gerektirmez.
Uç Değer Teoremi
Uç değer teoremine göre, \( [a, b] \) kapalı aralığında tanımlı ve sürekli bir \( f \) fonksiyonu bu aralıkta en az bir kez mutlak minimum ve en az bir kez mutlak maksimum değeri alır.
\( f \) \( [a, b] \) aralığında tanımlı ve sürekli bir fonksiyon olmak üzere,
Her \( x \in [a, b] \) değeri için,
\( f(c) \le f(x) \le f(d) \)
koşulunu sağlayan en az bir \( c \) ve en az bir \( d \) değeri vardır.
Aşağıdaki tabloda bazı fonksiyon grafiklerinin mutlak minimum ve maksimum noktaları incelenmiştir.
| Grafik | Açıklama |
|---|---|
|
\( f: (a, b) \to \mathbb{R} \) olmak üzere, \( x = a \) noktası tanım aralığına dahil olmadığı için fonksiyonun mutlak minimum noktası yoktur. Fonksiyon değeri pozitif tarafta sonsuza gittiği için fonksiyonun mutlak maksimum noktası yoktur. |
|
\( f: [a, b) \to \mathbb{R} \) olmak üzere, Fonksiyonun \( x = c \) noktasında mutlak minimum noktası vardır. \( x = b \) noktası tanım aralığına dahil olmadığı için fonksiyonun mutlak maksimum noktası yoktur. |
|
\( f: \mathbb{R} \to [-1, 1] \) olmak üzere, Fonksiyonun \( x \in \{ \ldots, -\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}, \ldots \} \) noktaları birer mutlak minimum noktasıdır. Fonksiyonun \( x \in \{ \ldots, -\frac{3\pi}{2}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \ldots \} \) noktaları birer mutlak maksimum noktasıdır. |
Bir fonksiyonun extremum noktaları ile ilgili aşağıdaki önermelerden hangileri doğrudur?
- Her fonksiyonun bir mutlak minimum (maksimum) noktası vardır.
- Bir fonksiyonun birden fazla mutlak minimum (maksimum) noktası olabilir.
- Sabit fonksiyonun tüm noktaları yerel minimum (maksimum) noktadır.
1. Mutlak minimum ve maksimum değerleri reel sayı olmak zorundadır, dolayısıyla bir fonksiyonun değeri negatif (ya da pozitif) tarafta sonsuza gidiyorsa ya da fonksiyonun en küçük (en büyük) değerini aldığı tanımlı bir nokta yoksa fonksiyonun mutlak minimumu (maksimumu) yoktur (YANLIŞ).
2. Bir fonksiyonun mutlak minimum (maksimum) değerine sahip olduğu tüm noktaları mutlak minimum (maksimum) noktadır (DOĞRU).
3. Sabit fonksiyonun tüm noktaları tanımdaki "küçük eşit" ("büyük eşit") koşulunu sağladığı için birer yerel minimum (maksimum) noktadır (DOĞRU).
Bir fonksiyonun extremum noktaları ile ilgili aşağıdaki önermelerden hangileri her zaman doğrudur?
- Bir fonksiyonun mutlak minimumu (maksimumu) yerel minimum değerlerinin en küçüğüne (en büyüğüne) eşittir.
- Yerel minimum (maksimum) nokta bir fonksiyonun azalandan artan (artandan azalan) fonksiyona geçtiği noktadır.
1. Bir fonksiyonun yerel minimum/maksimum noktaları olsa da örneğin fonksiyon değerinin pozitif ya da negatif sonsuza gittiği durumlarda mutlak minimumu/maksimumu olmayabilir (YANLIŞ).
2. Sürekli olmayan fonksiyonlarda bu ifade geçerli olmayabilir (YANLIŞ).